台灣不就長這麼大，周長卻無限大？看《重甲機神》解密台灣海岸線有多長｜重甲科不科？02
文／施奇廷│東海大學應用物理系暨研究所 教授兼系主任
y編按：一日科宅，終生科宅。而身為終極科宅，只有科學家這個身份還不夠！當然要製作一部滿滿熱血的動畫啊！
而這麼科宅的計畫，泛科學怎能缺席！不只電影要看，更要讓我們一起來好好吐槽聊聊《重甲機神》裡的那些科學與不科學！XD
重甲科不科系列：
《重甲機神 Baryon》既然是台灣製造、以台灣為背景的作品，當然要有「台灣元素」！
雖然片中的瘋狂科學家司空弦博士整天穿著藍白拖跑來跑去，當然可以算是一種「台灣元素」，不過我們想表現的，是更深層的東西：
圖／作者提供
《重甲機神 Baryon》中最主要的台灣要素，是「海」。
臺灣海岸線到底有多長，內政部、水利署喬不攏？
台灣是個海島國家，周圍海域蘊含了豐富的漁業、礦產等海洋資源，海岸線更提供了天然的國防屏障。然而過去幾十年，由於台灣特殊的政治環境，「阿兵哥守海防」的形象深植人心，台灣人對海、以及海岸線總是有種隔閡感。
你對海岸線的瞭解有多少呢？既然海岸線是條「線」，最基本的特性當然就是「長度」了。根據內政部營建署的資料，台灣本島的海岸線長度為 1,340,565 公尺，也就是 1340 公里多一點（如果把離島算進去，變成 1988 公里）。
海岸線對一個國家的重要性，可以用「海岸線與國土面積之比值」做一個簡單的估算。台灣本島的面積為 35873 平方公里，所以海岸線長度與國土面積之比值為為 0.0374（單位為公里分之一）。與之對照，世界強權美國，根據 CIA 的「The World Factbook」資料，海岸線長度為 19924 公里，國土面積為 9,161,923 平方公里，該比值為 0.00217，僅為台灣的 17 分之一，可見海岸線在台灣國土中所佔的地位是很高的。
美國「海岸線與國土面積之比值」僅為台灣的17 分之一，可見海岸線在台灣國土中所佔的地位是很高的。圖為《重甲機神 Baryon》中的台灣海岸線場景。圖／作者提供。 再仔細一看，CIA 資料中，台灣海岸線的長度是 1566 公里，咦？怎麼跟內政部的不一樣？多查點資料好了，結果水利署說是 1200 公里，加上外島是 1520 公里⋯⋯麻煩你們政府部門自己先統一一下好不好？
其實這種海岸線長度不統一的狀況，並不是因為政府無能，而是有深層的數學問題，也就是：海岸線的長度，理論上是量不出來的！
臺灣不就長這麼大，周長卻無限大？
這個問題是這樣開始的，一直到二次世界大戰為止，歐洲說是全世界的火藥庫也不為過。為了研究歐洲人為什麼這麼喜歡戰來戰去，一位英國物理學家兼數學家兼氣象學家兼心理學家 Lewis Fry Richardson 提出一個假說：國界的長度與國家之間發生衝突的機率是有關的。
Lewis Fry Richardson 本人。圖／wikipedia 為了驗證這個假說，理組的 Richardson 開始收集相鄰國家之間邊境的長度以及發生軍事衝突的歷史紀錄。結果就跟我們剛剛談台灣的海岸線長度一樣，鄰國之間的邊境每個人量的都不一樣！
1967 年，碎形幾何的奠基者 Benoît B. Mandelbrot 發表了一篇論文「英國的海岸線有多長？」(How Long is the Coast of Britain?) 探討了這個問題。如果我們用一根很長的尺，比如說左圖，「尺」有兩百英里長，由於尺太長，就只能截長補短，想辦法盡量沿著海岸線把英國本島給圍起來，以這個例子來說，一共用了 12 根「尺」，得到英國的海岸線近似長度為 2400 英里。
量測英國海岸線有多長，分別用 12 根尺、長度 100 英里的尺和長度 50 英里的尺。圖／wikimedia commons 這當然是個誤差很大的結果，因為尺實在太長了！造成解析度很低。改善的方式就是把測量基準的尺變短，如中、右圖，越短的尺，圍出來的形狀越接近真實的形狀。中圖用長度 100 英里的尺，得到的海岸線是 2800 英里，長了一些，但是應該更準了一點，右圖用 50 英里的尺，得到的海岸線更長了，是 3400 英里。
看起來尺越短，量出來的海岸線就越長，而且看起來不像有收斂的樣子欸（收斂：尺越用越短，量得的數字會趨近一個定值不再改變）。對了，根據英國官方資料，大不列顛島的海岸線長度是 11072.76 英里，比前幾個數字又大了幾倍，然後 CIA 的資料是 12429 公里或是 7725 英里，你搞得我好亂啊！
Mandelbrot 的結論是：是的，尺越用越小，量到的海岸線越來越長，而且會趨近於無窮大！等等，你在開玩笑吧，一個真實存在的英國大不列顛島，怎麼可能會有「周長無窮大」這種事？
原因就在「碎形」。下圖為碎形的一個例子，稱為「Koch Curve」，由一個邊長為一正三角形出發，每邊分成三等分，然後從中間那段「長」出一個正三角形，然後依此類推，可以無窮無盡的長下去。
Koch Curve：由正三角形出發，每邊分成三等分。從中間那段「長」出一個正三角形。依此類推，可以無窮無盡的長下去。圖／wikimedia commons 對於這個 Koch 雪花，你如果拿長度為一的尺來量它，你只能排成一個三角形，得到的周長是 3，如果你用長度是 1/3 的尺來量，就會排成右上方的圖形，周長為 4，如果你用長度 1/9 的尺來量，就會排出左下角的圖，周長為 5.33⋯⋯
寫成公式是這樣：
\( P_n= 3 \times \left ( \frac{4}{3} \right )^n \times s \)
其中 \( P_n \) 是圖形的周長（海岸線長度），\( s \) 是一開始的三角形邊長，\( n \) 是「第 \( n \) 把尺」（長度是\( \frac{1}{3^n} \)）或是「第 \( n \) 階圖形」。
一開始的正三角形為 \( n=0 \) 之圖形，右上圖為 \( n=1 \) 。由這個公式可以看起來，當 \( n \) 趨近於無窮大，也就是用一把無窮短的尺來量海岸線的話，照理說應該量得絕對準確，可是卻會得到海岸線長度無窮大這個奇特的結果，因為海岸線的形狀具有碎形的特性！
當然，真實的海岸線是畢竟還由原子構成的，所以碎形的特性不可能一直持續到無窮小，不過當你用跟原子一樣大的尺去量台灣海岸線的長度的話，會量出一個令人驚訝的超級大的數字喔！
真實的海岸線是畢竟還由原子構成的，所以碎形的特性不可能一直持續到無窮小，不過當你用跟原子一樣大的尺去量，會得到超級大的數字喔！圖／作者提供 講了這麼多，台灣的海岸線到底有多長呢？
答案是「不知道，看你用來量的尺有多長！」
《重甲機神 Baryon》中，也出現了不少台灣海岸線的美景，不過，劇情中有用到台灣海岸線長度這個梗嗎？其實沒有，這純粹是參與編劇的物理老師們數理魂發作啦！也希望大家能更瞭解台灣以及台灣周邊的海洋喔！
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