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千里共嬋娟,蘇東坡有沒有太浮誇?《水調歌頭》背後的天文運算

活躍星系核_96
・2020/08/30 ・4552字 ・閱讀時間約 9 分鐘
  • 文/阿德|地科系畢業。目前進行遙測相關研究。喜歡思考生活中有趣的科學問題,將這些問題轉化為有趣的知識。喜歡活用學到的知識,並與人分享。

當人身處在異地,因為有事在身而無法和親朋好友共聚時,常以蘇軾的《水調歌頭.明月幾時有》這首膾炙人口的詩歌的最後兩句話:「但願人長久,千里共嬋娟」,做為互相勉勵的話。

對於人們來說,一起看星星、看月亮,是一種充滿情懷的浪漫事。(圖/Pixabay)

然而,你是否有想過,蘇軾到底有沒有真的「千里」共嬋娟呢?

古人在書寫詩詞時,數字的應用上,有時是指實際的數值,如:「一」枝獨秀、「二」目無光、「三」餐不繼、「四」肢無力等。

有時則是誇飾寫法,如:「一」清「二」楚、「三」心「二」意、丟「三」落「四」、「七」嘴「八」舌等

要解決蘇軾寫的千里是實際的數字或是誇飾法,就需要先知道當時蘇軾和蘇轍兩人相距的距離大約多少。

用網路地圖算出兩人的真實距離吧!

當時,蘇軾被貶到密州(山東諸城),中秋節時在超然台上寫下了這首詞,藉此思念遠在齊州(今濟南)的弟弟蘇轍。

  • 蘇軾所在的超然臺,大約位於今日山東省灘坊市諸城市北關路 83 號,目前已經被修建為蘇東坡紀念館。
  • 蘇轍大概位於今日的濟南當官,即為現在的山東省政府(位於濟南市歷下區省府前街1號),附近就是大名鼎鼎的濟南天下第一泉風景區。

假設蘇轍當時在山東省府,蘇軾位在超然臺,使用地圖量測工具可以得到兩地之間的直線距離大約為 226.59 公里。

圖一:地圖上超然臺及山東省政府間的地理位置與兩地間的距離(地圖來源:Google地圖)

宋代的「千里」是今天的多少公里呢?

由於現代的「公里」、古代的「里」並不一樣,所以我們必須查閱歷史文獻,才可以知道要怎麼換算這兩個長度單位。

關於「里」的長度,雖然不同朝代也有不同的定義,但古代的里制,均是由步數、尺數和每尺長度三個要素所構成的長度單位。

根據文獻研究指出(見表一),宋代時 360 步為一里,每步 5 尺,而當時的工程營造尺約等於 0.32 公尺,由此可知,宋代的一里大約是今日的 576 公尺。

一里是 576 公尺,那麼蘇軾所寫的「千里」共嬋娟,換算成今日的距離大約是 576 公里,比實際距離 226.59 公里還要遠。

看來,此處的「千里」應該是蘇軾誇大了兩人的距離,想要藉此凸顯思弟之情。

 

表一:古代以及史家關於「里」的記載與研究。

古書提及「里」的段落朝代說明
《穀梁傳.宣公十五年》古者三百步爲里,名曰井田,井田九百畝戰國1 里為 300 步
《韓詩外傳》卷四廣三百步、長三百步爲一里。西漢
《漢書.食貨志》理民之道,地著爲本。 故必建步立畮(通「畝」),正其經界。 六尺爲步,步百爲畮,畮百爲夫,夫三爲屋,屋三爲井,井方一里,是爲九夫西漢引入尺的概念,並論及與步、畝和里之間的關係
陳夢家《畝制與里制》古代自秦以來,大致六尺爲步,步三百爲一里,很少改變……一直施行至隋代秦至隋里為 300 步的概念延續至隋代
魏徵《隋書.地理志》
《長安志》
東西十八里一百一十五步,南北十五里一百七十五步,周六十七里按陳夢家等人所考,其中採用的是1里360之制。
《夏侯陽算經》引《雜令》諸度地以五尺爲一步,三百六十步爲一里。360 步為 1 里
《宋史·輿服志》仁宗天聖五年(1027 年),內侍盧道隆上記里鼓車之制……以古法六尺爲步,三百步爲里,用較今法五尺爲步,三百六十步爲里北宋
《太常因革禮》

《愧郯錄》

《職官分紀》

古法六尺爲步,三百步爲里,今法五尺爲步,三百六十步爲里北宋
秦九韶《數書九章》「里法三百六十步」
「步法五尺」
南宋

(參考並整理自劉春迎〈從北宋東京外城的考古發現談北宋时期的營造尺〉1, 2

怎麼約才算是一起賞「中秋明月」呢?

從 Google 地圖得到的濟南市山東省政府經緯度為(36.668683, 117.2020305),超然台的經緯度則為(35.998284, 119.410762)。

兩地經度相差 2.390457 度,因經度相差 15 度大約相差一小時,所以我們可以推算出,蘇軾較蘇轍的時間大約早了 9 分 34 秒鐘(此處忽略現代時區的計算,以經度計算當地時間)。

如果要看到同一晚的「中秋節月亮」,相約的時候就不能不考慮到兩地的時差。

由於目前世界大部分的國家都使用西洋曆,西洋曆定義一天的開始從半夜算起,因此一天的組成為「一半夜晚+一個白天+半個夜晚」。

如果是猶太曆或伊斯蘭曆,則以日落為一天的開始,也就是「一個夜晚+一個白天」。在我們看來是農曆 8 月 15 日凌晨零點到六點見到的月亮,在猶太曆或伊斯蘭曆看來是屬於 8 月 14 日的唷!

圖二:中秋節賞月時段比較。(圖/作者繪製)

對於猶太曆或伊斯蘭曆而言,下午 6 點以後到農曆 16 日的清晨 6 點以前,才是真正的「中秋節月亮」。

當然,由於伊斯蘭文化或猶太文化並沒有中秋節,所以我們還是依照平常使用的西洋曆進行分析吧。

在西洋曆中,一天的開始是從半夜開始計算,因此中秋當晚的月亮,在農曆 8 月 15 日下午 6 點以後到凌晨 0 點以前

由此可知,如果蘇氏兩兄弟想要一起賞月,那麼蘇轍只能在中秋節當天晚上約 11 點 50 分 26 秒以前到戶外賞月,否則當蘇轍位置的時間超過凌晨 0 點後,蘇轍的中秋節就已經過完啦!兩人就無法一起看到中秋當晚的月亮。(如圖三所示)。

圖三:中秋節賞月時段(圖中,A 還在農曆 8 月 15 日,B 卻已經是農曆 8 月 16 日)。(圖/作者繪製)

算時間好麻煩啊!站在同一條經線不就好了?

如果兩人在同一經線上,就不需要注意時差的問題,僅需要在傍晚六點到半夜 12 點出外賞月即可。

但是,事情真的這麼簡單嗎?不!要考慮緯度!

因為地球自轉軸傾斜了大約 23.5 度,加上白道和黃道夾了大約 5 度 (5.145°),所以實際上在南北緯 71.5~90 度之間是有限制的。註1

月亮軌道週期為 27 天 7 小時 43.1 分,由於白道與黃道夾角為 5 度,所以月亮在天球赤道兩側月運行時間大約各半(如圖四所示)。

圖四:日、地、月相對位置以及白道與黃道間的關係

當月亮在天球赤道以南 18.5 度的位置時,北緯 71.5~90 度的區域在晚上無法見到月亮。

反過來說,當月亮在天球赤道以北 18.5 度的位置時,南緯 71.5~90 度以內也無法見到月亮。

如果在南北緯 66.5~71.5 度之間遇到永晝,就只能在太陽較微弱的時候見到月亮。註2

在北極點和南極點的位置上更加特別,有半個月可以見到月亮,半個月見不到月亮。只有當白道和黃道交叉的那一剎那(降交點和升交點),南北極的極點可以同時見到月亮註3

挑戰同時賞月的極限距離!

如果不考慮身處在以上這些區域,那麼到底兩人距離多遠可以在中秋共賞同一明月?以時間差來計算,經度相隔 90 度以內都可以一起賞月。

以緯度來說,最大可以相差 161.5 度還能見到同一明月。換算成距離,最長可以相距約 17977 公里可以見到同一明月。在赤道上,則大約可以相隔 10000 公里還能一起賞月。

下次和異地的好友相約中秋一起賞月時,可以注意朋友的位置和自己所在的位置,計算好時間,一起「千里共嬋娟」。

備註

  1. 由於白道與黃道的交點會隨著時間進動(其週期為 18.6 年),所以本文先以地球自轉軸和白道之間夾 71.5 度的情景考量(圖五)。

    圖五:黃道與白道交點的進動示意圖
  2. 如果像圖四一樣,月亮位於天球赤道以南,南極為永夜的時候,在南緯 71.5 度以內的區域可以「日不落」月亮。北極同理可證。
    南極和北極 2020 年 7 月的月相表:加拿大北極灣南極極點
  3. 北極觀察連續14天的月相變化:Phases of the moon during 14 days Above the Horizon- South Pole
  4. 月球軌道進動的動畫

幕後花絮

為什麼會誕生這篇文章呢?在中秋節那天,筆者與實驗室夥伴們開啟了一段有趣的對話:

中秋節時……

Z:「大家中秋節快樂!」

Z:「發現蘇軾還是很嚴謹的。千里共嬋娟沒問題,如果是萬里的話,那就一個白天一個晚上了……

我:「應該是說,如果要共看『同一天』的月亮,『萬里』就需要符合時間點。一萬公里大約是 4 分之 1 圈地球,所以滿月時,一個人是 0:00(頭頂),另一人在 18:00 的話,就能看到。不過,兩人在同一經線上,就沒有這個問題了吧?」

Z:「嗯你這更嚴謹……另外,同一經線看到的月球紋理角度也可能會旋轉。」

Z:「突然又想到張若虛的『人生代代無窮已,江月年年望相似』也很嚴謹,月亮正在遠離地球,而且黃白交角也在不斷進動,所以月亮只是相似,不是相同。而李白說『古人今人若流水,共看明月皆如此』就不嚴謹了。所以《春江花月夜》孤篇壓全唐是有道理的。」

我:「然後,李白去撈月……」

Z:「所以,沒文化害死人。」

隔年中秋節……

我:「我還記得Z去年問的千里共嬋娟的問題。如果再深入思考的話,會發現我當時的考慮,還是不嚴謹,比如:古今度量衡單位的區別?凌晨與半夜看到的月亮是否為同一天的月亮?月球白道與黃道夾 5 度是否考量?如果要好好深入考慮以上各點,那就要結合歷史、地理、天文等材料,才能解釋這個有趣的問題。」

Z:「這是個很好的故事呢!」

然後,這篇文章就誕生啦!

看完這篇文章的讀者們,也可以來腦力激盪一下!究竟Z的說法合不合理呢?

宋代的一萬里約等於現代 5760 公里,如果蘇軾指的是實際距離,則蘇軾與蘇轍在特定條件下,還是可以一起賞月。

如果當初蘇軾寫的是「萬里共嬋娟」,在詞牌格律上沒有問題(「水調歌頭」中,「千」的位置可仄可平),在科學上,除了並非實際指兩人相距的距離之外,蘇軾還是「很嚴謹的」。所以Z的說法不完全錯誤。

幕後花絮的補充說明

「人生代代無窮已,江月年年望相似」,為什麼是相似,而非「相同」呢?

地球和月球軌道並非恆定,對一位虛構的在質心上的觀測者而言,月球每天的平均角位移量是向東 13.176358°,軌道的指向在空間中會發生進動現象。

其中一種是拱點線的進動:橢圓形的月球軌道慢慢的反時針方向轉動,其週期為 8.850 年(3233 天)。

另一種運動是白道與黃道的交點對時間的進動,完整的環繞一圈是 18.6 年(6793 天)(見上方圖四),也因此月球週期可以用不同定義方式來說明(見下方表二)。

表二:月的長度比較

名稱天數定義
恆星月27.321661相對於遙遠的恆星(每年 13.369 個恆星月)
朔望月29.530589相對於太陽(月球的相位,每年 12.369 朔望月)
分至月27.321582相對於春分點(進動週期 26,000 儒略年)
近點月27.554550相對於近地點(進動週期 3232.6 天 = 8.8504 儒略年)
交點月27.212221相對於昇交點(進動週期 6793.5 天 = 18.5996 儒略年)

關於行星的歲差與軌道進動的現象可以參考以下影片:

  1. 月球軌道的進動
  2. 地球的軌道進動
  3. 地球的自轉軸進動(歲差)
  4. 太陽系軌道螺旋模型

參考資料

  1. 刘春迎,从北宋东京外城的考古发现谈北宋时期的营造尺[J],文物,2018 (02)
  2. 陳夢家,畝制與里制 [J],考古,1966 (01)
  3. Treloar, Norman. (2017). Deconstructing Global Temperature Anomalies: An Hypothesis. Climate. 5. 83. 10.3390/cli5040083.

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活躍星系核_96
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災難片成真!?小行星「貝努」行蹤飄忽,撞地球的機率有多大?

EASY天文地科小站_96
・2021/09/19 ・2765字 ・閱讀時間約 5 分鐘
  • 文/陳子翔(現就讀師大地球科學系, EASY 天文地科團隊創辦者)

知名物理學家史蒂芬.霍金(Stephen Hawking)認為,小行星撞擊是宇宙中高等智慧生命最大的威脅之一。而回首地球的過去,六千五百萬年前的白堊紀末期,造成恐龍消失的生物大滅絕,也肇因於一顆直徑約十公里的小行星撞擊。那麼,我們應該擔心小行星帶來如同災難片場景的巨大浩劫嗎,人類又能為這件事做什麼準備呢?

我們該擔心哪些小行星,小行星撞擊能被預測嗎?

太陽系中的小行星不可勝數,但並非所有小行星都對於地球有潛在的危害。那麼,哪些小行星是應該注意的呢?

我們可以簡單從兩個條件,篩選出對地球有潛在威脅的小行星:第一是小行星的軌道,第二則是小行星的大小。如果一個天體的運行軌道與地球的運行軌道沒有交會,那也就不需要擔心它會部會撞到地球了。而直徑越大的小行星,撞擊地球產生的災害就會越大,例如一顆直徑 10 公尺的小行星墜落能造成小範圍的建築物受損,而直徑 50 公尺的小行星撞擊,其威力則足以摧毀整座大型城市。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Chelyabinsk_meteor_event_consequences_in_Drama_Theatre.jpg/1024px-Chelyabinsk_meteor_event_consequences_in_Drama_Theatre.jpg
2013 年俄羅斯車里亞賓斯克小行星墜落事件,隕石在空中爆炸的震波震碎大片玻璃。圖/Nikita Plekhanov

過去天文學家透過遍布世界的天文台,不斷在夜空中尋找近地小天體,並持續監測它們的動向。而透過觀測資料推算其軌道,就可以算出這些危險的小鄰居未來與地球發生「車禍」的機率有多大,而這篇文章的主角「貝努」,就是一顆被認為有較大機會撞擊地球,因此被重點關注的對象。

貝努撞地球會是未來的災難嗎?

貝努在 1999 年被發現,是一顆直徑約 500 公尺的小行星,它以橢圓軌道繞行太陽,公轉週期大約 437 天。由於貝努的軌道與地球相當接近,它每隔幾年就會接近地球一次,而本世紀貝努最接近我們的時刻將會發生在西元 2060 年,不過別擔心,該年貝努與地球最接近時,距離預計也還有七十萬公里,大約是地球至月球距離的兩倍,撞擊風險微乎其微。

綠色為地球軌道,藍色為貝努軌道。圖/University of Arizona

然而天文學家真正關注,撞擊風險較大的接近事件則會發生在下一個世紀。根據目前的軌道計算,貝努在西元 2135 年和 2182 年的兩次接近,會有較大的撞擊風險。說到這裡可能許多讀者會覺得,既然我們都活不到那個時候,何必去操心那些根本遇不到的事情呢?

那麼,讓我們想像一個情境:

如果今天天文學家突然發現了一顆與貝努一樣大的小行星,並算出它將在一年後撞上地球,那身為這個星球上「最有智慧的物種」,我們能怎麼應對呢?

很遺憾的:我們很可能對於撞擊束手無策。當前人類並沒有任何成熟的技術,能夠在這麼短的時間內改變小行星的軌道。這時候人們可能就會希望前人早點望向星空,調查小行星,好讓人們能夠有多一百年的時間準備應對的方法了!

小行星軌道計算不就是簡單的牛頓力學,為什麼算不準?

那麼貝努在未來 100〜200 年到底會不會撞擊地球呢?其實天文學家也說不太準,只能給出大概的機率而已,而且時間越久,預測的不確定性就越大。

你也許會想,天體的運行軌道不就只是簡單的牛頓力學,三百年前的人就已經掌握得很好了,在電腦科技發達的現代怎們會算不準呢?確實,如果要算地球與火星在 100 年後的相對位置,那電腦還能輕鬆算出相當精確的答案,但如果是計算小行星 100 年後的位置,事情就變得棘手多了……

由於小行星的質量很小,就算是相對微小的引力干擾還是足以改變其運行方向,而混沌理論(Chaos theory)告訴我們,任何微小的初始條件差異,都能造成結果極大的不同。因此要對小行星軌道做長期預測,就不能只考慮太陽的引力,而是必須把行星等其他天體的引力也納入計算,才能獲得比較準確的結果。尤其是當這些小行星與地球擦肩而過時,即使只有幾百公尺的位置偏差,受到的引力也會有相當的不同,使得小行星的未來軌跡出現巨大的差異。

而更令天文學家們頭痛的是,有些問題甚至不是萬有引力能夠解決的,其中一個因子就是「亞爾科夫斯基效應」(Yarkovsky Effect)。這個效應是這樣的:當陽光照在自轉中的小行星上,陽光會加熱小行星的受光面,而被加熱的這一面轉向背光面時,釋放的熱能會像是小小的火箭引擎一樣推動小行星。這個作用的推力非常小,但長期下來還是足以對質量很小的天體造成軌跡變化,也讓軌道預測多了很大的不確定性。

亞爾科夫斯基效應的動畫。影片/NASA

OSIRIS-REx 任務揭露貝努的神秘面紗,也讓軌道推估更精確

為了更深入了解貝努,NASA 在 2016 年發射 OSIRIS-REx 探測器探查這顆小行星。OSIRIS-REx 主要的任務包括從貝努表面採取樣本並送回地球分析、對整顆小行星做完整的調查,以及評估各種影響貝努運行軌道的因子,改善貝努軌道的預測模型,評估將來的撞擊風險。

在軌道分析方面,OSIRIS-REx 一方面能在環繞貝努的過程中緊盯貝努的「一舉一動」,讓天文學家透過精確的觀測結果反推貝努的軌道特性。另一方面,要評估亞爾科夫斯基效應對小行星軌道的影響,也需要考量小行星的地形地貌、反照率等等因素,因此 OSIRIS-REx 的各項觀測資料,也有助於建立更精確的軌道預測模型。

OSIRIS-REx 探測器。圖/University of Arizona/NASA Goddard Space Flight Center

目前 OSIRIS-REx 的任務還沒有結束,但是在取得更準確的軌道預測模型與撞擊風險評估上,已經有了初步的成果。根據這次任務提供的觀測資料,天文學家將預測貝努未來軌道的時間極限,從原本的西元 2200 年延長至 2300 年。而西元2300年之前,貝努撞上地球的機率大約是 0.057% (1/1750),最危險的一次接近則會發生在西元 2182 年

「知己知彼,百戰不殆」。面對像貝努這樣的危險鄰居,唯有盡可能認識它的一切,才越能夠掌握其未來的動向,進而在將來思考要如何面對小行星的撞擊的風險。另外,目前 OSIRIS-REx 也正在返航地球的旅途上,期待 2023 年 OSIRIS-REx 能順利的帶著貝努的樣本回到地球,帶給我們更多有關小行星的重要資訊!

參考資料

EASY天文地科小站_96
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