數學好難，可以寫個程式叫電腦幫我算數學嗎？——《思維風暴》引言（下）

我們都知道無窮（infinity）是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時，一定會想知道一件事：

比無窮還大？有可能嗎？

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題，也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」，而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看，但我們或許應該先訂好遊戲規則，讓大家知道該怎麼思考。

具體說來，我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物？如果是有限的量，要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易，但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷，所以必須選擇簡單明瞭的規則，用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼，在一般、有限的狀況下，我們通常怎麼判定「較大」？我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思？

沒錯，用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人，這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念，我們該如何解釋右邊這堆較大？真的，試試看就知道。這個概念太基本了，其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時，數學中有個常用的技巧，就是提出完全相反的問題，看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同？

我們不能用「相等」這個詞，因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思，以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來，一個對一個。如果兩兩配對後正好用完，沒有剩餘，表示這兩堆東西大小相同。

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來，就能得到「較大」的定義。

現在問題已經定義清楚了，答案也隨之確定。那麼，世界上有什麼事物比無窮更大？答案是「是」還是「否」？世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘？現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大？

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子，裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體，袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大？好吧，如果是無窮加一呢？

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響，但我們用配對規則來確認看看。首先，我們可以把無窮袋中的物體排成一排，這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對，無窮加一看起來當然更大。

不過要小心！規則指出，兩個事物必須無法正好兩兩配對，才會有一者較大。（最好經常回頭看清楚規則！）還有一種配對方法確實可行，而且兩方都不會有剩餘：

如果你覺得這樣好像在騙人，請花點時間告訴自己，這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對，而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體，不會有物體配對不到，所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮！

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店！如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊，沿著走廊有一排房門，連綿不絕地延續下去，無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭，所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房，每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌，飯店裡每間房間都住滿了（對，這個世界裡有無限多個人）。如果沿走廊隨意走一段距離，選一扇門敲幾下，就會聽到：「有人！請勿打擾！」無限多間房間，裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說：「請問還有房間嗎？」我們不是第一天在無窮大飯店工作，當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說：「各位來賓，抱歉打擾一下，請各位來賓搬到下一間房間。沒錯，請收拾好行李，走出房門，朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作，祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後，就有房間給新住客了。

無限多間房間，無限多加一位住客，房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係，這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對，可以多裝進一位客人。無窮非常大，任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

數學家通常都想很多，這是我們的習性。我們會分析對稱或相等這類大家都知道的基本概念，試圖找出更深層的意義。

形狀就是一個例子。我們多少都知道形狀是什麼。我們看到一個物體時，很容易就看得出它是圓形、方形還是其他形狀。但數學家會問：形狀是什麼？構成形狀的要素是什麼？我們以形狀分辨物體時，會忽略它的大小、色彩、用途、年代、重量、誰把它拿來的，以及最後誰要負責歸位。我們沒有忽略的是什麼？當我們說某樣東西是圓形時，看到的是什麼呢？

形狀百百種，可以量化嗎？

當然，這些問題沒什麼意義。就實際用途而言，我們對形狀的直覺理解就已經夠了——生活中沒有什麼重大決定是需要仰賴我們對於「形狀」的確切定義。但如果你有空又願意花時間來想一想，形狀倒是個很有趣的主題。

假設我們現在要思考了，我們或許會問自己這個問題：

這個問題很簡單，但不容易回答。這個問題有個比較精確和有限的說法，稱為廣義龐卡赫猜想（generalized Poincaré conjecture，或譯龐加萊猜想）。這個猜想提出至今已經超過一百年，目前還沒有人解答出來。嘗試過的人相當多，有一位數學家解出這個問題的大部分，因此獲得了100萬美元獎金，但還有許多種形狀沒有找到，所以目前我們還不知道世界上一共有幾種形狀。

動手把形狀畫出來

我們來試著解答這個問題。世界上有幾種形狀？如果沒有更好的點子，有個不錯的方法是畫出一些形狀，看看會有什麼結果。

看來這個問題的答案取決於我們區分形狀的方式。大圓和小圓是相同的形狀嗎？波浪線（squiggle）應該全部算成一大類，還是應該依彎曲的方式細分？我們需要一種通用規則來解決這類爭議，才不用每次都需要停下來爭論。

從幾何學到拓樸學

可用於決定兩個形狀是否相同的規則相當多。如果是木匠或工程師，通常會希望規則既嚴謹又精確：必須長度、角度和曲線都完全相等，兩個形狀才算相同。這樣的規則屬於幾何學（geometry）這個數學領域。在這個領域裡，形狀嚴格又精確，經常做的事情是畫垂直線和計算面積等等。

但我們的要求比較寬鬆一點。我們想要找出所有可能的形狀，但沒時間慢慢區分幾千種不同的波浪線。我們想要的是在比較兩個形狀是否相同時比較寬鬆的規則，它能夠把所有的形狀分成若干類別，但類別的數量又不至於太多。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

• 作者／豪爾赫．陳、丹尼爾．懷森
• 譯者／徐士傑、葉尚倫

還有另一個你嗎？

如果世界上某個地方有另一個版本的你，會不會很奇怪？

你們兩個之間有很多共通點，喜歡吃的水果（香蕉）、不喜歡吃的水果（桃子）、擁有同樣的技能（製作香蕉冰沙）和相同的缺點（香蕉冰沙吃了停不下來）、同樣的記憶、幽默感以及個性。當你知道有其他版本的你存在時，你會覺得很怪異嗎？你會想與他們會面嗎？

想像一下更詭異的情況：有個人幾乎和你完全一模一樣，僅稍稍有些不同。如果這個人比你更好呢？也許他做的水果冰沙更加美味，或者生活的方式更有意義。或者，這個人比較沒有才華，但是比較卑鄙，就像是邪惡的分身呢？

這有可能嗎？

雖然讓人難以想像，但物理學家不能排除另一個你存在的可能性。事實上，物理學家不只認為另一個你是可能存在的，甚至認為另一個你存在的可能性更高。也就是說，就在此刻，當你讀到這篇文章時，可能有另一個你正在某個地方，穿著和你一樣的衣服，以相同的方式坐著，甚至讀著同樣的一本書（好吧，也許是稍微有趣的版本）。

要瞭解另一個你存在的意義及可能性，我們得先考慮你的存在有多麼獨特。

你存在的機率

乍看之下，世界上有另一個與你毫無二致的人，機率好像是微乎其微。畢竟，想像一下，為了讓宇宙創造你，有多少事情必須發生，而且要環環相扣，缺一不可。

超新星必須在氣體和塵埃雲附近爆炸，藉著震動造成引力崩坍，形成我們的太陽和太陽系。這些塵埃中的一小塊（不到萬分之一）必須聚集在一起形成行星，並與太陽保持合適的距離，這樣水就不會結冰或變成蒸汽。生命一定要開始，恐龍必須滅絕，人類不得不演化，羅馬帝國必須崩潰，而你的祖先必須逃過黑死病。然後，你的父母必須相遇並且喜歡上了彼此。你的母親務必在正確時間排卵。在與數十億顆精子的馬拉松游泳賽中，帶有你一半基因的精子必須衝刺獲勝。單單是讓你誕生，就需要這一連串事件。

想一想你在生活中做出的所有決定，使你成為今日的你。你有沒有吃很多香蕉。你有沒有遇到那個重要的朋友。你那時候決定待在家裡，否則會被水果推車碾過。不知何故你發現了這本關於宇宙的蠢書，並決定閱讀它。所有的一切，都從四十五億年前開始，導致了你此時此刻在這裡存在。

假如所有事情以完全相同方式再次發生，從而造就另一個你的機會有多大？這似乎不太可能，對吧？

也許不是喔！讓我們回溯所有導致你出現的隨機事件、決定和時刻，並試著計算機率是多少。

讓我們從今天開始算起：你醒來後做了多少決定呢？你可能決定怎樣起床，穿什麼衣服，吃什麼早餐。即使是看起來很小的決定，也可能改變你的人生歷程。例如，你選擇穿有香蕉圖案的襯衫或者是領帶，可能影響你未來的配偶有沒有注意到你。

讓我們假設，你每分鐘大約會做出一兩個可能改變人生的決定；這聽起來好像很有壓力，但如果你贊同量子物理學和混沌理論，數字應該會更高。假設每分鐘只有幾個決定，那麼你每天就要做出數千個重要決定，每年就高達約一百萬個。如果你超過二十歲，人生到目前為止，就已經做出超過兩千萬個決定，才會有今日的你。

接下來，假設你做的每個決定只有兩種可能，例如 A 或 B，或者香蕉和桃子。好啦，我知道通常要選擇的項目很多（譬如，早餐店的菜單選項多不勝數），但讓我們簡化問題。要計算那兩千萬次決定而成為你的可能性，你必須取 2 的兩千萬次方，即 2^20,000,000。

為什麼？因為每做一次決定就會讓可能的數目加倍。舉例來說，你必須選擇從哪邊（左邊或右邊）下床、早餐吃什麼水果（香蕉或桃子），以及上班搭什麼交通工具（火車或公車），總共就有 2×2×2（或 2³）種開啟一日行程的方式。你從左邊下床、吃香蕉並坐公車的機率是 2³ 分之一，或說 8 分之一。

因此，如果你在生活中做出兩千萬個 A 或 B 的決定，那就意味你的生活可能有 2^20,000,000 種不同的結果。這真是一個驚人的數字，是吧！但我們才剛開始暖身而已！

我們還必須考慮你的出生機率，包含你父母做決定的可能結果。如果將你父母的決定算進來，就必須再加上四千萬個決定（你父母各兩千萬個）。再加上你四個祖父母，還有八千萬個。曾祖父母呢？還有一億六千萬個。你瞭解了嗎？每回推一個世代，祖先數量就增加一倍，影響你出生的決定數量也跟著加倍。人類已經在地球上生活了至少三萬年，或許可換算為大約一千五百個世代。若將你所有祖先全部考慮進來，可能的數量會更龐大。

其實，真要計算起來實際情況更加複雜，如果回溯得夠遠，你會發現親戚之間盤根錯節的關係，同一個人可能在你的家譜中重複出現，除了引發令人尷尬的話題之外，也讓數學計算變得更加複雜。為簡單起見，我們假設你每代只受到兩個人的影響。這仍然有 1,500 代× 2 人× 2,000 萬個決定= 600 億個決定。及至目前為止，你發生的機率是 2^{60,000,000,000} 分之一。

只算到這裡就夠了嗎？讓我們考慮人類史前歷史並回溯到數十億年前最小微生物演化之時。在大約三十五億年前，地球上的生命開始孕育。如果你不得不製作年代如此久遠的家譜，就會發現祖先主要是微生物和簡單植物。他們大概無法做出有意識的決定，但仍會遭受到隨機事件影響，諸如風如何吹動，陽光是否照耀，天降甘霖與否等等。

假設你的微生物祖先每天至少受到一個隨機事件影響，每個隨機事件也有兩種可能結果（例如，一塊石頭是否砸落在你的微生物祖先身上）。這意味我們必須將另外一兆（1,000,000,000,000）個決定事件添加到我們的機率中。

現在，讓我們回到四十五億年前太陽系剛形成的時候，找到你的構成原子之前所在的恆星或行星，然後再一路回到一百四十億年前的大霹靂。讓我們做個超級的低估，假設在那些日子裡，每天都發生了一件可能影響你來到人世的重要大事。直到今日，大約有一千兆個關鍵事件，你存在的機率陡然劇降到約2^{1,000,000,000,000,000} 分之一。

——本文摘自《宇宙大哉問：20個困惑人類的問題與解答》，2022 年 8 月，天下文化，未經同意請勿轉載。