0

0
1

文字

分享

0
0
1

民調結果一致,該懷疑抑或是才可信?計算此一「抽樣分佈」發生的機率

林澤民_96
・2019/07/04 ・3098字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

民進黨初選民調,其五個執行單位的結果一致且相近,是否值得懷疑?

今年度民進黨黨內總統初選民調結果。(點圖放大)

關於這個問題,民進黨的官方答覆是:「此次總統初選民調方式,各執行單位的成功樣本高達 3200 份以上(95%信心水準下,抽樣誤差為正負1.7%),且為本黨民調中心抽樣提供給五家民調單位同時訪問,在相同的抽樣架構、相同的問卷題目、相同的訪問原則、相同的訪員訓練,相同的加權方式之下執行。有相近的民調結果才顯見此次總統初選民調的品質值得信賴,如果五家單位的民調結果差異過大,那才是值得擔憂的事。」

這個答覆令人滿意嗎?

民調得出接近的結果,究竟是否有「異常」?先從假設談起

同一個結果的解讀完全不同。圖/pixabay

五個單位關於蔡英文支持度的結果分別為:36.5721%、36.1190%、36.6532%、34.5323%、35.5072%,其平均數為 35.6768%。五單位的結果偏離平均數最大值為 1.1445%,這個值比 95% 信心水準下的抽樣誤差正負 1.7% 要小很多。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

按照民進黨的說法,似乎各單位民調結果越相近,民調的品質越值得信賴,真的是這樣嗎?五個單位的結果距離其平均數不超過 1.1445% 的機率是多少?如果這個機率甚小,難道我們不應該擔憂?

要探討這個問題,必須要做一些假設,以下的假設其實不盡成立,但本文的目的並不在於檢定這些假設的真假,而是在於利用統計學「抽樣分佈」(sampling distribution)的概念來看在「正常」狀態下,五個重複樣本結果相近的程度是否有「異常」的跡象。做這些假設只是為了要提供一個「正常狀態」的框架而已。

假設一:各民調單位的樣本是同一母體的的隨機樣本,其樣本數同為 N=3200。

這個假設除了樣本數外,會有很多爭議。

第一、所謂母體是指甚麼?全體合格選民?當然不是。

民進黨所從以抽樣的母體其實有兩個:市話號碼和手機號碼。這是兩個不一樣的母體,而且不論分別開來或合併起來,都不能反映全體合格選民。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

第二、各單位的樣本是市話加手機混合母體的隨機樣本嗎?當然不是。

根據民進黨的計算,市話被抽中的機率是 0.19%,手機被抽中的機率是 0.05%。既然市話跟手機被抽中的機率不一樣,各單位的混合樣本就不是混合母體的隨機樣本,更不是全體選民的隨機樣本。

如果民進黨能把市話樣本和手機樣本分別開來,則市話樣本可以說是市話母體的隨機樣本,手機樣本可以說是手機母體的隨機樣本。但因為民進黨只公布每單位市話和手機混合樣本的資料,這裡的假設只是純粹正常狀態的假設。

假設二:支持度的母體參數值(π)可以用各單位樣本支持度(P)的平均數來估計。

本來在同一母體重複抽取足夠多的隨機樣本時,樣本的平均支持度會是母體真正支持度的不偏估計。但如果這些重複樣本不是隨機樣本,則這個假設不必然成立。另外,五個重複樣本並不能算「足夠多」,所以這個假設也只是純粹假設。

假設三、各樣本對人口變數的加權對結果的影響可以忽略。

這個假設通常是可以接受的,但因為民進黨未公布未加權的結果,加權究竟影響有多大也無從得知。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

根據這些假設,得到此結果的機率是……?

根據假設一,應用中央極限定理(CLT)可以導出樣本支持度 P 的「抽樣分佈」是常態分佈:

P~N(π,π(1-π)/N)

其期望值π 是母體支持度,變異量是 π(1-π)/N。值得注意的是:變異量是 π(1-π) 的函數,因為 π 增加時 1-π 減少,π 減小時 1-π 增加,這個分佈的「胖」、「瘦」對 π 並不敏感。因為這樣,以下機率的計算與母體支持度大小的關係不大,關係較大的是五樣本支持度相近的程度。

我們先分析蔡英文支持度的相近程度,再用同樣的方法分析賴清德、韓國瑜、柯文哲的支持度。根據上面的假設,蔡英文母體支持度參數值估計為π=0.356768,由此求出的變異量是 0.0000717139,標準差是 0.008468。所以:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

P~N(0.356768,0.008468^2)

也就是平均數為 0.356768,標準差為 0.008468 的常態分佈。這個常態分佈就是上面所說的「正常狀態」,當足夠多的機構「在相同的抽樣架構、相同的問卷題目、相同的訪問原則、相同的訪員訓練,相同的加權方式之下執行」執行民調時,其所得到的樣本支持度理論上應該遵行這個常態分佈。我們要算五個單位結果那麼相近的機率必須要在這個常態分佈之下來算。

在這樣的常態分佈之下,每一樣本支持度距離 35.6768% 不超過 1.1445%,也就是落在 (34.5323%,36.8213%) 區間內的機率是 0.823463,這就是下圖曲線下藍色區域的面積。


如果要算五個民調的支持度同時落在此區間內,則其機率是 0.823463^5≈0.38

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

這個機率是大是小呢?

一般所說的「信心區間」可以有兩個意義。 以支持度比例來說,教科書所說的信心區間是指樣本比例加減由樣本比例算出來的抽樣誤差估計值所得到的區間。但如果我們知道母體比例,則也可以把母體比例加減由母體比例算出來的抽樣誤差來建構信心區間。

這裡因為假設二,我們可以從第二種意義來看待「95%信心區間」:樣本支持度落在以母體支持度為中心的這個區間的機率為 0.95。如果我們有五個重複樣本,則這五個樣本的支持度全部落在「95%信心區間」之內的機率是 0.95^5≈0.77。

上面算出的 0.38 是在正常狀態之下,五個重複樣本支持度距離母體支持度不超過 1.1445% 的機率。

如果有天你因為摸彩而中獎,想必不會覺得有啥好奇怪的。圖/immigrationhadley

現在民進黨五個執行單位得到的蔡英文支持度均在此區間之內,因此有 0.38 機率發生的事件發生了,這樣奇怪嗎?如果摸彩中獎的機率約 0.40,而你中獎了,你會覺得有人作弊讓你中獎嗎?我想多數人不會覺得這樣中獎有什麼好奇怪的。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

這機率可以看做是統計檢定的 p值,也就是數據與假設相諧的程度。0.38 比 0.77小,但它並未小到讓我們得出數據與假設不相諧的結論。

當然,就如統計檢定 p>0.05 並不代表虛無假設為真一樣,它也不足以讓我們做出假設一至三為真的結論。(請參考拙作〈看電影學統計:p值的陷阱〉)

究竟是差異大的民調能讓人放心,還是差異小的呢。圖/pexels

用同樣的方法分析各單位測得的賴清德、韓國瑜、柯文哲對比支持度,都可以得到類似的結果。五個重複樣本的支持度落在實際發生區間內的機率為:0.30(賴清德)、0.60(韓國瑜對比蔡柯)、0.58(韓國瑜對比賴柯)、0.49(柯文哲對比蔡韓)、0.40(柯文哲對比賴韓)。這些機率均未小到令人起疑的地步。

統計上,差異過大或差異過小都可能有問題

民進黨說「有相近的民調結果才顯見此次總統初選民調的品質值得信賴,如果五家單位的民調結果差異過大,那才是值得擔憂的事。」其實是不對的。差異過大固然值得擔憂,太過相近也是問題。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

比如我們把五單位的蔡英文支持度偏離其平均數的最大值減半至 0.5723%,則母體支持度加減 0.5723%的區間便縮小為下圖藍色區域。單一樣本的支持度落在此區間內的機率大約是 0.5,五個樣本支持度全部落在此區間內的機率只有 0.5^5≈0.03。這樣小的機率只能讓我們得到數據與假設不相諧的結論。


民進黨應該解釋的是五單位民調的結果並沒有相近到不可思議的地步,而不是說相異過大才值得擔憂。民調太相近或太相異都是品質可能有問題的跡象。

後記

本文完成後,看到ptt上有高手(raiderho)更早就用模擬的方法得到五單位民調相近程度並非小機率事件的結論。該文雖然用的是模擬的方法,卻能以對比民調中四個比例(蔡/賴、韓、柯、未表態)的聯合常態分佈為基礎來計算機率,可以補本文只用邊際分佈計算機率之不足。

請參考:

本文轉載自作者部落格,原文標題:民進黨初選民調的「抽樣分佈」

文章難易度
林澤民_96
37 篇文章 ・ 240 位粉絲
台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

0

4
2

文字

分享

0
4
2
看電影學統計:「多重宇宙」與統計學「隨機變異」的概念
林澤民_96
・2023/03/15 ・2854字 ・閱讀時間約 5 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

「多重宇宙」是我教統計時常用到的名詞,我用它來解釋隨機變異(stochastic variation)的概念:

例如民調抽得一個樣本,此樣本的受訪者固然是一群特定人士,但理論上我們可以抽出許多許多樣本,這些樣本之間雖然會有隨機變異,但樣本彼此的宏觀性質仍會相近。這些不同的隨機樣本,可以以「多重宇宙」一詞來形容。即使事實上只有一個樣本(一個宇宙),我們可以想像在多重宇宙的每個宇宙裡,都有一個微觀上隨機變異的樣本存在。

一個樣本(一個宇宙),在多重宇宙裡,每個宇宙都有一個微觀上隨機變異的樣本存在。 圖/IMDb

什麼是隨機樣本?

其實,數理統計學中「隨機樣本」(random sample)的概念指的是「一組獨立且同一分布的隨機變數」(a set of independently and identically distributed random variables)

在這個定義之下,樣本的每一個單位(資料點)都不是固定不變的數值,而是一個依循某機率分布的隨機變數。「隨機樣本」的要求是樣本所有的 N 個單位不但要互相獨立,而且要依循同一的機率分布。

我們可以想像我們平常所謂「一個樣本」的 N 個觀察值,每一個觀察值背後都有一個產生這個數值的隨機變數,也可以說所謂「一個樣本」其實只是這「一組獨立且同一分布的隨機變數」的一個「實現」(realization)。那麼,不同的樣本就是這「一組獨立且同一分布的隨機變數」的不同「實現」。這樣了解之下的不同樣本、不同「實現」,我喜歡把它們稱為「多重宇宙」。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

多重宇宙中的隨機變異,是我們在分析一個樣本的資料時必須作統計推論的原因。

比如我們分析本屆所有 113 位立委的議事行為,既然立委一共只有 113 人,我們分析的對象不就是立委的母體嗎?那是不是就不必做統計推論?

不是!原因是我們仍然可以想像有多重宇宙存在,每個宇宙都有 113 位立委,而同一位立委在不同的宇宙裡其議事行為會有隨機變異。正是因為這隨機變異的緣故,我們即使分析的是所謂「母體」,我們仍然要做統計推論。

圖/IMDb

「多重宇宙」的概念可以說就是「假如我們可以重來」的反事實思想實驗。被分析的單位不是在時間中重來一次,而是在多重宇宙的空間中展現「假如我們可以重來」的隨機變異的可能性。

名為 Monday 的這集 X 檔案電視劇中,主角的夢境不斷重複,每次夢境的結構大致類似,但細節卻有所不同,這正是「多重宇宙—隨機變異」概念的戲劇化。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

【媽的多重宇宙】(Everything Everywhere All at Once)也是。

「看,這是你的宇宙,一個漂浮在存在宇宙泡沫中的泡泡。周圍的每個氣泡都有細微的變化。但你離你的宇宙越遠,差異就越大。」——【媽的多重宇宙】對白

這是說:變異程度越小的是離你越近的宇宙,程度越大的是離你越遠的宇宙。這裡所謂變異的程度,在統計學裡可以用誤差機率分布的標準差來衡量。

什麼是隨機變異?

關於「隨機變異」這個概念,我最喜歡的例子是研究所入學申請的評審。

例如有 120 人申請入學,我詳細閱讀每人投遞的申請資料(包括性別、年齡等個人特質還有 SOP、大學成績單、GRE 分數、推薦信等),然後打一個 Y=0~100 的分數。全部評閱完畢,我便得到一份 N=120 的資料。這個資料包括了所有的申請者,那麼它是樣本呢?還是母體?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

如果我要分析我自己評分的決定因素,我會把分數 Y 回歸到性別、年齡等個人特質以及資料中可以量化的變數,例如大學成績平均分數(GPA)和 GRE 分數。跑這個迴歸時,需不需要做統計推論,看迴歸係數是不是有統計的顯著性?

我的看法是這份 N=120 的資料是樣本而不是母體,做迴歸分析當然要做統計推論。

那麼我資料的母體是什麼?

迴歸分析資料的母體其實是所謂「母體迴歸函數」(population regression function),也就是通常所說的「資料產生過程」(data generating process, DGP)。

這個 DGP 就是我在評閱每份資料時腦海中的思考機制,它考量了許多量化和質化的變數,賦予不同的權重,然後加總起來產生 Y。

分析資料的母體,也就是常說的「資料產生過程」。 圖/envato.elements

量化變數的權重就是母體迴歸函數的係數,質化變數則是母體迴歸函數的係數的誤差項。如果有很多質化變數攏總納入誤差項,我們通常可以根據中央極限定理,假設誤差項是呈現常態分布的隨機變數。這個誤差項就是「隨機變異」的來源。

評審入學申請,我通常只把所有資料評閱一次。這一次評審結果,會有幾家歡樂幾家愁,這便構成了一個「宇宙」。如果我第二天又把所有 120 份資料重新評分一遍,得到第二個樣本。因為我腦中的「資料產生過程」包括隨機變數,這個新樣本保證跟第一個樣本會有差異。用白話說:我的評分機制不精確,我自己甚至不知道我給每個量化變數多少權重,而且第二次評閱所用的權重也會跟第一次不盡相同,更不用說質化變數如何影響我的評分了。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

這第二個樣本,申請者的排比不會跟第一個樣本一樣,雖然也是幾家歡樂幾家愁,歡樂與愁悶的人也可能不一樣。這是第二個宇宙。依此類推,我們可以想像同樣的120位申請者,因為我「資料產生過程」的隨機變異,活在多重宇宙裡。

這些宇宙有的差異不大,根據【媽的多重宇宙】的說法,它們的泡泡互相之間的距離就較近,差異較大的宇宙,距離就較遠。如果申請者可以像電影所述那樣做宇宙跳躍,他們會看到自己在不同宇宙裡的命運。

我擔任德州大學政府系的研究部主任時,常耽心有申請者拿我們入學評審委員的評分資料去做迴歸分析。如果分析結果顯示種族、性別等變數有統計顯著性,說不定會被拿去控告我違反所謂「平權行動」(affirmative action)的相關法律。如果沒有顯著性,我就不耽心了。

多重宇宙之間會不會有「蝴蝶效應」?也就是宇宙跳躍時,隨機變異產生的微小差異,會不會造成新舊宇宙生命路徑的決然不同?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

在【媽的多重宇宙】中,伊芙琳只要當初做了一個不同的決定,以後的生命便可能跟現世(home universe)有很不一樣的命運。這在統計學也不是不可能。時間序列分析中,有些非線性模式只要初始值稍微改變,其後在時間中的路徑便會與原來的路徑發散開來。

你做時間序列分析時,會不會想想:時間序列資料究竟是樣本還是母體?如果你的研究興趣就只限於資料期間,那要不要做統計推論?當然要的,因為隨機變異的緣故。

如果你今年申請外國研究所不順利,也許在另一個宇宙裡,你不但獲名校錄取,得到鉅額獎學金,而且你的人生旅途將自此一路順遂,事業婚姻兩得意呢。

林澤民_96
37 篇文章 ・ 240 位粉絲
台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

0

7
1

文字

分享

0
7
1
想知道鯨魚健不健康?首先,你需要牠們的「鼻涕」!
Lea Tang
・2022/03/07 ・2203字 ・閱讀時間約 4 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

為了瞭解鯨豚的健康狀況,科學家們正試圖用更好的方法,來蒐集牠們的鼻涕。

來觀察鯨豚囉!

鯨豚的背鰭,是牠們最容易被人們觀察到的部位,類似於人類的指紋,背鰭是鯨豚的辨識區,可以作為研究人員個體種類辨識上的依據【註1】。然而,若想進一步了解鯨豚的演化史,就不得不仰賴含有 DNA 的活體組織。

不同種類的鯨豚,背鰭都不同。圖/成功海洋環境教室 X ㄈㄈ尺

早期,科學家採集鯨豚活體組織的方式稱作「活體組織切片飛鏢」。如同字面上的意思,他們會向動物投擲飛鏢,獲得牠們的小部分組織作為樣本。但是,這種光用聽的就很痛的方式,不僅會讓鯨豚對研究船隻感到畏懼,更會使得牠們在水中生活時,成為傷口感染的高風險群。

值得高興的是,隨著科技進步,現在科學家已有了新的採集方式。這回,他們自製非侵入性的工具,而且決定改成採集「鼻涕」。

此鼻涕非彼鼻涕

說到鼻涕,我們容易聯想到感冒生病時,從鼻孔裡流出來的東西,不過這裡所提到的「鼻涕」,和那個可不一樣。鯨魚呼氣時所吐出的黏液並非來自呼吸孔,而是來自肺部【註2】。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
當鯨豚換氣時,會以相當大的力道呼氣,進而向空中發射鼻涕。有趣的是,不同種類的鯨魚也有不同的吐氣型態。圖/north-atlantic-society.com

藉由蒐集鯨豚呼吸孔吐出的氣,可以得到許多關於牠們的資訊——包含肺表面活性物質(一種蛋白質和脂質的混和物)、呼吸液與肺細胞。同時,這些樣本也可以用來檢測疾病以及皮質醇【註3】、孕酮【註4】等荷爾蒙,幫助研究者知道一頭鯨魚是否染病,甚至可以知道雌鯨是否有孕。

不過,鯨豚的鼻涕藥怎麼蒐集呢?接下來讓我們一起來看看方法。

鼻涕機器人登場

隨著 DNA 提取技術的進步,研究員們從 2010 年起便開始使用新的工具採集。一但在海面上觀察到鯨魚蹤跡,他們便驅船前往,伸出長長的的竿子,利用末端的培養皿來收集鼻涕。

最初,蒐集樣本的工具是一種培養皿與竿子的組合。圖/bbc.com

另一種進階版的工具稱作「鼻涕機器人」(The Parley Snotbot),由無人機和培養皿所組成。鯨魚換氣時,機器人會從後方靠近鯨身,讓鯨魚的鼻涕因慣性往後落在無人機上的培養皿中。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

不過以上兩種方法通常用來蒐集座頭鯨等大型鯨魚的 DNA,對於體積、肺部容積較小的海豚則不易達成【註5】。

鯨魚躍升時,鼻涕機器人會迅速在牠後上方 standby,在不驚擾與傷害對方的狀況下蒐集鼻涕。圖/howstuffworks.com

鯨魚鼻涕在遺傳學上的貢獻

至於我們能不能利用鼻涕檢體來進行遺傳學相關的研究呢?答案是可行的。儘管小型鯨豚的鼻涕提取比預期中困難,科學家仍然能從樣本中回收一些粒線體 DNA。

正在分析的鼻涕樣本。圖/bbc.com

他們嘗試以聚丙烯製成的管子倒置在水族館豢養的海豚氣孔上,以得到每隻海豚體內的粒腺體 DNA 和微衛星 DNA ,收集到比野外樣本更加豐富的數據。此外,科學家也發現,從海豚鼻涕中獲得的 DNA 圖譜與從血液中取得的 DNA 圖譜相符,證明了在研究海豚遺傳學上,使用鼻涕的結果可能和抽血一樣好。

現在,科學家們要克服野外採集樣本量不足的挑戰,以期在未來能結合傳統的照片識別,建立有關海豚種群的遺傳學目錄

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

【註】

  1. 不同種類的鯨豚會有不同形狀的背鰭。就算是同種,不同個體背鰭上的花紋也都不一樣。
  2. 由於鯨豚僅靠呼吸孔呼吸,呼吸孔的堵塞會使牠們窒息死亡。2016 年,研究員曾發現一條呼吸孔先天畸形的海豚在換氣時用嘴呼吸,但這是目前所知的唯一例外。
  3. 腎上腺皮質激素中的糖皮質激素,可以提高血壓、血糖水平和產生免疫抑制作用,有助身體調節壓力事件。
  4. 屬於孕激素荷爾蒙的一種,與懷孕、胚胎與月經週期有關。
  5. 座頭鯨的體型大,吐息也大,容易被船上的研究員發現。海豚因為個體嬌小,肺部僅有約兩個橄欖球大,因此採樣相對困難:牠們呼出的液氣混和物距離海表過近,常在竿子到達前就被海浪打散。另外,面對來勢洶洶的龐大漁船,牠們往往跑得飛快、「走敢若飛」(tsáu kánn-ná pue),不利採樣進行。

資料來源:

  1. 【鯨豚大小事】鯨豚背鰭說
  2. whales-do-not-catch-colds-but-they-do-get-snotty-blowholes
  3. ‘Dolphin snot’ used to look at health of pod off Gower
  4. Those snot-collecting drones are back, and this time they’re seeking dolphins
  5. The Usefulness of Dolphin Snot
  6. The ‘SnotBot’ Drone Is Making Scientific Research Easier on Whales

討論功能關閉中。

2

8
1

文字

分享

2
8
1
「擁抱變化」,是美國同婚倡議成功的關鍵——《造局者:思考框架的威力》
天下文化_96
・2021/10/03 ・1700字 ・閱讀時間約 3 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

  • 作者/庫基耶(Kenneth Cukier)、麥爾荀伯格(Viktor Mayer-Schönberger)、德菲爾利科德(Francis de Véricourt)
  • 譯者/林俊宏

2015 年 6 月,被稱為「文化大熔爐」的美國,宣布同性婚姻合法化。然而,這一路走來充滿顛簸,因為每個人對於婚姻都有獨特的見解,當想法與他人發生摩擦時,也未必能夠尊重、擁抱不同的價值觀。現在,就讓我們來讀讀《造局者》,以美國同婚合法化為例,瞭解為何多元化的思考框架是文明進步的象徵吧!

多元化策略之一:擁抱變化

社會如果能培養出思考框架多元性,就能讓各式各樣的觀點都繁榮興盛。可行的策略有四種,前兩種在個人層面,分別是:擁抱變化、運用教育;後兩種在社會層面,分別是:鼓勵遷徙、容許摩擦。讓我們逐一討論這四種策略。

首先是擁抱變化。這指的是要主動追求不同觀點,而不只是被動希望它們自己出現。同時,也要把「觀點眾多」看成是值得高興的事,而不是生活中應該避免的狀態。簡單的一句「對這件事,我有另一個角度的看法」,一方面能點出雙方的差異,另一方面,也是尊重彼此的觀點。這也就能證實,即使有不同的思考框架,仍然能享受互動帶來的豐富成果。這也代表著接受每個人的認知並非同質,而且社會上能有各式各樣的心智模型,正是文明進步的象徵。

在美國,同性婚姻的推動者,就用巧妙且細膩的方式做到了這一點。在 1995 年,支持同婚的美國人只有四分之一,但在 2020 年,數字已經來到將近 70%。究竟發生了什麼事?一部分原因在於社會人口統計上的變化:夫妻生的小孩比以前少,於是讓婚姻的重點,逐漸從生育下一代,轉向穩定兩人之間的關係。除此之外,還有一些更深層的原因。

從 1980 年代起,同志權利運動一直把婚姻當成核心議題,也一直把爭取這種法律權利作為重點。然而,同志權利運動就是沒有獲得顯著的進展。保守人士高聲怒喊:「上帝是創造亞當與夏娃,不是亞當和史蒂夫!」尼克斯(Kevin Nix)是「婚姻自由」(Freedom to Marry)這個組織的溝通策略主任,他解釋道:「當時那種法律思考框架,講的是權利,但就是沒有效。那種框架缺乏想像、太唯物、沒有說服力。」

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
社會上能有各式各樣的心智模型,正是文明進步的象徵。美國的同婚推動者,做到了這一點。圖 /Pixabay

成功翻轉民意的關鍵:調整「愛與承諾」的框架

到了 2000 年代初期,尼克斯等人仔細研讀各種輿論數據、民意調查與焦點團體的意見,想弄清楚大眾為何還有疑慮。尼克斯說:「對於那些民眾、還有從前的反對者,我們得瞭解怎樣用他們的思考模式來談,設法讓他們成為我們的一份子。我們最後選定了一個價值觀的框架,鎖定大部分人結婚的原因:愛、奉獻、家庭。」

換言之,「婚姻自由」組織改變了他們對同性婚姻所強調的特性,不是視為一種自由或權利,而是對愛的表達與承諾。這是一項決定性的轉變。他們請來各行各業的同志證明這一點。他們也請了第三方來「認可」,像是請異性戀父母捍衛他們孩子的結婚權,或是投放廣告、將論述放進政治媒體、名人新聞,甚至插進電視新聞的字幕跑馬燈。

他們並不是要推翻或破壞他人對世界的觀點,證明只有自己的框架才「正確」;他們只是要讓大家知道,世界上有許許多多不同的框架,而且都同樣正當。於是,他們把同性婚姻放進許多異性婚姻同樣使用的「愛與承諾」的框架。

後來,他們成功了。2011 年,出現了黃金交叉,美國支持同婚的人數,正式超過反對的人數。講到同婚,只有 14% 的人會說到這是一種自由,而竟然已有 32% 的人會說這是一種愛、一種人類的情感。2015 年 6 月26 日,聯邦最高法院裁定憲法保障同性伴侶結婚的權利。這是一項重大的社會勝利,而且並不是靠著強迫民眾接受某種特定的思考框架,而是在於一項見解:一個多元社會的重要基礎,就是讓各種心智模型能夠共存。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

——本文摘自《造局者:思考框架的威力》,2021 年 7 月,天下文化

所有討論 2
天下文化_96
132 篇文章 ・ 618 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

0

0
1

文字

分享

0
0
1
民調結果一致,該懷疑抑或是才可信?計算此一「抽樣分佈」發生的機率
林澤民_96
・2019/07/04 ・3098字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

民進黨初選民調,其五個執行單位的結果一致且相近,是否值得懷疑?

今年度民進黨黨內總統初選民調結果。(點圖放大)

關於這個問題,民進黨的官方答覆是:「此次總統初選民調方式,各執行單位的成功樣本高達 3200 份以上(95%信心水準下,抽樣誤差為正負1.7%),且為本黨民調中心抽樣提供給五家民調單位同時訪問,在相同的抽樣架構、相同的問卷題目、相同的訪問原則、相同的訪員訓練,相同的加權方式之下執行。有相近的民調結果才顯見此次總統初選民調的品質值得信賴,如果五家單位的民調結果差異過大,那才是值得擔憂的事。」

這個答覆令人滿意嗎?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

民調得出接近的結果,究竟是否有「異常」?先從假設談起

同一個結果的解讀完全不同。圖/pixabay

五個單位關於蔡英文支持度的結果分別為:36.5721%、36.1190%、36.6532%、34.5323%、35.5072%,其平均數為 35.6768%。五單位的結果偏離平均數最大值為 1.1445%,這個值比 95% 信心水準下的抽樣誤差正負 1.7% 要小很多。

按照民進黨的說法,似乎各單位民調結果越相近,民調的品質越值得信賴,真的是這樣嗎?五個單位的結果距離其平均數不超過 1.1445% 的機率是多少?如果這個機率甚小,難道我們不應該擔憂?

要探討這個問題,必須要做一些假設,以下的假設其實不盡成立,但本文的目的並不在於檢定這些假設的真假,而是在於利用統計學「抽樣分佈」(sampling distribution)的概念來看在「正常」狀態下,五個重複樣本結果相近的程度是否有「異常」的跡象。做這些假設只是為了要提供一個「正常狀態」的框架而已。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

假設一:各民調單位的樣本是同一母體的的隨機樣本,其樣本數同為 N=3200。

這個假設除了樣本數外,會有很多爭議。

第一、所謂母體是指甚麼?全體合格選民?當然不是。

民進黨所從以抽樣的母體其實有兩個:市話號碼和手機號碼。這是兩個不一樣的母體,而且不論分別開來或合併起來,都不能反映全體合格選民。

第二、各單位的樣本是市話加手機混合母體的隨機樣本嗎?當然不是。

根據民進黨的計算,市話被抽中的機率是 0.19%,手機被抽中的機率是 0.05%。既然市話跟手機被抽中的機率不一樣,各單位的混合樣本就不是混合母體的隨機樣本,更不是全體選民的隨機樣本。

如果民進黨能把市話樣本和手機樣本分別開來,則市話樣本可以說是市話母體的隨機樣本,手機樣本可以說是手機母體的隨機樣本。但因為民進黨只公布每單位市話和手機混合樣本的資料,這裡的假設只是純粹正常狀態的假設。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

假設二:支持度的母體參數值(π)可以用各單位樣本支持度(P)的平均數來估計。

本來在同一母體重複抽取足夠多的隨機樣本時,樣本的平均支持度會是母體真正支持度的不偏估計。但如果這些重複樣本不是隨機樣本,則這個假設不必然成立。另外,五個重複樣本並不能算「足夠多」,所以這個假設也只是純粹假設。

假設三、各樣本對人口變數的加權對結果的影響可以忽略。

這個假設通常是可以接受的,但因為民進黨未公布未加權的結果,加權究竟影響有多大也無從得知。

根據這些假設,得到此結果的機率是……?

根據假設一,應用中央極限定理(CLT)可以導出樣本支持度 P 的「抽樣分佈」是常態分佈:

P~N(π,π(1-π)/N)

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

其期望值π 是母體支持度,變異量是 π(1-π)/N。值得注意的是:變異量是 π(1-π) 的函數,因為 π 增加時 1-π 減少,π 減小時 1-π 增加,這個分佈的「胖」、「瘦」對 π 並不敏感。因為這樣,以下機率的計算與母體支持度大小的關係不大,關係較大的是五樣本支持度相近的程度。

我們先分析蔡英文支持度的相近程度,再用同樣的方法分析賴清德、韓國瑜、柯文哲的支持度。根據上面的假設,蔡英文母體支持度參數值估計為π=0.356768,由此求出的變異量是 0.0000717139,標準差是 0.008468。所以:

P~N(0.356768,0.008468^2)

也就是平均數為 0.356768,標準差為 0.008468 的常態分佈。這個常態分佈就是上面所說的「正常狀態」,當足夠多的機構「在相同的抽樣架構、相同的問卷題目、相同的訪問原則、相同的訪員訓練,相同的加權方式之下執行」執行民調時,其所得到的樣本支持度理論上應該遵行這個常態分佈。我們要算五個單位結果那麼相近的機率必須要在這個常態分佈之下來算。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

在這樣的常態分佈之下,每一樣本支持度距離 35.6768% 不超過 1.1445%,也就是落在 (34.5323%,36.8213%) 區間內的機率是 0.823463,這就是下圖曲線下藍色區域的面積。


如果要算五個民調的支持度同時落在此區間內,則其機率是 0.823463^5≈0.38

這個機率是大是小呢?

一般所說的「信心區間」可以有兩個意義。 以支持度比例來說,教科書所說的信心區間是指樣本比例加減由樣本比例算出來的抽樣誤差估計值所得到的區間。但如果我們知道母體比例,則也可以把母體比例加減由母體比例算出來的抽樣誤差來建構信心區間。

這裡因為假設二,我們可以從第二種意義來看待「95%信心區間」:樣本支持度落在以母體支持度為中心的這個區間的機率為 0.95。如果我們有五個重複樣本,則這五個樣本的支持度全部落在「95%信心區間」之內的機率是 0.95^5≈0.77。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

上面算出的 0.38 是在正常狀態之下,五個重複樣本支持度距離母體支持度不超過 1.1445% 的機率。

如果有天你因為摸彩而中獎,想必不會覺得有啥好奇怪的。圖/immigrationhadley

現在民進黨五個執行單位得到的蔡英文支持度均在此區間之內,因此有 0.38 機率發生的事件發生了,這樣奇怪嗎?如果摸彩中獎的機率約 0.40,而你中獎了,你會覺得有人作弊讓你中獎嗎?我想多數人不會覺得這樣中獎有什麼好奇怪的。

這機率可以看做是統計檢定的 p值,也就是數據與假設相諧的程度。0.38 比 0.77小,但它並未小到讓我們得出數據與假設不相諧的結論。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

當然,就如統計檢定 p>0.05 並不代表虛無假設為真一樣,它也不足以讓我們做出假設一至三為真的結論。(請參考拙作〈看電影學統計:p值的陷阱〉)

究竟是差異大的民調能讓人放心,還是差異小的呢。圖/pexels

用同樣的方法分析各單位測得的賴清德、韓國瑜、柯文哲對比支持度,都可以得到類似的結果。五個重複樣本的支持度落在實際發生區間內的機率為:0.30(賴清德)、0.60(韓國瑜對比蔡柯)、0.58(韓國瑜對比賴柯)、0.49(柯文哲對比蔡韓)、0.40(柯文哲對比賴韓)。這些機率均未小到令人起疑的地步。

統計上,差異過大或差異過小都可能有問題

民進黨說「有相近的民調結果才顯見此次總統初選民調的品質值得信賴,如果五家單位的民調結果差異過大,那才是值得擔憂的事。」其實是不對的。差異過大固然值得擔憂,太過相近也是問題。

比如我們把五單位的蔡英文支持度偏離其平均數的最大值減半至 0.5723%,則母體支持度加減 0.5723%的區間便縮小為下圖藍色區域。單一樣本的支持度落在此區間內的機率大約是 0.5,五個樣本支持度全部落在此區間內的機率只有 0.5^5≈0.03。這樣小的機率只能讓我們得到數據與假設不相諧的結論。


民進黨應該解釋的是五單位民調的結果並沒有相近到不可思議的地步,而不是說相異過大才值得擔憂。民調太相近或太相異都是品質可能有問題的跡象。

後記

本文完成後,看到ptt上有高手(raiderho)更早就用模擬的方法得到五單位民調相近程度並非小機率事件的結論。該文雖然用的是模擬的方法,卻能以對比民調中四個比例(蔡/賴、韓、柯、未表態)的聯合常態分佈為基礎來計算機率,可以補本文只用邊際分佈計算機率之不足。

請參考:

本文轉載自作者部落格,原文標題:民進黨初選民調的「抽樣分佈」

文章難易度
林澤民_96
37 篇文章 ・ 240 位粉絲
台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。