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《這不科學!——魔戒中的數學思辯》——2019數感盃 高中職組專題報導類佳作

數感實驗室_96
・2019/05/24 ・3159字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 588 ・九年級

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中組專題報導類第三名之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:王治鈞、呂建霆、洪林竹/國立科學工業區實驗高級中學。
圖/IMDb

序章

在世界級奇幻名著《魔戒》改編的電影《魔戒首部曲:魔戒現身》之中,反派角色「炎魔」和全書靈魂角色「甘道夫 」在摩瑞亞礦山中的武打場面非常精彩,並因此常常為魔戒粉絲們津津樂道。

讓我們先把目光放回中土大陸的摩瑞亞礦山。在一場驚心動魄的激戰之中,住在礦山中的怪獸——炎魔因腳下的橋樑突然崩落而墜入底下的深淵。就在甘道夫鬆了一口氣的時候,陰魂不散的炎魔在墜落過程中甩出火鞭纏繞住甘道夫的膝蓋,使得甘道夫跌了一跤,並跟炎魔一樣摔了下去。

在電影中,從炎魔開始墜落的那一刻起到甘道夫墜落,整個過程共約 32 秒。但是,最後甘道夫和炎魔卻「同時」墜入一個地底湖中,並且繼續激戰。

相信不少人在看到這一幕的時候都會被電影逼真的特效和磅礡的畫面所震懾,我們也不例外。而在此同時,我們更聯想到一個問題:……是不是有哪裡怪怪的?

讓我們先再次整理條件:

  1. 伽利略告訴我們,在同個高度下,不同物體掉到地上的時間皆應相同
  2. 炎魔比甘道夫更早開始下墜
  3. 更精確地說,炎魔早了32秒

從上述條件我們似乎可以得到一個結論——炎魔應該要比甘道夫早 32 秒掉到地底湖中才對。電影情節終究只是虛構,是不可能發生的。

但是,這真的完全不可能嗎?
難道《魔戒》不是真的?
難道約翰·托爾金(《魔戒》原著作者)騙了我?
難道我這輩子最愛的小說其實盡是謊話連篇的荒唐之論?

先暫且不論「《魔戒》本來就是歸類在『奇幻作品』中,所以一切皆有可能」,在數理上,電影中的情節究竟有沒有可能呢?

剛才的推導是建立在十分簡單的假設上,所以結果可能和真實的情況不太一樣。接下來,我們將利用一些詳細的資訊分析當他們墜落深淵時到底會發生什麼事,更定量地討論「同時到達底部」這個結果的合理性。

加入「空氣阻力」的條件

在這個段落裡面,我們將會逐一進行下列步驟:

  1. 寫出甘道夫和炎魔墜落時所必須遵守的運動方程式
  2. 根據電影本身和其他資料估計一些參數(像是質量、空氣密度等)
  3. 解微分方程
  4. 把之前估計的參數代回式子中解完方程
  5. 回答我們提出來的問題——甘道夫和炎魔到底會不會同時墜地?

首先,翻閱課本便可以知道空氣阻力的公式和運動方程式是

$$ F = \frac{1}{2}ρC_DAv^2 $$

\( ma\)\(=m\frac{dv}{dt}\)\(=F-mg \)\(=\frac{1}{2}ρC_DAv^2-mg \)

其中m是質量、ρ空氣密度、CD阻力係數、A截面積、v速度。空氣密度大約是 1.29kg/m3,其他的參數我們必須根據電影和其他網路上的資料來估計。

下面這個表格分別列出甘道夫和炎魔的參數:

讓我們解釋一下這些估計是怎麼來的。

首先,根據Tolkien Gateway (類似魔戒專屬的維基百科)的資料,甘道夫的身高約 1.67 公尺,體重則並未提及。如果甘道夫是一個健康的巫師,我們可以預期他的 BMI 是 21,並進一步推得體重大約是 60 kg。

炎魔的話比較麻煩些,維基百科上寫炎魔站起來約人類的 3 倍高。假設炎魔的肌肉能承受的壓力和人類的一樣強,那麼肌肉截面積可估計為32=9倍,能承受的重量也是人類平均重量的32=9倍。不過我們可以合理地推測炎魔應該比人類強壯一些,所以實際上的重量應該大於60×9=540(kg),在這邊估計800kg。

至於阻力係數,則是和身體的形狀有關。根據這篇論文,人的阻力係數大約是1.2,因為炎魔大致上也是人形,在這邊就假設阻力係數一樣。另外,根據這篇皇家氣象學會的論文,人體的截面積約0.68m2,而從電影畫面估計,炎魔的截面積大約是6m2

現在回到方程式的部分, 為了讓方程式好看一點,我們可以定義

$$ γ\equiv \frac{1}{2m}ρC_DA $$

,所以對於甘道夫和炎魔來說,他們的 γ 分別是 0.0088 和 0.0058。

\(\frac{dv}{dt}\)\(=γv^2-g, \int \frac{dv}{γv^2-g}\)\(=\int dt\)

\(\frac{1}{2\sqrt{γg}}(ln(\sqrt{\frac{g}{γ}}-v)-ln(v+\sqrt{\frac{g}{γ}}))\)\(=t+t_0\)

\(v=-\sqrt{\frac{g}{γ}} \tan{h}\tan{h}[\sqrt{gγ}(t+t_0)]\)

\(y=\int_{0}^{t}vd{t}’\)\(=-γ^{-1}\ln \ln\cos{h}\cos{h}\sqrt{gγt}\)

t0是積分常數,如果把t=0設定成開始墜落的時間,那麼 t應該是0,這樣一開始的速率才會是0 (因為 tanh0=0)。底下兩個式子中的第一個告訴我們當一個法師(或是某種遠古怪獸)墜入深淵時,速度和時間的關係;而第二個則是掉落距離和時間的關係。我們需要知道的只有 γ,而這和掉落物本身的性質有關。

我們可以發現當時間 t 越來越大的時候,tanh 後面的參數也會越來越大,這會讓 tanh 的值接近1,這時候速率接近\(\sqrt{\frac{g}{γ}}\),就是終端速率。而 y 則是墜落深度和時間的關係。

炎魔比甘道夫早32秒出發,這代表牠在這32秒內已經先掉落了\( 0.0058^{-1}\ln\ln\cos{h}\cos{h}(\sqrt{9.8\cdot 0.0058\cdot 32})\)\(\approx 1200(m)\)

,甘道夫才開始往下掉。

由於tanh x 在 x 比 2 大的時候會十分接近 1。如果要讓√gγt 等於 2,對於甘道夫和炎魔來說,都需要經過約 7 到 8 秒。經過 32 秒後,炎魔的速率已經幾乎等於終端速率了,也就是\(\sqrt{\frac{g}{γ_B}}\approx 41(m/s)\);而這時候甘道夫才剛墜落,不過無論如何,他最多也只能和終端速率\(\sqrt{\frac{g}{γ_G}}\approx 33(m/s)\) 一樣快,在這樣的情況下,甘道夫是永遠沒辦法追上炎魔的。(上面的 \(γ_B\)  和 \(γ_G\) 分別代表炎魔和甘道夫的 \(γ\),如前所述,它們分別是 0.0058 和0.0088。)

因此,在將空氣阻力納入考量的情況下,我們發現甘道夫還是沒辦法在掉落過程中趕上炎魔。

關於炎魔的鞭子

經過上述探討,我們還可以算算看炎魔的鞭子大約有多長。電影中炎魔的鞭子在牠墜落大約14秒後從深淵伸上來打到甘道夫。我們可以利用之前推導過的深度和墜落時間的關係:

\(y=\int_{0}^{t}vd{t}’=-γ^{-1}\ln \ln\cos{h}\cos{h}\sqrt{gγt}\)

來計算。

將t=14和γ=0.0058代入算式,我們可以算出來這時候炎魔已經掉落了約 460 公尺,也就是說,炎魔的鞭子至少要

\( 0.0058^{-1}\ln\ln\cos{h}\cos{h}(\sqrt{g\cdot 0.0058\cdot 14})\)\(\approx 460(m)\)

,才有機會在墜落後 14 秒將鞭子伸上來勾住甘道夫。

結論

在上面的文章中,我們用數學與理性的角度分析了電影《魔戒》中經典的一幕——甘道夫大戰炎魔之後,兩者雙雙墜入深淵。

首先,我們對電影中的情況進行辨析,並發現甘道夫與炎魔同時到達底部似乎不符合科學。接著我們將空氣阻力納入考量並進行運算,但是仍得到相同的結果。換而言之,比較早掉下去的炎魔必定會比甘道夫更早掉到底部。而這結論和電影的畫面並不相符。

但是,這就代表電影都在亂演一通?其實倒也未必。或許是因為我們納入考量的條件不足,抑或是因為參數假設有誤,導致我們的推理出了差錯。

不過這些並不是大問題,因為透過上面這些分析,相信各位看官已經和我們一起體會到了數學的美妙和實用。它不只是一門死板的學科,更是可以應用在生活中、實際地解決問題的有力工具;透過將問題轉化成數學,再把數學答案轉化回問題的解答,很多令人摸不著頭腦的問題都能迎刃而解。

最後,《魔戒》本來就屬於奇幻小說,在看完我們的分析之後,千萬別因為糾結於內容合理性而失去了閱讀這部史詩級巨作的趣味呀!

參考資料

  1. Tolkien Gateway
  2. Koo, M. H., & Al-Obaidi, A. S. M. (2013). Calculation of aerodynamic drag of human being in various positions. Department of Mechanical Engineering, Taylor’s University, Malaysia.
  3. McIlveen, J. F. R. (2002). The everyday effects of wind drag on people. Weather57(11), 410-413.

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容,歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網粉絲頁喔。

文章難易度
數感實驗室_96
60 篇文章 ・ 35 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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用這劑補好新冠預防保護力!免疫功能低下病患防疫新解方—長效型單株抗體適用於「免疫低下族群預防」及「高風險族群輕症治療」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/01/19 ・2882字 ・閱讀時間約 6 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

本文由 台灣感染症醫學會 合作,泛科學企劃執行。

  • 審稿醫生/ 台灣感染症醫學會理事長 王復德

「好想飛出國~」這句話在長達近 3 年的「鎖國」後終於實現,然而隨著各國陸續解封、確診消息頻傳,讓民眾再度興起可能染疫的恐慌,特別是一群本身自體免疫力就比正常人差的病友。

全球約有 2% 的免疫功能低下病友,包括血癌、接受化放療、器官移植、接受免疫抑制劑治療、HIV 及先天性免疫不全的患者…等,由於自身免疫問題,即便施打新冠疫苗,所產生的抗體和保護力仍比一般人低。即使施打疫苗,這群病人一旦確診,因免疫力低難清除病毒,重症與死亡風險較高,加護病房 (ICU) 使用率是 1.5 倍,死亡率則是 2 倍。

進一步來看,部分免疫低下病患因服用免疫抑制劑,使得免疫功能與疫苗保護力下降,這些藥物包括高劑量類固醇、特定免疫抑制之生物製劑,或器官移植後預防免疫排斥的藥物。國外臨床研究顯示,部分病友打完疫苗後的抗體生成情況遠低於常人,以器官移植病患來說,僅有31%能產生抗體反應。

疫苗保護力較一般人低,靠「被動免疫」補充抗新冠保護力

為什麼免疫低下族群打疫苗無法產生足夠的抗體?主因為疫苗抗體產生的機轉,是仰賴身體正常免疫功能、自行激化主動產生抗體,這即為「主動免疫」,一般民眾接種新冠疫苗即屬於此。相比之下,免疫低下病患因自身免疫功能不足,難以經由疫苗主動激化免疫功能來保護自身,因此可採「被動免疫」方式,藉由外界輔助直接投以免疫低下病患抗體,給予保護力。

外力介入能達到「被動免疫」的有長效型單株抗體,可改善免疫低下病患因原有治療而無法接種疫苗,或接種疫苗後保護力較差的困境,有效降低確診後的重症風險,保護力可持續長達 6 個月。另須注意,單株抗體不可取代疫苗接種,完成單株抗體注射後仍需維持其他防疫措施。

長效型單株抗體緊急授權予免疫低下患者使用 有望降低感染與重症風險

2022 年美、法、英、澳及歐盟等多國緊急使用授權用於 COVID-19 免疫低下族群暴露前預防,台灣也在去年 9 月通過緊急授權,免疫低下患者專用的單株抗體,在接種疫苗以外多一層保護,能降低感染、重症與死亡風險。

從臨床數據來看,長效型單株抗體對免疫功能嚴重不足的族群,接種後六個月內可降低 83% 感染風險,效力與安全性已通過臨床試驗證實,證據也顯示該藥品針對 Omicron、BA.4、BA.5 等變異株具療效。

六大類人可公費施打 醫界呼籲民眾積極防禦

台灣提供對 COVID-19 疫苗接種反應不佳之免疫功能低下者以降低其染疫風險,根據 2022 年 11 月疾管署公布的最新領用方案,符合施打的條件包含:

一、成人或 ≥ 12 歲且體重 ≥ 40 公斤,且;
二、六個月內無感染 SARS-CoV-2,且;
三、一周內與 SARS-CoV-2 感染者無已知的接觸史,且;
四、且符合下列條件任一者:

(一)曾在一年內接受實體器官或血液幹細胞移植
(二)接受實體器官或血液幹細胞移植後任何時間有急性排斥現象
(三)曾在一年內接受 CAR-T 治療或 B 細胞清除治療 (B cell depletion therapy)
(四)具有效重大傷病卡之嚴重先天性免疫不全病患
(五)具有效重大傷病卡之血液腫瘤病患(淋巴肉瘤、何杰金氏、淋巴及組織其他惡性瘤、白血病)
(六)感染HIV且最近一次 CD4 < 200 cells/mm3 者 。

符合上述條件之病友,可主動諮詢醫師。多數病友施打後沒有特別的不適感,少數病友會有些微噁心或疲倦感,為即時處理發生率極低的過敏性休克或輸注反應,需於輸注時持續監測並於輸注後於醫療單位觀察至少 1 小時。

目前藥品存放醫療院所部分如下,完整名單請見公費COVID-19複合式單株抗體領用方案

  • 北部

台大醫院(含台大癌症醫院)、台北榮總、三軍總醫院、振興醫院、馬偕醫院、萬芳醫院、雙和醫院、和信治癌醫院、亞東醫院、台北慈濟醫院、耕莘醫院、陽明交通大學附設醫院、林口長庚醫院、新竹馬偕醫院

  • 中部

         大千醫院、中國醫藥大學附設醫院、台中榮總、彰化基督教醫療財團法人彰化基督教醫院

  • 南部/東部

台大雲林醫院、成功大學附設醫院、奇美醫院、高雄長庚醫院、高雄榮總、義大醫院、高雄醫學大學附設醫院、花蓮慈濟

除了預防 也可用於治療確診者

長效型單株抗體不但可以增加免疫低下者的保護力,還可以用來治療「具重症風險因子且不需用氧」的輕症病患。根據臨床數據顯示,只要在出現症狀後的 5 天內投藥,可有效降低近七成 (67%) 的住院或死亡風險;如果是3天內投藥,則可大幅減少到近九成 (88%) 的住院或死亡風險,所以把握黃金時間盡早治療是關鍵。

  • 新冠治療藥物比較表:
藥名Evusheld
長效型單株抗體
Molnupiravir
莫納皮拉韋
Paxlovid
帕克斯洛維德
Remdesivir
瑞德西韋
作用原理結合至病毒的棘蛋白受體結合區域,抑制病毒進入人體細胞干擾病毒的基因序列,導致複製錯亂突變蛋白酵素抑制劑,阻斷病毒繁殖抑制病毒複製所需之酵素的活性,從而抑制病毒增生
治療方式單次肌肉注射(施打後留觀1小時)口服5天口服5天靜脈注射3天
適用對象發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人(18歲以上)的輕症病患。發病7天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與孩童(年齡大於28天且體重3公斤以上)的輕症病患。
*Remdesivir用於重症之適用條件和使用天數有所不同
注意事項病毒變異株藥物交互作用孕婦哺乳禁用輸注反應

免疫低下病友需有更多重的防疫保護,除了戴口罩、保持社交距離、勤洗手、減少到公共場所等非藥物性防護措施外,按時接種COVID-19疫苗,仍是最具效益之傳染病預防介入措施。若有符合施打長效型單株抗體資格的病患,應主動諮詢醫師,經醫師評估用藥效益與施打必要性。

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為什麼在下雨天時,你不會被雨滴狠狠痛扁?
若芽_96
・2022/04/21 ・5518字 ・閱讀時間約 11 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

下雨天的時候走在路上,天氣涼涼的,聽著雨聲的感覺非常好。但是你有沒有想過,為什麼雨滴會從天上掉下來?

「啊!就像蘋果會掉到地面一樣,會受到重力的作用嗎?」你可能會這麼說。

好,那我們這邊就來帶大家算一下,一滴雨從高空落到地面,純粹只有受到重力時,應該是什麼樣子的感覺吧!

只有受到重力作用雨滴的運動分析

當不考慮空氣阻力時,由高空落下的物體全程會受到重力加速度值 g 的作用,而因為地表的重力加速度約為定值,以海平面且緯度 45º 為標準,其數值為 9.8m/s2 [1]。因此雨滴從高空落下時,可以視為一個單純的等加速度運動,而這個運動我們又稱之為自由落體

假設雨滴是靜止落下且受到重力加速度值 g 作用,即可根據等加速度運動公式,求得雨滴從高度 h 自由落下時的末速度值:

然而,在探討雨滴落下的末速度之前,我們必須對於雲的分類以及大致上的高度有一個基本的了解,才能比較明確地知道我們要探討的雨滴大概是從什麼樣的高度落下來的。

氣象學家 Luke Howard 於 1803 年中的著作《論雲的變形》(The Essay on the Modification of Clouds)中,按照不同雲的形狀、組成、形成原因,將雲分為 10 大雲屬,並且將這 10 大雲屬劃為三個雲族,分別為:位於距地表 6,000 至 7,000 公尺的高雲族,位於距地表 2,000 至 6,000 公尺的中雲族,以及位於距地表 0 至 2,000 公尺的低雲族[2]。另外,則還有橫跨了三個不同雲族高度的直展雲族,常常造成短暫但是相當豐沛的降雨量[3]

國際氣象組織所提供的基本雲的分類標準對照圖。圖/世界氣象組織[2]

按照國際氣象組織所提供的分類,以及 Luke Howard 的定義,天空中主要的降雨來源為積雨雲(cumulonimbus)以及雨層雲(nimbostratus),降雨來源以雨層雲較為常見,且其雲底多為 1,200 公尺以下。故我們這邊計算雨滴的高度時,便以 1,200 公尺作為高度的參考依據。

因此,當一滴雨從高空落下,代入前述自由落體公式,即可計算出雨滴理論上應該要有的末速度:

根據上述的計算式子可以知道,當雨滴從高處落下時,如果沒有任何的空氣阻力,雨滴落到地面的速度大約會是 153 m/s。

對於這個數字沒有感覺嗎?那這邊簡單地計算給你看一下,讓你有點 fu。但是在這個計算之前,首先我們要先對於雨滴的大小有個概念。

依照 2009 年的相關研究[4]顯示,小雨滴在降落時幾乎是圓形,可是隨著體積越大,就會變得越扁平,受到空氣的影響也會越明顯。當雨滴達到特定的大小時,就會被切割為較小的雨滴,也因此最大的雨滴直徑會被限制在 6 mm 左右。

而按照另一個研究[5]對於雨滴粒徑的分布探討,發現雨滴的直徑多數是落在 0.5 mm 至 4 mm 之間,也就是半徑 0.25 mm 至 2 mm 之間。

不同大小的雨滴受到空氣影響的形變研究示意圖。圖/Wikipedia [6]

這邊先姑且不論雨滴本身的化學成分所帶來的密度差異,以及落下過程中的密度和質量變化。因此我們可以簡單的利用密度、質量和體積的關係式,假設有一顆雨滴的成分皆為水,密度為 1 g/cm3,半徑 2 mm,且為均勻球體的情況下,計算這顆雨滴的質量如下:

接著,我們利用牛頓第二運動定律動量衝量的概念,來計算平均一顆雨滴所造成的衝擊力大小。這邊,我們假設你是淋雨的狀態,雨滴跟你的腦袋接觸的時間大約為 0.001 秒,且雨滴最後會完全靜止在你的腦袋上,也就是末速度為 0。

此時,造成雨滴會有速度變化的作用力有二,一為雨滴所受到的重力、二為腦袋給雨滴的正向力。根據牛頓第三運動定律,腦袋給雨滴的作用力,與雨滴給腦袋的作用力,為「作用力與反作用力」之間的關係。

那我們要怎麼知道雨滴對於腦袋的衝擊力有多少呢?

根據前面的假設,我們假設腦袋給雨滴的作用力使用變項為 N,可以列式如下:

雖然我們前面說,在計算正向力 N 時,應該要將重力納入考量,不過實際計算後會發現雨滴本身重量也不算大,相較之下,後面的重力項是可以忽略的,因此計算出來的衝擊力約為 0.52 kgw。

嗯?你說你還是沒有感覺嗎?再說白話一點好了,這個重量就差不多是一瓶 500 ml 的礦泉水壓在你身上的感覺。這只是單一顆雨滴,平常在下雨的時候絕對不可能只有一顆雨滴。一瓶礦泉水壓在身上其實是有感覺的,那很多雨滴下在身上,等同於很多很多瓶礦泉水壓在身上,那肯定也是非常有感。

修但幾勒,這個結論跟我們平常淋雨的感覺完全不同吧!那到底問題出在哪裡?

其實雨滴不只受到重力的作用

雨雲本身存在於大氣層的對流層內,而對流層內充滿很多空氣分子。當雨滴在這些空氣分子所形成的「流體」裡面移動的時候,會使得雨滴本身除了受到重力以外,還會額外受到空氣阻力(drag force)的作用。

在流體動力學中,在流體中移動的物體會受到一個和運動方向相反的阻力。這個阻力來自流體,會存在於兩個流體層之間,或者是流體與固體之間。可是,這和以往我們所學的固體和固體之間的摩擦力不同,因為物體在流體中受到的阻力其實是和物體移動的速度有關[7][8]

物體在流體中所受到的阻力,會受到物體大小、形狀、特性,以及流體性質的影響。阻力方程式(drag equation)概括了這些因素,描述如下[7]

其中,ρ 為流體的密度(如果是在空氣中,則是空氣的平均密度)、A 為物體在流體中的有效面積、v 為物體在流體中之速度;CD 則是阻尼係數,是一個沒有因次的數字,一般來說會跟物體的形狀以及雷諾數(Reynolds number)有關。

而雷諾數則是在流體動力學之中,流體慣性力(inertial force)和黏性力(viscous force)的比值,用來預測流體狀態的無因次物理量。對於不同的流體來說,雷諾數會有很多不同的表達方式,但一般來說都會包含流體的密度(density)、黏滯性(viscosity)、流體的流速,以及特徵長度或尺寸。

最基本的雷諾數可以表示如下[9]

其中,ρ 為流體的密度,v 為流體的平均流速、D 為特徵長度,而 μ 則為流體的黏滯性。

雷諾數低的時候,流體會呈現層流(laminar flow)的狀態。流體分子會在每一層中平順流動,相鄰層之間就像堆疊的紙牌,鮮少或甚至幾乎沒有混合,當然也不會產生漩渦[10]

相反地,在雷諾數高的時候,流體則是會呈現紊流(turbulent flow)的狀態,流體的流速跟壓力沒有一定的變化規律,流體分子也沒有明顯的平行層,很常會互相混合在一起[11]

圖 a 為層流的流線示意圖,而圖 b 則為紊流的流線示意圖。圖/SimScale [12]
黏滯力是一種流體受到外來作用力所產生的阻力,來源為液體內部的摩擦力。黏度較高的流體比較不容易流動,黏度較低的流體反之。本圖為不同黏性的流體所呈現出來的狀態模擬。左邊為黏性低的流體、右邊則為黏性高的流體。圖/Wikipedia [13]

扯遠了扯遠了,我們還是繼續回到原本的阻力方程式。

根據實驗觀察,在雷諾數較高,也就是流體的密度較大、流速較快,而且黏滯性較小時,阻力係數可以幾乎視為定值。此時,阻力就會跟流體流速的平方成正比,公式如下:

而在雷諾數低,也就是流體密度較小、流速較慢且黏滯性較大時,阻力係數會和雷諾數的倒數成正比,因此我們結合雷諾數本身的定義以及阻力方程式,就可以知道「在雷諾數較低時,阻力與流速之間的關係為線性關係」,公式如下:

依照前面講過的阻力方程式和流速之間關係的背景知識,讓我們回到最一開始遇到的雨滴問題。

之前在分析雨滴的受力時,只有考慮到重力的作用,計算出雨滴自 1200 m 高的雨雲雲底落到頭上時,速度約為 153 m/s。在考慮到空氣阻力時,由於阻力與雨滴的運動方向恆相反,因此我們可以將雨滴的質量先以 m 作為變項,假設雨滴為正球形且半徑為 R,繪製雨滴所受到的力圖如下:

雨滴所受到的力。圖/筆者親繪

因為空氣阻力恆與物體運動的速度反向,而雨滴在落下的時候,速度一定是向下的,加速度也向下,故空氣阻力會向上。

阻力方程式中的 A 是投影的等效面積,在球形的雨滴中,即為上圖斜線部分,可以用半徑 R 和圓面積的公式來計算。此時,我們利用牛頓第二運動定律計算雨滴運動過程中所受到的加速度量值,來觀察雨滴運動的情形:

如果今天的流體狀況是屬於高雷諾數的情況(流體的密度較大、流速較快且黏滯性較小)時,則前述的式子可以下表示,並計算出加速度的關係式:

反之,如果是低雷諾數的情形(流體的密度較小、流速較慢且黏滯性較大),則前述的式子可以下表示,也順手計算出加速度的關係式:

從前面的兩條化簡式子,可以看出雨滴掉落時,不論雷諾數如何,速度漸大都將造成阻力漸大,並使得加速度漸小。當達到一定的速度時,雨滴就不再會有加速度,而是改以等速度的方式落下。此時,雨滴所具有的速度即終端速度(terminal velocity, vt)。在終端速度時,我們可以知道雨滴所受到的重力與拖曳力達到力平衡,因此可以根據不同的雷諾數而列式。高雷諾數的情況下所計算出的終端速度如下:

低雷諾數的情況下所計算出的終端速度如下:

我們這邊以高雷諾數的流體情形來考量大氣中的情況,與前面的條件相同假設,也就是雨滴為半徑是 2 mm 的正球體,雨滴密度主要成分為水,因此密度為 1000 kg/m3,而阻尼係數這邊我們根據雨滴的形狀和經驗公式簡單取 0.6 來概略估算[14]

利用高雷諾數的情況計算終端速度實際值時,會需要流體的密度。在這裡,我們討論的對象是空氣中的雨滴,故理想上(當然,這是很理想的情況下)可以使用理想氣體方程式來求出於 1 大氣壓、20ºC 時候的空氣密度,來代入終端速度的公式。

代入我們目前空氣的條件,也就是 1 大氣壓、20ºC 的情形,而這邊務必將所有單位都轉為 SI 制,加上理想氣體常數,此時使用的是 8.314。其中,M 為空氣的分子量,我們這邊使用 28.97 g 配合以上的條件代入計算[15]

將前述所得到的空氣密度數值,結合前面的其他條件,代入高雷諾數情況的終端速度公式,即可計算終端速度:

由計算結果可以知道,當考慮到空氣阻力時,雨滴會以 8.52 m/s 的終端速度落下,比起之前純粹考慮重力時,求出的 153 m/s 來說小了非常多,是原本的二十分之一。按照牛頓第二運動定律,這樣的雨滴打到腦袋時,對於腦袋瓜的正向力也會減為原本的二十分之一。如此一來,就比較像我們平常淋雨的情況了。

由前面的計算過程,我們可以明白從高空落下的雨滴不只有受到重力。能夠讓我們下雨天走在路上不被雨滴狠狠槌死的最重要因素,其實就是空氣阻力的功勞。同時,我們可以知道,造成雨滴落下的運動過程並非等加速度,而是變加速度運動。利用牛頓第二運動定律得出加速度的關係式後,也知道速度越來越大,加速度就會越來越小。在加速度為 0 時,則會以終端速度等速落下。

最後,讓我們來感謝空氣阻力,讓每一個人在下雨天的時候都能安心走在路上。

註解

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若芽_96
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因為人生想要追求知識跟技能樹的全開,而遊走在物理、法律、職業安全衛生、數位行銷、數據分析等各種不同領域的人。下一個領域會去哪呢?我也不知道,不過持續不停向前這是絕對必要的。個人網站:https://wakame.tw

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Deepfake 不一定是問題,不知道才是大問題!關於 Deepfake,你需要知道的是⋯⋯?
TingWei
・2022/01/24 ・3489字 ・閱讀時間約 7 分鐘

編按:你的理智知道「眼見不為憑」,但你的眼睛還是會背叛你的理智,不自覺得被眼前的影像所吸引,儘管你真的、真的知道他是假的。Youtuber 小玉於2021年底涉嫌利用 Deepfake 技術,偽造多位名人的色情影音內容並販售的事件,既不是第一起、也不是唯一、更不會是最後一個利用「深偽技術」進行科技犯罪的事件。

當科技在走,社會和法律該如何跟上甚至超前部署呢?本次 Deepfake 專題,由泛科學和法律白話文合作,從Deepfake 技術與辨偽技術、到法律如何因應,讓我們一起全方位解析Deepfake!

第一篇,讓我們就 Deepfake 技術做一基礎的介紹,那我們就開始囉!

什麼是 Deepfake?

深偽技術 Deepfake 於 2017 年陸續開始進入大眾的目光中。原文 Deepfake 源自於英文「deep learning」(深度學習)和「fake」(偽造)組合,主要意指應用人工智慧深度學習的技術,合成某個(不一定存在的)人的圖像或影片、甚至聲音。最常見的應用,就是將影片中的人臉替換為另一張臉(常是名人),讓指定的臉在影片中做出自己從未說過或做過的事情。

利用深度學習技術合成或是置換人臉的技術,都是屬於Deepfake。圖 / stephenwolfram

現今談到 Deepfake,大多數人想到的可能是偽造的成人影片,就如前述 Youtuber 小玉的事件,Deepfake 一開始受到關注,主要與名人或明星的臉部影像被合成到成人影片有關,然而,Deepfake 的功能遠不僅於此,相關的技術使用還包括了替換表情、合成一整張臉、合成語音等等。

除了像是讓過去或現在的名人在影片中「栩栩如生」做出使用者想要的表情與動作,之前在社群媒體上曾有好幾款 APP一度風靡,包括上傳一張照片就可以看看「變老」「變性」自己的 FaceApp,甚至於讓自己的臉在經典電影中講上一段台詞的「去演」APP,這類的功能也是應用前述 Deepfake 的技術。

雖然有些線索顯示這類 APP 常有潛在的資安疑慮[註],但好歹技術的成果多屬搏君一燦自娛娛人,尚可視為無傷大雅。

「栩栩如生」的愛因斯坦

而過往電影的影音產業要仿造人臉需要應用許多複雜、耗時、昂貴的電腦模擬,有了 Deepfake 相關的技術,也使得許多只能抱憾放棄的事情出現了彌補的空間。最有名的應用應是好萊塢電影《玩命關頭7》與《星際大戰》系列。《玩命關頭7》拍攝期間主角保羅・沃克(Paul William Walker IV)意外身亡,剩下的戲份後來由弟弟擔綱演出,劇組再以 Deepfake 的技術讓哥哥弟弟連戲,整部電影才得以殺青上映。

Weta Digital 說明如何讓保羅・沃克的弟弟 Brian O’Conner 能透過 Deefake 的技術,繼續協助 保羅・沃克演完《玩命關頭7》

Deepfake 讓「變臉」變得太容易了?

想想過去的電影如《魔戒》中的咕嚕、或是 2008 年布萊德・彼特主演的《班傑明的奇幻旅程》,將影片或照片中人物「換臉」「變老」的修圖或 CG 技術,在 Deepfake 出世之前就已經存在了。Deepfake 受到關注的核心關鍵在於,應用 AI 的深度學習的演算法,加上越來越強大的電腦與手機運算能力,讓「影片換臉」這件事情變得越來越隨手可得、並且天衣無縫。

利用CG技術把布萊德・彼特「變老」。 圖 / © 2008 – Paramount Pictures

過往電影中採用的 CG 技術要花好幾個月由專業人士進行後製,才能取得難辨真偽的影像效果,而應用了 AI 演算法,只需要一台桌上型電腦甚或是手機,上網就可以取得軟體、有機會獲得差強人意的結果了。

進一步,傳統軟體演算法主要依靠工程師的持續修改調整,而如 Deepfake 這類技術,內部的演算法會經過訓練持續進化。有許多技術被應用於提高 Deepfake 的偽造效果,其中最常見的一個作法被稱為「生成對抗網路(Generative Adversarial Network, GAN)」,這裡面包含了兩組神經網路「生成器(Generator)」和「辨識器(Discriminator)」。

在投入訓練資料之後,這兩組神經網路會相互學習訓練,有點像是坐在主人頭上的小天使與小惡魔會互相吐槽、口才越來越好、想出更好的點子;在練習的過程中,「生成器」會持續生成偽造的影像,而「辨識器」則負責評分,反覆訓練下來,偽造生成的技術進步,辨識偽造的技術也得以進步。

舉例來說,This Person Does Not Exist 這個網站就充滿了使用 GAN 架構建構的人臉,這個網站中的人臉看上去非常真實,實際上都是 AI 製造出來的「假臉」。

This Person Does Not Exist 裡的「假臉」。

Deepfake 影片不一定是問題,不知道是 Deepfake 才是問題

現今的 Deepfake 技術得以持續進步、騙過人眼是許多人努力的成果,也不見得都是壞事。像是《星際大戰:俠盜一號》片尾,年輕的萊婭公主出面驚鴻一瞥,就帶給許多老粉絲驚喜。這項技術應用癥結在於,相關演算法輕易就能取得,除了讓有心人可以藉以產製色情影片(這類影片佔了Deepfake濫用的半數以上),Deepfake 製造的影片在人們不知情的情況下,很有可能成為虛假訊息的載體、心理戰的武器,甚至於影響選戰與輿情。

因此,Deepfake 弄假似真不是問題,閱聽者因此「不辨真假」才將是最大的問題所在。

歐巴馬的 Deepfake 影片

相關的研究人員歸納了幾個這類「變臉」影片常見的特徵,可以用來初步辨識眼前的影片是不是偽造的。

首先,由於 AI 尚無法非常細緻的處理一些動作細節,因此其眨眼、視線變化或臉部抽蓄的動作會較不自然。其次,通常在邊緣處,如髮絲、臉的邊緣線、耳環等區域會出現不連貫的狀況。最後,在一些結構細節會出現不合理的陰影瑕疵,像是嘴角的角度位置等。

由於現階段的 Deepfake 通常需要大量的訓練資料(影像或影片)才能達到理想的偽造成果,因此會遭到「換臉」的受害者,主要集中在影像資源豐富的名人,如電影明星、Youtuber、政治人物等。需要注意的是,如果有人意圖使用 Deepfake 技術製造假消息,其所製造的影片不見得需要非常完美,有可能反而降低解析度、非常粗糙,一般人如用手機瀏覽往往難辨真假。

人眼已經難辨真假,那麼以子之矛攻彼之盾,以 AI 技術辨識找出 Deepfake 的成品,有沒有機會呢?隨著 Deepfake 逐漸成為熱門的議題,有許多團隊也開始試圖藉由深度學習技術,辨識偽造影像。2020 年臉書與微軟開始舉辦的「換臉偵測大賽」(Deepfake Detection Challenge)就提供高額獎金,徵求能夠辨識造假影片的技術。然而成果只能說是差強人意,面對從未接觸過的影片,第一名辨識的準確率僅為 65.18%。

「換臉偵測大賽」(Deepfake Detection Challenge)的辨識素材。圖/MetaAi

對於 Deepfake 可能遭到的濫用,某部分我們可以寄望技術的發展未來終將「道高一尺」,讓社群平台上的影像不致於毫無遮攔、照單全收;然而技術持續「魔高一丈」讓防範的科技追著跑,也是顯而易見的。

社群網路 FB 在 2020 年宣布全面禁止 Deepfake 產生的影片,一旦有確認者立即刪除,twitter 則強制註記影片為造假影片。Deepfake 僅僅是未來面對 AI 浪潮,科技社會所需要應對的其中一項議題,法律、社會規範如何跟上?如何解決箇中的著作權與倫理問題?這些都將是需要經過層層討論與驗證的重要課題。

至少大家應該心知肚明,過往的網路流行語:「有圖有真相」已經過去,接下來即將面臨的,是一個「有影片也難有真相」的網路世界了。

  • 註解:推出 FaceApp 與「去演」的兩家公司其軟體皆要求註冊,且對於上傳資料之後續處理交代不清,被認為有侵犯使用者隱私權之疑慮。

參考資料

  1. Deepfakes and the New AI-Generated Fake Media Creation-Detection Arms Race – Scientific American
  2. What To Do About Deepfakes | March 2021 | Communications of the ACM
  3. Tolosana, R., Vera-Rodriguez, R., Fierrez, J., Morales, A., & Ortega-Garcia, J. (2020). Deepfakes and beyond: A survey of face manipulation and fake detection. Information Fusion, 64, 131-148.
  4. Deepfake 深偽技術的技術濫用與道德困境,大眾正要開始面對 | TechNews 科技新報
  5. 台灣團隊研究辨識Deep Fake影片 深偽技術的正邪之戰開打 | 台灣事實查核中心 (tfc-taiwan.org.tw)

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TingWei
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據說一生科科的生科中人,不務正業嗜好以書櫃堆滿房間,努力養活雙貓為近期的主要人生目標。