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《這不科學!——魔戒中的數學思辯》——2019數感盃 高中職組專題報導類佳作

數感實驗室_96
・2019/05/24 ・3159字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 588 ・九年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中組專題報導類第三名之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:王治鈞、呂建霆、洪林竹/國立科學工業區實驗高級中學。
圖/IMDb

序章

在世界級奇幻名著《魔戒》改編的電影《魔戒首部曲:魔戒現身》之中,反派角色「炎魔」和全書靈魂角色「甘道夫 」在摩瑞亞礦山中的武打場面非常精彩,並因此常常為魔戒粉絲們津津樂道。

讓我們先把目光放回中土大陸的摩瑞亞礦山。在一場驚心動魄的激戰之中,住在礦山中的怪獸——炎魔因腳下的橋樑突然崩落而墜入底下的深淵。就在甘道夫鬆了一口氣的時候,陰魂不散的炎魔在墜落過程中甩出火鞭纏繞住甘道夫的膝蓋,使得甘道夫跌了一跤,並跟炎魔一樣摔了下去。

在電影中,從炎魔開始墜落的那一刻起到甘道夫墜落,整個過程共約 32 秒。但是,最後甘道夫和炎魔卻「同時」墜入一個地底湖中,並且繼續激戰。

相信不少人在看到這一幕的時候都會被電影逼真的特效和磅礡的畫面所震懾,我們也不例外。而在此同時,我們更聯想到一個問題:……是不是有哪裡怪怪的?

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讓我們先再次整理條件:

  1. 伽利略告訴我們,在同個高度下,不同物體掉到地上的時間皆應相同
  2. 炎魔比甘道夫更早開始下墜
  3. 更精確地說,炎魔早了32秒

從上述條件我們似乎可以得到一個結論——炎魔應該要比甘道夫早 32 秒掉到地底湖中才對。電影情節終究只是虛構,是不可能發生的。

但是,這真的完全不可能嗎?
難道《魔戒》不是真的?
難道約翰·托爾金(《魔戒》原著作者)騙了我?
難道我這輩子最愛的小說其實盡是謊話連篇的荒唐之論?

先暫且不論「《魔戒》本來就是歸類在『奇幻作品』中,所以一切皆有可能」,在數理上,電影中的情節究竟有沒有可能呢?

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剛才的推導是建立在十分簡單的假設上,所以結果可能和真實的情況不太一樣。接下來,我們將利用一些詳細的資訊分析當他們墜落深淵時到底會發生什麼事,更定量地討論「同時到達底部」這個結果的合理性。

加入「空氣阻力」的條件

在這個段落裡面,我們將會逐一進行下列步驟:

  1. 寫出甘道夫和炎魔墜落時所必須遵守的運動方程式
  2. 根據電影本身和其他資料估計一些參數(像是質量、空氣密度等)
  3. 解微分方程
  4. 把之前估計的參數代回式子中解完方程
  5. 回答我們提出來的問題——甘道夫和炎魔到底會不會同時墜地?

首先,翻閱課本便可以知道空氣阻力的公式和運動方程式是

$$ F = \frac{1}{2}ρC_DAv^2 $$

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\( ma\)\(=m\frac{dv}{dt}\)\(=F-mg \)\(=\frac{1}{2}ρC_DAv^2-mg \)

其中m是質量、ρ空氣密度、CD阻力係數、A截面積、v速度。空氣密度大約是 1.29kg/m3,其他的參數我們必須根據電影和其他網路上的資料來估計。

下面這個表格分別列出甘道夫和炎魔的參數:

讓我們解釋一下這些估計是怎麼來的。

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首先,根據Tolkien Gateway (類似魔戒專屬的維基百科)的資料,甘道夫的身高約 1.67 公尺,體重則並未提及。如果甘道夫是一個健康的巫師,我們可以預期他的 BMI 是 21,並進一步推得體重大約是 60 kg。

炎魔的話比較麻煩些,維基百科上寫炎魔站起來約人類的 3 倍高。假設炎魔的肌肉能承受的壓力和人類的一樣強,那麼肌肉截面積可估計為32=9倍,能承受的重量也是人類平均重量的32=9倍。不過我們可以合理地推測炎魔應該比人類強壯一些,所以實際上的重量應該大於60×9=540(kg),在這邊估計800kg。

至於阻力係數,則是和身體的形狀有關。根據這篇論文,人的阻力係數大約是1.2,因為炎魔大致上也是人形,在這邊就假設阻力係數一樣。另外,根據這篇皇家氣象學會的論文,人體的截面積約0.68m2,而從電影畫面估計,炎魔的截面積大約是6m2

現在回到方程式的部分, 為了讓方程式好看一點,我們可以定義

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$$ γ\equiv \frac{1}{2m}ρC_DA $$

,所以對於甘道夫和炎魔來說,他們的 γ 分別是 0.0088 和 0.0058。

\(\frac{dv}{dt}\)\(=γv^2-g, \int \frac{dv}{γv^2-g}\)\(=\int dt\)

\(\frac{1}{2\sqrt{γg}}(ln(\sqrt{\frac{g}{γ}}-v)-ln(v+\sqrt{\frac{g}{γ}}))\)\(=t+t_0\)

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\(v=-\sqrt{\frac{g}{γ}} \tan{h}\tan{h}[\sqrt{gγ}(t+t_0)]\)

\(y=\int_{0}^{t}vd{t}’\)\(=-γ^{-1}\ln \ln\cos{h}\cos{h}\sqrt{gγt}\)

t0是積分常數,如果把t=0設定成開始墜落的時間,那麼 t應該是0,這樣一開始的速率才會是0 (因為 tanh0=0)。底下兩個式子中的第一個告訴我們當一個法師(或是某種遠古怪獸)墜入深淵時,速度和時間的關係;而第二個則是掉落距離和時間的關係。我們需要知道的只有 γ,而這和掉落物本身的性質有關。

我們可以發現當時間 t 越來越大的時候,tanh 後面的參數也會越來越大,這會讓 tanh 的值接近1,這時候速率接近\(\sqrt{\frac{g}{γ}}\),就是終端速率。而 y 則是墜落深度和時間的關係。

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炎魔比甘道夫早32秒出發,這代表牠在這32秒內已經先掉落了\( 0.0058^{-1}\ln\ln\cos{h}\cos{h}(\sqrt{9.8\cdot 0.0058\cdot 32})\)\(\approx 1200(m)\)

,甘道夫才開始往下掉。

由於tanh x 在 x 比 2 大的時候會十分接近 1。如果要讓√gγt 等於 2,對於甘道夫和炎魔來說,都需要經過約 7 到 8 秒。經過 32 秒後,炎魔的速率已經幾乎等於終端速率了,也就是\(\sqrt{\frac{g}{γ_B}}\approx 41(m/s)\);而這時候甘道夫才剛墜落,不過無論如何,他最多也只能和終端速率\(\sqrt{\frac{g}{γ_G}}\approx 33(m/s)\) 一樣快,在這樣的情況下,甘道夫是永遠沒辦法追上炎魔的。(上面的 \(γ_B\)  和 \(γ_G\) 分別代表炎魔和甘道夫的 \(γ\),如前所述,它們分別是 0.0058 和0.0088。)

因此,在將空氣阻力納入考量的情況下,我們發現甘道夫還是沒辦法在掉落過程中趕上炎魔。

關於炎魔的鞭子

經過上述探討,我們還可以算算看炎魔的鞭子大約有多長。電影中炎魔的鞭子在牠墜落大約14秒後從深淵伸上來打到甘道夫。我們可以利用之前推導過的深度和墜落時間的關係:

\(y=\int_{0}^{t}vd{t}’=-γ^{-1}\ln \ln\cos{h}\cos{h}\sqrt{gγt}\)

來計算。

將t=14和γ=0.0058代入算式,我們可以算出來這時候炎魔已經掉落了約 460 公尺,也就是說,炎魔的鞭子至少要

\( 0.0058^{-1}\ln\ln\cos{h}\cos{h}(\sqrt{g\cdot 0.0058\cdot 14})\)\(\approx 460(m)\)

,才有機會在墜落後 14 秒將鞭子伸上來勾住甘道夫。

結論

在上面的文章中,我們用數學與理性的角度分析了電影《魔戒》中經典的一幕——甘道夫大戰炎魔之後,兩者雙雙墜入深淵。

首先,我們對電影中的情況進行辨析,並發現甘道夫與炎魔同時到達底部似乎不符合科學。接著我們將空氣阻力納入考量並進行運算,但是仍得到相同的結果。換而言之,比較早掉下去的炎魔必定會比甘道夫更早掉到底部。而這結論和電影的畫面並不相符。

但是,這就代表電影都在亂演一通?其實倒也未必。或許是因為我們納入考量的條件不足,抑或是因為參數假設有誤,導致我們的推理出了差錯。

不過這些並不是大問題,因為透過上面這些分析,相信各位看官已經和我們一起體會到了數學的美妙和實用。它不只是一門死板的學科,更是可以應用在生活中、實際地解決問題的有力工具;透過將問題轉化成數學,再把數學答案轉化回問題的解答,很多令人摸不著頭腦的問題都能迎刃而解。

最後,《魔戒》本來就屬於奇幻小說,在看完我們的分析之後,千萬別因為糾結於內容合理性而失去了閱讀這部史詩級巨作的趣味呀!

參考資料

  1. Tolkien Gateway
  2. Koo, M. H., & Al-Obaidi, A. S. M. (2013). Calculation of aerodynamic drag of human being in various positions. Department of Mechanical Engineering, Taylor’s University, Malaysia.
  3. McIlveen, J. F. R. (2002). The everyday effects of wind drag on people. Weather57(11), 410-413.

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文章難易度
數感實驗室_96
60 篇文章 ・ 40 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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除了蚯蚓、地震魚和民間達人,那些常見的臺灣地震預測謠言
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/02/29 ・2747字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

災害性大地震在臺灣留下無數淚水和難以抹滅的傷痕,921 大地震甚至直接奪走了 2,400 人的生命。既有這等末日級的災難記憶,又位處於板塊交界處的地震帶,「大地震!」三個字,總是能挑動臺灣人最脆弱又敏感的神經。

因此,當我們發現臺灣被各式各樣的地震傳說壟罩,像是地震魚、地震雲、蚯蚓警兆、下雨地震說,甚至民間地震預測達人,似乎也是合情合理的現象?

今日,我們就要來破解這些常見的地震預測謠言。

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漁民捕獲罕見的深海皇帶魚,恐有大地震?

說到在坊間訛傳的地震謠言,許多人第一個想到的,可能是盛行於日本、臺灣的「地震魚」傳說。

在亞熱帶海域中,漁民將「皇帶魚」暱稱為地震魚,由於皇帶魚身型較為扁平,生活於深海中,魚形特殊且捕獲量稀少,因此流傳著,是因為海底的地形改變,才驚擾了棲息在深海的皇帶魚,並因此游上淺水讓人們得以看見。

皇帶魚。圖/wikimedia

因此,民間盛傳,若漁民捕撈到這種極為稀罕的深海魚類,就是大型地震即將發生的警兆。

然而,日本科學家認真蒐集了目擊深海魚類的相關新聞和學術報告,他們想知道,這種看似異常的動物行為,究竟有沒有機會拿來當作災前的預警,抑或只是無稽之談?

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可惜的是,科學家認為,地震魚與地震並沒有明顯的關聯。當日本媒體報導捕撈深海魚的 10 天內,均沒有發生規模大於 6 的地震,規模 7 的地震前後,甚至完全沒有深海魚出現的紀錄!

所以,在科學家眼中,地震魚僅僅是一種流傳於民間的「迷信」(superstition)。

透過動物來推斷地震消息的風俗並不新穎,美國地質調查局(USGS)指出,早在西元前 373 年的古希臘,就有透過動物異常行為來猜測地震的紀錄!

人們普遍認為,比起遲鈍的人類,敏感的動物可以偵測到更多來自大自然的訊號,因此在大地震來臨前,會「舉家遷徙」逃離原本的棲息地。

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當臺灣 1999 年發生集集大地震前後,由於部分地區出現了大量蚯蚓,因此,臺灣也盛傳著「蚯蚓」是地震警訊的說法。

20101023 聯合報 B2 版 南投竹山竄出蚯蚓群爬滿路上。

新聞年年報的「蚯蚓」上街,真的是地震警訊嗎?

​當街道上出現一大群蚯蚓時,密密麻麻的畫面,不只讓人嚇一跳,也往往讓人感到困惑:為何牠們接連地湧向地表?難道,這真的是動物們在向我們預警天災嗎?動物們看似不尋常的行為,總是能引發人們的好奇與不安情緒。

如此怵目驚心的畫面,也經常成為新聞界的熱門素材,每年幾乎都會看到類似的標題:「蚯蚓大軍又出沒 網友憂:要地震了嗎」,甚至直接將蚯蚓與剛發生的地震連結起來,發布成快訊「昨突竄大量蚯蚓!台東今早地牛翻身…最大震度4級」,讓人留下蚯蚓預言成功的錯覺。

然而,這些蚯蚓大軍,真的與即將來臨的天災有直接關聯嗎?

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蚯蚓與地震有關的傳聞,被學者認為起源於 1999 年的 921 大地震後,在此前,臺灣少有流傳地震與蚯蚓之間的相關報導。

雖然曾有日本學者研究模擬出,與地震相關的電流有機會刺激蚯蚓離開洞穴,但在現實環境中,有太多因素都會影響蚯蚓的行為了,而造成蚯蚓大軍浮現地表的原因,往往都是氣象因素,像是溫度、濕度、日照時間、氣壓等等,都可能促使蚯蚓爬出地表。

大家不妨觀察看看,白日蚯蚓大軍的新聞,比較常出現在天氣剛轉涼的秋季。

因此,下次若再看到蚯蚓大軍湧現地表的現象,請先別慌張呀!

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事實上,除了地震魚和蚯蚓外,鳥類、老鼠、黃鼠狼、蛇、蜈蚣、昆蟲、貓咪到我們最熟悉的小狗,都曾經被流傳為地震預測的動物專家。

但可惜的是,會影響動物行為的因素實在是太多了,科學家仍然沒有找到動物異常行為和地震之間的關聯或機制。

遍地開花的地震預測粉專和社團

這座每天發生超過 100 次地震的小島上,擁有破萬成員的地震討論臉書社團、隨處可見的地震預測粉專或 IG 帳號,似乎並不奇怪。

國內有許多「憂國憂民」的神通大師,這些號稱能夠預測地震的奇妙人士,有些人會用身體感應,有人熱愛分析雲層畫面,有的人甚至號稱自行建製科學儀器,購買到比氣象署更精密的機械,偵測到更準確的地震。

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然而,若認真想一想就會發現,臺灣地震頻率極高,約 2 天多就會發生 1 次規模 4.0 至 5.0 的地震, 2 星期多就可能出現一次規模 5.0 至 6.0 的地震,若是有心想要捏造地震預言,真的不難。 

在學界,一個真正的地震預測必須包含地震三要素:明確的時間、 地點和規模,預測結果也必須來自學界認可的觀測資料。然而這些坊間貼文的預測資訊不僅空泛,也並未交代統計數據或訊號來源。

作為閱聽者,看到如此毫無科學根據的預測言論,請先冷靜下來,不要留言也不要分享,不妨先上網搜尋相關資料和事實查核。切勿輕信,更不要隨意散播,以免造成社會大眾的不安。

此外,大家也千萬不要隨意發表地震預測、觀測的資訊,若號稱有科學根據或使用相關資料,不僅違反氣象法,也有違反社會秩序之相關法令之虞唷!

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​地震預測行不行?還差得遠呢!

由於地底的環境太過複雜未知,即使科學家們已經致力於研究地震前兆和地震之間的關聯,目前地球科學界,仍然無法發展出成熟的地震預測技術。

與其奢望能提前 3 天知道地震的預告,不如日常就做好各種地震災害的防範,購買符合防震規範的家宅、固定好家具,做好防震防災演練。在國家級警報響起來時,熟練地執行避震保命三步驟「趴下、掩護、穩住」,才是身為臺灣人最關鍵的保命之策。

延伸閱讀

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為什麼在下雨天時,你不會被雨滴狠狠痛扁?
若芽_96
・2022/04/21 ・5518字 ・閱讀時間約 11 分鐘

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下雨天的時候走在路上,天氣涼涼的,聽著雨聲的感覺非常好。但是你有沒有想過,為什麼雨滴會從天上掉下來?

「啊!就像蘋果會掉到地面一樣,會受到重力的作用嗎?」你可能會這麼說。

好,那我們這邊就來帶大家算一下,一滴雨從高空落到地面,純粹只有受到重力時,應該是什麼樣子的感覺吧!

只有受到重力作用雨滴的運動分析

當不考慮空氣阻力時,由高空落下的物體全程會受到重力加速度值 g 的作用,而因為地表的重力加速度約為定值,以海平面且緯度 45º 為標準,其數值為 9.8m/s2 [1]。因此雨滴從高空落下時,可以視為一個單純的等加速度運動,而這個運動我們又稱之為自由落體

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假設雨滴是靜止落下且受到重力加速度值 g 作用,即可根據等加速度運動公式,求得雨滴從高度 h 自由落下時的末速度值:

然而,在探討雨滴落下的末速度之前,我們必須對於雲的分類以及大致上的高度有一個基本的了解,才能比較明確地知道我們要探討的雨滴大概是從什麼樣的高度落下來的。

氣象學家 Luke Howard 於 1803 年中的著作《論雲的變形》(The Essay on the Modification of Clouds)中,按照不同雲的形狀、組成、形成原因,將雲分為 10 大雲屬,並且將這 10 大雲屬劃為三個雲族,分別為:位於距地表 6,000 至 7,000 公尺的高雲族,位於距地表 2,000 至 6,000 公尺的中雲族,以及位於距地表 0 至 2,000 公尺的低雲族[2]。另外,則還有橫跨了三個不同雲族高度的直展雲族,常常造成短暫但是相當豐沛的降雨量[3]

國際氣象組織所提供的基本雲的分類標準對照圖。圖/世界氣象組織[2]

按照國際氣象組織所提供的分類,以及 Luke Howard 的定義,天空中主要的降雨來源為積雨雲(cumulonimbus)以及雨層雲(nimbostratus),降雨來源以雨層雲較為常見,且其雲底多為 1,200 公尺以下。故我們這邊計算雨滴的高度時,便以 1,200 公尺作為高度的參考依據。

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因此,當一滴雨從高空落下,代入前述自由落體公式,即可計算出雨滴理論上應該要有的末速度:

根據上述的計算式子可以知道,當雨滴從高處落下時,如果沒有任何的空氣阻力,雨滴落到地面的速度大約會是 153 m/s。

對於這個數字沒有感覺嗎?那這邊簡單地計算給你看一下,讓你有點 fu。但是在這個計算之前,首先我們要先對於雨滴的大小有個概念。

依照 2009 年的相關研究[4]顯示,小雨滴在降落時幾乎是圓形,可是隨著體積越大,就會變得越扁平,受到空氣的影響也會越明顯。當雨滴達到特定的大小時,就會被切割為較小的雨滴,也因此最大的雨滴直徑會被限制在 6 mm 左右。

而按照另一個研究[5]對於雨滴粒徑的分布探討,發現雨滴的直徑多數是落在 0.5 mm 至 4 mm 之間,也就是半徑 0.25 mm 至 2 mm 之間。

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不同大小的雨滴受到空氣影響的形變研究示意圖。圖/Wikipedia [6]

這邊先姑且不論雨滴本身的化學成分所帶來的密度差異,以及落下過程中的密度和質量變化。因此我們可以簡單的利用密度、質量和體積的關係式,假設有一顆雨滴的成分皆為水,密度為 1 g/cm3,半徑 2 mm,且為均勻球體的情況下,計算這顆雨滴的質量如下:

接著,我們利用牛頓第二運動定律動量衝量的概念,來計算平均一顆雨滴所造成的衝擊力大小。這邊,我們假設你是淋雨的狀態,雨滴跟你的腦袋接觸的時間大約為 0.001 秒,且雨滴最後會完全靜止在你的腦袋上,也就是末速度為 0。

此時,造成雨滴會有速度變化的作用力有二,一為雨滴所受到的重力、二為腦袋給雨滴的正向力。根據牛頓第三運動定律,腦袋給雨滴的作用力,與雨滴給腦袋的作用力,為「作用力與反作用力」之間的關係。

那我們要怎麼知道雨滴對於腦袋的衝擊力有多少呢?

根據前面的假設,我們假設腦袋給雨滴的作用力使用變項為 N,可以列式如下:

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雖然我們前面說,在計算正向力 N 時,應該要將重力納入考量,不過實際計算後會發現雨滴本身重量也不算大,相較之下,後面的重力項是可以忽略的,因此計算出來的衝擊力約為 0.52 kgw。

嗯?你說你還是沒有感覺嗎?再說白話一點好了,這個重量就差不多是一瓶 500 ml 的礦泉水壓在你身上的感覺。這只是單一顆雨滴,平常在下雨的時候絕對不可能只有一顆雨滴。一瓶礦泉水壓在身上其實是有感覺的,那很多雨滴下在身上,等同於很多很多瓶礦泉水壓在身上,那肯定也是非常有感。

修但幾勒,這個結論跟我們平常淋雨的感覺完全不同吧!那到底問題出在哪裡?

其實雨滴不只受到重力的作用

雨雲本身存在於大氣層的對流層內,而對流層內充滿很多空氣分子。當雨滴在這些空氣分子所形成的「流體」裡面移動的時候,會使得雨滴本身除了受到重力以外,還會額外受到空氣阻力(drag force)的作用。

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在流體動力學中,在流體中移動的物體會受到一個和運動方向相反的阻力。這個阻力來自流體,會存在於兩個流體層之間,或者是流體與固體之間。可是,這和以往我們所學的固體和固體之間的摩擦力不同,因為物體在流體中受到的阻力其實是和物體移動的速度有關[7][8]

物體在流體中所受到的阻力,會受到物體大小、形狀、特性,以及流體性質的影響。阻力方程式(drag equation)概括了這些因素,描述如下[7]

其中,ρ 為流體的密度(如果是在空氣中,則是空氣的平均密度)、A 為物體在流體中的有效面積、v 為物體在流體中之速度;CD 則是阻尼係數,是一個沒有因次的數字,一般來說會跟物體的形狀以及雷諾數(Reynolds number)有關。

而雷諾數則是在流體動力學之中,流體慣性力(inertial force)和黏性力(viscous force)的比值,用來預測流體狀態的無因次物理量。對於不同的流體來說,雷諾數會有很多不同的表達方式,但一般來說都會包含流體的密度(density)、黏滯性(viscosity)、流體的流速,以及特徵長度或尺寸。

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最基本的雷諾數可以表示如下[9]

其中,ρ 為流體的密度,v 為流體的平均流速、D 為特徵長度,而 μ 則為流體的黏滯性。

雷諾數低的時候,流體會呈現層流(laminar flow)的狀態。流體分子會在每一層中平順流動,相鄰層之間就像堆疊的紙牌,鮮少或甚至幾乎沒有混合,當然也不會產生漩渦[10]

相反地,在雷諾數高的時候,流體則是會呈現紊流(turbulent flow)的狀態,流體的流速跟壓力沒有一定的變化規律,流體分子也沒有明顯的平行層,很常會互相混合在一起[11]

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圖 a 為層流的流線示意圖,而圖 b 則為紊流的流線示意圖。圖/SimScale [12]
黏滯力是一種流體受到外來作用力所產生的阻力,來源為液體內部的摩擦力。黏度較高的流體比較不容易流動,黏度較低的流體反之。本圖為不同黏性的流體所呈現出來的狀態模擬。左邊為黏性低的流體、右邊則為黏性高的流體。圖/Wikipedia [13]

扯遠了扯遠了,我們還是繼續回到原本的阻力方程式。

根據實驗觀察,在雷諾數較高,也就是流體的密度較大、流速較快,而且黏滯性較小時,阻力係數可以幾乎視為定值。此時,阻力就會跟流體流速的平方成正比,公式如下:

而在雷諾數低,也就是流體密度較小、流速較慢且黏滯性較大時,阻力係數會和雷諾數的倒數成正比,因此我們結合雷諾數本身的定義以及阻力方程式,就可以知道「在雷諾數較低時,阻力與流速之間的關係為線性關係」,公式如下:

依照前面講過的阻力方程式和流速之間關係的背景知識,讓我們回到最一開始遇到的雨滴問題。

之前在分析雨滴的受力時,只有考慮到重力的作用,計算出雨滴自 1200 m 高的雨雲雲底落到頭上時,速度約為 153 m/s。在考慮到空氣阻力時,由於阻力與雨滴的運動方向恆相反,因此我們可以將雨滴的質量先以 m 作為變項,假設雨滴為正球形且半徑為 R,繪製雨滴所受到的力圖如下:

雨滴所受到的力。圖/筆者親繪

因為空氣阻力恆與物體運動的速度反向,而雨滴在落下的時候,速度一定是向下的,加速度也向下,故空氣阻力會向上。

阻力方程式中的 A 是投影的等效面積,在球形的雨滴中,即為上圖斜線部分,可以用半徑 R 和圓面積的公式來計算。此時,我們利用牛頓第二運動定律計算雨滴運動過程中所受到的加速度量值,來觀察雨滴運動的情形:

如果今天的流體狀況是屬於高雷諾數的情況(流體的密度較大、流速較快且黏滯性較小)時,則前述的式子可以下表示,並計算出加速度的關係式:

反之,如果是低雷諾數的情形(流體的密度較小、流速較慢且黏滯性較大),則前述的式子可以下表示,也順手計算出加速度的關係式:

從前面的兩條化簡式子,可以看出雨滴掉落時,不論雷諾數如何,速度漸大都將造成阻力漸大,並使得加速度漸小。當達到一定的速度時,雨滴就不再會有加速度,而是改以等速度的方式落下。此時,雨滴所具有的速度即終端速度(terminal velocity, vt)。在終端速度時,我們可以知道雨滴所受到的重力與拖曳力達到力平衡,因此可以根據不同的雷諾數而列式。高雷諾數的情況下所計算出的終端速度如下:

低雷諾數的情況下所計算出的終端速度如下:

我們這邊以高雷諾數的流體情形來考量大氣中的情況,與前面的條件相同假設,也就是雨滴為半徑是 2 mm 的正球體,雨滴密度主要成分為水,因此密度為 1000 kg/m3,而阻尼係數這邊我們根據雨滴的形狀和經驗公式簡單取 0.6 來概略估算[14]

利用高雷諾數的情況計算終端速度實際值時,會需要流體的密度。在這裡,我們討論的對象是空氣中的雨滴,故理想上(當然,這是很理想的情況下)可以使用理想氣體方程式來求出於 1 大氣壓、20ºC 時候的空氣密度,來代入終端速度的公式。

代入我們目前空氣的條件,也就是 1 大氣壓、20ºC 的情形,而這邊務必將所有單位都轉為 SI 制,加上理想氣體常數,此時使用的是 8.314。其中,M 為空氣的分子量,我們這邊使用 28.97 g 配合以上的條件代入計算[15]

將前述所得到的空氣密度數值,結合前面的其他條件,代入高雷諾數情況的終端速度公式,即可計算終端速度:

由計算結果可以知道,當考慮到空氣阻力時,雨滴會以 8.52 m/s 的終端速度落下,比起之前純粹考慮重力時,求出的 153 m/s 來說小了非常多,是原本的二十分之一。按照牛頓第二運動定律,這樣的雨滴打到腦袋時,對於腦袋瓜的正向力也會減為原本的二十分之一。如此一來,就比較像我們平常淋雨的情況了。

由前面的計算過程,我們可以明白從高空落下的雨滴不只有受到重力。能夠讓我們下雨天走在路上不被雨滴狠狠槌死的最重要因素,其實就是空氣阻力的功勞。同時,我們可以知道,造成雨滴落下的運動過程並非等加速度,而是變加速度運動。利用牛頓第二運動定律得出加速度的關係式後,也知道速度越來越大,加速度就會越來越小。在加速度為 0 時,則會以終端速度等速落下。

最後,讓我們來感謝空氣阻力,讓每一個人在下雨天的時候都能安心走在路上。

註解

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若芽_96
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因為人生想要追求知識跟技能樹的全開,而遊走在物理、法律、職業安全衛生、數位行銷、數據分析等各種不同領域的人。下一個領域會去哪呢?我也不知道,不過持續不停向前這是絕對必要的。個人網站:https://wakame.tw

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Deepfake 不一定是問題,不知道才是大問題!關於 Deepfake,你需要知道的是⋯⋯?
TingWei
・2022/01/24 ・3489字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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編按:你的理智知道「眼見不為憑」,但你的眼睛還是會背叛你的理智,不自覺得被眼前的影像所吸引,儘管你真的、真的知道他是假的。Youtuber 小玉於2021年底涉嫌利用 Deepfake 技術,偽造多位名人的色情影音內容並販售的事件,既不是第一起、也不是唯一、更不會是最後一個利用「深偽技術」進行科技犯罪的事件。

當科技在走,社會和法律該如何跟上甚至超前部署呢?本次 Deepfake 專題,由泛科學和法律白話文合作,從Deepfake 技術與辨偽技術、到法律如何因應,讓我們一起全方位解析Deepfake!

第一篇,讓我們就 Deepfake 技術做一基礎的介紹,那我們就開始囉!

什麼是 Deepfake?

深偽技術 Deepfake 於 2017 年陸續開始進入大眾的目光中。原文 Deepfake 源自於英文「deep learning」(深度學習)和「fake」(偽造)組合,主要意指應用人工智慧深度學習的技術,合成某個(不一定存在的)人的圖像或影片、甚至聲音。最常見的應用,就是將影片中的人臉替換為另一張臉(常是名人),讓指定的臉在影片中做出自己從未說過或做過的事情。

利用深度學習技術合成或是置換人臉的技術,都是屬於Deepfake。圖 / stephenwolfram

現今談到 Deepfake,大多數人想到的可能是偽造的成人影片,就如前述 Youtuber 小玉的事件,Deepfake 一開始受到關注,主要與名人或明星的臉部影像被合成到成人影片有關,然而,Deepfake 的功能遠不僅於此,相關的技術使用還包括了替換表情、合成一整張臉、合成語音等等。

除了像是讓過去或現在的名人在影片中「栩栩如生」做出使用者想要的表情與動作,之前在社群媒體上曾有好幾款 APP一度風靡,包括上傳一張照片就可以看看「變老」「變性」自己的 FaceApp,甚至於讓自己的臉在經典電影中講上一段台詞的「去演」APP,這類的功能也是應用前述 Deepfake 的技術。

雖然有些線索顯示這類 APP 常有潛在的資安疑慮[註],但好歹技術的成果多屬搏君一燦自娛娛人,尚可視為無傷大雅。

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「栩栩如生」的愛因斯坦

而過往電影的影音產業要仿造人臉需要應用許多複雜、耗時、昂貴的電腦模擬,有了 Deepfake 相關的技術,也使得許多只能抱憾放棄的事情出現了彌補的空間。最有名的應用應是好萊塢電影《玩命關頭7》與《星際大戰》系列。《玩命關頭7》拍攝期間主角保羅・沃克(Paul William Walker IV)意外身亡,剩下的戲份後來由弟弟擔綱演出,劇組再以 Deepfake 的技術讓哥哥弟弟連戲,整部電影才得以殺青上映。

Weta Digital 說明如何讓保羅・沃克的弟弟 Brian O’Conner 能透過 Deefake 的技術,繼續協助 保羅・沃克演完《玩命關頭7》

Deepfake 讓「變臉」變得太容易了?

想想過去的電影如《魔戒》中的咕嚕、或是 2008 年布萊德・彼特主演的《班傑明的奇幻旅程》,將影片或照片中人物「換臉」「變老」的修圖或 CG 技術,在 Deepfake 出世之前就已經存在了。Deepfake 受到關注的核心關鍵在於,應用 AI 的深度學習的演算法,加上越來越強大的電腦與手機運算能力,讓「影片換臉」這件事情變得越來越隨手可得、並且天衣無縫。

利用CG技術把布萊德・彼特「變老」。 圖 / © 2008 – Paramount Pictures

過往電影中採用的 CG 技術要花好幾個月由專業人士進行後製,才能取得難辨真偽的影像效果,而應用了 AI 演算法,只需要一台桌上型電腦甚或是手機,上網就可以取得軟體、有機會獲得差強人意的結果了。

進一步,傳統軟體演算法主要依靠工程師的持續修改調整,而如 Deepfake 這類技術,內部的演算法會經過訓練持續進化。有許多技術被應用於提高 Deepfake 的偽造效果,其中最常見的一個作法被稱為「生成對抗網路(Generative Adversarial Network, GAN)」,這裡面包含了兩組神經網路「生成器(Generator)」和「辨識器(Discriminator)」。

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在投入訓練資料之後,這兩組神經網路會相互學習訓練,有點像是坐在主人頭上的小天使與小惡魔會互相吐槽、口才越來越好、想出更好的點子;在練習的過程中,「生成器」會持續生成偽造的影像,而「辨識器」則負責評分,反覆訓練下來,偽造生成的技術進步,辨識偽造的技術也得以進步。

舉例來說,This Person Does Not Exist 這個網站就充滿了使用 GAN 架構建構的人臉,這個網站中的人臉看上去非常真實,實際上都是 AI 製造出來的「假臉」。

This Person Does Not Exist 裡的「假臉」。

Deepfake 影片不一定是問題,不知道是 Deepfake 才是問題

現今的 Deepfake 技術得以持續進步、騙過人眼是許多人努力的成果,也不見得都是壞事。像是《星際大戰:俠盜一號》片尾,年輕的萊婭公主出面驚鴻一瞥,就帶給許多老粉絲驚喜。這項技術應用癥結在於,相關演算法輕易就能取得,除了讓有心人可以藉以產製色情影片(這類影片佔了Deepfake濫用的半數以上),Deepfake 製造的影片在人們不知情的情況下,很有可能成為虛假訊息的載體、心理戰的武器,甚至於影響選戰與輿情。

因此,Deepfake 弄假似真不是問題,閱聽者因此「不辨真假」才將是最大的問題所在。

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歐巴馬的 Deepfake 影片

相關的研究人員歸納了幾個這類「變臉」影片常見的特徵,可以用來初步辨識眼前的影片是不是偽造的。

首先,由於 AI 尚無法非常細緻的處理一些動作細節,因此其眨眼、視線變化或臉部抽蓄的動作會較不自然。其次,通常在邊緣處,如髮絲、臉的邊緣線、耳環等區域會出現不連貫的狀況。最後,在一些結構細節會出現不合理的陰影瑕疵,像是嘴角的角度位置等。

由於現階段的 Deepfake 通常需要大量的訓練資料(影像或影片)才能達到理想的偽造成果,因此會遭到「換臉」的受害者,主要集中在影像資源豐富的名人,如電影明星、Youtuber、政治人物等。需要注意的是,如果有人意圖使用 Deepfake 技術製造假消息,其所製造的影片不見得需要非常完美,有可能反而降低解析度、非常粗糙,一般人如用手機瀏覽往往難辨真假。

人眼已經難辨真假,那麼以子之矛攻彼之盾,以 AI 技術辨識找出 Deepfake 的成品,有沒有機會呢?隨著 Deepfake 逐漸成為熱門的議題,有許多團隊也開始試圖藉由深度學習技術,辨識偽造影像。2020 年臉書與微軟開始舉辦的「換臉偵測大賽」(Deepfake Detection Challenge)就提供高額獎金,徵求能夠辨識造假影片的技術。然而成果只能說是差強人意,面對從未接觸過的影片,第一名辨識的準確率僅為 65.18%。

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「換臉偵測大賽」(Deepfake Detection Challenge)的辨識素材。圖/MetaAi

對於 Deepfake 可能遭到的濫用,某部分我們可以寄望技術的發展未來終將「道高一尺」,讓社群平台上的影像不致於毫無遮攔、照單全收;然而技術持續「魔高一丈」讓防範的科技追著跑,也是顯而易見的。

社群網路 FB 在 2020 年宣布全面禁止 Deepfake 產生的影片,一旦有確認者立即刪除,twitter 則強制註記影片為造假影片。Deepfake 僅僅是未來面對 AI 浪潮,科技社會所需要應對的其中一項議題,法律、社會規範如何跟上?如何解決箇中的著作權與倫理問題?這些都將是需要經過層層討論與驗證的重要課題。

至少大家應該心知肚明,過往的網路流行語:「有圖有真相」已經過去,接下來即將面臨的,是一個「有影片也難有真相」的網路世界了。

  • 註解:推出 FaceApp 與「去演」的兩家公司其軟體皆要求註冊,且對於上傳資料之後續處理交代不清,被認為有侵犯使用者隱私權之疑慮。

參考資料

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  1. Deepfakes and the New AI-Generated Fake Media Creation-Detection Arms Race – Scientific American
  2. What To Do About Deepfakes | March 2021 | Communications of the ACM
  3. Tolosana, R., Vera-Rodriguez, R., Fierrez, J., Morales, A., & Ortega-Garcia, J. (2020). Deepfakes and beyond: A survey of face manipulation and fake detection. Information Fusion, 64, 131-148.
  4. Deepfake 深偽技術的技術濫用與道德困境,大眾正要開始面對 | TechNews 科技新報
  5. 台灣團隊研究辨識Deep Fake影片 深偽技術的正邪之戰開打 | 台灣事實查核中心 (tfc-taiwan.org.tw)

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TingWei
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據說一生科科的生科中人,不務正業嗜好以書櫃堆滿房間,努力養活雙貓為近期的主要人生目標。