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《經常趕時間的你,知道在扶梯上走沒效益嗎?》——2019數感盃/高中職組專題報導類銅獎

數感實驗室_96
・2019/05/20 ・3256字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 535 ・七年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類銅獎之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:陳俊宇/中崙高中
手扶梯。圖/Pixabay

約翰是個上班族,他和女朋友約好在離大橋頭捷運站約 500 公尺的地方。早上醒來發現自己睡過頭,急忙趕往捷運站。下捷運之後,為了多節省一些時間,約翰決定不靠右側慢慢搭電扶梯,是從電扶梯左側的走道跑上去。由於大橋頭捷運站的電扶梯很長,約翰走出捷運站時就有點喘了,原本想要一路跑到目的地的他,因氣喘如牛,跑跑停停的結果,最終還是遲到了,女朋友也十分生氣。

約翰看似盡了全力,連在電扶梯上都用奔跑的方式想要節省時間,但結果卻仍是未能盡如人意,如此一來,「在電扶梯上跑或走」到底能否產生我們所預期的效益?還是其實在電扶梯上行走,根本是一件沒有效益的事情?是的,在電扶梯上行走,確實沒有效益。

何謂沒效益?

為什麼在電扶梯上行走沒有效益?
在回答這個問題之前,我們必須要先定義什麼是沒效益呢?
本文的沒效益,就是無法達到最省體力的方式。

舉個例子,約翰要在固定的時間內,走完相同距離的平地與電扶梯。改變他在平地與電扶梯的速度,比較體力的消耗量(耗能)。如果在電扶梯以較快的速度行走,消耗的體力較小,代表在電扶梯行走較有效益,反之則沒效益。

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怎麼走才是真正的有效益?

證明在電扶梯上行走是否有效益

為了證明「在手扶梯上行走沒效益」,我製作了上圖的模擬情境。接著,我要求出「人行走的耗能函數」(這邊的耗能為消耗體力的量)。計算在固定時間內,當耗能最小時,約翰在平地與電扶梯行走的速度值。比較約翰要在平地還是電扶梯上已較快的速度行走,才會有耗能最小。這樣就可以看出看電扶梯上行走是否有效益。

首先,我們的目標是求出人類走路的耗能函數。而耗能=功率×時間:

這個公式怎麼用呢?以燈泡作為例子。一個功率100 W 的燈泡,使用 20 秒,他的耗能就是2000焦耳。

同樣的道理,只要知道人行走的功率函數 P(v),就能透過「耗能=功率×時間」算出耗能。而人在平地行走的功率函數大致呈指數函數(原因請看結尾),為了簡化推導的過程,這邊就用 P(v)=2v代替。

在知道了人在平地行走的功率函數後,讓我們開始推導模擬情境的耗能函數吧。不過推導過程有些複雜,讓我們先從約翰平地與電扶梯的耗能函數開始推導吧。

在平地行走的耗能函數

在平地行走的耗能函數

我們先來計算約翰在平地( ground )以速度 V走 100 公尺的耗能函數。

約翰行走的耗能函數 E(Vg)為「耗能=功率×時間」:

而約翰行走的耗能功率函數 P(Vg)為:

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其中平地距離 L=100 公尺,且「距離=速度×時間」

經過推導後,可得耗能函數

這個公式要如何使用呢?這邊實際帶入數字看看。

如果以速度 Vg =1 前進,耗能為 E=21×100/1=200。

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如果以速度 Vg =4 前進,耗能為 E=24×100/4=400。

在電扶梯行走的耗能函數

電扶梯行走耗能函數推導

接著,我們來計算約翰在電扶梯( escalator )以速度 Ve 走 100公尺的耗能函數。為了簡化計算,我將上下樓梯的電扶梯改成平地電扶梯,且電扶梯本身的速度 VE=1。

約翰走路的耗能函數 V為「耗能=功率x時間」:


而約翰行走的耗能功率函數 P(Ve) 為:

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其中電扶梯距離 L=100 公尺,而約翰的總速度為「約翰在電扶梯行走速度+電扶梯本身的速度」,且「距離=速度×時間」:


經過推導後,可得耗能函數:

模擬情境的耗能函數

接著就正式來了。

證明在電扶梯上行走是否有效益

約翰以速度 V走完100公尺的平地,再以速度 V走完100公尺的電扶梯,電扶梯本身速度 VE=1。耗能函數為 :

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由於變數太多,首先我們先限定要在 30 秒( t =  t+ te =30)內走完全程,並且將 Vg 替換成 Ve。替換公式為:

經推導後,可得耗能函數:

接著,利用繪圖軟體畫出函數圖形:

從函數圖形可知,在D點時有最小耗能,且此時約翰在電扶梯行走速度Ve= 6.08,在平地行走速度Vg= 6.3。也就是說,在限定時間 t = 30的情況下, Vg >Ve時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益。

從函數圖形可知,在 D 點時有最小耗能,且此時約翰在電扶梯行走速度 Ve= 6.08,在平地行走速度 V= 6.3。也就是說,在限定時間 t = 30的情況下, V >V時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益。

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改變總時間看變化

剛剛是用總時間 t =30 來做模擬,為了更廣義的證明,我們將總時間 t。值進行改變,結果如下圖。

發現在所有情況下,當約翰在平地行走速度大於電扶梯行走速度 (V > Ve )時,有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益, 在電扶梯上行走沒有效益。 並且在總時間 t 越長時,這個現象更加明顯。

在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」

在賴以威老師執筆的「超展開數學約會」有對這個現象作出解釋。賴以威老師表示,會造成這樣的結果,是因為在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」。你每停留在電扶梯上一秒,電扶梯會推你往前 1 公尺。如果電扶梯上不動,電扶梯便會幫你走完電扶梯的全程。

所以下次在體力有限的情況下,最好在電扶梯上休息,等到了平地在進行衝刺,好好利用電扶梯給你的效益。當然,如果目的地離捷運站不遠,而你的體力又足夠,你便可以一路衝刺到底。

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人行走的耗能功率函數推導

我使用『106年全國大專校院田徑公開賽──各項參賽名單暨參考成績』,裡面大專男子 200 m,400 m,800 m,1500 m,5000 m,10000 m 的成績。

我假設一般人行走的耗能功率函數的趨勢與運動員相似。當運動員跑完全程後,體力用盡,體力是1個單位。時間t用比賽第一名與最後一名的平均時間,且功率:

使用 Excel 將座標(速度,功率)=( v ,  P(v))點上。發現函數圖形接近指數函數:

本文的推導只要耗能功率函數的趨勢,於是使用指數函數 P(v)=2代替。

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容,歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網粉絲頁喔。

文章難易度
數感實驗室_96
60 篇文章 ・ 40 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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想要「解決」身上的脂肪,光是多運動還不夠,飲食也很重要!——《走路的科學》
八旗文化_96
・2020/03/02 ・2898字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 528 ・七年級

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  • 作者/謝恩・歐馬洛(Shane O’mara);譯者/謝雯伃

編按:很多人總以為增加運動量就能消耗多餘的能量,有效減重,但其實我們的身體並沒有這麼「聽話」。身體會有效地運用每一分能量,不會讓這些能量白白消耗掉,也因此減重不能單靠運動,控制能量攝取的多寡也很重要。

狩獵採集者(像是提斯曼人)會四處行走。他們為了採集食物及水源,經常每天走上很遠的距離,同時手上還拿著武器、工具以及小孩。

對於仍保有狩獵採集生活方式的人類進行試驗,我們可以研究我們的體重以及活動程度之間的演化關係,而這些都與走路有關。

世上現存的狩獵採集群體相對很少,但透過檢驗當代狩獵採集者的生活,能為我們開啟一扇窗,一窺這種「古早」活動型態對我們而言有什麼意義。現在我們當中少有人走上很長一段路去追蹤或獵殺食物;我們也不會每天花上好幾小時挖樹根或塊根,或是尋找飲用水。

坦尚尼亞北部的哈札族。圖/wikimedia

當代一個採集狩獵群體是坦尚尼亞北部的哈札族(Hadza),他們已被演化生物學家研究多年,探究這個群體的走路活動和其他運動形式與體重之間的關係,並與從北美以及歐洲群體中選出的參與者做比較。

來自採集狩獵者的數據,讓我們得以調查近幾十年來發生的改變——我們的飲食改變了,還是活動程度改變了?抑或兩者全都改變?

哈札人某種程度上還保持著傳統採集狩獵者的生活。男性會以矛以及弓箭對大型獵物進行耐力狩獵,女性則會採集水果、野莓、塊莖以及蜂蜜。

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哈札族男性會以矛以及弓箭對大型獵物進行耐力狩獵。圖/wikimedia

參與研究的 30 名哈札族人全都佩戴了 GPS 追蹤系統,他們的身高、體重、每日攝取以及消耗的卡路里全都被記錄下來。有些發現並不令人驚訝,比如他們的體脂率只有西方參與者的大約 60%,哈札人沒有過胖的。

透過追蹤每日能量消耗量,並將參與者的體重、體脂納入考慮之後,研究者發現哈札人與西方參與者的總能量消耗量相等。將男性、女性分開檢驗也得到一樣的結果。

這個發現與預期相反;我們原本預期哈札人會因為日常行程,平均來說比西方參與者消耗更多能量—哈札人男性每日平均走 11 公里,女性平均每天走 6 公里。

消耗一樣的能量,我們會讓運動量達到最大化

在這個世界上移動,無論是透過走路、騎單車、跑步、游泳或是任何一種運動形式都會消耗能量。身體會依其所需,攝取(透過飲食與消化)、儲存以及燃燒能量。

無論是透過哪一種運動形式移動,都會消耗能量。圖/GIPHY

人類很懶惰,因此會將所有固定活動的能量消耗降至最低。人類的雙足行走一般來說會自動將能量消耗最小化,同時又將步行範圍最大化。從實驗角度來看,這就像是在固定能量消耗下,我們會專注於將運動量最大化的步行速度;但我們該如何證明真相就是如此呢?

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一個方式是為人類裝上一組外接的腿——一種設計來調整步行難易度的機械裝置。我們對這組外骨骼所做的不同設定,可用來試驗人類是否會以特定步態因應,以減少在行走中消耗的能量。

  • 如果外骨骼幫助行走,我們很快就會採取一個不需特別努力行走的步態,而更多讓機器來運作。
  • 反之,若外骨骼阻礙我們行走,我們就可能會嘗試用更多力氣行走,但會選擇一個可以繼續走路又花上最少力氣的模式。

神經工程學家潔西卡.賽林格(Jessica Selinger)與她在史丹福大學的同事設計了這樣的實驗。他們為人類參與者配上具關節且可舉高腿部的外骨骼,讓參與者系統性地挑戰人類步行最有效率的方式。受試者也戴上氧氣面罩,用以測量他們的最大攝氧量(VO2 Max)。

這些外骨骼設計會對腿部造成不同程度的阻力,而阻力大小取決於參與者的步行頻率。參與者在跑步機上步行,跑步機的速度亦可調整。參與者很快就因應這些改變做了調整,一般來說是幾分鐘內就調整好;一旦調整到新的最佳步態,便能很快調回之前最優化能量燃燒的狀態(這是透過 VO2 Max 測量到的)。

透過這點可以知道,人類會迅速採用更經濟的步態,以實踐最佳步行策略,如此節省最多的能量消耗。

這些適應相當迅速,遠比在血氧濃度上預測到的變化更快,也比其他諸如肌肉改變等內部感知來得快。獨立來看,後面這些改變都很慢才出現;相反地,人類會主動透過周邊感覺輸入進行預測,直接調整步行的方式。

今天有運動過了,不想再動了~圖/GIPHY

雖然穿上機器外骨骼會讓你盡其所能地降低能量消耗,但存在一個更普遍的問題:你上健身房,在跑步機上跑了一大段距離,然後為了犒賞自己,回家後癱倒在沙發上,因為有去運動而自我感覺良好,絲毫未察覺你的整體運動量比你一步都未踏入健身房要來得低

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實際上,以演化角度看,你的身體會在你進行耐力狩獵後放鬆;這個運動誘發的休止狀態與我們一般認為的不同。我們總以為,我們攝取的卡路里量,基本上會等於運動加上處理家務燃燒的卡路里;假如我們攝取的卡路里比運動以及家務消耗的卡路里多,那麼就會增加體重。

這些研究讓我們知道什麼?

從這些研究中我們學到的教訓是:光是增加運動強度並不是肥胖的解方,因為我們已演化出行為機制和生理機制,將運動消耗的程度降低,如此來補償運動消耗的熱量。

提高能量消耗並不必然能帶來實質且持續的體重下降;減重需要的是對於能量攝取以及能量使用進行全面性的計算。我們需要知道身體是如何平衡能量攝取、能量儲存(例如脂肪分布)以及能量輸出。

人類是高度雜食性物種,我們採集食物、我們狩獵,我們也準備各種獨特食物。對食物來源保持彈性、同時從各種不同管道取得並預備食物,賦予我們適應上的優勢。

想減重還能怎麼辦呢?嚼嚼嚼。圖/GIPHY

你能在找得到食物的任何地方吃東西(無論是撿東西來吃還是造訪當地餐館);你可以在走路時邊吃東西(在快餐店買外帶食物後);又或者可以把食物帶回住所,用許多方式烹煮(你可以幫其他獵人同伴帶回某頭運氣不好被你獵殺的動物,或是到當地超市成排雜貨架上購買各式食物)。

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高脂高糖的高熱量食物,在西方市場中相當容易取得,但對於哈札族來說並非如此。因此,增加活動強度到與哈札族相當,並非解決全球各地肥胖問題最直接且簡單的方法。相反地,想要處理肥胖問題,我們的公共政策就該著眼我們消耗的卡路里類型、品質以及攝取量,如此推動改變。

更清楚來說,我並非反對運動或反對增加運動強度。很顯然,保持活動比起靜止不動,對於身體的任一器官或系統都更好。如果能定期運動,日復一日、週復一週、年復一年持續終生的話,就更好不過了。

運動對於控制肥胖既必要又重要,但那只是一部分。能量攝取也很關鍵。

——本文摘自《走路的科學》,2019 年 9 月,八旗文化

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《經常趕時間的你,知道在扶梯上走沒效益嗎?》——2019數感盃/高中職組專題報導類銅獎
數感實驗室_96
・2019/05/20 ・3256字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 535 ・七年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類銅獎之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:陳俊宇/中崙高中
手扶梯。圖/Pixabay

約翰是個上班族,他和女朋友約好在離大橋頭捷運站約 500 公尺的地方。早上醒來發現自己睡過頭,急忙趕往捷運站。下捷運之後,為了多節省一些時間,約翰決定不靠右側慢慢搭電扶梯,是從電扶梯左側的走道跑上去。由於大橋頭捷運站的電扶梯很長,約翰走出捷運站時就有點喘了,原本想要一路跑到目的地的他,因氣喘如牛,跑跑停停的結果,最終還是遲到了,女朋友也十分生氣。

約翰看似盡了全力,連在電扶梯上都用奔跑的方式想要節省時間,但結果卻仍是未能盡如人意,如此一來,「在電扶梯上跑或走」到底能否產生我們所預期的效益?還是其實在電扶梯上行走,根本是一件沒有效益的事情?是的,在電扶梯上行走,確實沒有效益。

何謂沒效益?

為什麼在電扶梯上行走沒有效益?
在回答這個問題之前,我們必須要先定義什麼是沒效益呢?
本文的沒效益,就是無法達到最省體力的方式。

舉個例子,約翰要在固定的時間內,走完相同距離的平地與電扶梯。改變他在平地與電扶梯的速度,比較體力的消耗量(耗能)。如果在電扶梯以較快的速度行走,消耗的體力較小,代表在電扶梯行走較有效益,反之則沒效益。

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怎麼走才是真正的有效益?

證明在電扶梯上行走是否有效益

為了證明「在手扶梯上行走沒效益」,我製作了上圖的模擬情境。接著,我要求出「人行走的耗能函數」(這邊的耗能為消耗體力的量)。計算在固定時間內,當耗能最小時,約翰在平地與電扶梯行走的速度值。比較約翰要在平地還是電扶梯上已較快的速度行走,才會有耗能最小。這樣就可以看出看電扶梯上行走是否有效益。

首先,我們的目標是求出人類走路的耗能函數。而耗能=功率×時間:

這個公式怎麼用呢?以燈泡作為例子。一個功率100 W 的燈泡,使用 20 秒,他的耗能就是2000焦耳。

同樣的道理,只要知道人行走的功率函數 P(v),就能透過「耗能=功率×時間」算出耗能。而人在平地行走的功率函數大致呈指數函數(原因請看結尾),為了簡化推導的過程,這邊就用 P(v)=2v代替。

在知道了人在平地行走的功率函數後,讓我們開始推導模擬情境的耗能函數吧。不過推導過程有些複雜,讓我們先從約翰平地與電扶梯的耗能函數開始推導吧。

在平地行走的耗能函數

在平地行走的耗能函數

我們先來計算約翰在平地( ground )以速度 V走 100 公尺的耗能函數。

約翰行走的耗能函數 E(Vg)為「耗能=功率×時間」:

而約翰行走的耗能功率函數 P(Vg)為:

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其中平地距離 L=100 公尺,且「距離=速度×時間」

經過推導後,可得耗能函數

這個公式要如何使用呢?這邊實際帶入數字看看。

如果以速度 Vg =1 前進,耗能為 E=21×100/1=200。

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如果以速度 Vg =4 前進,耗能為 E=24×100/4=400。

在電扶梯行走的耗能函數

電扶梯行走耗能函數推導

接著,我們來計算約翰在電扶梯( escalator )以速度 Ve 走 100公尺的耗能函數。為了簡化計算,我將上下樓梯的電扶梯改成平地電扶梯,且電扶梯本身的速度 VE=1。

約翰走路的耗能函數 V為「耗能=功率x時間」:


而約翰行走的耗能功率函數 P(Ve) 為:

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其中電扶梯距離 L=100 公尺,而約翰的總速度為「約翰在電扶梯行走速度+電扶梯本身的速度」,且「距離=速度×時間」:


經過推導後,可得耗能函數:

模擬情境的耗能函數

接著就正式來了。

證明在電扶梯上行走是否有效益

約翰以速度 V走完100公尺的平地,再以速度 V走完100公尺的電扶梯,電扶梯本身速度 VE=1。耗能函數為 :

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由於變數太多,首先我們先限定要在 30 秒( t =  t+ te =30)內走完全程,並且將 Vg 替換成 Ve。替換公式為:

經推導後,可得耗能函數:

接著,利用繪圖軟體畫出函數圖形:

從函數圖形可知,在D點時有最小耗能,且此時約翰在電扶梯行走速度Ve= 6.08,在平地行走速度Vg= 6.3。也就是說,在限定時間 t = 30的情況下, Vg >Ve時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益。

從函數圖形可知,在 D 點時有最小耗能,且此時約翰在電扶梯行走速度 Ve= 6.08,在平地行走速度 V= 6.3。也就是說,在限定時間 t = 30的情況下, V >V時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益。

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改變總時間看變化

剛剛是用總時間 t =30 來做模擬,為了更廣義的證明,我們將總時間 t。值進行改變,結果如下圖。

發現在所有情況下,當約翰在平地行走速度大於電扶梯行走速度 (V > Ve )時,有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益, 在電扶梯上行走沒有效益。 並且在總時間 t 越長時,這個現象更加明顯。

在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」

在賴以威老師執筆的「超展開數學約會」有對這個現象作出解釋。賴以威老師表示,會造成這樣的結果,是因為在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」。你每停留在電扶梯上一秒,電扶梯會推你往前 1 公尺。如果電扶梯上不動,電扶梯便會幫你走完電扶梯的全程。

所以下次在體力有限的情況下,最好在電扶梯上休息,等到了平地在進行衝刺,好好利用電扶梯給你的效益。當然,如果目的地離捷運站不遠,而你的體力又足夠,你便可以一路衝刺到底。

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人行走的耗能功率函數推導

我使用『106年全國大專校院田徑公開賽──各項參賽名單暨參考成績』,裡面大專男子 200 m,400 m,800 m,1500 m,5000 m,10000 m 的成績。

我假設一般人行走的耗能功率函數的趨勢與運動員相似。當運動員跑完全程後,體力用盡,體力是1個單位。時間t用比賽第一名與最後一名的平均時間,且功率:

使用 Excel 將座標(速度,功率)=( v ,  P(v))點上。發現函數圖形接近指數函數:

本文的推導只要耗能功率函數的趨勢,於是使用指數函數 P(v)=2代替。

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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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物理總考不好怎麼辦?一起從根本改變吧!──《如何學好高中物理》
天下文化_96
・2019/09/30 ・3496字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 531 ・七年級

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快還要更快!學習物理的重點就是要「快速解題」?

不能只有快,還要更快?圖/giphy

在我的教學經驗中,有些學生會問我:「老師這一題有沒有更快的解法、一個式子就可以解出來?」我總是笑笑的說:「有,不過你還是要完全了解整個物理意義與過程,才能知道快速解法的來由,才能說出一番道理,才能有你自己的想法。」

我完全可以理解學生為什麼需要「快速的解法」,癥結還是:面對學校期中考或 未來的升學考試時,有答題時間限制的壓力。

一般學校期中考,物理科答題時間為 70 分鐘,考題大約 20 題到 25 題左右;升學考試自然科學測 68 題,答題時間 110 分鐘;指定考科物理科答題時間 80 分鐘,回答 26 題到 30 題左右,題數多寡由命題老師依據題目難易度來酌量。因為答題時間有限制,為了能拿到高分數,學生自然希望每一單元都能有快速解題法。

學習過程畢竟不是只為了考試,升學考試只是其中一個目標。圖/Pixabay

然而,學習過程畢竟不是只為了考試,升學考試只是其中一個目標,高中的學科基礎,會影響大學的學習成效,學習物理還是要建立蓋房子的鷹架模式——九層之台,起於累土;合抱之木,生於毫末;千里之行,始於足下。學習物理還是要「盈科後進」,不宜囫圇吞棗,避免「繁枝容易紛紛落」的速成之弊,才能體會學習物理時「嫩蕊商量細細開」的自然生發之美。

有一則幽默小品文:

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聯合國給全世界的小朋友出了一道題目:「對於其他國家糧食短缺的問題,請您談一談自己的看法。」非洲的小朋友看完題目後,不知道什麼叫「糧食」;拉丁美洲的小朋友不知道什麼叫「請」;歐洲的小朋友不知道什麼叫「短缺」;美國的小朋友不知道什麼叫「其他國家」;台灣的小朋友不知道什麼叫「自己的看法」。

雖然只是一則網路幽默文章,可是台灣學生努力符合標準答案,戮力要得知快速解法,恐怕是不爭的事實。我鼓勵大家在學習時,多思考、多質疑,或許就有更多人能超越標準答案和快速解法,提出創造性的看法。

所以說,解題最重要的核心到底是什麼?

有句話說:「得魚忘筌」,「教材課本」是這個「筌」,而「思考能力」是那個「魚」。我期盼同學們學習物理時,能完全了解整個物理單元和例題習題的思考過程,不必急著要公式和快速解題方法,因為完整的物理概念才能讓我們具備帶得走的能力。

我舉個物理運動學的題目來說明:

有一飛行物體以速度 19.6 公尺/秒等速度上升,在離地面 24.5 公尺高空處掉落一個包裹,忽略空氣阻力的影響,且該處重力加速度 9.8 公尺/秒2,回答下列的問題:

  1. 此包裹上升的最大高度約為多少公尺?
  2. 離開飛行器至落地的時間有多久?

請你先仔細閱讀題目並且了解問題在問什麼之後,再看以下的解釋。

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第 1 小題

分析:以包裹離開飛行物體的位置為坐標原點,建立一鉛直的坐標系統,方向以向上為正,向下為負。

包裹離開飛行器示意圖。

此包裹離開飛行器時,為初速度 19.6 m/s 的鉛直上拋運動,此包裹上升至最高點時的速度量值為 0 。求解:如圖,包裹由出發點上升至最高點的位移 h 表示如下:

\begin{equation}0 = (19.6)^{2}-2\times 9.8\times h \rightarrow h=19.6(m)\end{equation}

所以,包裹離地的最大高度 H 為:

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\begin{equation}H = 24.5 + 19.6 = 44.1 (m)\end{equation}

第 2 小題

  • 第一種解法:

此包裹由釋放至最高點的時間 \(t_{1}=\frac{19.6}{9.8}=2(s)\)

包裹的高度與時間關係圖。

由最高點落至出發點的時間 \(t_{2}=t_{1}=2(s)\),最後由出發點落至地面的時間\(t_{3}\)為\(-24.5=-19.6t_{3}-\frac{1}{2}\times 9.8t_{3}^2\)\((t_{3}+5)(t_{3}-1)=0\rightarrow t_{3}=-5\)(不合)或 \(t_{3}=1(s)\)

所以由出發至落地的時間為\(t_{1}、t_{2}、t_{3}\) 的總和為 5 秒。

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  • 第二種解法,為符合物理概念的快速解法:

此包裹由出發至落地的位移,根據所訂定的坐標系統為 −24.5 m,包裹從出發至落地的時間示如下:

\((t-5)(t+1)=0\rightarrow t=5\) 或 \(t =-1\)(不合)

所以,包裹由出發至落地的時間為 5 秒。

學習物理的運動學單元時,鉛直上拋是很重要的等加速運動的例子,這是因為(1)鉛直上拋的「速度」及「時間」這兩個物理量,都具有對稱的性質,以及(2)從最高點落地的過程為自由落體運動;因此,要能了解這當中的物理概念,充分利用這些性質,才可以簡化解題過程。

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討論運動學時,誰是「觀察者」很重要。圖/pixabay

討論運動學時,有一重要概念需「常在我心」,那是「誰看誰的相對運動」,換句話說「誰是觀察者」很重要。這絕對無法透過背公式、快速解題就能得到答案。讀者不妨思考以下這題北一女期中考的題目:

忽略空氣阻力影響,重力加速度 g 為 10 公尺/秒2。雙十國慶日上午,一架直升機在高空以 50 公尺/秒 等速度沿直線水平飛行。機上搭載兩名傘兵甲和乙,準備在廣場上空表演特技。對飛機而言,甲先從機上靜止落下, 2 秒後乙接著也靜止落下,但兩者的傘具皆暫時不張開,而在空中自由下降。回答下列問題:

  1. 甲跳落 5 秒後,甲與乙之間相距多少公尺?
  2. 當乙剛跳落時,甲利用一彈射裝置將一小球相對於甲以初速度量值 24 公尺/秒對準乙射出,則經過多少秒後,乙可以接到小球?

說明:

這是運動學的相對運動問題,對地面或地球而言,傘兵甲和乙的水平速度等於飛機的水平航速 50 公尺/秒,因此當乙從機上跳落時,甲的位置正在其正下方處。

1.甲跳落 5 秒後,乙正好跳落 3 秒後,此時甲與乙相距 H

H =(甲掉下來位移)−(乙掉下來位移),寫成\(H=\frac{1}{2}\times 10\times 5^2-\frac{1}{2}\times 10\times 3^2=80\)公尺。

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2.當乙剛跳落時,甲與乙兩者對地面的加速度相同,也就是乙觀察甲並不是等加速運動,而是等速度運動,兩者的相對加速度是零。

此時甲對地面的速度垂直分量為\(V_{Y}=gt=10\times 2=20\)公尺 / 秒,甲乙相距\(Y=\frac{1}{2}\times 10\times 2^2=20\) 公尺。

從甲看乙,乙以 20 公尺 / 秒的相對速度垂直向上遠離甲,當小球相對於甲以初速度量值 24 公尺 / 秒對準乙射出,則小球對乙的相對速度為 \(24−20=4\) 公尺 / 秒等速向上接近乙,經過 \(\frac{20}{4}\) 秒後, 也就是 5 秒後,乙可以接到小球。

此時甲、乙兩人相距\(20\times 5+20=120\) 公尺。

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「考得好差,我肯定不適合讀物理」這樣想就錯囉!

學習任何一科目難免會碰到瓶頸與困境,學習高中物理亦然。

絕對不要因為成績低就下結論說自己不是學物理的料,高中物理沒救,這樣思考太悲觀。圖/energepic@Pexels

初學物理的高中生常有刻板印象,認為物理科很困難,原因可能是受到學長姊的經驗談所影響,也可能是國中時期就產生的感受,或受到期中考題難度高、分數低的影響。

遇到物理成績低時,究竟該如何面對?我建議同學們學學白居易面對被貶時的心境轉變,偶遊大林寺,竟然有新的發現,找到心中的「桃花」。

你不妨想一想:物理成績低的原因是不是學習方法不正確?是不是沒有完全消化上課內容?我確實認真學習嗎?我把心思放在物理嗎?物理成績低的原因很多,但絕對不要因為成績低就下結論說自己不是學物理的料,高中物理沒救,這樣思考太悲觀。

自我探索、改變方式,再給物理和自己一次機會

到底該怎麼讀才好呢?圖/GIPHY

每一年都有學生問我:「老師,怎麼辦?我兩次物理期中考都不及格,我有能力學物理嗎?」「老師,我的物理成績這麼低,我還有救嗎?」聽完這些吶喊,我總耐心地告訴他們:「我們來分析你怎麼學習物理,給物理的時間足夠嗎?」「上課認真聽講嗎?整理筆記嗎?做了哪些基本功?」與學生互動後,幫這些心中有迷惑的學生找出路,鼓勵他們突破迷思,回到最基本的「實事求是」,並且確實能執行自己要改進的計畫。

經過自我探索,改變學習方式後,大部分的同學在期末考都能重新出發,找回學習物理的信心。當然,如果只停留在「半暝全頭路,天光沒半步」(台灣俗諺)的「坐而言,起不行」,成績就沒有起色。

物理成績低代表的應是「學習方法和態度有問題」,並不代表自己的腦袋不好。

想突破學習困境,還有一件事很重要:練習多思考,不要「人云亦云」。譬如學到摩擦力的時候,可以試著想一想:摩擦力是不是都是阻力?它的方向永遠與運動方向相反嗎?有沒有可能方向相同或垂直呢?

改變學習方法,學會深入思考、多思考,是學習的不二法門。千萬不要輕易因為物理成績低,就下定論自己能力差而學不好物理。

本文摘自《如何學好高中物理》,2019 年 7 月,天下文化出版。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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《說曹操,曹操到—探討速率及機率》——2018數感盃 / 國中組專題報導類佳作
數感實驗室_96
・2018/04/19 ・1411字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 498 ・六年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2018數感盃青少年寫作競賽 / 國中組專題報導類佳作 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:賴廉凱、劉尚榤/福和國中
圖/imdb

每次在聊天的時候,假如說到 A,A 又剛好走進來,就常常會加一句「說曹操,曹操到」。到底為什麼會這樣講?這就是我想要研究的目的。

我找到了三個解釋……

第一種是皇帝被敵人包圍的時候,皇帝想要請曹操來救駕。信還沒送出去,曹操的軍隊就趕來了。

第二種是皇帝請曹操來保護他。結果敵人先來了,曹操剛好前來殲滅。

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第三種場景不太一樣是在曹操與呂布的對戰中,呂布遇見曹操,問曹操,曹操在哪?曹操卻說前面的就是。明末清初文人毛宗崗評說道:「見了曹操,反問曹操,舍卻曹操,別趕曹操。諺云:方說曹操,曹操就到。當面錯過,豈不好笑?」只擷取前面兩句。

對於,第一種與第二種。士兵是從山東到洛陽的。經過 Google 的尋找如下圖所示。這個便是三國的古地圖,圈圈內的便是曹操出發的地點約 609 km。

士兵假如一天走一天路(8-10小時)約可推進 50 公里,即609/50,約是 12 天。信使騎馬的速度又更快了,每天約 70 公里,即 609/70,是 8.7 天。但是,我想在皇帝與敵人之中一定有許多曹操的耳目,因此耳目一聽到甚麼,就馬上報告曹操。

所以,這個絕對可以在 20.7 天內出兵到皇帝那兒,我想這件事一定是曹操策畫已久的事。

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一定只是他在等候時機,不僅能挾天子以令諸侯,還能有個「說曹操,曹操到」的美名。

至於第三種是因為曹操被呂布的部下陳宮所設下的伎倆,因此被迫與呂布決戰。假設曹操的軍隊約 30000 人,機率約 1/30000。因為是被迫與呂布作戰,因此都是被殺的措手不及。所以應該只剩一半,一半是 15000 個人,機率約 15000/1。而剩下的都逃的逃死的死,曹操剛好在正前方,因此機率變 1/1000。雖然曹操很不幸的被找到了,但憑著他高超的演技成功地躲掉了。但下一個被呂布追殺的是一個騎黃馬的,因為不一定每個都是騎黃馬的。所以機率又更高了,約是1/200。

如果不考慮速率,我們叫曹操叫了 100 次,他來了 50 次,那叫第101次時他會不會來呢?先前來的機率是 1/2(50/100),那麼第 101 次時機率也是 1/2。如果有到,機率就會升高成 51/101,但如果沒到,機率就會降低成 50/101。最後,我認為曹操不可能死的,因為我所找到的都來自三國演義,而且假如呂布解決了曹操,也不會有後來的歷史。還有,一些歷史都因為三國演義的誇大以及渲染。但是正史是三國志,而不是三國演義。

其實,曹操其實也是個偉大人物。他不僅奠定了曹魏的基礎,更統一了北方。但三國演義卻把它黑成了邪惡角色。因為三國演義以蜀漢為基準,其實不代表蜀漢一定是好的,我發現雖然三國演義裡作者把曹操、周瑜、孫堅等不是蜀漢的人都把他們的一點壞誇大了,以此把劉備、諸葛亮等人好比成天下無雙的英雄,但從一些小地方也是看的出蜀漢的黑暗面,但蜀漢並不是不好,只是三國演義的誇大及渲染,導致讀到一些並不真實的歷史。最後對三國歷史有興趣一定要讀三國志。

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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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《經常趕時間的你,知道在扶梯上走沒效益嗎?》——2019數感盃/高中職組專題報導類銅獎
數感實驗室_96
・2019/05/20 ・3256字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 535 ・七年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類銅獎之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:陳俊宇/中崙高中
手扶梯。圖/Pixabay

約翰是個上班族,他和女朋友約好在離大橋頭捷運站約 500 公尺的地方。早上醒來發現自己睡過頭,急忙趕往捷運站。下捷運之後,為了多節省一些時間,約翰決定不靠右側慢慢搭電扶梯,是從電扶梯左側的走道跑上去。由於大橋頭捷運站的電扶梯很長,約翰走出捷運站時就有點喘了,原本想要一路跑到目的地的他,因氣喘如牛,跑跑停停的結果,最終還是遲到了,女朋友也十分生氣。

約翰看似盡了全力,連在電扶梯上都用奔跑的方式想要節省時間,但結果卻仍是未能盡如人意,如此一來,「在電扶梯上跑或走」到底能否產生我們所預期的效益?還是其實在電扶梯上行走,根本是一件沒有效益的事情?是的,在電扶梯上行走,確實沒有效益。

何謂沒效益?

為什麼在電扶梯上行走沒有效益?
在回答這個問題之前,我們必須要先定義什麼是沒效益呢?
本文的沒效益,就是無法達到最省體力的方式。

舉個例子,約翰要在固定的時間內,走完相同距離的平地與電扶梯。改變他在平地與電扶梯的速度,比較體力的消耗量(耗能)。如果在電扶梯以較快的速度行走,消耗的體力較小,代表在電扶梯行走較有效益,反之則沒效益。

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怎麼走才是真正的有效益?

證明在電扶梯上行走是否有效益

為了證明「在手扶梯上行走沒效益」,我製作了上圖的模擬情境。接著,我要求出「人行走的耗能函數」(這邊的耗能為消耗體力的量)。計算在固定時間內,當耗能最小時,約翰在平地與電扶梯行走的速度值。比較約翰要在平地還是電扶梯上已較快的速度行走,才會有耗能最小。這樣就可以看出看電扶梯上行走是否有效益。

首先,我們的目標是求出人類走路的耗能函數。而耗能=功率×時間:

這個公式怎麼用呢?以燈泡作為例子。一個功率100 W 的燈泡,使用 20 秒,他的耗能就是2000焦耳。

同樣的道理,只要知道人行走的功率函數 P(v),就能透過「耗能=功率×時間」算出耗能。而人在平地行走的功率函數大致呈指數函數(原因請看結尾),為了簡化推導的過程,這邊就用 P(v)=2v代替。

在知道了人在平地行走的功率函數後,讓我們開始推導模擬情境的耗能函數吧。不過推導過程有些複雜,讓我們先從約翰平地與電扶梯的耗能函數開始推導吧。

在平地行走的耗能函數

在平地行走的耗能函數

我們先來計算約翰在平地( ground )以速度 V走 100 公尺的耗能函數。

約翰行走的耗能函數 E(Vg)為「耗能=功率×時間」:

而約翰行走的耗能功率函數 P(Vg)為:

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其中平地距離 L=100 公尺,且「距離=速度×時間」

經過推導後,可得耗能函數

這個公式要如何使用呢?這邊實際帶入數字看看。

如果以速度 Vg =1 前進,耗能為 E=21×100/1=200。

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如果以速度 Vg =4 前進,耗能為 E=24×100/4=400。

在電扶梯行走的耗能函數

電扶梯行走耗能函數推導

接著,我們來計算約翰在電扶梯( escalator )以速度 Ve 走 100公尺的耗能函數。為了簡化計算,我將上下樓梯的電扶梯改成平地電扶梯,且電扶梯本身的速度 VE=1。

約翰走路的耗能函數 V為「耗能=功率x時間」:


而約翰行走的耗能功率函數 P(Ve) 為:

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其中電扶梯距離 L=100 公尺,而約翰的總速度為「約翰在電扶梯行走速度+電扶梯本身的速度」,且「距離=速度×時間」:


經過推導後,可得耗能函數:

模擬情境的耗能函數

接著就正式來了。

證明在電扶梯上行走是否有效益

約翰以速度 V走完100公尺的平地,再以速度 V走完100公尺的電扶梯,電扶梯本身速度 VE=1。耗能函數為 :

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由於變數太多,首先我們先限定要在 30 秒( t =  t+ te =30)內走完全程,並且將 Vg 替換成 Ve。替換公式為:

經推導後,可得耗能函數:

接著,利用繪圖軟體畫出函數圖形:

從函數圖形可知,在D點時有最小耗能,且此時約翰在電扶梯行走速度Ve= 6.08,在平地行走速度Vg= 6.3。也就是說,在限定時間 t = 30的情況下, Vg >Ve時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益。

從函數圖形可知,在 D 點時有最小耗能,且此時約翰在電扶梯行走速度 Ve= 6.08,在平地行走速度 V= 6.3。也就是說,在限定時間 t = 30的情況下, V >V時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益。

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改變總時間看變化

剛剛是用總時間 t =30 來做模擬,為了更廣義的證明,我們將總時間 t。值進行改變,結果如下圖。

發現在所有情況下,當約翰在平地行走速度大於電扶梯行走速度 (V > Ve )時,有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益, 在電扶梯上行走沒有效益。 並且在總時間 t 越長時,這個現象更加明顯。

在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」

在賴以威老師執筆的「超展開數學約會」有對這個現象作出解釋。賴以威老師表示,會造成這樣的結果,是因為在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」。你每停留在電扶梯上一秒,電扶梯會推你往前 1 公尺。如果電扶梯上不動,電扶梯便會幫你走完電扶梯的全程。

所以下次在體力有限的情況下,最好在電扶梯上休息,等到了平地在進行衝刺,好好利用電扶梯給你的效益。當然,如果目的地離捷運站不遠,而你的體力又足夠,你便可以一路衝刺到底。

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人行走的耗能功率函數推導

我使用『106年全國大專校院田徑公開賽──各項參賽名單暨參考成績』,裡面大專男子 200 m,400 m,800 m,1500 m,5000 m,10000 m 的成績。

我假設一般人行走的耗能功率函數的趨勢與運動員相似。當運動員跑完全程後,體力用盡,體力是1個單位。時間t用比賽第一名與最後一名的平均時間,且功率:

使用 Excel 將座標(速度,功率)=( v ,  P(v))點上。發現函數圖形接近指數函數:

本文的推導只要耗能功率函數的趨勢,於是使用指數函數 P(v)=2代替。

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