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《經常趕時間的你,知道在扶梯上走沒效益嗎?》——2019數感盃/高中職組專題報導類銅獎

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類銅獎之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:陳俊宇/中崙高中

手扶梯。圖/Pixabay

約翰是個上班族,他和女朋友約好在離大橋頭捷運站約 500 公尺的地方。早上醒來發現自己睡過頭,急忙趕往捷運站。下捷運之後,為了多節省一些時間,約翰決定不靠右側慢慢搭電扶梯,是從電扶梯左側的走道跑上去。由於大橋頭捷運站的電扶梯很長,約翰走出捷運站時就有點喘了,原本想要一路跑到目的地的他,因氣喘如牛,跑跑停停的結果,最終還是遲到了,女朋友也十分生氣。

約翰看似盡了全力,連在電扶梯上都用奔跑的方式想要節省時間,但結果卻仍是未能盡如人意,如此一來,「在電扶梯上跑或走」到底能否產生我們所預期的效益?還是其實在電扶梯上行走,根本是一件沒有效益的事情?是的,在電扶梯上行走,確實沒有效益。

何謂沒效益?

為什麼在電扶梯上行走沒有效益?
在回答這個問題之前,我們必須要先定義什麼是沒效益呢?
本文的沒效益,就是無法達到最省體力的方式。

舉個例子,約翰要在固定的時間內,走完相同距離的平地與電扶梯。改變他在平地與電扶梯的速度,比較體力的消耗量(耗能)。如果在電扶梯以較快的速度行走,消耗的體力較小,代表在電扶梯行走較有效益,反之則沒效益。

怎麼走才是真正的有效益?

證明在電扶梯上行走是否有效益

為了證明「在手扶梯上行走沒效益」,我製作了上圖的模擬情境。接著,我要求出「人行走的耗能函數」(這邊的耗能為消耗體力的量)。計算在固定時間內,當耗能最小時,約翰在平地與電扶梯行走的速度值。比較約翰要在平地還是電扶梯上已較快的速度行走,才會有耗能最小。這樣就可以看出看電扶梯上行走是否有效益。

首先,我們的目標是求出人類走路的耗能函數。而耗能=功率×時間:

這個公式怎麼用呢?以燈泡作為例子。一個功率100 W 的燈泡,使用 20 秒,他的耗能就是2000焦耳。

同樣的道理,只要知道人行走的功率函數 P(v),就能透過「耗能=功率×時間」算出耗能。而人在平地行走的功率函數大致呈指數函數(原因請看結尾),為了簡化推導的過程,這邊就用 P(v)=2v代替。

在知道了人在平地行走的功率函數後,讓我們開始推導模擬情境的耗能函數吧。不過推導過程有些複雜,讓我們先從約翰平地與電扶梯的耗能函數開始推導吧。

在平地行走的耗能函數

在平地行走的耗能函數

我們先來計算約翰在平地( ground )以速度 V走 100 公尺的耗能函數。

約翰行走的耗能函數 E(Vg)為「耗能=功率×時間」:

而約翰行走的耗能功率函數 P(Vg)為:

其中平地距離 L=100 公尺,且「距離=速度×時間」

經過推導後,可得耗能函數

這個公式要如何使用呢?這邊實際帶入數字看看。

如果以速度 Vg =1 前進,耗能為 E=21×100/1=200。

如果以速度 Vg =4 前進,耗能為 E=24×100/4=400。

在電扶梯行走的耗能函數

電扶梯行走耗能函數推導

接著,我們來計算約翰在電扶梯( escalator )以速度 Ve 走 100公尺的耗能函數。為了簡化計算,我將上下樓梯的電扶梯改成平地電扶梯,且電扶梯本身的速度 VE=1。

約翰走路的耗能函數 V為「耗能=功率x時間」:


而約翰行走的耗能功率函數 P(Ve) 為:


其中電扶梯距離 L=100 公尺,而約翰的總速度為「約翰在電扶梯行走速度+電扶梯本身的速度」,且「距離=速度×時間」:


經過推導後,可得耗能函數:

模擬情境的耗能函數

接著就正式來了。

證明在電扶梯上行走是否有效益

約翰以速度 V走完100公尺的平地,再以速度 V走完100公尺的電扶梯,電扶梯本身速度 VE=1。耗能函數為 :

由於變數太多,首先我們先限定要在 30 秒( t =  t+ te =30)內走完全程,並且將 Vg 替換成 Ve。替換公式為:

經推導後,可得耗能函數:

接著,利用繪圖軟體畫出函數圖形:

從函數圖形可知,在D點時有最小耗能,且此時約翰在電扶梯行走速度Ve= 6.08,在平地行走速度Vg= 6.3。也就是說,在限定時間 t = 30的情況下, Vg >Ve時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益。

從函數圖形可知,在 D 點時有最小耗能,且此時約翰在電扶梯行走速度 Ve= 6.08,在平地行走速度 V= 6.3。也就是說,在限定時間 t = 30的情況下, V >V時有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益。

改變總時間看變化

剛剛是用總時間 t =30 來做模擬,為了更廣義的證明,我們將總時間 t。值進行改變,結果如下圖。

發現在所有情況下,當約翰在平地行走速度大於電扶梯行走速度 (V > Ve )時,有最小耗能。由此可知在平地以較快的速度行走比較有效益, 在電扶梯上行走沒有效益。 並且在總時間 t 越長時,這個現象更加明顯。

在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」

在賴以威老師執筆的「超展開數學約會」有對這個現象作出解釋。賴以威老師表示,會造成這樣的結果,是因為在電扶梯上行走變相「減少了待在電扶梯上的時間」。你每停留在電扶梯上一秒,電扶梯會推你往前 1 公尺。如果電扶梯上不動,電扶梯便會幫你走完電扶梯的全程。

所以下次在體力有限的情況下,最好在電扶梯上休息,等到了平地在進行衝刺,好好利用電扶梯給你的效益。當然,如果目的地離捷運站不遠,而你的體力又足夠,你便可以一路衝刺到底。

人行走的耗能功率函數推導

我使用『106年全國大專校院田徑公開賽──各項參賽名單暨參考成績』,裡面大專男子 200 m,400 m,800 m,1500 m,5000 m,10000 m 的成績。

我假設一般人行走的耗能功率函數的趨勢與運動員相似。當運動員跑完全程後,體力用盡,體力是1個單位。時間t用比賽第一名與最後一名的平均時間,且功率:

使用 Excel 將座標(速度,功率)=( v ,  P(v))點上。發現函數圖形接近指數函數:

本文的推導只要耗能功率函數的趨勢,於是使用指數函數 P(v)=2代替。

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關於作者

數感實驗室

數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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