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停擺 60 年的《哈德維格-納爾遜問題》在一位生物學家的手上有了新突破!

UniMath_96
・2018/08/17 ・2757字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 512 ・六年級
  • 文/陳宏賓 │ UniMath 主編、中興大學應用數學系助理教授。

圖論 (Graph Theory) 在數學領域是專門研究一群物件與物件彼此關聯的學問。將要研究的對象物件以頂點視之,兩個物件若有關聯則連接一條邊,圖論主要是研究這個抽象化後由頂點集邊集所構成的圖的性質。

圖論 (Graph Theory) 是專門研究一群物件與物件彼此關聯的學問,其中著色問題可以說是圖論中最經典的研究主題之一。圖 / wikipedia

著色問題可以說是圖論最經典的研究主題之一,透過著色,我們可以將圖分類,這個是可以 2 著色的圖,那個是可以 5 著色的圖……。如果有人問你數學家都在做什麼工作?有一個我認為還不錯又簡單的答案,那就是「分類」。各種領域的數學家都在忙著分類,而「著色數」是圖的一項重要分類指標。

讓人困擾60年的《哈德維格-納爾遜問題》

1950 年,就讀芝加哥大學的大學生愛德華 · 尼爾森 (Edward Nelson) 提出了一個困擾數學家多年的著色問題。在二維平面上,任意選一些頂點,如果頂點間的距離是 1 個單位,就把這兩頂點連接一條邊,這種圖稱為單位距離圖 (unit-distance graph)。尼爾森好奇平面上隨便一個這樣子的圖,「點著色數」是多少呢?

「點著色」要求將圖的所有頂點著色,且彼此有邊的頂點必須要塗不同色。而一個圖的「點著色數」就是滿足上述要求的方法中使用最少的顏色數。如果把平面上無限多個點都當成頂點,這個擁有無窮多個頂點和無窮多條邊的圖的點著色數是多少呢?這就是困擾圖論專家一甲子的《哈德維格-納爾遜問題》(Hadwiger-Nelson problem)。

這個問題之所以有名其實是拜已故數學科普大師葛老爹 (Martin Gardner) 之賜,他後來將這個難題寫下來刊載在《科學美國人》,除了吸引不少業餘數學愛好者的目光,也引起不少知名圖論專家的興趣,其中包括了赫赫有名的艾狄胥 (Paul Erdos)。即便如此,集結眾人之力還是沒能完全解開這道難題。不過也不是無功而返,數學家們很快地就將這個涉及到無窮圖的難題的正確答案,限縮到一個乍看不可思議的小範圍──介於 4 到 7 之間

「開玩笑吧?!一個無窮多個頂點和邊的圖,這麼複雜的圖居然只要最多 7 色就能夠完成點著色。」我想許多讀者心裡會有這樣的 OS,事實就是如此,詳情我們稍後揭曉。

但正確答案究竟是什麼其實還是無人知曉,不過就在今年四月格雷 (Aubrey de Grey) 丟了一篇論文證明:四個顏色不夠用。讓正確答案的範圍又縮小了,只剩下 5、6、7 三種可能。不過,別小看他這一手,雖然看似輕鬆,其實困擾了眾多數學家六十年啊!

而令人感到驚奇的是,突破僵局的格雷教授並不是專門搞數學的,他的身份是一位致力於長生不老的生物學家,某天在玩棋盤遊戲時突發奇想突破了難關。

生物學家格雷 (Aubrey de Grey)。 圖 / Wikipedia

在此之前,格雷有一項著名事蹟廣為人知,他主張「老化是一種疾病」,只要掌握住關鍵的幾個要素,就能夠抗老,預言人類未來將可以活到一千歲,而且第一個活到一千歲的人已經誕生在世界上了。不論你信不信,我個人希望這件事不要成真,不然五十代同堂可不得了,光是過年吃個年夜飯,連洗碗都有問題啊啊啊!不過,跟秦始皇一樣對於長生不老有興趣的讀者還是參考一下 TED TALK 他的演講《A roadmap to end aging》。

 

為什麼無限多個點,只要有限個顏色就夠畫了?

其實用最簡單的方式, 9 色就可以順利完成了。理由很簡單,考慮一個邊長 2/3 單位的正方形,最遠的兩點落在對角線的兩個頂點上,簡單利用畢氏定理知道對角線長度不足 1 單位,因此,整個正方形可以塗單一色。接著用 9 個不同顏色的同尺寸正方形,排成九宮格。

再重複把這九宮格平移貼上,規律地鋪滿整個平面就完成了。檢查一下:看看是不是任意一個點,跟距離它 1 單位的點都塗不同色呢?

六十年前 7 色的塗法採用類似的概念,只不過用「正六邊形」取代「正方形」來鋪滿整個平面,中間一個加上外圍六個不同色的正六邊形,就是7色的塗法。

那為什麼至少需要 4 色呢?

首先畫兩個單位圓通過彼此的圓心,則兩圓心距離為 1,且兩交點距離圓心也是 1,因此光這四個頂點至少要用掉三個顏色才行。

複製中間這個菱形,將兩個菱形的上頂點釘在一起,分別向左右兩邊旋轉,直到下頂點彼此距離為 1 時停止,此時,兩個下頂點的顏色也被迫要相異,因此三個顏色已經不夠用了,不得已只好使用第四個顏色。這個 7 頂點的圖是需要四色的最小範例,由 Leo 和 William Moser 兩兄弟數學家所提出,後來被稱為莫澤圖(Moser spindle)。

格雷帶來的突破

同樣的道理,要證明 4 色不夠用的方法就是找一個至少需要 5 色的例子。格雷受到莫澤圖的啟發,依照三四個步驟,一步一步建構出一個有著兩萬多個點的圖,這個圖無法只用 4 色完成著色。驗證這個反例可不容易,想像光是頂點數量超過兩萬的圖有多複雜,更別說要驗證 4 個顏色夠不夠用。此時,演算法就派上用場,寫個高效率的程式交給電腦處理就行了。

Aubrey de Grey後來完成點數較少的 1,581 版本。(點圖放大)圖/Olena Shmahalo/Quanta Magazine; Source: Aubrey de Grey

任何一個需要至少 5 色的圖都是這個問題的一項重大進展。數學家希望找到小一點且同樣需要 5 色的圖,最好當然是找到最小的那一種,如此一來就可以更深入地了解究竟需要 5 色的理由是什麼,怎樣的結構會造成顏色數增加,唯有透過不斷地分析解構,才可能更接近真相。格雷也和華裔數學家陶哲軒等人的 polymath 團隊合作,希望藉由團隊的力量將點數大幅度下降。果然,不久後,俄亥俄州立大學的數學家 Dustin Mixon 和 Boris Alexeev 找到一個有 1577 個點的圖。沒多久,德州大學奧斯汀分校的資訊科學家 Marijn Heule 將點數縮小到 874,之後又進一步下降到 826。

雖然有進展,但這 826點的圖還是有點難分析啊。(點圖放大)圖/Olena Shmahalo/Quanta Magazine; Source: Marijn Heule

一系列的改進給沉寂 60 年的 Hadwiger-Nelson 問題帶來一道曙光。不過,要決定正確答案究竟是多少,恐怕還得需要更多時間才有機會解開謎底,這時候,我心裡反倒暗暗希望格雷的一千歲理論是對的了。

註解:

有人可能會將這個「把平面上所有點著色的問題」跟四色定理那個「把平面圖的點著色問題」搞混;平面圖是指可以把圖畫在平面上讓邊都不交叉。四色定理是在平面圖上著色,而本文討論的不是平面圖。

參考資料:

 

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UniMath_96
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遏止 Deepfake 被濫用,韓日歐各國如何規範 AI 使用?

法律白話文運動_96
・2022/01/27 ・4432字 ・閱讀時間約 9 分鐘
  • 作者賴宜欣,台北大學法律系法學組學士,政治大學法律學系碩士,日本國立名古屋大學特別研究生,現為執業律師。

編按:在出現Deepfake之後,網路世界進入了「眼見不為憑」的年代。

本次泛科學和法律白話文合作策畫「Deepfake 專題」,從Deepfake 技術與辨偽技術、到法律如何因應。科技在走,社會和法律該如何跟上、甚至超前部署呢?一起來全方位解析 Deepfake 吧!

網紅小玉的「換臉私密影片」犯罪事件,讓深度造假(DeepFake)技術一夕之間成為台灣廣為人知的的技術。而此次風波,更讓社會大眾注意 AI 技術被濫用的嚴重性,呼請修法的聲浪不斷,希望政府能盡速遏止科技犯罪,不要再有下一個受害者。本文則介紹韓國、日本、歐盟各國的相關管制,擬以他山之石,一窺未來台灣可能的相關管制之道。

圖/envato elements

韓國:以 N 號房事件為鑑,修訂「性暴力犯罪法」

2019 年底,韓國爆發「N 號房事件」──受害規模之大不但震驚了整個韓國社會,也引發國際矚目。

「N 號房」營運的方式,是隨著付費等級提高,就能進入內容更加腥羶的色情房(總會員人數據傳高達 27 萬人);而在那些色情房中,也包含了以深度造假合成的不雅影像及照片為主題的群組。由於付費會員中不乏高社經地位人士,受害者眾多,也讓韓國的社會大眾意識到「數位性犯罪」的嚴重性。

當時韓國法規對數位性犯罪的規範相當不足 ,如同韓國的網路新聞所報導的,面對「換臉加散布」這樣的情況,只能用如《刑法》「提供猥褻物品(包含文書、圖畫或其他物品)罪」或《情報通信網法》中的「透過情報通信網對公眾散布、販賣、提供猥褻影像罪」來處罰,並以毀損名譽及侵害肖像權為由「請求損害賠償」。因此即使是如此眾所矚目的嚴重案件,在法律上實際要進行處罰,最重也不過是 1 年的有期徒刑及 1000 萬韓元(約台幣 25 萬元)的罰金,可說是相當輕微註一

N號房參與者不乏高社經地位人士,讓韓國的社會大眾意識到「數位性犯罪」嚴重性(示意)。圖/envato elements

此外,法律專家們也指出另一個大漏洞──當時的法律並沒有依據能針對「使用深度造假製作虛偽影像的行為本身」施加處罰。也就是說,製作影片本身在當時並不違法,法律必須要等到行為人散布虛偽合成影像、讓影片接觸社會大眾,才能夠啟動處罰。

鑒於利用 AI 技術、合成虛偽影像對受害人已經是一大傷害;而至散佈虛偽影像對受害人來說(特別是被運用在成人情色片等猥褻物品方面),則應被視為極大的二度傷害。根據韓國法律新聞指出,2019 年統計受到「深度造假」換臉程式合成的被害人,高達 96% 是女性,其中 25% 是韓國的女性演藝人員。因此,韓國法界多半認為應直接針對活用深度造假虛偽影像的行為,量身打造可以直接適用的法律;也讓該國開始修定《性暴力犯罪之處罰等相關特例法》(下稱「性暴力犯罪法」)。

修法直接處罰「製作、散布及利用虛偽影像營利的行為」 

就在前述的修法呼聲中,2021 年 1 月 21 日,韓國修正施行了《性暴力犯罪法》相關規定,明文禁止利用深度造假製作虛偽影像等數位性暴力行為。

首先,該法會處罰「製作虛偽影像的人」,只要「抱著散布目的」,在「違反當事人的意思」的前提下,利用「他人面孔、身體或聲音製作攝影、影像、聲音等物」,進行「誘發性慾望和性羞恥心」的「編輯、合成、加工等行為」,就會受到 5 年以下有期徒刑和 5000 萬韓元(約台幣 125 萬元)以下罰金的處罰。

製作、散布、以虛偽影像營利,皆會受到刑罰。 圖/envato elements

其次, 修正後的《性暴力犯罪法》 也會處罰「散布虛偽影像的人」。換句話說,只要將上述「經過編輯合成加工的虛偽影像(包含影像的複製物)」散布出去;且即使在「編輯當時」沒有違反當事人的意願,但事後散布這些虛偽影像時,已經違反當事人意願的話,也是違法的。針對散布的行為,將處以 5 年以下有期徒刑和 5000 萬韓元以下罰金。

接著,如果是「違反當事人意願,利用情報通信網散布虛偽影像來營利」的行為,更會處以 7 年以下有期徒刑。更嚴重的,如果「製作、散布、營利」三種行為全包了,則會加重總合刑度的 2 分之 1。並且,以上這些行為,全部都有處罰未遂犯。

另外,韓國更進一步把利用影片進行「強暴、脅迫及行無義務之事」的行為也列入處罰。像是「利用能夠誘發性慾望和性羞恥心的攝影物和複製物來進行脅迫」,處 1 年以下有期徒刑;又或是利用前述影片「脅迫妨害他人行使權利或使其行無義務之事」者,則處 3 年以下有期徒刑。而若有人統包這兩種行為的話,更會加重總合刑度的 2 分之 1。

修法之後仍未懲罰虛偽影像的「消費者」?

但是,即使制定了專門的處罰法規,還是有不足的地方。比方說,該法並未處罰「購買、消費深度造假影像的視聽者」。律師解釋,修改後的法規只處罰「製作、散布虛偽影像者」一方,並未針對「購買、消費虛偽影像」的另一方,設下處罰規範,也就難以針對「購買、消費虛偽影像的視聽者」予以管制註二

那麼,對於購買深度造假虛偽影像的人,真的沒辦法處罰嗎?律師表示,《性暴力犯罪法》還是會針對「單純持有影像者」,處以 3 年以下有期徒刑及 3000 萬韓元(約 75 萬台幣)以下罰金──不過,本條的處罰前提是:必須證明行為人「把虛偽影像當成真實影像」購買保存,才可以認定為不法持有影像的行為而加以處罰。

但這樣的證明方式過於迂迴,因此韓該國法界多認為,應正視購買視聽對受害人帶來的莫大創傷,未來應明文處罰「購買及消費影像」之人,才能予以平衡。

目前韓國針對「購買、消費虛偽影像」的人,處罰規定不足。圖/envato elements

日本及歐盟:以「AI 倫理規範」防治不當使用

相對於韓國制定專法來防治數位性暴力,日本及歐盟則是建立「AI 利用倫理規範」,在利用 AI 的前階段,對未來的使用方式進行分類,賦予不同程度的行為義務。

2021 年 4 月 21 日,歐盟發表了《人工智慧統一管理規則的立法草案》(Proposal for a Regulation on a European approach for Artificial Intelligence)簡稱「人工智慧法」,依照危險性的高低及重要程度,將利用 AI 的行為分成 4 個類型——「不可接受的風險、高度風險、具限定性風險(有限風險)、極小/無風險」,並要求採取「禁止使用、提供情報、使用情況(如登入)之紀錄、協助主管機關監視 AI、由 AI 進行動作之通知義務、警告標示」等相對應義務。

其中,如同日本學者川嶋雄作專欄文章所討論的,「使用深度造假操作技術,形成畫面、聲音、動畫」等利用行為,是被分類在「具有限定性的危險」。依據該法案,使用深度造假技術做出虛偽影像者,具有通知義務、需附加警告標語,必須告知觀眾這是使用 AI 技術所形成的影像註三

根據日本律師相關的分析內容,日本也採取了和歐盟相同的路線,不走法制化的路線,而著重推廣 AI 倫理 ,由政府部門和國際性企業為首,定期召開會議來檢討國內利用 AI 的情況。

像是日本學界就成立了「人工智慧學會」、內閣府(相當於我國的行政院)也召集了「人工智慧和人類社會之懇談會」、「AI 網絡社會促進會議」等組織,提出人工智慧倫理指南;該指南指出:不能透過人工智慧,直接或間接造成他人情報或財產侵害(安全原則),需尊重他人隱私,並落實誠實義務(透明化原則),並確保不得惡意使用之社會責任(適切原則)。而包括 SONY、日立等日系大廠,也都制定了自家的 AI 守則,來因應國際發展。

總的來說,日本與歐盟沒有立法,主要是針對 AI 的潛在危險性進行分類,並賦予相對的使用義務規範。不過,這樣的方式多少會限定特定 AI 的使用方式,因此是否有必要明文賦予拘束力,目前在歐洲委員會仍在檢討,各國仍尚未定案。而日本目前則是以公部門和企業為首,在配合國際趨勢下進行自主規範,並沒有打算進一步做出強制性的立法 。

相較於韓國因發生嚴重案件而具體修正《性暴力犯罪法》,以遏止類似惡性事件再度發生;歐盟與日本目前仍採取倫理推廣的路線,透過針對 AI 技術的研發起源進行規範。孰優孰劣、未來又將如何發展?恐怕只有時間才能告訴我們了。

圖/envato elements

註解

  • 註一:韓國律師所舉出 2019 年當時可能用來處罰 DeepFake濫用的三個法規:首先是刑法第 244 條「提供猥褻物品(包含文書、圖畫或其他物品)罪」,可處罰 1 年以下有期徒刑和 500 萬韓元(約台幣 12.5 萬元)以下罰金。第二,依「情報通信網利用促進及情報保護等相關法律(情報通信網法)」第 44 條之 7,在「使公共得以接觸下,透過情報通信網散布、販賣、提供猥褻之符號、文件、聲音、畫像和影像等」,處 1 年以下有期徒刑和 1000 萬韓元(約台幣 25 萬元)以下罰金。最後是「名譽毀損」相關法規,對合成並提出猥褻物品者主張名譽毀損,及主張肖像權受侵害,提出損害賠償。
  • 註二:本標題段落參自:딥페이크 처벌법’ 신설하긴 했지만, ‘반쪽’ 짜리 법안입니다
  • 註三:體系圖參照「報道から見る欧州AI規則案の日本での受容と影響」,其中的圖 1:AI 規則案の全体像 。

參考資料

  1. 취향대로 골라보세요?” 한국 아이돌로 장사하는 딥페이크 포르노 ,2019年10月18日。
  2. 韓國《性暴力犯罪之處罰等相關特例法》。
  3. 딥페이크 처벌법’ 신설하긴 했지만, ‘반쪽’ 짜리 법안입니다 ,2021年1月14日
  4. 川嶋 雄作,AI規制は時期尚早か?「EUによる規制法案から考えるAI倫理」 , 独立行政法人経済産業研究所。
  5. InFoCom T&S World Trend Report,情報通信総合研究所主任研究員 栗原佑介,2021.5.31,「報道から見る欧州AI規則案の日本での受容と影響」。
  6. BUSINESS LAWYERS,注目度が高まるAI倫理と個人情報保護の関係 – カメラ画像の利活用を題材に –
  7. 經濟產業省,「我が国の AI ガバナンスの在り方 ver. 1.0 AI 社会実装アーキテクチャー検討会 中間報告書 」,令和3年1月 15 日 ,頁12。
  8. 網路安全所助理研究員 吳宗翰,「歐盟公布草案禁止 AI 用於社會評等」,國防安全雙周報。

 

法律白話文運動_96
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