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如何找到最有效率的唸書方式和順序?數學可以幫你!──《超展開數學約會》

臉譜出版_96
・2018/04/30 ・3433字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 435 ・四年級

圖論研究頂點和邊組成的圖形的數學理論。圖/Tony Hirst@flickr

「晚安,在幹嘛呢?」
「下週要考試了,都唸不完。」
我(世杰)抬頭看螢幕,遊戲「正在讀取中」的長條圖走到 3/4,心裡閃過一絲罪惡感。
「我也正要準備唸書。」我沒說謊,準備再打五場,三小時後唸書。

開始和小昭用 LINE 聊天後,我發現她很認真,每天都在唸書。如果是別人,我早就虧她「今天有去安親班嗎?」、「不,我不是說打工,是說你去上安親班,繳學費的那方。」但小昭只會讓我自慚形穢,她好上進,我好糜爛,連反省也是在遊戲讀取的空檔。

遊戲開始,MathKing 跟我走同一條路線,那是孝和的帳號。
「她每天都用唸書當藉口來拒絕你嗎?」
「我還沒約!」
我點擊滑鼠,對一隻小兵用了絕招,小兵被炸得四分五裂。
「心虛就算了,不要浪費魔法點數。」
「該怎麼幫助小昭唸書更有效率啊?」

我們在系上的電腦教室。雖然可以在家玩,但坐在旁邊並肩作戰的感覺還是比較好,照我剛剛跟小昭的說法是─—留在系上唸書。

「她沒有接著說『改天可以一起唸』……」

孝和盯著螢幕的臉上露出「怎麼可能」的表情。

「用網路聊天很開心,但人與人深交還是需要見面啊,就像我們要坐在一起打電動。」我嘆了口氣說。
「我們只是說垃圾話比較方便。你們也說垃圾話?」
「我們說情話!見面才能看見表情,知道她說話的時候是微笑、大笑,還是嬌羞。見面才能聽見聲音,知道她的語氣是輕快的,還是不帶情感,又或是害羞。」
「你有病,一直希望對方嬌羞害羞。」我用連續技解決掉敵人,繼續說。「見面才能看見整個人,她的手托腮嗎,還是放在桌上?腿上? 我的手上?」

「這是發花癡,不是在講見面的意義了吧。見面的確有意義, 有更多資訊,就能更了解對方的心思。」

雖然線上聊天不錯,但面對面聊當然是最好的吧。圖/pixabay

孝和從旁邊突襲,發動範圍技,我們少打多,解決掉三個對手。

「被你說得好像在測謊。」

大概是從我遊戲人物的步伐中看出了沮喪,孝和自以為不著痕跡地安慰我。
「或許她唸書得專心一個人吧。」
「你也這麼覺得嗎!?」
「我們是不是這麼覺得不重要,而是只能這麼覺得。畢竟就算這真的是藉口,你也不能怎樣。哎專心一點!」我的弓箭手角色在會戰時走到最前線,連一發箭都沒射出就領便當了。

孝和對盯著螢幕發呆的我嘆了口氣,說:「不要只會打順手球啊,你應該用數學來一場大逆轉。」

數學唸書術

「唸書其實就是時間管理。大學以前的課業有範圍。作為第一順位,唸書的目標是:用最少時間,學懂該學的知識。得趕快唸完才能去玩。這是一個最佳化問題,目標是時間,限制是要唸的書。」

孝和跟我拉了兩張椅子坐在印表機旁,他繼續說。

「大學後,唸書變成眾多事情的其中一項,範圍又不像高中那麼固定。所以唸書目標轉變成:在一定的時間內,盡可能唸完最多書。」
「差別在哪?」這不是同一件事的換句話說嗎?
「最佳化問題改變了,要最佳化的是吸收的知識量,限制是一定的時間。大學以前唸不完就不敢睡覺,現在是最多唸到十二點, 唸多少算多少。」孝和從印表機裡拿出一張紙,在背後寫上了

「subject to 後面接的就是限制,要滿足這個限制條件。這稱為『受限的最佳化』(constrained optimization),這兩個問題差別在於, 最佳化的目標跟限制式剛好對調—」

有人遊戲輸掉罵了一聲髒話,孝和被打斷,像當機一樣停了幾秒,接著說:

「給定時間內最有效率的唸書方法,我的經驗是『不同性質的科目交替唸』,才不會因為一直算數學而彈性疲乏。」
「你應該只想唸數學吧。」我盯著孝和諷刺地說。
「如果其他科有數學的一半有趣,我會考慮多喜歡它們一點。」
「竟然對數學做這種噁心的告白……很好,我要學起來。但我的話是喜歡一次唸完同性質的科目。」孝和點頭。

用「圖論」釐清唸書順序

「每個人唸書習慣不同,但我們都同意,存在一種最適合自己的唸書順序。現在,假設一位同學有七科要唸:物理、數學、化學、國文、歷史、地理、英文。他的唸書習慣是―數學前後要接物理跟化學;物理前後是化學、數學,不過物理有很多應用題,所以也可以接著國文唸;化學跟物理類似,前後可以是數學、國文、物理; 國文前後是物理、化學,也可以是歷史、地理;歷史跟地理、國文接著唸,有外國史所以也能接著英文; 地理跟歷史類似,前後可以接歷史、國文、英文;英文則只能接在歷史、地理之間唸。」

「有要求這麼多的嗎!又不是挑食,唸書還有這麼多規矩,在唸書之前他可能得先花上一倍的時間擬定唸書計畫吧。」

我不以為然,孝和在我埋怨的同時低頭畫了一張圖:


「柯南的領結?」

「它叫做『圖論』,是用來表示關聯性的一門數學。」孝和的數青模式要啟動了。
「 圖論緣起於『柯尼斯堡七橋問題』(Seven Bridges of Königsberg):柯尼斯堡有七座橋,當地居民在橋上散步、遛狗,久而久之,他們好奇能不能在不重複的情況下,一次走完七座橋。」

現代版用google map 標示的七橋。圖 By Map data by OpenStreetMap contributors; rendering by GIScience Research Group @ Heidelberg University; produced work by Santacloud [CC BY-SA 2.5 ], via Wikimedia Commons

我又盯著孝和看。他嘖了一聲說:
「不信的話自己上網查。有人拿這個問題問數學家歐拉(L. Euler)。歐拉覺得莫名其妙,他沒去過柯尼斯堡,這也不是數學問題,幹嘛問他。」
「就算是數學問題,我還是覺得莫名其妙。」
「但歐拉很快就發現,他可以『證明沒辦法一次走完』。」

「他去了柯尼斯堡一趟?」 孝和不以為然地冷笑了一聲。
「數學家可以抽象化問題,解決抽象問題,等同於解決了現實問題,根本不需要去柯尼斯堡走一趟。」

「我要是柯尼斯堡鄉民,才不會信一個連走都沒走過的人。」
「真相的存在,並非取決於人們是否相信。」
「再加個風景照,弄個字體,就可以把這句話做成長輩圖了。」我虧孝和,視線回到他畫的圖,每條線段旁邊寫著科目,線段跟線段的交點標上數字。再仔細看,數字剛好是點所連結的線段數目。孝和的聲音從旁邊傳來。

「這個數字稱為度數(degree),歐拉從柯尼斯堡七橋問題發展出圖論這套用點跟線來分析現象的數學領域。在柯尼斯堡七橋問題裡,每一座橋就是一條線。在我們這邊,一個科目就是一條線。線段間的連結則是根據唸書規畫。剛剛的例子是數學要跟物理或化學接著唸,所以你看數學的線段就和跟物理、化學連接。」

我有點意外,兩件完全不同的事情,被數學抽象化之後竟然是相同的。

「德國作家歌德說過:『數學家都是法國人,他們會把你說的話用自己的語言重新講一次,然後就變成截然不同的事情。』」
「我懂歌德的心情。」
「歌德少說了一件事,數學家可以把不同表象的事物,歸納成同一件事情,就像這個例子。所以數學家只要發明一套解決方法, 就可以同時解決很多問題。在這邊,歐拉發現想要一次走完全部的線段,最多只能有2 個點的度數是奇數。超過了,就無法一次走完。」

「規則這麼簡單?」
「還有,奇數點要做為起點。」
我低頭,這張圖只有兩個點的度數是 3,其他都是偶數。我伸出食指,從左邊的 3 出發,物理→數學→化學→國文→地理→英文→

歷史,哎,還真的繞完了。但如果改成從左上的 2 出發,數學→化學→物理,卡住了。

「為什麼啊?」我發問,孝和用問句回答我

「度數是 1 的點會發生什麼事?」
「走進去就出不來了。」
「度數是 2 的點?」
「可以直接穿過去,有進有出。」
「度數是 3 呢?」

我懂了,度數 3 是一進一出,會用掉兩條線,然後就變成了度數是 1 的點。

「起點是『離開不回來』,終點是『進去不出來』,所以可以用度數為奇數的點。其他點就不行。」
「不錯,你這樣跟小昭解釋,她應該就懂了。」孝和補充:「不過要注意,一種敘述可以畫出好幾種不同的圖。」他拿起筆畫了另一種圖。

「像這個同學的唸書習慣也可以畫成這樣,但如此一來奇數點太多,就無法一筆畫走完。簡單地說,敘述跟圖不是一對一(one to one),而是一對多,或是多對多……」

這根本不叫「簡單地說」,我忽略孝和的聲音,趁著圖論的知識還沒忘光光,趕快拿出手機傳訊息給小昭。

 

 

本文摘自《超展開數學約會:談個戀愛,關數學什麼事!?》,臉譜出版

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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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天天朝九晚五心好累?明明五小時就夠啦!
Peggy Sha
・2021/07/09 ・3155字 ・閱讀時間約 6 分鐘

在疫情期間,你的工時有沒有跟著調整,或者直接 WFH 了呢?在疫情逐漸趨緩的狀況下,不少企業已經開始思考回歸一周五天進辦公室那種朝九晚五的生活了,嗚嗚嗚,到底為什麼要一週工作五天啊,我只想躺著也有錢賺啊(等等)

Corona Working From Home GIF by MOODMAN
疫情影響下,許多人的工作型態或工時受到改變。圖/GIPHY

嘿嘿,你想問的問題,各種人資專家也想問,欸欸,那個,一週工作四天不好嗎?一天工作三小時不好嗎?說不定這樣員工還更有效率呢!

有影嘸影?所以說,到底工作幾個小時最好?

一天八小誰說的?工業革命惹的禍!

說到這減少工時嘛,我們首先得來看看咱們原本的工時到底是怎麼來的,其實,這一切都是福特汽車公司的陰謀!(指) 

工業革命之後,在廠房工作成了大多數勞工的日常,一開始呢,大家一週可是要工作六天的,只有禮拜天因為信仰的關係,定為了休息日。(上帝都休,你敢不休?)

到了 20 世紀,由福特領頭的一些廠商提出了「一週五天、一日八小」這種工作方式,為什麼呢?因為週休二日能讓員工有更多機會花錢,花錢幹嘛呢?花錢買我們的產品啊!這些消費有助經濟成長、不會降低生產力,還非常適合輪班制度,一日三班就能讓生產線永遠不斷,於是乎,這制度就沿用了下來。

1913年福特汽車生產流水線。圖/wiki

神啊!讓我少工作一天吧!

問題是,現在可都 21 世紀了啊!我們為什麼還要用這種工時系統呢?英國的工會聯盟(Trade Union Council, TUC)就發話了,他們在工作環境改善報告中提出,如果大家可以選擇的話,有八成的人都希望可以少工作一天。

但想歸想,如果真的變成每週上四天班,又會如何呢?

來自奧克蘭大學商學院(University of Auckland Business School)的高級講師 Helen Delaney 便曾在 2018 年試驗了這件事,實驗的對象主要來自一間紐西蘭信託公司「Perpetual Guardian」中的員工。

結果發現,唉呀,這少工作一天可真是好處多多啊,不僅工作效率依舊,團隊合作跟工作的投入程度都增加了。另一方面,為了在四天內做完所有工作、好好享受假期,有不少員工會嘗試運用創新的小技巧來提高工作效率,像是將流程自動化啦、改變會議方式啦、加裝新的 app 啦等等。

不過呢,這種轉變也不是全無壞處的,有些人就覺得只有四天能工作,會讓他們的壓力暴增,也有些人會在四天內加班,等於是總工時沒啥變化,花在工作上的時間還是一樣多。

Hard Work GIF by memecandy
工時減少一天後,有人為了享受假期而提高工作效率,也有人感覺壓力增加。圖/GIPHY

一天只要上五小,快樂工作沒煩惱?

好吧,既然工作四天壓力大,那讓我們換一下,一樣工作五天,但工時稍微少一咪咪怎麼樣?矽谷智庫的資深顧問方洙正(Alex Soojung-Kim Pang)非常推崇這種概念,還為此出了一本書《用心休息》。

他認為,比起工作超長時間,很多成功人士更著重於提高每天的高度專注時間,(簡單來說就是重質不重量啦XD),他們一天基本花費 4~4.5 個小時高強度工作,進而達到他們的目標。

哇塞,一天只要五小時是不是聽起來很讚?加州的電商「Tower Paddle Boards」跟德國數位顧問公司「Rheingans」也覺得聽起來很讚,所以他們嘗試用了這種方式。

Tower Paddle Boards 早在 2015 年就採取了每天工作五小時的制度,員工從早八一路工作到下午一點,中間完全不休息,時間到就打卡走人。結果怎麼樣呢?公司的 CEO──Stephan Aarstol 表示非常滿意,因為員工們都很想要擁有悠閒的下午,會自己在時間內加倍努力地工作,最後甚至讓產能增加了 50%!

像是倉庫人員,本來每個包裹要包他個五分鐘,工時一改變,他們只需要不到三分鐘就能包好,在時間限制下,大家會開始使用創造性思考來增加產能。

90S Spin GIF by GIFt Delivery
縮短每日工時後,員工主動在時間內加倍努力地工作。圖/GIPHY

又能午睡又能高效產出,這應該是完美工作法了吧?嗯……也不全是。從 Rheingans 公司的結果看來,這方法還是有些缺點的。

雖然五小時工作法在 Rheingans 公司裡依然正常發揮,提升了效率、讓員工能在工作/生活間取得平衡,但是,對於公司氛圍來說,卻是有害無益,畢竟,大家都忙著工作,誰有空陪你喝咖啡講屁話,久而久之,團隊文化、員工歸屬感等等,就在無形中被犧牲掉了。

五小時特權,不是人人能擁有

除了上面這種願意第一線嘗試的公司之外,有些學術研究也有類似的發現,像是英國雷丁大學亨利商學院(University of Reading’s Henley Business School)策略人資管理的副教授 Rita Fontinha 便在自己的研究中指出:縮短工時雖然有助於提升員工的生活品質與團隊成效,但也會帶來許多壓力。有趣的是,有些員工雖然加了很多班,卻對自己的工作十分滿意。因此,綜合考量各個情況,Fontinha 認為,公司其實應該給員工多一點工作時間調配的彈性。

牛津大學賽德商學院(University of Oxford’s Saïd Business School)副教授 Jan-Emmanuel de Neve 的研究也得到了類似的結論,那就是,雖然一天只工作五小時能提高效率跟員工的幸福感,但效率提升也可能被要求做更多工作(慣老闆你懂的),那原本的幸福也變得不幸福了嗚嗚。

除了工作時幸不幸福、快不快樂這種奢侈的煩惱,有些阻礙更「實際」一點,像是工廠生產線、電話客服等等需輪班的職位,其實還是用八小時制更方便一些;此外,有些工作不需要高度專注,也不要求你多有創意,這種機械化的工作,也較適用原本的八小時班制。

Line Production GIF
工廠生產線與客服等比較機械式的工作,八小時制的工時更便於排班。圖/GIPHY

所以說,到底怎樣工作比較好啦?

唉呦,說來說去都是有利有弊,到底怎樣最好?你或許可以參考利物浦的行銷公司「Agent」的方式,他們 2016 年時曾在《BBC》的邀請下,施行了每天工作六小時的實驗,也碰到了上面說到的難題。

後來,他們便改用新式的「兩短三長」工作法,給員工一些彈性,讓他們自己從一週裡面挑出兩天縮短工時,四年多來,看起來成效依然不錯,算是目前看起來 CP 值最高的工時分配方法。

以上說了這麼多的工時調整方法,你最中意哪一種呢?唉,說了這麼多,也得老闆同意才行對吧,身為社畜的我,還是先洗洗睡好了。

參考資料:

  1. Bellet, C. S., Neve, J. D., & Ward, G. (2019). Does Employee Happiness Have an Impact on Productivity. SSRN. DOI: 10.2139/ssrn.3470734
  2. Fontinha, R., Easton, S. & Van Laar, D. (2019). Overtimeand quality of working life in academics and non-academics:the role of perceived work-life balance. ResearchGate. DOI: 10.1037/str0000067
  3. Delaney, H. Perpetual Guardian’s 4-day workweek trial: Qualitative research analysis. 4 Day Week Global.
  4. Taylor, M. (2021). The perfect number of hours to work every day? Five. WIRED.
  5. PRIDAY, R. (2018). The science behind the success of a four-day working week. WIRED.
  6. Cobie, N. (2021). Forget a four-day work week. How about seven? WIRED.
  7. Wiginton, K. (2021). Your ability to focus may be limited to 4 or 5 hours a day. Here’s how to make the most of them. The Washington Post.
  8. Elegant, N. X. (2020). ‘The old ways of working are outdated’: Unilever is experimenting with a 4-day workweek. Fortune.
  9. A future that works for working people. TUC.

所有討論 2
Peggy Sha
67 篇文章 ・ 387 位粉絲
曾經是泛科的 S 編,來自可愛的教育系,是一位正努力成為科青的女子,永遠都想要知道更多新的事情,好奇心怎樣都不嫌多。

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如何找到最有效率的唸書方式和順序?數學可以幫你!──《超展開數學約會》
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・2018/04/30 ・3433字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 435 ・四年級

圖論研究頂點和邊組成的圖形的數學理論。圖/Tony Hirst@flickr

「晚安,在幹嘛呢?」
「下週要考試了,都唸不完。」
我(世杰)抬頭看螢幕,遊戲「正在讀取中」的長條圖走到 3/4,心裡閃過一絲罪惡感。
「我也正要準備唸書。」我沒說謊,準備再打五場,三小時後唸書。

開始和小昭用 LINE 聊天後,我發現她很認真,每天都在唸書。如果是別人,我早就虧她「今天有去安親班嗎?」、「不,我不是說打工,是說你去上安親班,繳學費的那方。」但小昭只會讓我自慚形穢,她好上進,我好糜爛,連反省也是在遊戲讀取的空檔。

遊戲開始,MathKing 跟我走同一條路線,那是孝和的帳號。
「她每天都用唸書當藉口來拒絕你嗎?」
「我還沒約!」
我點擊滑鼠,對一隻小兵用了絕招,小兵被炸得四分五裂。
「心虛就算了,不要浪費魔法點數。」
「該怎麼幫助小昭唸書更有效率啊?」

我們在系上的電腦教室。雖然可以在家玩,但坐在旁邊並肩作戰的感覺還是比較好,照我剛剛跟小昭的說法是─—留在系上唸書。

「她沒有接著說『改天可以一起唸』……」

孝和盯著螢幕的臉上露出「怎麼可能」的表情。

「用網路聊天很開心,但人與人深交還是需要見面啊,就像我們要坐在一起打電動。」我嘆了口氣說。
「我們只是說垃圾話比較方便。你們也說垃圾話?」
「我們說情話!見面才能看見表情,知道她說話的時候是微笑、大笑,還是嬌羞。見面才能聽見聲音,知道她的語氣是輕快的,還是不帶情感,又或是害羞。」
「你有病,一直希望對方嬌羞害羞。」我用連續技解決掉敵人,繼續說。「見面才能看見整個人,她的手托腮嗎,還是放在桌上?腿上? 我的手上?」

「這是發花癡,不是在講見面的意義了吧。見面的確有意義, 有更多資訊,就能更了解對方的心思。」

雖然線上聊天不錯,但面對面聊當然是最好的吧。圖/pixabay

孝和從旁邊突襲,發動範圍技,我們少打多,解決掉三個對手。

「被你說得好像在測謊。」

大概是從我遊戲人物的步伐中看出了沮喪,孝和自以為不著痕跡地安慰我。
「或許她唸書得專心一個人吧。」
「你也這麼覺得嗎!?」
「我們是不是這麼覺得不重要,而是只能這麼覺得。畢竟就算這真的是藉口,你也不能怎樣。哎專心一點!」我的弓箭手角色在會戰時走到最前線,連一發箭都沒射出就領便當了。

孝和對盯著螢幕發呆的我嘆了口氣,說:「不要只會打順手球啊,你應該用數學來一場大逆轉。」

數學唸書術

「唸書其實就是時間管理。大學以前的課業有範圍。作為第一順位,唸書的目標是:用最少時間,學懂該學的知識。得趕快唸完才能去玩。這是一個最佳化問題,目標是時間,限制是要唸的書。」

孝和跟我拉了兩張椅子坐在印表機旁,他繼續說。

「大學後,唸書變成眾多事情的其中一項,範圍又不像高中那麼固定。所以唸書目標轉變成:在一定的時間內,盡可能唸完最多書。」
「差別在哪?」這不是同一件事的換句話說嗎?
「最佳化問題改變了,要最佳化的是吸收的知識量,限制是一定的時間。大學以前唸不完就不敢睡覺,現在是最多唸到十二點, 唸多少算多少。」孝和從印表機裡拿出一張紙,在背後寫上了

「subject to 後面接的就是限制,要滿足這個限制條件。這稱為『受限的最佳化』(constrained optimization),這兩個問題差別在於, 最佳化的目標跟限制式剛好對調—」

有人遊戲輸掉罵了一聲髒話,孝和被打斷,像當機一樣停了幾秒,接著說:

「給定時間內最有效率的唸書方法,我的經驗是『不同性質的科目交替唸』,才不會因為一直算數學而彈性疲乏。」
「你應該只想唸數學吧。」我盯著孝和諷刺地說。
「如果其他科有數學的一半有趣,我會考慮多喜歡它們一點。」
「竟然對數學做這種噁心的告白……很好,我要學起來。但我的話是喜歡一次唸完同性質的科目。」孝和點頭。

用「圖論」釐清唸書順序

「每個人唸書習慣不同,但我們都同意,存在一種最適合自己的唸書順序。現在,假設一位同學有七科要唸:物理、數學、化學、國文、歷史、地理、英文。他的唸書習慣是―數學前後要接物理跟化學;物理前後是化學、數學,不過物理有很多應用題,所以也可以接著國文唸;化學跟物理類似,前後可以是數學、國文、物理; 國文前後是物理、化學,也可以是歷史、地理;歷史跟地理、國文接著唸,有外國史所以也能接著英文; 地理跟歷史類似,前後可以接歷史、國文、英文;英文則只能接在歷史、地理之間唸。」

「有要求這麼多的嗎!又不是挑食,唸書還有這麼多規矩,在唸書之前他可能得先花上一倍的時間擬定唸書計畫吧。」

我不以為然,孝和在我埋怨的同時低頭畫了一張圖:


「柯南的領結?」

「它叫做『圖論』,是用來表示關聯性的一門數學。」孝和的數青模式要啟動了。
「 圖論緣起於『柯尼斯堡七橋問題』(Seven Bridges of Königsberg):柯尼斯堡有七座橋,當地居民在橋上散步、遛狗,久而久之,他們好奇能不能在不重複的情況下,一次走完七座橋。」

現代版用google map 標示的七橋。圖 By Map data by OpenStreetMap contributors; rendering by GIScience Research Group @ Heidelberg University; produced work by Santacloud [CC BY-SA 2.5 ], via Wikimedia Commons
 

我又盯著孝和看。他嘖了一聲說:
「不信的話自己上網查。有人拿這個問題問數學家歐拉(L. Euler)。歐拉覺得莫名其妙,他沒去過柯尼斯堡,這也不是數學問題,幹嘛問他。」
「就算是數學問題,我還是覺得莫名其妙。」
「但歐拉很快就發現,他可以『證明沒辦法一次走完』。」

「他去了柯尼斯堡一趟?」 孝和不以為然地冷笑了一聲。
「數學家可以抽象化問題,解決抽象問題,等同於解決了現實問題,根本不需要去柯尼斯堡走一趟。」

「我要是柯尼斯堡鄉民,才不會信一個連走都沒走過的人。」
「真相的存在,並非取決於人們是否相信。」
「再加個風景照,弄個字體,就可以把這句話做成長輩圖了。」我虧孝和,視線回到他畫的圖,每條線段旁邊寫著科目,線段跟線段的交點標上數字。再仔細看,數字剛好是點所連結的線段數目。孝和的聲音從旁邊傳來。

「這個數字稱為度數(degree),歐拉從柯尼斯堡七橋問題發展出圖論這套用點跟線來分析現象的數學領域。在柯尼斯堡七橋問題裡,每一座橋就是一條線。在我們這邊,一個科目就是一條線。線段間的連結則是根據唸書規畫。剛剛的例子是數學要跟物理或化學接著唸,所以你看數學的線段就和跟物理、化學連接。」

我有點意外,兩件完全不同的事情,被數學抽象化之後竟然是相同的。

「德國作家歌德說過:『數學家都是法國人,他們會把你說的話用自己的語言重新講一次,然後就變成截然不同的事情。』」
「我懂歌德的心情。」
「歌德少說了一件事,數學家可以把不同表象的事物,歸納成同一件事情,就像這個例子。所以數學家只要發明一套解決方法, 就可以同時解決很多問題。在這邊,歐拉發現想要一次走完全部的線段,最多只能有2 個點的度數是奇數。超過了,就無法一次走完。」

「規則這麼簡單?」
「還有,奇數點要做為起點。」
我低頭,這張圖只有兩個點的度數是 3,其他都是偶數。我伸出食指,從左邊的 3 出發,物理→數學→化學→國文→地理→英文→

歷史,哎,還真的繞完了。但如果改成從左上的 2 出發,數學→化學→物理,卡住了。

「為什麼啊?」我發問,孝和用問句回答我

「度數是 1 的點會發生什麼事?」
「走進去就出不來了。」
「度數是 2 的點?」
「可以直接穿過去,有進有出。」
「度數是 3 呢?」

我懂了,度數 3 是一進一出,會用掉兩條線,然後就變成了度數是 1 的點。

「起點是『離開不回來』,終點是『進去不出來』,所以可以用度數為奇數的點。其他點就不行。」
「不錯,你這樣跟小昭解釋,她應該就懂了。」孝和補充:「不過要注意,一種敘述可以畫出好幾種不同的圖。」他拿起筆畫了另一種圖。

「像這個同學的唸書習慣也可以畫成這樣,但如此一來奇數點太多,就無法一筆畫走完。簡單地說,敘述跟圖不是一對一(one to one),而是一對多,或是多對多……」

這根本不叫「簡單地說」,我忽略孝和的聲音,趁著圖論的知識還沒忘光光,趕快拿出手機傳訊息給小昭。

 

 

本文摘自《超展開數學約會:談個戀愛,關數學什麼事!?》,臉譜出版

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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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萬事都要拖到死線!拖延症到底有沒有藥醫?
郭 宜蓁
・2019/05/29 ・2557字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 450 ・四年級

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

作業期限在星期四晚上的 23:59,今天才星期一,還早啦。
咦!突然就星期三了,好像該來做作業了,可是好像還是沒有靈感,不如等睡醒之後再來做吧。
糟糕了,剩下兩小時,靈感該來了吧⋯⋯
最後終於趕在時限前完成,一天又平安的過去了,感謝飛天小女警的努力(?)

不是啊,這樣的生活也太辛苦了吧!

飛天小女警。圖/wikimedia

對於該完成的事情,我們本來就會有先後順序的調配與取捨,但倘若一味推延應該要完成的正事時,便會形成「拖延行為」。
以下這些拖延行為,你有覺得很熟悉嗎(中箭):

  • 同時接下太多任務,無法一次完成而導致拖延
  • 以為自己還有時間,晚一點再做也沒關係,結果到截止前才開始動工
  • 當其他更有趣的事情出現,就會先放下手邊的事,結果忘記自己還在進行的任務
  • 對於有壓力的事,能拖就拖,寧可一直拖延來逃避,就像是⋯⋯文章就是寫不出來啊啊啊啊啊QAQ

拖延行為對大家的生活造成許多不便,像是在小組報告遇見會拖延的雷隊友,真的會覺得很崩潰。既然拖延行為這麼讓人討厭,我們到底該如何解決呢?要解決拖延行為太困難了,不如解決產生拖延行為的人吧!(不可以啊!)

要解決拖延行為太困難了,不如解決產生拖延行為的人吧!圖/giphy

2014 年曾有研究在探討「拖延是衝動的演化副產物」——研究指出拖延、衝動皆與成功追求和權衡目標的能力有關,也可以這麼解釋:當我們被衝動驅使追逐眼前利益時,我們很容易就放棄了那些遠期目標,於是就開始拖延了。

而除了演化上的因素,造就拖延的心理也可能來自其他原因,就讓我們娓娓道來吧。

追求完美反而裹足不前?

讀者們在看到完美主義時,或許會覺得這個原因很奇怪、很難把拖延行為連結到完美主義。可能有人會想說:既然都是完美主義了,怎麼還會拖延呢?

如果帶著追求完美與精準確實的心態將事務完成,結果通常挺不錯的,但是這些「完美」是怎麼來的呢?「完美」的評語通常來自於他人眼光與自我評價,而追求完美者的糾結點在於:要不就做到最好,要不就不要做,可是要做到毫無缺點是不可能的,所以乾脆不要做吧?(不行!)

在完美的眼光下掙扎、被所謂的十全十美綁架,什麼都不去做,就只會停滯在原點,試著往前踏出一步,雖然過程不是那麼容易、前行的步伐不大,但是里程數也漸漸在累積了。

不要執著於完美,先踏出第一步吧!圖/pixabay

把時間視覺化,讓時間的感覺具體化

在時間管理上,我們很可能遇到以下兩種問題:一是不知道要抓多久的時間,以為自己只要花 3 個小時就能完成的任務,實際上卻要花了 5 小時才完成;另一是不知道截止時間已近在眼前,有時候拖延一下,不小心就只剩下 2 小時了,這時候才開始緊張就來不及了呀!

這些問題反映出我們對於規劃自己的時間其實並不熟悉,那麼,這該怎麼解決呢?可以嘗試提前預估自己完成任務所需的時間,一方面可以控管自己的效率,同時了解自己到底需要花多少時間才能完成任務。除此之外,同時將計畫視覺化、物象化(例如使用行事曆做紀錄)也能夠將時間呈現眼前,進而讓自己知道所剩時間其實並不如想像中多。

將時間用視覺化方式呈現,可以讓你更明確知道剩下多少時間。圖/CC BY-SA 3.0, wikimedia commons

任務太大塊、無法一口吃,那就多切幾刀慢慢吃

接下的任務範圍過大、不知道該從何開始時,可能也會讓我們卻步、逃避,總是要在時間逼近時才要動作,偏偏這時再來後悔就來不及了。那麼,不如分割這些壓力吧。就像在夜市買了好多好吃的小吃,很想要馬上吃下肚裡,但我們的嘴也就這麼大的空間,總不可能一口吞下吧。

而我們的任務也是這樣,就像筆者在寫這篇文章的時侯,不知該要從何寫起,就先分段列出各個想告訴讀者的細項,再逐一擊破,文章就生出來了唷!(嗚嗚⋯⋯是感動的淚水)

前段提到將計畫視覺化、物象化,除了能夠將時間呈現眼前之外,任務一一被列出時,還能對自己規劃的任務做複習與整合,同時幫助記憶、知道自己該做哪些事情。不過到底是手寫行事曆好,還是用 APP 記錄比較好呢?無論使用哪種媒介進行記錄,重要的還是整合與複習,才能夠記下自己當下應該要完成的事。

如果覺得任務太大,那就切成小塊的再逐一擊破。圖/pixabay

大家都會拖,但怎麼面對很重要

還有些人之所以想要拖延,是因為覺得拖到最後一刻比較有靈感,總要到期限之前才會靈感大爆發。面對期限的恐懼、緊張很有可能讓腎上腺素爆發,但是,實際上是否真能做得比較好也不一定,因為最後的成果也只是當下能完成的「最好」,不見得是我們真正能做到的「最好」。除此之外,就像上面提到的完美主義,從另一個角度來看,當拖延到最後一刻才開始動工完成,拖延者可能就更有理由解釋自己做得不夠完美是來自於時間不夠充分。

所以在面對自己拖延行為時,儘管逃避雖然可恥但是有用(?),不過只是一味因為焦慮而想要逃避,讓自己的狀態停滯不前,就完全不會有所改變,真的想要解決焦慮,不如勇於嘗試,真正實踐的時候也就不會那麼困難了。

現在就做!不要一直說「等一下」。圖/pixabay

你是不是也總在拖延與後悔中掙扎呢?與其花時間思考該如何合理化自己的拖延行為,不如試試往前踏出一步。在我們學會走路之前,也一定經歷過跌跌撞撞,就連現在學會走路了都還是有可能會摔倒,沒有人不跌倒,但如何面對自己的跌倒才是更重要的,也可以造樣造句:

沒有人不拖延,但如何面對自己的拖延才是更重要的!

參考資料

郭 宜蓁
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輔大心理系畢業,面對未知世界,選擇用科學方式碰觸、感受,再用內化後的框架去結構、詮釋所感知的世界。

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停擺 60 年的《哈德維格-納爾遜問題》在一位生物學家的手上有了新突破!
UniMath_96
・2018/08/17 ・2757字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 512 ・六年級

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

  • 文/陳宏賓 │ UniMath 主編、中興大學應用數學系助理教授。

圖論 (Graph Theory) 在數學領域是專門研究一群物件與物件彼此關聯的學問。將要研究的對象物件以頂點視之,兩個物件若有關聯則連接一條邊,圖論主要是研究這個抽象化後由頂點集邊集所構成的圖的性質。

圖論 (Graph Theory) 是專門研究一群物件與物件彼此關聯的學問,其中著色問題可以說是圖論中最經典的研究主題之一。圖 / wikipedia

著色問題可以說是圖論最經典的研究主題之一,透過著色,我們可以將圖分類,這個是可以 2 著色的圖,那個是可以 5 著色的圖……。如果有人問你數學家都在做什麼工作?有一個我認為還不錯又簡單的答案,那就是「分類」。各種領域的數學家都在忙著分類,而「著色數」是圖的一項重要分類指標。

讓人困擾60年的《哈德維格-納爾遜問題》

1950 年,就讀芝加哥大學的大學生愛德華 · 尼爾森 (Edward Nelson) 提出了一個困擾數學家多年的著色問題。在二維平面上,任意選一些頂點,如果頂點間的距離是 1 個單位,就把這兩頂點連接一條邊,這種圖稱為單位距離圖 (unit-distance graph)。尼爾森好奇平面上隨便一個這樣子的圖,「點著色數」是多少呢?

「點著色」要求將圖的所有頂點著色,且彼此有邊的頂點必須要塗不同色。而一個圖的「點著色數」就是滿足上述要求的方法中使用最少的顏色數。如果把平面上無限多個點都當成頂點,這個擁有無窮多個頂點和無窮多條邊的圖的點著色數是多少呢?這就是困擾圖論專家一甲子的《哈德維格-納爾遜問題》(Hadwiger-Nelson problem)。

這個問題之所以有名其實是拜已故數學科普大師葛老爹 (Martin Gardner) 之賜,他後來將這個難題寫下來刊載在《科學美國人》,除了吸引不少業餘數學愛好者的目光,也引起不少知名圖論專家的興趣,其中包括了赫赫有名的艾狄胥 (Paul Erdos)。即便如此,集結眾人之力還是沒能完全解開這道難題。不過也不是無功而返,數學家們很快地就將這個涉及到無窮圖的難題的正確答案,限縮到一個乍看不可思議的小範圍──介於 4 到 7 之間

「開玩笑吧?!一個無窮多個頂點和邊的圖,這麼複雜的圖居然只要最多 7 色就能夠完成點著色。」我想許多讀者心裡會有這樣的 OS,事實就是如此,詳情我們稍後揭曉。

但正確答案究竟是什麼其實還是無人知曉,不過就在今年四月格雷 (Aubrey de Grey) 丟了一篇論文證明:四個顏色不夠用。讓正確答案的範圍又縮小了,只剩下 5、6、7 三種可能。不過,別小看他這一手,雖然看似輕鬆,其實困擾了眾多數學家六十年啊!

而令人感到驚奇的是,突破僵局的格雷教授並不是專門搞數學的,他的身份是一位致力於長生不老的生物學家,某天在玩棋盤遊戲時突發奇想突破了難關。

生物學家格雷 (Aubrey de Grey)。 圖 / Wikipedia

在此之前,格雷有一項著名事蹟廣為人知,他主張「老化是一種疾病」,只要掌握住關鍵的幾個要素,就能夠抗老,預言人類未來將可以活到一千歲,而且第一個活到一千歲的人已經誕生在世界上了。不論你信不信,我個人希望這件事不要成真,不然五十代同堂可不得了,光是過年吃個年夜飯,連洗碗都有問題啊啊啊!不過,跟秦始皇一樣對於長生不老有興趣的讀者還是參考一下 TED TALK 他的演講《A roadmap to end aging》。

 

為什麼無限多個點,只要有限個顏色就夠畫了?

其實用最簡單的方式, 9 色就可以順利完成了。理由很簡單,考慮一個邊長 2/3 單位的正方形,最遠的兩點落在對角線的兩個頂點上,簡單利用畢氏定理知道對角線長度不足 1 單位,因此,整個正方形可以塗單一色。接著用 9 個不同顏色的同尺寸正方形,排成九宮格。

再重複把這九宮格平移貼上,規律地鋪滿整個平面就完成了。檢查一下:看看是不是任意一個點,跟距離它 1 單位的點都塗不同色呢?

六十年前 7 色的塗法採用類似的概念,只不過用「正六邊形」取代「正方形」來鋪滿整個平面,中間一個加上外圍六個不同色的正六邊形,就是7色的塗法。

那為什麼至少需要 4 色呢?

首先畫兩個單位圓通過彼此的圓心,則兩圓心距離為 1,且兩交點距離圓心也是 1,因此光這四個頂點至少要用掉三個顏色才行。

複製中間這個菱形,將兩個菱形的上頂點釘在一起,分別向左右兩邊旋轉,直到下頂點彼此距離為 1 時停止,此時,兩個下頂點的顏色也被迫要相異,因此三個顏色已經不夠用了,不得已只好使用第四個顏色。這個 7 頂點的圖是需要四色的最小範例,由 Leo 和 William Moser 兩兄弟數學家所提出,後來被稱為莫澤圖(Moser spindle)。

格雷帶來的突破

同樣的道理,要證明 4 色不夠用的方法就是找一個至少需要 5 色的例子。格雷受到莫澤圖的啟發,依照三四個步驟,一步一步建構出一個有著兩萬多個點的圖,這個圖無法只用 4 色完成著色。驗證這個反例可不容易,想像光是頂點數量超過兩萬的圖有多複雜,更別說要驗證 4 個顏色夠不夠用。此時,演算法就派上用場,寫個高效率的程式交給電腦處理就行了。

Aubrey de Grey後來完成點數較少的 1,581 版本。(點圖放大)圖/Olena Shmahalo/Quanta Magazine; Source: Aubrey de Grey

任何一個需要至少 5 色的圖都是這個問題的一項重大進展。數學家希望找到小一點且同樣需要 5 色的圖,最好當然是找到最小的那一種,如此一來就可以更深入地了解究竟需要 5 色的理由是什麼,怎樣的結構會造成顏色數增加,唯有透過不斷地分析解構,才可能更接近真相。格雷也和華裔數學家陶哲軒等人的 polymath 團隊合作,希望藉由團隊的力量將點數大幅度下降。果然,不久後,俄亥俄州立大學的數學家 Dustin Mixon 和 Boris Alexeev 找到一個有 1577 個點的圖。沒多久,德州大學奧斯汀分校的資訊科學家 Marijn Heule 將點數縮小到 874,之後又進一步下降到 826。

雖然有進展,但這 826點的圖還是有點難分析啊。(點圖放大)圖/Olena Shmahalo/Quanta Magazine; Source: Marijn Heule

一系列的改進給沉寂 60 年的 Hadwiger-Nelson 問題帶來一道曙光。不過,要決定正確答案究竟是多少,恐怕還得需要更多時間才有機會解開謎底,這時候,我心裡反倒暗暗希望格雷的一千歲理論是對的了。

註解:

有人可能會將這個「把平面上所有點著色的問題」跟四色定理那個「把平面圖的點著色問題」搞混;平面圖是指可以把圖畫在平面上讓邊都不交叉。四色定理是在平面圖上著色,而本文討論的不是平面圖。

參考資料:

UniMath_96
9 篇文章 ・ 208 位粉絲
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