編寫第一本微積分課本──瑪利亞・阿格尼西誕辰│科學史上的今天：5/16

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

查爾斯．巴貝奇（Charles Babbage），1792 至 1871 年。

1843 年，一位英國數學家提出了分析機原理，這個構思將在一百零三年後由後人付諸實踐，並有了一個為大家熟知的名字——計算機（今日俗稱電腦）。很遺憾，查理斯．巴貝奇終其一生也沒能實現造出分析機的願望，但他依舊是當之無愧的計算機先驅。

直到今天，許多計算機書籍扉頁裡仍然刊載著他的照片，以表紀念。

巴貝奇發明小型差分計算機

一七九二年，巴貝奇出生於倫敦一個富有的銀行家家庭，十八歲進入著名的劍橋大學三一學院，成為牛頓的校友。後來他擔任了牛頓擔任過的「盧卡斯數學教授」職務。在進入大學之前，他就展現出極高的數學天分。

進入大學後，巴貝奇發現，當時英國人普遍接受的牛頓建立在運動基礎之上的微積分，不如萊布尼茨基於符號處理的微積分那樣便於理解和傳播。為了推廣已被歐洲大陸普遍接受的萊布尼茨的微積分，他和其他人一同創辦了英國的（數學）分析學會。

不過巴貝奇並不是一個安分的學生，他一方面顯現出超凡的智力，另一方面又不按照要求完成學業，為此他不得不轉了一個學院，才能繼續學業。在學校裡，他還對很多超自然的現象感興趣。

延伸閱讀：巴貝奇誕辰｜科學史上的今天：12/26

如果不是趕上工業革命，巴貝奇或許會尋找某個傳統的數學領域或者自然哲學領域做一輩子研究，並且留下一個巴貝奇定律或者巴貝奇定理。但是，工業革命的大背景，讓他把畢生精力和金錢都投入研究一種能夠處理資訊的機械中。

這也不奇怪，因為工業革命為資訊處理提供了思想上的依據、技術上的條件和廣闊的市場。工業革命是人類歷史上最偉大的事件。它不僅第一次讓人類從此進入可持續發展的時代，也改變了人們的思想。人類從相信神，到今天開始變得自信起來，相信這個世界是確定的、有規律的，而自己能夠發現世界上所有的規律。

早在牛頓時代，著名物理學家玻意耳（Robert Boyle）在總結牛頓等人的科學成就之後，就提出了「機械論」，也被稱為「機械思維」。

玻意耳等人（包括牛頓、哈雷等）認為，世間萬物的規律都可以用機械運動的規律來描述，包括蒸汽機和火車在內的工業革命中那些最重要的發明，都受益於機械思維。人們熱衷於用機械的方法解決問題，從精密的航海導航，到能夠奏樂的音樂盒，再到能織出各種圖案的紡織機。

既然能想到的所有規律都可以用運動規律來描述，那麼就很容易想到讓具有特殊結構的齒輪組運動來完成計算，這便是設計機械計算機的思想基礎。

其實，這種想法早在十七世紀就有人嘗試過。法國數學家帕斯卡（Blaise Pascal）發明了一種手搖計算器——雖然有時人們將它稱為最早的機械計算機，但實際上它和我們今天理解的電腦概念沒有太多相似之處，稱之為「計算器」更為恰當。

帕斯卡計算器從外觀上看有上下兩排旋鈕，每個旋鈕上都刻著○至九這十個數字。在做加減法時，只要將參加運算的兩個數字分別撥到相應的位置，然後轉動手柄，計算器裡的一組組齒輪就會轉動，完成計算。

帕斯卡計算器最初只能做加法，後來經過改良， 可以做減法和乘法， 但做不了除法。在帕斯卡之後，萊布尼茨改良了計算器。他發明了一種以他名字命名的轉輪「萊布尼茨輪」，方便實現四則運算中的進位和借位。

到了十九世紀初，經過近兩個世紀的改進，機械計算器已經能夠完成四則運算，但是計算速度很慢，精度也不夠高，而且設備造價昂貴。不過，這種計算器更大的缺陷在於，對於複雜的運算（比如對數運算和三角函數運算）都做不到。

十九世紀機械工業的發展需要進行大量的複雜計算，比如三角函數的計算、指數和對數的計算等。在微積分出現之前，完成這些函數的計算是幾乎不可能的事。

十八世紀之後，歐洲數學家用微積分找到了很多計算上述函數的近似方法，不過這些方法的計算量極大，需要很長的時間，而且當時除了數學家，一般人是完成不了那些計算的。為了便於工程師在工程中和設計時完成各種計算，數學家設計了數學用表，如此一來工程師就可以從表中直接查出計算的結果。

不過，那個時代的數學用表錯誤百出，為生產和科學研究帶來了很多麻煩。而這個問題很難避免，因為手算很難保證完全不出錯。如果很多數學家分別獨立計算，還可以比對結果發現錯誤。但是巴貝奇發現，那些不同版本的數學用表都是抄來抄去，而犯的錯也都一樣。

因此，巴貝奇想設計一種機械來完成微積分的計算，然後用它來計算各種函數值，得到一份可靠的數學用表。當時他只有二十二歲。

延伸閱讀：兩艘軍艦換不到兩噸重的計算機？巴貝奇與差分機｜《電腦簡史》 齒輪時代（十八）

在隨後的十年裡，巴貝奇造出來一台有六位精度（巴貝奇最初的目標是達到八位精度）的小型差分計算機。隨後巴貝奇用它算出了好幾種函數表，用於解決航海、機械和天文方面的計算問題。

值得指出的是，巴貝奇的這次成功受益於工業革命的成就——當時機械加工的精度比瓦特時代已經高出了很多，這讓巴貝奇能夠加工出各種尺寸獨特的齒輪。

但是，當時並沒有二十世紀的精密加工技術，製造小批量特製齒輪和機械部件的成本高、難度大，這給巴貝奇後來的工作帶來了諸多不便。

不過，首次成功還是讓巴貝奇獲得了英國政府的資助，用以打造一台精度高達二十位的計算機。

幾年後，他又獲得了劍橋大學盧卡斯數學教授的職位，讓他有了穩定的收入。在此之前，他一直在花自己繼承的十萬英鎊遺產。勝利女神似乎正向他招手，但接下來的時日，他在計算機研究方面一籌莫展。

從表面上看，巴貝奇遇到的困難是因為那台差分機太複雜了，裡面有包括上萬個齒輪的二點五萬個零件，當時的加工水準根本無法製造。但更本質的原因是，巴貝奇並不真正理解計算的原理。他不懂得對於複雜的計算來說，不是要把機器做得更複雜，而是要用簡單的計算單元來實現複雜的計算。

當然，在那個年代沒有人瞭解這些。作為現代計算機基礎理論的布林代數要再等十幾年才會被提出來，而且要再過近一個世紀，才會被應用到計算技術中。

——本文摘自《資訊大歷史：人類如何消除對未知的不確定》，2022 年 6 月，漫遊者文化，未經同意請勿轉載。

對於物理學家來說，美麗意味著對稱和簡單。如果理論是美觀的，這意味著它具有強大的對稱性，可以以最緊湊、最經濟的方式解釋大量數據。更確切地說，如果我們在方程式之內互換變數時，方程式能保持不變，那麼方程式將被認為是美觀的。

──Michio Kaku 理論物理學家、科普作者

語云愛美是人類的天性，儘管情人眼裡出西施，每個人的審美觀點可能不同，但基本上「美」是脫不了對稱與簡潔！你聽說過鼻樑不正、左眼大右眼小的美女或俊男嗎？事實上讓人望而生畏的獅子或老虎，其長相也都具有左右對稱的美！花之所以美，更是脫離不了其對稱性。

物理學家也是人，因此當然也愛美，例如在〈近代物理的先驅：馬克斯威〉一文裡，筆者就談及馬克斯威看到了實驗導出之電磁方程式缺少對稱之美，因此人為加入「位移電流」，使他在 1865 年能導出電磁波的存在，並證明光是一種電磁波。現在，對稱已經是物理學家的一個主要工具：在尚不清楚基本粒子的作用時，他們就是靠對稱引導而發展出「標準模型」！

對喜好數學和物理的科普讀者，「對稱」與「簡潔」的概念也能幫助我們解決一些學習過程、或日常生活中所碰到的問題。

動動腦，思考一下這些數理問題吧！

• [a] 人人都知道運動是「相對的」，因此說「太陽是以橢圓的軌跡繞地球運動」，事實上應該也是不錯的；可是為什麼科學家一定要說「地球繞太陽」呢？
• [b] 四隻螞蟻分別佔據了正方形的 A、B、C、D 四個角落，每隻螞蟻均以等速永遠朝著另一隻螞蟻前進（不需沿著正方型的邊，如A→B、B→C、C→D、D→A），最後牠們會碰在一起嗎？
• [c] $\iint_{a}^{b} \frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}dxdy=?$
• [d] 一條固定長度的繩子彎曲折成四角形，最大面積的四角形之兩邊比為何？
• [e] 用一條固定長度的繩子彎曲折成任何形狀，最大面積的圖形為何？
• [f] 因為重男輕女的關係，世界組織規定：只要一生男孩就不能再生了；但如果是女孩，則一定要繼續再生，一直到生男孩為止。如果生男生女的機率完全一樣，那麼長時間以後，女性人口是不是會比男性多？
• [g] 如下圖，所有的電阻都是 Ω，那麼 AB 兩點間的等效電阻是多少？
• [h] 一個平面的正七角形，每個角上均帶 +Q 電荷，中心點的電場方向為何？

都想出來了嗎？看看解答怎麼說

• [a] 答案是：運動的確都是相對的，如果將行星的運動解釋為地球及其他 8 個行星圍繞太陽，則它們的軌跡方程式將都是非常簡單（橢圓）——可以用最緊湊、最經濟的方式解釋大量數據。反之，如果認為地球是太陽系的中心，則除了太陽軌跡是橢圓外，其它行星的軌跡都將非常複雜！

在相信上蒼不會那麼笨手笨腳，簡單就是美的「盲目信仰」下，「地球繞日」說自然佔了上風！你說科學家不是愛美愛得一塌糊塗？！

• [b] 因為這四隻螞蟻永遠等速朝著另一隻螞蟻運動，螞蟻的相對位置會形成越來越小的正方形，所以最後會在中心碰在一起。
  筆者對這一問題特別有印象，在籌劃創辦「科學月刊」（1969 年）之時候，由一位學數學的同學提出來的；當學物理的還在思考著如何找出其運動方程式時，筆者已衝口而出謂「當然碰在一起」！筆者當時閃過腦中的想法是：如果牠們最後是在那裡繞圈子永遠不相逢，那麼圈子應該是多大的？從對稱的觀點來看，任何圈子不是都應該可能嗎？只有中間的一點是特別的「圈子」，因此毫無疑問地，牠們將在哪裡碰在一起！
  到了寫這篇文章，筆者發現當時的想法事實上是錯誤的：因為永遠朝著另一隻螞蟻運動，是不可能形成圈子的（見圖），只能形成越來越小的正方形，所以最後一定要碰在一起！單隻螞蟻的路徑會是逐漸內縮的螺旋型，但略微想了一下，覺得運動方程式事實上很難找^註1！

• [c] 此一積分具有（x,y）互換的「反」對稱，因此答案為零。
  一個大家所熟悉的例子是：如果一個函數$f(x)$具有 y-軸的「反」對稱{$f(-x)= -f(x)$}，則從 -a 到 +a 的積分應等於零。這一題目的對稱軸是同時與 x-軸及 y-軸成 45 度的斜線。
  不用對稱之運算證明如下（第 1 個等號「=」是 x、y 互換的結果；第 2 個等號「≅」號是因 x、y 只是用來表示變數，與用什麼符號來表示無關：例如 ax²+bx+c=0 與 ay²+by+c=0 根本是相同的方程式，只是用不同的符號來表示變數而已）：

• [d] 答案是邊長一樣的正方形。
  因為如果邊長不一樣，那麼我們不免要問，為什麼是這一個長方形、而不是另一個長方形呢？只有正方形是一個特殊的長方形！
• [e] 基於上面的邏輯，相信許多讀者已經知道答案了：當然是圓形！
  這裡的邏輯事實上是與前面有點不一樣的，因為任何正多角形事實上是都很「獨特」的，但同樣的問題還是存在：如果是正六角形，為什麼不是正五角形和正八角形呢？圓形具最高的對稱性，沒有這一問題！
  在這裡筆者想到了一個自然界的現象：為什麼許多皮膚病多是呈圓形的呢？固定長度，圓形面積最大；反之，固定面積，圓形邊長應該最短：這不是最有利於細菌反抗「外面」的攻擊嗎？城堡很少是圓形的，就這點來看，人類顯然還是比細菌笨了一點！同樣的道理，體積一樣、面積最小的立體結構應是圓球——這是否與自然界中許多動植物（如細胞或水果）都是以圓球形狀出現有關？
• [f] 新婚生小孩，除了一半家庭是只有一個男孩的外，其他一半家庭最後都是女多於男（或相等）；因此直覺的反應可能是：千百年後，女的將比男的多！可是換一個角度看，每天新生出來的小孩總是男、女數相等，怎麼可能破壞男女的平衡呢？雖然決定誰可以繼續生小孩時，男女的平等被破壞了，但這一條件，並沒有破壞決定生男育女機率相等的「物理定律」，因此應該不會影響男女數的平衡。事實上，問題之條件（只要一生男孩就不能再生了；但如果是女孩，則一定要繼續再生，一直到生男孩為止）完全是故意用來擾亂你的思路的：任何一刻之男女數的增加都是相等的，與什麼樣的夫妻可以再生無關。
  在「時間的方向性」一文裡，筆者提到了大物理學家波茲曼（Ludwig Boltzmann）於 1872 年用牛頓力學導出具有時間方向性的「H-理論」；可是牛頓力學具有時間對稱性，怎能產生一個不具時間對稱性的結果呢？因此「H-理論」提出後便立即受到攻擊。我們不能在這裡犯同樣的錯誤。
• [g] 用傳統的線路分析將是非常困難的（超過普通物理程度）^註2；但利用對稱則輕而易舉。以通過 AB 兩點的連線為軸，這網絡具有一個旋轉 120 度的正三角形對稱；因此（x、y、z）三點可視為同一點 A’ ──永遠具有同樣的電位。同樣地，（x’、y’、z’）三點也可視為同一點 B’。AA’ 間共有三個相同的電阻並聯，故其等效電阻為 Ω/3。同樣地，BB’ 間也共有三個相同的電阻並聯，故其等效電阻亦為 Ω/3。A’B’ 間則共有六個相同的電阻並聯，故其等效電阻為 Ω/6。這三個等效電阻串聯，故 AB 間的等效電阻為 5Ω/6！

• [h] 因為對稱的關係，任何方向均應該有七個對稱方向。如果答案只能有一個方向，不用三角幾何計算，我們就應該知道答案只能為「零電場」。

結論

以上是筆者想到或者在網路上看到的、可以用「對稱」解決的幾個問題——相信應該還有很多類似的問題。從[c] 題我們可以看出：如果知道怎麼直接計算，我們根本不需要「對稱」！但如果命題具有對稱性，則像[a] 及[g] 一樣，我們根本可以完全不知道怎麼計算，就可以輕輕鬆鬆地得到答案：這正是數學上「對稱理論」—「群論」—的巨大力量！

註解

1. 真正的意思是：筆者還不知道怎麼找運動方程式來解決這一個問題。不怕被方程式嚇倒的讀者可以參考 4 Bugs chasing each other differential equation（裡面有幾種解決的方法）。
2. 所謂「普物程度」就是筆者所知道之「透過電阻串聯及並聯的理論來簡化」（事實上大概不可能用此一理論來解決這一個問題）。想知道電機系的學生如何解決此一問題的讀者可以參考 The resistor cube problem。

延伸閱讀

1. 有關對稱與物理、化學的關係，請參閱：
   「對稱與物理」（科學月刊，2010 年三月號）
   「規範對稱與基本粒子」（科學月刊，2014 年十一月號）
   「左旋還是右旋？化學對稱跟你我的身體有關」（泛科學，2015/09/25）
   「時間的方向性」（科學月刊，2016 年二月號）
   「群論、對稱、與基本粒子」（科學月刊，2018 年 9 月號）
   「基本粒子的標準模式 」（泛科學，2018/10/9）
   2017 年 8 月以前的上面文章均轉載於「我愛科學」（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版）。
2. 有關科學家的盲目信仰，請參閱「愛因斯坦相信的上帝，是你以為的那位上帝嗎？」（泛科學，2018/3/30）。
3. 「近代物理的先驅：馬克斯威」（科學月刊，2019 年四月號）。