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【Gene思書齋】無限小如何形塑現代世界?

Gene Ng_96
・2016/11/22 ・3645字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 558 ・八年級

我是數學白痴,真的。很多人以為唸理科的,數學一定很好,才怪。因為我數學不好,所以才選擇唸生命科學,只是唸了才發現,原來還是要面對不少數學,如生物統計、計算生物學、生態學、族群遺傳學、分子演化,都用了不少數學,更甭提大一大二還得要上的微積分、物理和物理化學。

2016 年有部電影《天才無限家》(The Man Who Knew Infinity),很值得看,連一個我超愛的說書脫口秀節目《一千零一夜》主持梁文道這位文人(請參見〈一千零一夜個經典〉),也在推薦了這部關於印度天才數學家斯里尼瓦瑟‧拉馬努金(Srinivasa Ramanujan,1887—1920)的電影,也談了《費馬最後定理》(Fermat’s Last Theorem)這本書,以及數學是什麼。

 

我就自不量力,來談本和數學有關的歷史書吧,就是這本《無限小:一個危險的數學理論如何形塑現代世界》(Infinitesimal:How a Dangerous Mathematic Theory Shaped the Modern World)。即使是外行,還是會覺得數學是極為優雅的,可是歷史學家與數學家艾米爾‧亞歷山大(Amir Alexander),卻要告訴我們,數學也有過混亂,中間涉及的不僅只有數學家,還有宗教家。

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無限小》的故事,主要是發生在十六、十七世紀,爭論的是直線、平面圖形和固體,是否由無限的不可分量所構成?《無限小》中的各種爭論,要追溯到古希臘時期。公元前六世紀,畢達哥拉斯(Πυθαγόρας,約前580-前500)和追隨者,認為數學可以解釋世界上的一切事物,對數字癡迷到幾近崇拜,同時認為一切真理都可以用比例、平方及直角三角形去反映和證實。從他開始,希臘哲學開始產生了數學的傳統。

那些古代數學中的黑暗面

希帕索斯。圖/Public Domain
希帕索斯。圖/Public Domain

相傳無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希帕索斯(Ἵππασος)發現。他以幾何方法證明√2,無法用整數及分數表示,並引發了第一次數學危機。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數的存在。希帕索斯發現不可公度量(incommensurability),推論不同的量(magnitube)不是由獨立的微小原子,亦即無限小所構成。畢達哥拉斯派同道將其淹死滅口,然後他就死掉了。所以這批人,玩數學是超認真的,會鬧出人命的。

公元前五世紀,來自古希臘愛琴海北部海岸的自然派哲學家德謨克利特(Δημόκριτος,前460—前370或前356)利用無限小,計算圓錐體與圓筒體的體積。然而,伊利亞的芝諾(Ζήνων,約前490-前430),提出幾個矛盾問題,指出無限小引發的衝突,從此無限小遭到古代數學家規避。

古希臘數學家,被稱為「幾何學之父」,亞歷山卓的歐幾里得(Ευκλειδης,前325—前265),在經典巨著《幾何原本》(Elements)中,謹慎地避開無限小。《幾何原本》一直是西方兩千年來的範本。但後來的古希臘數學家阿基米德(Αρχιμήδης,公元前287—公元前212),卻用無限小實驗,在幾何圖形的面積和體積上卓有成就。

宗教戰爭燒到數學的「無限小」

後來希臘被羅馬滅了,而羅馬因異族入侵和宗教愚昧而進入中世紀。《無限小》的故事開場,是文藝復興時的宗教戰爭。1517 年,德國基督教神學家,宗教改革運動的主要發起人,基督教新教信義宗教會(即路德宗)的開創者馬丁•路德(Martin Luther,1483-1546)在當地教會的門上貼出布告九十五條論綱,列出反對贖罪券的九十五條論點,徵求學術的辯論,拉開了天主教和新教長達兩世紀鬥爭的序幕。

1540 年,耶穌會(Societas Iesu)創建在一個天主教開始沒落的時代,羅耀拉的依納爵(San Ignacio de Loyola,1491-1556)和他的弟子們展開一連串復興天主教的行動,但其中最耀眼的成就,卻是在各地區建立的教育學院。

耶穌會的教育體系中,原本並不特別注重數學,但在克拉維烏斯神父(Christopher Clavius,1538-1612)持續努力下,終於成為耶穌會的教育重心。耶穌會重視數學,因為數學是一種以邏輯步驟說出真理、無人能否定其證明結果的學科,但這時的數學,仍以歐幾里得數學理論為主。

1544 年,阿基米德作品的拉丁文版在瑞士巴賽爾出版,學者接觸到他對無限小的研究。十六世紀末至十七世紀初,歐洲數學家對無限小的興趣死灰復燃。

然而,耶穌會中負責裁決理論的「總校訂」(Revisors General)室,發表了一連串針對無限小的公開譴責。他們認為這個概念危險又具顛覆性,對世界是一個有秩序的地方,而且由一套嚴格而不變的規定所治理的這個信仰有威脅。如果接受了無限小,耶穌會害怕整個世界都將墮入混沌。

虔誠的教徒伽利略(Galileo Galilei,1564-1642),也是當時最偉大的科學家。他提出對無限小、不可分量的詮釋,槓上了耶穌會和教廷。伽利略的老友當上教宗烏爾班八世(Pope Urban VIII,1568-1644),他公開支持伽利略及其追隨者,1623-31年是伽利略在羅馬如魚得水的自由時期。然而1631年,瑞典新教國王古斯塔夫•阿道夫二世(Gustav II Adolf,1594-1632),與神聖羅馬帝國相爭開戰,節節獲勝,改變了歐洲勢力平衡。

在傳統主義者的節節進逼之下,烏爾班八世一改初衷,不再支持伽利略。耶穌會總校訂室,禁止了無限小的概念,宣布永遠不能教授這個理論,甚至連提都不准提。伽利略最終被送進宗教審判所,人生最後十幾年都在軟禁中度過。

伽利略的弟子卡瓦列里(Bonaventura Francesco Cavalieri,1598- 1647)與托里切利(Evangelista Torricelli,1608-1647)持續提出不可分量和無限小的理論證明,更持續增強耶穌會想要壓制這個矛盾理論的決心,耶穌會和支持伽利略的銳眼學會(Accademia dei Lincei)之間,為了維持歐幾里得幾何學理論或迎接新的無限小方式而開戰。

支持歐幾里得幾何學論點的耶穌會數學家,與支持無限小與不可分量學說的耶穌教團,雙方舌戰和筆戰不休。表面上是數學論戰,實際上耶穌會數學家還為了護衛神學上的論點。《無限小》揭示了這種禁令背後的深刻背景,通過耶穌會和銳眼學會之間交戰的驚心動魄故事,說明耶穌會如何拼命努力帶領飽受戰爭蹂躪的歐洲回到維穩和諧和天主教專制秩序,可是卻犠牲了義大利的藝術、數學和科學發展。

英國的崛起

由於耶穌會成功地禁止在義大利教授無窮小的概念,《無限小》的故事舞台,轉到原本比義大利落後的英國去。《無限小》指出,在義大利,無限小的挫敗預告了這個國家主導歐洲文化的朝代已經結束;而在英國,無限小的勝利則幫助了這個原本落後的島國走向了世界首個現代國家之路。

英國內戰和空位期當時的民不聊生與內部動亂,令卡文迪許家族的家臣,威權主義的十七世紀的哲學家霍布斯(Thomas Hobbes,1588-1679),寫下哲學傑作《巨靈論》(Leviathan),是法律、秩序的有力倡導者。和天主教神權專制不同的,霍布斯的解決空位無政府狀態的方法,是要人民交出權力給專制君主,來保護他們免受戰爭和混亂。但與天主教的專制相同的,霍布斯的目標是維穩和諧以維護和平。無論霍布斯和耶穌,都把自己的政治理想訴諸歐幾里得幾何,試圖以其有序的演繹證明產生絕對真理。

但在數學家瓦里斯(John Wallis,1616-1703)的眼中,數學毫無貴族氣息,徹頭徹尾就是一個得到有用結果的實用工具。瓦里斯是第一個使用 ∞ 這個符號的數學家。也因如此,他和「隱形大學」的夥伴使用數學的方式與霍布斯大相逕庭。「隱形大學」後來收到英王查理二世的許可狀,成為聲譽卓越非凡的「皇家學會」(Royal Society)。

《無限小》指出,歸納法和實驗數學,讓皇家學會的會員與英國菁英分子逐漸將這種開放討論與有彈性的態度應用到學術與政治立場上,無限小的理論終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。英國邁上君主立憲之途,各種科學研究和科技也不斷開花結果,於是英國成為歐洲最先現代化的國家。

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無限小的理論終於成為微積分與許多現代數學、現在科學理論與科技的基礎。圖 / By fdecomite @ flickr

牛頓(Sir Isaac Newton,1643-1727)以無限小的理論做實驗,發展出微積分的技法,和萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)共同創立了微積分。牛頓出版了《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica),徹底改變了物理學的樣貌,也從此讓所有理科生飽受微積分的折磨。剛讀《無限小》時,我壓根兒忘光了微積分和無限小的關係,只有讀到後來才依稀想起老師提到的「極限」等等。

雖然,我還是讀不懂《無限小》裡的數學,可是《無限小》仍是本很具啟發性的好書,從中可見我們人類在認識自然時,那些偏見與固執,是何等強大。政治師和宗教為了維穩及和諧干預學術發展,只能取得一時的和平,然後換來長久的落後。還有,科學的發展中,常常是柳暗花明又一村,保持一個開闊的心胸是多麼困難但重要的。

本文原刊登於閱讀‧最前線【GENE思書軒】,並同步刊登於The Sky of Gene

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Gene Ng_96
295 篇文章 ・ 24 位粉絲
來自馬來西亞,畢業於台灣國立清華大學生命科學系學士暨碩士班,以及美國加州大學戴維斯分校(University of California at Davis)遺傳學博士班,從事果蠅演化遺傳學研究。曾於台灣中央研究院生物多樣性研究中心擔任博士後研究員,現任教於國立清華大學分子與細胞生物學研究所,從事鳥類的演化遺傳學、基因體學及演化發育生物學研究。過去曾長期擔任中文科學新聞網站「科景」(Sciscape.org)總編輯,現任台大科教中心CASE特約寫手Readmoo部落格【GENE思書軒】關鍵評論網專欄作家;個人部落格:The Sky of Gene;臉書粉絲頁:GENE思書齋

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寵物過敏原有很多種,避免飲食過敏困擾,可選擇單一/特殊肉種寵物飼料
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/06/06 ・2173字 ・閱讀時間約 4 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

本文由 新萃 Nutri Source 委託,泛科學企劃執行。

你有發現家裡的狗狗經常舔自己四肢,或是身上出現不明紅疹?當心這可能是過敏反應。寵物和人類一樣,也會有過敏反應,過敏可依照「來源」分為三種:吸入性過敏、接觸性過敏和食物性過敏。

寵物的過敏源有哪些?

不管是哪一種過敏反應,在人的身上都比較容易發現和排除。但狗狗的過敏卻很難處理,如果是接觸性或吸入性過敏,即使你把家裡打掃得很乾淨,還是無法排除帶狗出去散步時可能接觸到的環境過敏原。因此,對飼主來說,最容易控制的是食物性過敏。

食物性過敏是怎麼發生的呢?其實,「食物過敏」這個詞並不太準確。正確的臨床醫學用詞是「食物不良反應」(Adverse Food Reaction, 簡稱AFR)(Jackson, H. , 2009),指的是吃下食物後身體產生各種不良反應。並進一步分為食物過敏(Food Allergy)和食物不耐受(Food Intolerances)兩種。

如果你看過動漫作品《工作細胞》,你就會知道過敏其實只是免疫系統對特定成分產生的過度反應,因此全名為「過分敏感」;而食物不耐受則並非免疫性反應,而是消化系統無法代謝或對該生物體有毒,例如狗不能吃洋蔥或巧克力,否則會致死等等。

由於寵物沒有選擇權,只能吃飼主提供的食物,如果飼料中恰好有會造成牠 AFR 的成分,就可能產生各種症狀。除了腸胃發炎和拉肚子外,最明顯的外在症狀就是皮膚問題,包括搔癢、脫毛和紅疹等。後者容易被誤判為皮膚性疾病,讓許多飼主狂跑獸醫院的同時,獸醫也難以對症下藥。

雖然曾有研究透過讓醫師用血液或唾液是否檢測出 IgE 抗體來判斷狗是否過敏(Ermel, R et al.,1997),但最新的研究卻發現,無論使用無論血清的 IgE 抗原或是唾液裡的 IgM 或 IgA 抗原都無法有效檢測出狗狗的過敏來源(Udraite Vovk Let al., 2019 & Lam ATH et al., 2019),甚至會造成偽陽性誤判。因此,目前學界公認唯一能識別食物過敏原的方法就是「食物排除法」(Food Elimination Method)。

以食物排除法,找出毛孩的食物過敏原!

食物排除法的原理相當簡單粗暴,類似我們過去在學校做的實驗一樣,抓出「控制組與對照組」。首先,將狗狗的食物換成牠沒吃過、單一來源且易消化的高蛋白質或水解蛋白質;同時嚴格限制牠對其他食物接觸,包括其他人餵食或路上亂吃等可能性都要注意,此為「對照組」,如此持續 8~12 週,觀察皮膚是否有改善。如果確實有改善,那就證明了確實是 AFR 而非皮膚病。

下一步我們可以進行「食物挑戰」,在每餐食物中逐一嘗試可能的過敏原(例如常見的牛肉、雞蛋等),有如「控制組」,等到症狀又出現,就可以確認哪種食物成分是過敏原,未來就可以在飼料中排除,讓狗狗健康快樂地成長。

這個方法需要飼主的大力配合和耐心紀錄,不僅要在漫長的試驗期,更需要在控制期一一排除所有不可能之後,才能找到答案。而其中最困難的部分,也是實驗的基礎可能是第一步:「提供狗狗牠從未吃過,且肉品單一的蛋白質」,這點對多數飼主來說幾乎是不可能的任務,因為大部分的寵物飼料成分都很複雜。不要說狗狗了,搞不好你連自己沒吃過什麼恐怕都不知道。

飼料成分多而雜,可選單一肉種飼料降低過敏。

那該怎麼進行食物排除法呢?別擔心,沒有找不到的肉品,只有勇敢的狗狗。市面上已經有了針對過敏狗狗的低敏飼料,新萃推出了一系列低敏肉,包含單一肉種的袋鼠肉、鹿肉以及野豬等相比牛豬羊等較不容易取得的肉類,是進行食物排除法第一步測試的首選。

此外,新萃牌無論哪種飼料都有美國專利 Good 4 Life® 奧特奇專利保健元素,能促進飼料中的營養都被狗狗完整吸收。不僅過敏的狗狗能吃,有消化不良症的狗狗也適用。

新萃商品選擇的是單一/特殊肉種的成分,低敏感肉品讓寵物吃了更安心。

參考資料

  1. Thus for the purpose of this discussion, although the term food allergy is used throughout, it should be recognized that this term is a presumptive clinical diagnosis and adverse food reaction is a more accurate term for these canine cases. – Consensus
  2. Jackson, H. (2009). Food allergy in dogs – clinical signs and diagnosis.. Companion Animal Practice.
  3. Assessment of the clinical accuracy of serum and saliva assays for identification of adverse food reaction in dogs without clinical signs of disease – PubMed (nih.gov)
  4. Lam ATH, Johnson LN, Heinze CR. Assessment of the clinical accuracy of serum and saliva assays for identification of adverse food reaction in dogs without clinical signs of disease. J Am Vet Med Assoc. 2019 Oct 1;255(7):812-816. doi: 10.2460/javma.255.7.812. PMID: 31517577.
  5. Direct mucosal challenge with food extracts confirmed the clinical and immunologic evidence of food allergy in these immunized dogs and suggests the usefulness of the atopic dog as a model for food allergy. – Consensus
  6. Ermel, R., Kock, M., Griffey, S., Reinhart, G., & Frick, O. (1997). The atopic dog: a model for food allergy.. Laboratory animal science.
  7. https://www.moreson.com.tw/moreson/blog-detail/furkid-knowledge/pet-knowledge/dog-food-allergen-TOP10/
  8. 狗狗因為食物過敏而搔癢不舒服,為什麼做「過敏原檢測」沒什麼用?
  9. 【獸醫診間小教室】狗狗皮膚搔癢難改善?小心食物過敏! – 汪喵星球 (dogcatstar.com)
  10. 寵物知識+/毛孩對什麼食物過敏?獸醫:驗血完全不準!診斷法只有一個 | 動物星球 | 生活 | 聯合新聞網 (udn.com)
  11. Is there a gold-standard test for adverse food reactions? – Veterinary Practice News
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宇宙到底是什麼樣子?——宇宙觀的發展史(上篇)| 20 世紀前
賴昭正_96
・2023/04/19 ・6261字 ・閱讀時間約 13 分鐘

  • 文/賴昭正|前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

根本沒有理由假設世界有一個開始。認為事物必須有開始的想法實際上是由於我們思想的貧乏。
—— Bertrand Russell(1950 年諾貝爾文學獎)

「天上的星星千萬顆,世上的妞兒比星多,啊,傻孩子,想一想,為什麼失眠只為⋯⋯」(註一)不!世上的妞兒不會比星多,為什麼失眠也不是只為「她一個」,而是遐想著天空這麼多的星星是哪裡來的?為什麼不停地對著我咪咪地微笑?⋯⋯沉靜晴朗的夜晚,仰望著天空,有多少人不會為閃耀的星空沈思著迷呢?因此相信人類很早就在思考這個問題:在中國有盤古開天闢地,其身形化為日月星辰、山川河流,逝世時將精靈魂魄變成了人類之傳說。

而古希臘人(公元前 750-650 年) 則認為起初世界處於一種虛無混沌狀態,突然從光中誕生了蓋亞(Gaia,地球母親)以及其「他」具有人性的諸神,在沒有男性幫助的情況下,蓋亞生下了烏拉諾斯(Ouranos,天空),後者使她受精,生出了第一批泰坦(Titan)。泰坦後代普羅米修斯(Prometheus) 用泥塑人,雅典娜(Athena)為泥人注入了生命,宙斯(Zeus) 創造出一個擁有驚人美貌、財富、欺騙心、和撒謊舌頭的女人潘多拉(Pandora),給了她一個盒子,令永遠不要打開,但好奇心最後戰勝了,她終於打開盒子釋放出各種邪惡、瘟疫、悲傷、不幸、和在盒子底部的希望——現今打開「潘多拉盒子」的來源。

1881年,英國畫家勞倫斯.阿爾瑪-塔德瑪爵士(Sir Lawrence Alma-Tadema)的《矛盾的潘朵拉》。圖/Wikipedia

除了神話和傳說外,宗教在宇宙觀的發展上也佔了重要的地位。西方的宗教如基督教主要認為宇宙是一個由超自然力量之神創造出來的,人死後會上永生天堂。而東方的宗教如佛教則認為宇宙是無始無終的,沒有起點或終點,因此無所謂宇宙的起源與創造,人會以不同的面貌和形式,不斷生死輪迴。歐洲宗教在十六世紀前一直認為人與地球在這宇宙中佔了一個特殊的中心地位,因此深深影響了基於證據、推理、和辯論的宇宙觀發展。

中國古代的天文學

中國古代的宇宙觀有蓋天說、宣夜說、渾天說三學派,蓋天說認為「天圓地方」,天覆蓋著地,但由於地是方的,故而有四個角是無法覆蓋的,因此這四個角上有八根柱子支撐著整個天空。宣夜說則認為「日月眾星,自然浮生於虛空之中,其行其止,皆須氣焉」,即整個天體漂浮於氣體之中。渾天說雖然也認為「天圓地方」,但天是一個圓球,而不是蓋天說中的半圓,地球在天之中,類似於雞蛋黃在雞蛋內部一樣。東漢張衡(78-139 年)將「渾天說」發展成為一套系統的理論,並透過其所製作的「渾天儀」來加以演示,使渾天說成了中國宇宙結構的權威理論。渾天說的基本觀點認為日月星辰都佈於一個「天球」之上,不停地運轉著。

清代的渾天儀。圖/Wikipedia

中國帝王自稱為「天子」,因此天文觀測的目的是為了帝王預測天下的禍福,用以指導治國理政、風水地理、農業民生、中醫人文的;天命如果有所改變,就會通過天象昭示天下。因此雖然中國是世界上最早發明曆法的國家之一,也為我們留下了許多寶貴的觀測資料,如記錄了 1054 年 7 月 4 日金牛座超新星的爆發,但古代的天文是皇權統治的一種工具而已,因此中國的天文學難以在民間發展,也不可能出現以科學為目的的天文研究。

地球中心模型

反觀西方世界,天文學在古典希臘則早已經是數學的一個分支。柏拉圖(Plato,公元前 427-347 年)鼓勵年輕的數學家蛇床子(Eudoxus of Cnidus,公元前 410-347 年)發展天文學體系,於公元前 380 年左右提出第一個以地球為中心的宇宙模型,認為一系列包含恆星、太陽、和月亮的宇宙球體都圍繞地球旋轉。

亞里士多德(Aristotle,公元前 384-322 年)識這些宇宙球體為物理實體,裡面充滿了導致球體移動之神聖和永恆的「以太」(ether)。他將這些球體分為陸地(terrestrial) 和天界 (celestial) 兩個領域。陸地領域包括地球、月球、及它們之間的月下區域,以變化和不完美為其標誌。天界是月球上方的領域,在這裡秩序井然,完美無缺。恆星固定在一個天球上,該天球每 24 小時圍繞地球旋轉一次。

最裡面的球體是地球的「陸地」,最外面的球體是「以太」構成的,包含「天界」。圖/Wikipedia

這個模型在接下來的幾個世紀裡得到了進一步的發展:希臘裔埃及天文學家、數學家、和地理學家托勒密(Claudius Ptolemy, 85-165)仔細研究以前所有天文學家的工作,了解到用肉眼觀察夜空中物體的方法後,透過他出色的數學技能開發出自己的天體運動模型,於公元 150 年出版了一本現在稱為《Almagest》(最偉大)的書籍來闡述其論點。

他認為地球是一個靜止的球體,位於一個大得多的天球的中心;這個天球攜帶著恆星、行星、太陽、和月亮以完全均勻的速度圍繞地球旋轉,從而導致它們每天的升起和落下。完美的運動應該是圓周運動,因此托勒密認為這些表面上不規則的天體運動實際上是由規則的、均勻的圓周運動組合成的:運動的中心不但偏離了地球,而且還沿著主要圓形軌道上的點依較小的「本輪」圓圈(epicenter)移動。托勒密在該書目錄後留言謂:

我知道我天生必死,轉瞬即逝; 但當我隨心所欲地描繪天體的曲折軌跡時,我的腳不再接觸大地,而是站在宙斯面前,盡情享受神的美味。

此後的 1500 年,托勒密書中的表常被用來預測天體在夜空中的位置;而其以地球為中心的宇宙觀也幾乎統領了以後 2000 年的天文物理發展!

太陽中心模型

1543 年,波蘭哥白尼(Nicolas Copernicus,1473-1543)在德國紐倫堡出版《De revolutionibus orbium coelestium》 (論天體運轉,註二) 一書,提出日心系統,謂地球不在宇宙中心之特別位置,而是與其他行星一起在圍繞太陽的圓形軌道上運動。不幸的是它表面上不規則的天體運動之複雜並不亞於托勒密地心系統;還有,如果地球在動,為什麼星星總是在同一個地方出現——除非它們離地球很遠(註三)?因此該書出版後從未獲得廣泛支持。儘管如此,在日心系統裡,行星繞日具有地心系統所沒有的周期性

哥白尼的宇宙觀,中心為太陽。圖/Wikipedia

十七世紀初,在新發明之望遠鏡的幫助下,意大利天文、數學、哲學家伽利略(Galileo Galilei,1564-1642)發現了圍繞木星運行的衛星,終於對地球位於宇宙中心的觀念造成致命的打擊:如果衛星可以繞另一顆行星運行,為什麼行星不能繞太陽運行?伽利略因之慢慢地深相地球繞日說,但被羅馬教會禁止「堅持或捍衛」哥白尼理論。晚年於 1630 年出版《Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano》(關於兩大世界體系——托勒密和哥白尼——的對話), 在最後一章裡用潮汐現象來證明地球是在動,不是靜止地在宇宙中心(註四)。

大約就在那個時候,德國數學、天文學家開普勒(Johannes Kepler 1571-1630)「盜取」導師丹麥天文學家布拉赫(Tycho Brahe,1546-1601)的豐富實驗資料構建了日心的定量模型,在 1618 年至 1621 年期間出版(立刻成為天主教會禁書的)《Epitome Astronomiae Copernicanae》(哥白尼天文學概要),提出描述行星體如何繞太陽運行的(開普勒)三定律:(1)行星以太陽為焦點在橢圓軌道上運動,(2)無論它在其軌道上的哪個位置,行星在相同的時間內覆蓋相同的空間區域,及(3)行星的軌道周期與其軌道的大小(半長軸)成正比。

開普勒終於解開行星之謎:行星以橢圓形——不是完美的圓形——圍繞太陽運轉。開普勒第三定律謂:行星與太陽的距離與其繞太陽公轉所需的時間存在精確的數學關係。這條定律激發了牛頓(Isaac Newton,1643-1727)的靈感,證明橢圓運動可以用引力與距離的平方反比定律來解釋。

平方反比定律

人類事實上好像很早就注意到了所有物質都互相作用,例如亞里士多德認為物體由於其內在的引力(沉重)而趨向一個點,伽利略則注意到物體被「拉」向地球中心。英國博學士胡克(Robert Hooke,1635-1703)在 1670 年的格雷沙姆演講 (Gresham lecture) 中謂萬有引力適用於「所有天體」,並添加了萬有引力隨距離減小的原理,及在沒有任何這種動力的情況下,物體會直線運動。到 1679 年,胡克認為萬有引力具有「距離平方反比」依賴性(註五),並在給牛頓的一封信中傳達了這一點:「我(胡克)的假設是引力總是與距中心距離成雙倍比例。」

牛頓因為害怕其他科學家和數學家竊取了他的想法,喜歡把他的工作隱藏起來、不發表;因此直到 44 歲才在英國天文學家哈雷(Edmond Halley)說服下,寫了一篇關於他的新物理學及應用在天文學的完整論述;一年多後(1687 年),發表了後來成為物理經典的《Philosophiae Naturalis Principia Mathematica》(自然哲學數學原理)或簡稱為《Principia》(原理)。

儘管牛頓在《原理》中承認胡克曾經提出太陽系中的平方反比定律,但胡克仍然對牛頓聲稱「發明」了這一定律感到不滿。胡克是一位才華橫溢、但是又駝背又矮的科學家:發現彈性定律(胡克定律)、發現有機體基本單位的「細胞」、發明顯微鏡(使他成為細胞理論的早期支持者)。 當胡克要求牛頓承認他已經預料到後者在陽光中顏色的一些研究結果時,牛頓寫了一封諷刺的拒絕信,影射了胡克的小身材謂:「如果我看得更遠,那是因為站在巨人的肩膀上」(事實上,牛頓的許多創見都不是站在巨人之肩膀上的——被譽為是有史以來最偉大的物理學家,不是沒有道理的)。

胡克透過顯微鏡觀察、繪製的細胞壁。圖/Wikipedia

自然哲學數學原理

牛頓在《自然哲學數學原理》裡用同一個定律解釋了一系列以前不相關的現象:太陽-行星運動、行星-衛星運動、軌道物體、拋射體、鐘擺、地球附近的自由落體、彗星的偏心軌道、潮汐變化、以及地球軸的進動等等,具體地證明了「萬有引力」定律:「⋯⋯所有物質吸引所有其它物質的力與它們質量的乘積成正比,與它們之間距離的平方成反比」。這項工作使牛頓成為科學研究的國際領導者,「自然哲學數學原理」被公認為有史以來最偉大的科學著作。

但除了受過幾何學訓練的數學家外,《原理》事實上是一本非常難以理解的書,更糟的是:裡面充滿了矛盾和不一致,而且還點綴著一些令人毛骨悚然的錯誤(一些錯誤是計算和演示中的徹底錯誤,其它則是邏輯上的空白:沒有證明、只是猜測)。在牛頓時代,很少有人能讀懂它,而今天幾乎沒有人嘗試過。牛頓任教之劍橋大學的學生曾這樣諷刺:「有一個人寫了一本他和任何人都無法理解的書」。

《原理》在那個時代還有一個很大的邏輯問題:那時的物理學家認為世界是一部大機械,作用是必須透過物質撞擊或擠壓物質的接觸來達成的;從遠處發出穿過虛空的無形作用力量是魔法、神秘的、非科學的!為了阻止不可避免的批評和挑釁,牛頓先下手為強,在《原理》一書謂:

「我已經用重力解釋了天空和海洋的現象,但我還沒有為重力提出一個原因。 ⋯⋯我還不能推斷⋯⋯這些重力特性的原因。我不需要假設,因為任何不是從現像中推導出來的東西都必須被稱為假設;而假設——無論是形而上學的、還是物理的、基於神秘特性的、或機械的⎯在實驗哲學中都沒有地位⋯⋯。在本哲學中,特定的命題是從現像中推斷出來的,然後通過歸納來概括。」

所以重力不是機械的、不是神秘的、不是假設;牛頓用數學及結果證明了這一點:「重力確實存在,並根據我們制定的定律起了作用,足以解釋天體和海洋的所有運動」,因此即使它的本質不能被理解,但我們不能否認它。牛頓認為這就「夠了」。

牛頓的著作《原理》被其任教之劍橋大學的學生諷刺為一本「任何人都無法理解的書」。圖/Wikipedia

靜態的宇宙

當牛頓抬頭仰望月亮、太陽、和行星以外的天空時,他沒有發現任何物體的運動,因此宇宙應該是靜止的。而如果萬有引力可以用在所有的天體上,科學家再沒有任何理由認為人類很特別,我們所處在的地方在宇宙中佔了一個很獨特的地位。這在現代物理宇宙學中被稱為「宇宙學原理(Cosmology principle)」的概念,認為這些力會在整個宇宙中均勻地作用,因此從足夠大的尺度上觀察時,宇宙中物質的空間分佈應該是均勻的、沒有方向性的。同樣地,我們現在所處在的時刻也沒理由是個很特殊的時刻。顯然地,宇宙永遠就是那樣地存在,它沒有開始,也不會有終結—因為如果有開始,那顯然就應有創造者,這不是太宗教了嗎?

牛頓的引力理論實際上需要一個持續的奇蹟來防止太陽和恆星被拉到一起。在 1666 年至 1668 年之間之手稿《De Gravitatione》 (引力)中,牛頓闡述對空間和宇宙的看法:一種「無限而永恆」的神力與空間共存,它「向各個方向無限延伸」。牛頓設想了一個無限大的宇宙,上帝在其中將星星放置在正確的距離上,因此它們的吸引力抵消了,就像平衡針在它們的點上一樣精確。所以宇宙可以保持靜態,不會崩潰到無任何一點(無限大的宇宙沒有中心點)。

有限的宇宙

但是此一充滿著星球的無限宇宙在羅輯上是有幾個很嚴重的問題。例如雖然兩物體間的作用力與距離的平方成反比(收斂系列),但作用的星球數卻是與距離的平方成正比,正好抵消了前者的效應;因此,

(1)宇宙中的任何一點均應感受到無限大、往四面八方外拉的重力,所以物體不可能存在的!

(2)宇宙中的任何一點均應看到無限多的星光,所以夜晚的天空不應是黑暗的(註六)。

在你心中宇宙長什麼樣子呢? 圖/Pixabay

事實上亞里士多德早就回答了這個問題:物質宇宙在空間上一定是有限的,因為如果恆星延伸到無限遠,它們就無法在 24 小時內繞地球旋轉一圈。1610 年,開普勒也提出既然夜晚的天空是黑暗的,所以宇宙中的恆星數量必須是有限的!這有限宇宙的觀點一直到二十世紀初期還是被歐洲宗教及大部分科學家所接受(註三),造成了愛因斯坦犯下他一生最大的錯誤(詳見愛因斯坦的最大錯誤——宇宙論常數)。

如何解決牛頓之無限宇宙論與宗教之有限宇宙論間的衝突呢?請待下回分解吧。

註解

  • 註一:高山(作曲沈炳光之夫人黄任芳?):《牧童情歌》。
  • 註二:該書非常複雜難懂,科學歷史學家稱它為一本沒有人讀的書。
  • 註三:Giodano Bruno(1548-1600),意大利哲學家、天文學家、數學家、和神秘學家;因為堅持非正統的想法——包括宇宙是無邊緣的,恆星是離地球很遠的太陽、有它們自己在上面可能存在生命的行星,而付出被羅馬天主教酷刑,在火刑柱上燒死的代價——為一有名的宗教迫害案件例。
  • 註四:晚年被羅馬天主教強迫收回(在審判庭上寫了悔過書),因此不像註三的 Bruno,只被軟禁在家到逝世。說來有點可笑,伽利略之「證明」地球在動的理論完全是錯誤的:例如潮汐每天應該出現兩次,但他的證明只出現一次而已。但伽利略發現相對論原理,正確地解釋了為什麼我們沒感覺地球在動。
  • 註五:引力與距離的平方反比定律最早由布利亞爾杜斯(Ismael Bullialdus)於 1645 年提出;但他不但不接受開普勒的第二和第三定律,也認為太陽的力量在近日點是排斥的。
  • 註六:為紀念十九世紀的德國天文學家歐博耳(Heinrich Olbers, 1758-1840) 在這方面的深入研究,現在被稱為「歐博耳悖論(Olbers paradox)」 。
賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!
  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。