0

2
1

文字

分享

0
2
1

拋硬幣時一直出現正面,那麼下一次是反面的機率就會比較高?別傻了!──《是湊巧還是機率?》

臉譜出版_96
・2018/02/20 ・3569字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 573 ・九年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

圖/Alexfrlepr @Pixabay

根據世界衛生組織的統計,全世界的新生兒中,男嬰與嬰兒總數的比值為 0.515。如果我們單看特定區域或特定國家的話,數值的偏差會更大。墨西哥男女比的比值非常低,而美國與加拿大則高於平均值。然而,在這個人口總數超過七十億的世界,男嬰與女嬰占比的數值應該要相當接近才是。原因很簡單,人類精子帶 X染色體的數量與帶 Y染色體的數量相當,因此就概念上來說,它們的機會均等。這是一個公正的拋擲硬幣遊戲

別搞混了頻率與結果,每次拋硬幣結果都和前一次無關

拋擲一枚公正的硬幣七十億次後,我們會期望出現正面的機會是一半,但我們是否應當期待看到一百萬個連續的正面出現呢?我們可從一台專門拋擲硬幣的機器得知,儘管硬幣的運行軌跡會受到隨機干擾,硬幣百分之百都出現正面結果的可能性也的確存在。

拋擲一枚公正的硬幣,出現正面的機率是二分之一。從數學理論上來看,我們知道,隨著拋擲次數的增加,「出現正面」與「出現反面」這兩個事件的比值會愈來愈接近 1。以此延伸,可能會誤導人相信上一句的意思表示:如果出現一連串的正面,那麼之後會出現一連串的反面結果來平衡此現象。

我們很容易陷進這樣的謬誤中:如果其中一面很久沒有出現了,那麼它在每一輪拋擲中的出現機會就會增加。儘管我們知道理論上來說,每一次拋擲一枚硬幣,出現兩種結果的機會都完全一樣──硬幣出現正面的機會就跟出現反面的機會相同。人們時常會搞混結果頻率之間的差別。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

「出現一連串的正面結果」是可能發生的。我就曾看過出現非常多次的連續正面結果。直覺上我們會覺得這事件很離奇,但請這麼思考:假設你拋擲一枚硬幣十次,出現七次正面的結果,那麼正面與反面的比例就是七比三。現在,用普遍受到認可的直覺思維來想的話,接續的十次拋擲,出現反面的次數應該要多於六次,以抗衡先前拋擲的結果──超過期望數字的正面次數。但硬幣沒有記憶能力,每一次的拋擲都與前一次無關,只有看著拋擲結果的人會記得先前的紀錄。沒有任何方式可以證明硬幣不可能在接下來的五百次拋擲都出現正面,如果可以的話,我們必定會很驚訝。

硬幣正面(+1)與反面(-1)拋擲的累積結果,橫軸為總拋擲次數。可以發現與預期不同,硬幣似乎會出現長時間傾向某一面的結果。圖/臉譜出版提供

上圖呈現由電腦產生的重複拋擲硬幣五百次後的累積結果(每次出現正面時以 +1 表示,反面以 -1 表示)。水平線代表 0。正面與反面交替領先,「這是一場不分軒輊的競賽」,你可能會這麼想。一般的直覺判斷會覺得擲銅板的圖應該會以零的基準線為軸,上上下下跳動。然而,最常出現的是這類傾向長時間偏向某一端(上或下)的圖。

在硬幣拋出去的那一刻,結果就已經決定了

source:frankieleon@ Flickr

理論上的絕對隨機與真實、實體世界中的絕對隨機並不相同。儘管對於觀察這過程的一般人來說,那些一開始在壓克力球體中旋轉、決定樂透開獎號碼的乒乓球,確實給出了無法事先預測的數字,但落進洞口的乒乓球並不是隨機產生的。在美式足球開場前,決定由誰開球的拋擲硬幣行為也與「隨機」差之千里。事實上,擲硬幣的結果只是很單純的物理問題;打造一台拋擲硬幣的機器,拋擲任意次數(一千或一百萬次),每一次都出現正面結果──這是辦得到的。

近來設計用以分析拋擲硬幣的實驗顯示,硬幣(甚至是公正的硬幣也一樣)拋擲的結果會傾向其拋擲前的那一面,而這結果取決於硬幣的面以及角動量向量之間的角度。也就是說,硬幣在空中的行進軌跡是由它一開始的狀態所決定。戴康尼斯(Persi Diaconis)、霍姆斯(Susan Holmes)以及蒙哥馬利(Richard Montgomery)打造了一台拋硬幣的機器,透過彈簧裝置的棘輪來拋射硬幣。用這台機器做拋硬幣實驗,一開始正面朝上的硬幣,拋擲的結果總是(百分之百)會正面朝上。這麼一來,擲硬幣的結果便是固定的,而非隨機。只是人們拋擲硬幣的手以及周遭環境中形形色色的變數造成的多樣性,讓結果看起來是隨機的。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

然而,在硬幣於空氣中宛如一個緩慢旋轉的陀螺儀進動時,我們可能會被這假象矇騙,以為它實際上是拋擲出去的。硬幣的飛行方向受到其角動量向量決定,可能使它的拋擲結果永遠是正面朝上。所以,一枚一開始就正面朝上的硬幣,如果遵循它既定的軌跡,正面與反面的旋轉固定,拋擲結果可能永遠都是正面朝上。

硬幣在空中旋轉的狀態,常讓人誤以為落下的結果會是「隨機」。但實際上,結果在你拋出去的那一刻,早已被物理決定了。  圖/3dman_eu @Pixabay

連續出現同一面很正常,別太驚訝了

如果談的是會受到千里外輕微的地表顫動、或是太平洋上造成騷動的多事蝴蝶而影響的真實拋硬幣事件,情況就不一樣了。但「不一樣」不意味著合理,也不可測。硬幣掉落到地面時,很可能是隨機的,但我們人類對於隨機性的認知,通常會與我們對於隨機結果的預測不一致。因為硬幣的每一次拋擲都與先前的結果無關,所以出現連續一百次的正面拋擲結果時,我們理應不該感到驚訝,但我們卻往往如此。

圖/臉譜出版提供

上圖的現象相當詭異。拋擲結果一直跟預期的差不多,直到第四十五次拋擲,反面結果獨領風騷,在接下來的約莫一百零五次拋擲中變得「熱門」!然後,進入了一段合理期,頻頻出現正面結果,使得累積的值接近 0。接著在約莫第二百八十六次拋擲時,再度進到出現大量反面結果的階段。這並不是要說明現實狀況往往違反我們的直覺。

在經過規模大上許多、無法實際操作的投擲試驗後,正面與反面出現次數的實際比值必然會愈來愈接近 1,只是這情況沒有在我們的小規模試驗中出現罷了。拋擲五百次之後,反面出現的次數只比正面多十二次,這似乎是比較接近的數字了,但是連續的反面與正面結果通常可能造成累積結果出現很大的差異。讓我們以下一次的試驗為例。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
硬幣正反面的累積頻率與拋擲次數的函數關係。 圖/臉譜出版提供

局面完全倒向正面的結果。累積結果顯示,正面幾乎在整個試驗期間獨占鰲頭,給人留下「怎麼拋擲都不會出現反面」的印象。

大數理論:試驗越多次比率越接近

由電腦運算出一百萬次拋擲硬幣的結果。 圖/臉譜出版提供

上表是拆解拋擲硬幣一百萬次的結果,這結果是由電腦模擬一百萬次硬幣拋擲的運算而得。比值 k ⁄ N 中的 k 代表成功的次數, N 則代表試驗的次數,這個比值稱為「觀測成功比值」(observed success ratio)。而最右邊欄列出的是「觀測成功比值」與「數學預估的成功比值──1 / 2」之間差異的絕對值。

弱大數法則並沒有排除任何不太可能發生的事件常常出現的可能性,事實上,就算觀測成功比值與數學算出的預測成功比很接近,不保證接下來的試驗也會保持這麼接近的狀態。更為周延一點的數學結果也說明,儘管成功比值很可能朝著數學預測的數收斂,實際的成功值會隨著事件數的增加而發散。這與我們的直覺相違背,但事實卻真的是這樣。

在任何成功機率為 p 的事件中套用弱大數法則,我們可以得知│k / N– p │<ε 的機率會隨著 N 增大而愈來愈接近 1。假設 ε=0.0001(任意選定的),拋擲硬幣的 p =1 / 2,請問│k / N– 1 / 2│小於 0.0001 的可能性會有多大?請注意(見上表),│k / N– 1 / 2│在 N 的值很小的時候是跳動而非遞進的,而 N 的值變大時也一樣。從 100,000 到 200,000,│k / N– 1 / 2│的值是增加的,即便是從 800,000 到 900,000 也是增加的,但在拋擲次數(N)為一百萬次時,│k / N– 1 / 2│的值反而減少。我們誤以為正面和反面的出現次數應該會逐漸接近 0,但這試驗顯示,增加試驗的次數並不會使波動性變得更小。如我們所見,隨著拋擲次數的增加,波動性也變大了。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

所以,結論是什麼呢?看起來 N 值愈高就愈不受大數法則約束,因為在難以計量的大數中,有更多讓難察覺的誤差存在的空間。

由前一張圖表衍伸的細節。 圖/臉譜出版提供

5,000 次的拋擲中,正面出現 2,561 次,反面出現 2,439 次,兩者之間的差距是 122 次。百分之 2.4 的誤差,看起來不算太差勁。但在不知道這些正面的分配的情況下,是可能連續出現 122 次正面的拋擲結果的。從這觀點來思考,想像在 67,500 次拋擲中,也可能連續擲出 758 次反面,或者在 82,500 次拋擲中,連續擲出 694 次正面。也就是說,沒有哪個數學法則能夠在 N 很大的情況下,排除連續出現相當多次正面的機率。

 

 

本文節錄自《是湊巧還是機率?巧合背後的數學與迷思》,臉譜出版

 

 

文章難易度
臉譜出版_96
88 篇文章 ・ 255 位粉絲
臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

0

2
0

文字

分享

0
2
0
人體吸收新突破:SEDDS 的魔力
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/05/03 ・1194字 ・閱讀時間約 2 分鐘

本文由 紐崔萊 委託,泛科學企劃執行。 

營養品的吸收率如何?

藥物和營養補充品,似乎每天都在我們的生活中扮演著越來越重要的角色。但你有沒有想過,這些關鍵分子,可能無法全部被人體吸收?那該怎麼辦呢?答案或許就在於吸收率!讓我們一起來揭開這個謎團吧!

你吃下去的營養品,可以有效地被吸收嗎?圖/envato

當我們吞下一顆膠囊時,這個小小的丸子就開始了一場奇妙的旅程。從口進入消化道,與胃液混合,然後被推送到小腸,最後透過腸道被吸收進入血液。這個過程看似簡單,但其實充滿了挑戰。

首先,我們要面對的挑戰是藥物的溶解度。有些成分很難在水中溶解,這意味著它們在進入人體後可能無法被有效吸收。特別是對於脂溶性成分,它們需要透過油脂的介入才能被吸收,而這個過程相對複雜,吸收率也較低。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

你有聽過「藥物遞送系統」嗎?

為了解決這個問題,科學家們開發了許多藥物遞送系統,其中最引人注目的就是自乳化藥物遞送系統(Self-Emulsifying Drug Delivery Systems,簡稱 SEDDS),也被稱作吸收提升科技。這項科技的核心概念是利用遞送系統中的油脂、界面活性劑和輔助界面活性劑,讓藥物與營養補充品一進到腸道,就形成微細的乳糜微粒,從而提高藥物的吸收率。

自乳化藥物遞送系統,也被稱作吸收提升科技。 圖/envato

還有一點,這些經過 SEDDS 科技處理過的脂溶性藥物,在腸道中形成乳糜微粒之後,會經由腸道的淋巴系統吸收,因此可以繞過肝臟的首渡效應,減少損耗,同時保留了更多的藥物活性。這使得原本難以吸收的藥物,如用於愛滋病或新冠病毒療程的抗反轉錄病毒藥利托那韋(Ritonavir),以及緩解心絞痛的硝苯地平(Nifedipine),能夠更有效地發揮作用。

除了在藥物治療中的應用,SEDDS 科技還廣泛運用於營養補充品領域。許多脂溶性營養素,如維生素 A、D、E、K 和魚油中的 EPA、DHA,都可以通過 SEDDS 科技提高其吸收效率,從而更好地滿足人體的營養需求。

隨著科技的進步,藥品能打破過往的限制,發揮更大的療效,也就相當於有更高的 CP 值。SEDDS 科技的出現,便是增加藥物和營養補充品吸收率的解決方案之一。未來,隨著科學科技的不斷進步,相信會有更多藥物遞送系統 DDS(Drug Delivery System)問世,為人類健康帶來更多的好處。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度

討論功能關閉中。

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
197 篇文章 ・ 303 位粉絲
充滿能量的泛科學品牌合作帳號!相關行銷合作請洽:contact@pansci.asia

0

0
0

文字

分享

0
0
0
賭博與愛情公式:用數學擬定你的擇偶策略——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/06 ・2486字 ・閱讀時間約 5 分鐘

理解期望值,有助於分析賭場裡的大部分賭局,以及美國中西部和英國的嘉年華會中,常有人玩、但一般人比較不熟悉的賭法:骰子擲好運(chuck-a-luck)。

招攬人來玩「骰子擲好運」的說詞極具說服力:你從 1 到 6 挑一個號碼,莊家一次擲三顆骰子,如果三個骰子都擲出你挑的號碼,莊家付你 3 美元。要是三個骰子裡出現兩個你挑的號碼,莊家付你 2 美元。

假如三個骰子裡只出現一個你挑的號碼,莊家付你 1 美元。如果你挑的號碼一個也沒有出現,那你要付莊家 1 美元。賽局用三個不同的骰子,你有三次機會贏,而且,有時候你還不只贏 1 美元,最多也不過輸 1 美元。

我們可以套用名主持人瓊安.李維絲(Joan Rivers)的名言(按:她的名言是:「我們能聊一聊嗎?」),問一句:「我們能算一算嗎?」(如果你寧願不算,可以跳過這一節。)不管你選哪個號碼,贏的機率顯然都一樣。不過,為了讓計算更明確易懂,假設你永遠都選 4。骰子是獨立的,三個骰子都出現 4 點的機率是 1/6×1/6×1/6=1/216,你約有 1/216 的機率會贏得 3 美元。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

僅有兩個骰子出現 4 點的機率,會難算一點。但你可以使用第 1 章提到的二項機率分布,我會在這裡再導一遍。三個骰子中出現兩個 4,有三種彼此互斥的情況:X44、4X4 或 44X,其中 X 代表任何非 4 的點數。而第一種的機率是 5/6×1/6×1/6=5/216,第二種和第三種的結果也是這樣。三者相加,可得出三個骰子裡出現兩個 4 點的機率為 15/216,你有這樣的機率會贏得 2 美元。

圖/envato

同樣的,要算出三個骰子裡只出現一個 4 點的機率,也是要將事件分解成三種互斥的情況。得出 4XX 的機率為 1/6×5/6×5/6=25/216,得到 X4X 和 XX4 的機率亦同,三者相加,得出 75/216。這是三個骰子裡僅出現一個 4 點的機率,因此也是你贏得 1 美元的機率。

要計算擲三個骰子都沒有出現 4 點的機率,我們只要算出剩下的機率是多少即可。算法是用 1(或是100%)減去(1/216 +15/216 + 75/216),得出的答案是 125/216。所以,平均而言,你每玩 216 次骰子擲好運,就有 125 次要輸 1 美元。

這樣一來,就可以算出你贏的期望值($3×1/216)+($2×15/216)+($1×75/216)+(–$1×125/216)=$(–17/216)=–$0.08。平均來說,你每玩一次這個看起來很有吸引力的賭局,大概就要輸掉 8 美分。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

尋找愛情,有公式?

面對愛情,有人從感性出發,有人以理性去愛。兩種單獨運作時顯然效果都不太好,但加起來⋯⋯也不是很妙。不過,如果善用兩者,成功的機率可能還是大一些。回想舊愛,憑感性去愛的人很可能悲嘆錯失的良緣,並認為自己以後再也不會這麼愛一個人了。而用比較冷靜的態度去愛的人,很可能會對以下的機率結果感興趣。

在我們的模型中,假設女主角——就叫她香桃吧(按:在希臘神話中,香桃木﹝Myrtle﹞是愛神阿芙蘿黛蒂﹝Aphrodite﹞的代表植物,象徵愛與美)有理由相信,在她的「約會生涯」中,會遇到 N 個可能成為配偶的人。對某些女性來說,N 可能等於 2;對另一些人來說,N 也許是 200。香桃思考的問題是:到了什麼時候我就應該接受X先生,不管在他之後可能有某些追求者比他「更好」?我們也假設她是一次遇見一個人,有能力判斷她遇到的人是否適合她,以及,一旦她拒絕了某個人之後,此人就永遠出局。

為了便於說明,假設香桃到目前為止已經見過 6 位男士,她對這些人的排序如下:3—5—1—6—2—4。這是指,在她約過會的這 6 人中,她對見到的第一人的喜歡程度排第 3 名,對第二人的喜歡程度排第 5 名,最喜歡第三個人,以此類推。如果她見了第七個人,她對此人的喜歡程度超過其他人,但第三人仍穩居寶座,那她的更新排序就會變成 4—6—1—7—3—5—2。每見過一個人,她就更新追求者的相對排序。她在想,到底要用什麼樣的規則擇偶,才能讓她最有機會從預估的 N 位追求者中,選出最好的。

圖/envato

要得出最好的策略,要善用條件機率(我們會在下一章介紹條件機率)和一點微積分,但策略本身講起來很簡單。如果有某個人比過去的對象都好,且讓我們把此人稱為真命天子。如果香桃打算和 N 個人碰面,她大概需要拒絕前面的 37%,之後真命天子出現時(如果有的話),就接受。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

舉例來說,假設香桃不是太有魅力,她很可能只會遇見 4 個合格的追求者。我們進一步假設,這 4 個人與她相見的順序,是 24 種可能性中的任何一種(24=4×3×2×1)。

由於 N=4,37% 策略在這個例子中不夠清楚(無法對應到整數),而 37% 介於 25% 與 50% 之間,因此有兩套對應的最佳策略如下:

(A)拒絕第一個對象(4×25%=1),接受後來最佳的對象。

(B)拒絕前兩名追求者(4×50%=2),接受後來最好的求愛者。

如果採取A策略,香桃會在 24 種可能性中的 11 種,選到最好的追求者。採取 B 策略的話,會在 24 種可能性中的 10 種裡擇偶成功。

以下列出所有序列,如同前述,1 代表香桃最偏好的追求者,2 代表她的次佳選擇,以此類推。因此,3—2—1—4 代表她先遇見第三選擇,再來遇見第二選擇,第三次遇到最佳選擇,最後則遇到下下之選。序列後面標示的 A 或 B,代表在這些情況下,採取 A 策略或 B 策略能讓她選到真命天子。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

1234;1243;1324;1342;1423;1432;2134(A);2143(A);2314(A, B);2341(A, B);2413(A, B);2431(A, B);3124(A);3142(A);3214(B);3241(B);3412(A, B);3421;4123(A);4132(A);4213(B);4231(B);4312(B);4321

如果香桃很有魅力,預期可以遇見 25 位追求者,那她的策略是要拒絕前 9 位追求者(25 的 37% 約為 9),接受之後出現的最好對象。我們也可以用類似的表來驗證,但是這個表會變得很龐雜,因此,最好的策略就是接受通用證明。(不用多說,如果要找伴的人是男士而非女士,同樣的分析也成立。)如果 N 的數值很大,那麼,香桃遵循這套 37% 法則擇偶的成功率也約略是 37%。接下來的部分就比較難了:要如何和真命天子相伴相守。話說回來,這個 37% 法則數學模型也衍生出許多版本,其中加上了更合理的戀愛限制條件。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

討論功能關閉中。

大牌出版.出版大牌_96
3 篇文章 ・ 0 位粉絲
閱讀的大牌不侷限於單一領域, 視野寬廣,知識豐富,思考獨立。

0

10
2

文字

分享

0
10
2
鑑識故事系列:Lucia de Berk 值班死幾人?荷蘭護理冤案
胡中行_96
・2023/02/27 ・2983字 ・閱讀時間約 6 分鐘

前言:本文為鑑識系列中,罕見提及統計學的故事。不過,繁複的計算過程全部省略,僅討論統計概念和辦案原理。請害怕數學的讀者放心。

護理人員 Lucia de Berk。圖/Carole Edrich on Wikimedia Commons(CC BY-SA 3.0)

荷蘭護理人員 Lucia de Berk,長年於海牙茱莉安娜兒童醫院(Juliana Kinderziekenhuis)的 1 個病房,與紅十字醫院(Rode Kruis Ziekenhuis)的 2 個病房工作。2001 年 12 月,她因謀殺罪嫌被捕。[1]

超幾何分佈

警方起先偵辦 2 名住院病患的死因,發現是中毒身亡;後來連帶調查 1997 至 2001 年間,幾家醫院可能的謀殺案件,於是找上了她。[2]在法庭上,司法心理學家 Henk Elffers 用機率的概念,證明 Lucia de Berk 有罪。簡單來說,就是計算嫌犯現身出事班次的機率。他採取的統計方法,叫做超幾何分佈(又稱「超幾何分配」;hypergeometric distribution)。[1]

超幾何分佈適合用在從一個母數中,隨機抽取樣本,不再放回的情形。例如:袋子裝有 N 顆球,其中 L 顆為紅球。一把抓出 n 顆球,不特別挑選的話,紅球碰巧被抓到的機率為 X。[3, 4]以此類推,在此案被調查的時間範圍內,病房總共有 N 個班次,其中 Lucia de Berk 值了 L 班,而有醫療事故的班次共 n 個。如果不刻意安排,則她正好出現在事故班次的機率為 X。[1]公式介紹。[4]

此處實際帶入數據後得到的答案,說明 Lucia de Berk 理論上應該只有 3 億 4 千 2 百萬分之一(X = 1 / 3.42 x 108)的機率,會剛好在醫療事故發生的班次值班。因此,法庭認定她的頻繁出現(> 1 / 3.42 x 108),絕非巧合。[1, 2, 5, 6]2003 年,Lucia de Berk因 7 起謀殺和 3 次殺人未遂,[2]被判終身監禁。[5]

茱利安納兒童醫院(Juliana Kinderziekenhuis)外觀。圖/Joris on Wikimedia Commons(CC BY-SA 3.0)
紅十字醫院(Rode Kruis Ziekenhuis)已於 2021 年關閉。圖/1Veertje on Wikimedia Commons(CC BY-SA 4.0)。

統計謬誤

當時有位醫師任職於 Lucia de Berk 待過的一家醫院。他的女性姻親 Metta de Noo-Derksen 醫師,以及 Metta 的兄弟 Ton Derksen 教授,都覺得事有蹊蹺。[7]Metta 和 Ton 檢視死者的病歷紀錄,並指出部份醫療事故的類型和事發時間,與判決所用的數據對不起來因為後者大半仰賴記憶,他們甚至發現有些遭指控的班次,Lucia de Berk 其實不在現場。然而,光是這些校正,還不足以推翻判決。[1, 7]

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

所幸出生於英國的荷蘭萊頓大學(Universiteit Leiden)統計學榮譽教授 Richard Gill,也伸出援手。[2]在協助此案的多年後,他的團隊發表了一篇論文,解釋不該使用超幾何分佈的理由,例如:[1]

  1. 護理人員不可互換:所有受訪醫師都說,護理人員可以相互替換;但是護理人員覺得,他們無法取代彼此。由於各別的個性與行事風格迥異,他們對病患的影響也不同。[1]
  2. 醫療事故通報機率:既然每個護理人員都有自己的個性,他們判定某事件為醫療事故,並且通報醫師的機率也不一樣。[1]畢竟醫院的通報規定是一回事;符合標準與否,都由護理人員判斷。比方說,有個病患每次緊張,血壓就破表。那就讓他坐著冷靜會兒,再登記第二次測量的正常結果即可。不過,難免會有菜鳥護士量一次就嚇到通報,分明給病房添亂。
  3. 班次與季節事故率:夜間與週末只剩護理人員和少數待命的醫師;季節性的特定病例增減;以及病患的生理時鐘等,都會影響出事的機率。[1]
  4. 護理排班並不平均:護理人員的班次安排,理想上會有帶狀的規律。可能連續幾天都是白班,接著是幾個小夜班之類的,[1]比較方便調整作息。此外,護理人員的資歷和個性,通常也會被納入考量。[1]以免某個班次全是資深人員;但另個班次緊急事故發生時,卻只剩不會臨機應變的新手。在這樣的排班原則下,如果單看某個時期的班表,每個人所輪到的各類班次總數,應該不會完全相同。
  5. 出院政策曾經改變:茱莉安娜兒童醫院在案發期間,曾經針對確定救不活的小病患,是否該在家中或病房離世,做過政策上的調整。帳面上來說,算在病房裡的事故量絕對會有變化。[1]

總之,太多因素會影響護理排班,或是干擾醫療事故的通報率,因此不能過度簡化成抽取紅球那樣的隨機概念。更嚴重的是,Henk Elffers 在計算過程中,分開處理 3 個病房的機率,然後再相乘。Richard Gill 的團隊強調,這樣會造成在多處上班的護理人員,比只為一處服務者,看起來有較高的嫌疑。[1]

帕松分佈

因應這種情境,Richard Gill 教授建議採用帕松分佈(又譯「布阿松分配」;Poisson distribution),[1]一種描述特定時間內,事件發生率的統計模型。[8]有別於先前的計算方法,在這裡事故傾向(accident proneness),以及整體排班狀況等變因,都納入了考量。前者採計護理人員通報醫療事故的意願強度;後者則為輪班的總次數。這個模型通常是拿來推估非尖峰時段的來電、大城市的火災等,也適用於 Lucia de Berk 的案子。[1](深入瞭解公式計算(p. 4 – 6)。[1, 8]

雖然此模型的細節複雜,統計學家得大費周章解釋給法官聽,但是考慮的條件比較趨近真實。倘若套用原始判決的數據,這個計算最後的答案是 0.0206161,意即醫療事故本來就有 49 分之 1 的機率,會與 Lucia de Berk 的班次重疊。如果帶入 Mettade Noo-Derksen 和 Ton Derksen 校正過的數據,機率更高達 9 分之 1。[1, 9]換句話說,她單純是倒楣出現在那裡,就被當作連續殺人犯。[6]

其他證據與翻案

大相逕庭的計算結果,顯示出選擇正確統計模型的重要性。然而,最不合理的,是以機率作為判決的主要根據。就謀殺案件來說,怎能不忠於病歷或驗屍報告?Richard Gill 教授接受美國犯罪學講師 Jon Robins 的訪問時,表示後來由醫師和毒物學家組成的獨立團隊,被允許瀏覽當初沒送上法庭的關鍵資料。[2]他們發現原本被視為受害者的病患,根本都喪命於自然死因。[2, 6]

在各方人士的協助下,Lucia de Berk 還是歷經兩次上訴失敗。[6]她曾於 2008 年,被允許在家等候重審結果。[1]但直到 2010 年 4 月,司法才還她清白。[7]Ton Derksen 認為,在荷蘭像這樣誤判的案件,約佔總判決數的 4 至 11%,也就是每年 1,000 人左右。不過,2006 到 2016 年間被判刑的 2 萬 3 千人裡,只有 5 個上訴到最高法院,而且僅 Lucia de Berk 的案子得以平反。[10]

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
Lucia de Berk 冤案改編電影的海報。圖/電影《Lucia de B.》(2014) on IMDB

  

參考資料

  1. Gill RD, Groeneboom P, de Jong P. (2018) ‘Elementary Statistics on Trial—The Case of Lucia de Berk’. Chance 31, 4, pp. 9-15.
  2. Robins J. (10 APR 2020) ‘Ben Geen: Statisticians back former nurse’s in last chance to clear name’. The Justice Gap.
  3. 超幾何分佈」國立高雄大學統計學研究所(Accessed on 03 FEB 2023)
  4. 李柏堅(06 FEB 2015)「超幾何分配CUSTCourses on YouTube.
  5. Sims J. (24 FEB 2022) ‘Are We in the Midst of a Data Illiteracy Epidemic?’. Inside Hook.
  6. Schneps L, Colmez C. (26 MAR 2013) ‘Justice Flunks Math’. The New York Times.
  7. Alexander R. (28 APR 2013) ‘Amanda Knox and bad maths in court’. BBC News.
  8. 李伯堅(04 FEB 2015)「布阿松分配」CUSTCourses on YouTube.
  9. Wilson D. (13 DEC 2022) ‘Red flag to be wary of when hunting a killer nurse’. The Herald, Scotland.
  10. One in nine criminals may have been wrongly convicted – research’. (21 NOV 2016) Dutch News.
胡中行_96
169 篇文章 ・ 65 位粉絲
曾任澳洲臨床試驗研究護理師,以及臺、澳劇場工作者。 西澳大學護理碩士、國立台北藝術大學戲劇學士(主修編劇)。邀稿請洽臉書「荒誕遊牧」,謝謝。