熱力學第二定律萬歲：能量從哪裡來？又往哪裡去？——《詩性的宇宙》

本文轉載自顯微觀點

顯微鏡後的女性科學家系列

他像是一艘船在河中航行；四處遇到阻礙，唯獨一面通暢；在那，所有的障礙都消失了，他徐徐地穿越著深深的航道，進入無盡的海洋。

——愛默生

埃凡斯在動物工業局的研究興趣集中到一種致流產的傳染性微生物。

丹麥獸醫伯納．班（Bernhard Bang） 在 19 世紀末發現了一種導致乳牛流產的病菌，而這種病菌多年來已知存在於受感染的乳牛乳房中。

而農業工業局病理部的施洛德（Schroeder） 和卡登（Cotton）在 1911 年從看似健康的牛隻的牛奶樣本中分離出這種病菌；幾乎同時，另一組研究人員史密斯（Theobeld Smith）和費比恩（Febyen）也在 1912 年從牛奶中分離出同樣的病菌。因此埃凡斯開始思索這類致牛隻流產的病菌是否也會導致人類生病。

與此同時，蘇格蘭病理學家布魯斯（David Bruce）分離出了會使人類發燒和肌肉疼痛的波浪熱（或稱馬爾他熱，Malta fever）的病菌，且發現可透過羊奶傳染給人類。

當時的科學家都認為透過羊奶傳染給人和導致牛流產的是不同的病菌。透過羊奶傳染馬爾他熱的是羊微球菌；引起牛流產的則是流產芽孢桿菌。

但埃凡斯透過觀察，認為這兩種來源的細菌形態相似：這些細胞呈桿狀，但有不同的長度；有些細胞很短，在顯微鏡下看起來呈球形。

經過細菌鑑定以及將病菌接種在動物身上的對比試驗，埃凡斯推斷這兩者其實是同一種桿菌，並將這些發現於 1917 年 12 月在美國細菌學家協會（the Society of American Bacteriologists）年會上報告，並發表於 1918 年 7 月的《傳染病雜誌》（The Journal of Infectious Diseases）。而後來為紀念首先研究這病症的布魯斯，這個病原菌被定名為「布氏桿菌」（Brucella abortus）。

同時埃凡斯基於研究發現也提出質疑：「我們是否確信，人類不會因為飲用生牛奶而偶爾發生腺熱（glandular fever）、流產或可能的呼吸道疾病？」

避免人畜傳染 推動牛奶滅菌

1864 年，法國生物、化學家．巴斯德（Louis Pasteur）描述了如何透過加熱保存液體的系統，也就是巴氏殺菌。但當時這樣的滅菌法應用於葡萄酒或啤酒，而不是牛奶，因為人們認為牛奶只要不被污染就是安全的。

當時牛奶的問題在於變質的速度。過去，有些乳牛場為了解決變質，會建在城市，以縮短生產和消費之間的時間；而有些則使用摻假物，例如碳酸氫鹽、糖、糖蜜甚至粉筆，來掩蓋乳品腐敗的狀況。

對於埃凡斯提出喝生牛乳可能致病的質疑，不但未被採納，還遭到其他科學家、醫師和酪農業等各界的批判。

一來是科學家普遍相信發現結核菌的德國生物學家柯霍（Heinrich Hermann Robert Koch）所提出的觀點：同一種病菌會同時造成動物與人類的共同疾病。

柯霍曾在 1901 年提出儘管結核病是牛隻常見的疾病，產出的牛奶含有大量的「結核菌」，但這種牛型結核病不會傳染給人。

他說，如果牛結核桿菌能夠感染人類，就會出現很多病例，尤其是脆弱的兒童；但大多數醫護人員認為案例數並不多並非如此。他甚至認為，採取措施保護人類免受牛結核病的侵害是不明智的。

二來是科學家們不相信埃凡斯這樣沒有博士學位的女性，能提出如此「重大的發現」。對酪農和乳製品業而言，埃凡斯則被認為在圖利巴氏殺菌設備。

所幸，埃凡斯的發現在 1920 年後陸續得到梅耶（Karl Friedrich Meyer）等人的研究支持，被認為是可信的科學發現。 美國衛生局（USPHS）也從 1924 年開始制定了一項名為《標準牛奶條例》（Standard Milk Ordinance）的示範法規，由州和地方掌控乳製業機構自願採用。之後又陸續頒布行政和技術細節，修改成 A 級巴氏滅菌牛奶條例（Grade A Pasteurized Milk Ordinance），提供全國統一的牛奶衛生標準。

重要貢獻鼓勵後進女科學家

為了表彰埃凡斯的成就，美國細菌學家協會（現為美國微生物學會，the American Society for Microbiology，ASM）於 1928 年推舉她成為首位女性主席。

然而儘管有豐富的實驗室經驗以及預防措施，但埃凡斯仍在 1922 年感染布氏桿菌，並在往後幾年反覆發作。她曾在回憶錄中提到，「完全喪失能力和康復的時期交替出現，最後一次致殘的病情惡化發生在 1943 年夏天，距感染之日已近 21 年」。

更慘的是，當時對疾病沒有夠多的認識，因此她和其他布氏桿菌患者一樣，被診斷為「神經衰弱」，認為這些症狀是被幻想出來的，被誤解為騙子，是在「詐病」。但埃凡斯說，慢性症狀方面的經歷使她有機會親眼觀察這種疾病及其影響。

不過她也漸漸將研究目光轉向溶血性鏈球菌，一直致力於此直到 1945 年退休。1975 年 9 月 5 日埃凡斯於維吉尼亞州亞歷山大市逝世，享年 94 歲。她的墓誌銘刻著：：「溫柔的獵人，追趕並馴服她的獵物，穿越到了新的家園」。

雖然埃凡斯並未取得博士學位，又曾因女性身分導致科學發現不被認可。但美國微生物學會於1983年為表彰埃凡斯在微生物學領域的參與以及傑出貢獻，設立了「埃凡斯獎」（The Alice C. Evans Award），以表揚後進致力於微生物科學領域的女性。

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• MEMOIRS. Alice C. Evans, 1963
• Alice Evans, A Pioneer for Women in Microbiology
• Alice Catherine Evans, the Pioneer of Safe Milk
• Scientific Criteria and Performance Standards to Control Hazards in Dairy Products

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奧地利的物理學家薛丁格最初閱讀愛因斯坦和德布羅意的論文後，也注意到物質波的概念，並進而闡釋發展成波動力學，促成量子力學誕生。薛丁格的波動力學是後來量子力學的具體論述之一， 薛丁格波動方程式更是量子力學最重要的方程式之一，也是現代人研究發展量子電腦的重要思維。

繼續討論薛丁格的想法前，容我「插播」兩種說法，一種是「哥本哈根詮釋」，一種是「愛因斯坦悖論」。

萬物受機率支配？愛因斯坦可不這麼認為

前面提到電子的雙狹縫干涉實驗，說明在微觀世界的電子具有波動性。在電子的雙狹縫干涉實驗中，為何被觀測到的電子只有在屏幕的一點留下痕跡呢？照理說，在屏幕的任意地方都能發現電子的蹤跡。然而，當我們「觀測」到屏幕的一「質點」的電子的瞬間，電子的波函數立即「塌縮」。

物理學家解釋這是因為電子的波函數與發現機率有關，亦即觀測電子時，電子波會縮小分布範圍， 呈現電子的粒子形式。活躍於哥本哈根的波耳等人認同這種融合「波函數塌縮」和「機率詮釋」的想法，因此成為「哥本哈根詮釋」。至於「電子波為何會塌縮？」是一個未解之謎。

自然界真的受到機率的支配嗎？真的大哉問啊！

愛因斯坦儘管預言光子存在，提出光量子論，但他強烈反駁「機率論」的觀點。對於哥本哈根學派的「機率詮釋」和「波的塌縮」，愛因斯坦以「上帝不玩擲骰子的遊戲」批判哥本哈根詮釋， 完全不能接受哥本哈根學派主張「決定一切事物的上帝竟然會依照擲出骰子出現的點數決定電子的位置」。

愛因斯坦也指摘「幽靈般的超距作用」。他認為未來已經確定，反駁「自然界曖昧不明」的不確定性，進一步指出「自然界並非曖昧不明，而是量子論還不完備，無法正確闡述自然界的緣故」。以上所提，是量子力學發展歷程的觀點論戰的故事，包含 1935 年，愛因斯坦和共同研究者波多斯基（Boris Podolsky）、羅森（Nathan Rosen）聯合發表觸及量子論矛盾的「EPR 悖論」（Einstein-Podolsky-Rosen paradox）。

迄今，我們已經知道微觀世界，電子等粒子會自己旋轉，具有「自旋」的物理量，或直接用專業術語「自旋角動量」，自旋的方向依據量子論會以多個狀態同時存在，並存或疊合。

愛因斯坦等人認為，對於相距非常遙遠的電子，不可能無時間限制，瞬時互相影響；根據狹義相對論的說法，沒有任何物體的飛行速度比光速還快。觀測相距遙遠的兩粒子之一，竟然會在瞬間同時決定兩者的狀態，這樣特殊奇妙的現象，愛因斯坦稱之為「幽靈鬼魅般的超距作用」。

沒錯！又要提那隻貓了

薛丁格曾以「量子糾纏」解釋愛因斯坦論文中的悖論現象，指出互相遠離的粒子的性質，並非各自獨立，而是成組決定，無法個別決定，這個現象是 2022 年諾貝爾物理學獎得獎主題的「量子糾纏」。如果能這樣思考，那麼就不會認為粒子是瞬間傳送並影響到遠方粒子，有如「幽靈般的超距作用」。

談到量子力學，「薛丁格的貓」此知名想像實驗必定會浮現在讀者的腦海中吧？此實驗探討一隻貓的狀態究竟是活或死的，而實驗結果是：貓同時是活和死的「疊加」。如果以古典物理學來思考，會顯得極其荒謬；但若以微觀世界視之，這項理論其實符合電子波粒二象性的機率概念。

根據 1927 年量子力學學派的詮釋，觀察一個量子物體時，會干擾其狀態，造成其立即從量子本質轉變成傳統物理現實。原子及次原子粒子的性質，在量測之前並非固定不變，而是許多互斥性質的「疊加」。此觀念的知名例子就是「薛丁格的貓」實驗。

在這個想像的實驗中，一隻貓被鎖在一個箱子中，並有一個毒氣瓶，在量子粒子處於某狀態下毒氣瓶會破裂，但若該粒子處於另一狀態，則毒氣瓶會完好無損。如果將箱子封閉，此粒子的量子狀態是兩種狀態「共存」的情況，也就是說，毒氣既是已從瓶中放出，又被封存在瓶中，也因此，箱中的貓同時既是活的也是死的。當箱子打開時，由於此量子疊加狀態瓦解了，因此在那瞬間，這隻貓或許被毒死，或許得以保命。

物理小教室

• 索爾維會議

量子力學是近代物理學的重要基石，與相對論被認為是近代物理學的兩大基本支柱，許多物理學理論和科學，如原子物理學、固態物理學、核物理學和粒子物理學，都以其為基礎。物理學界往往會在物理重要會議激盪出重要的論述，例如 1927 年第 5 次索爾維會議，此次會議主題為「電子和光子」，當時世上最重要的物理學家，都聚集在一起討論新的量子理論。

——本文摘自《我們的生活比你想的還物理》，2022 年 11 月，商周出版，未經同意請勿轉載。

這裡有必要檢視一下，這種壯闊的物理理論構思，在生物實務作用中如何施展。地球此處的生命，以一種稱為腺苷三磷酸（adenosine triphosphate）的分子（縮寫為 ATP），做為基本的動力電池。這裡我們所說的「電池」從廣義來看，意指某種能儲存自由能量供後續使用的事物。

設想 ATP 是種受壓擠的彈簧，那麼它可以在壓力釋開時彈開，使用它的能量來做有用的運用。結果也確實有用：儲存在 ATP 裡的自由能量，用來收縮肌肉、運輸分子和細胞到全身各處、合成 DNA 和 RNA 與蛋白質，經由神經細胞發送信號，還有其他不可或缺的生化機能。生物體能四處移動並且自我存續，ATP 扮演了關鍵角色。薛丁格也點出，這兩項能力就是生命的定義特徵。

能量從 ATP 釋出，通常發生在有水（H2O）的情況下。ATP 的三磷酸各含一顆磷原子（P），周圍是氧原子（O），見下頁圖左側——當中一個磷酸從 ATP 分離出來，我們就剩下腺苷二磷酸（adenosine diphosphate, ADP）。接著該磷酸鹽便與附近水分子的一顆氧原子連接，而剩下的 OH 便會與 ADP 結合。

最後這些產物的總能量，低於原始的 ATP 分子；因此該歷程同時釋出自由能量（用來進行某種有用的生化功能）以及無序的能量（熱）。所幸，ATP 是種可充電的電池，透過身體接著使用外來能源，好比陽光或糖，把磷酸鹽和 ADP 轉換回水和 ATP，ATP 又可以再次投入做功。

發生在你體內的所有能量活動，都會消耗龐大數額的 ATP；普通人每天運轉消耗的 ATP 數量，等於他的身體質量。當你屈曲二頭肌來舉起啞鈴或一杯酒，來自 ATP 而用來收縮你肌肉的能量就會猛然釋開，促使你肌肉纖維所含的蛋白質相互滑動。構成 ATP 的個別原子並不會耗盡；各分子只會分裂然後又重組，每天發生數百次。

ATP 從何而來？

從低熵 ADP 製造出 ATP 的自由能量是從哪裡來的？它的最終源頭是太陽。當某個植物或某微生物的葉綠素分子吸收可見光的光子，它的能量會鬆動一顆電子，這時就會發生光合作用歷程。高能量電子經由名叫電子傳遞鏈（electron transport chain）的連串分子穿過一道膜，導致膜的一側所含的電子數大於質子數，形成一種電荷梯度（electrical gradient），且一側帶淨負電，另一側則帶淨正電。

這就是生命灌注能量的基本做法；膜的一側所含質子彼此互推分開，有些經由一種稱為 ATP 合成酶（ATP synthase）的酵素逸出。試圖逸出的質子最終進入了合成酶，為它供應能量，而讓 ADP 合成為 ATP，這種歷程稱為化學滲透作用（chemiosmosis）。其中有些能量免不了要化為無序能量，並以低能量光子形式還有周遭原子的熱量顫動（熱）的方式釋出。

你我都不親自進行光合作用。我們的自由能量並不直接取自太陽，而是得自葡萄糖和其他糖類以及脂肪酸。我們有種微小胞器稱為粒線體，這就是細胞的動力機房，它使用固鎖在這些分子中的自由能量，把 ADP 轉換成 ATP。不過，我們取食的這些糖類和脂肪酸所含的自由能量，追根究底仍是經由光合作用得自於太陽。

這種基本配置對於地球此處的生命似乎一體適用。目前已擬出一個專有名詞，專門描述 ATP 合成酶透過流經其中的質子來驅動的作用，稱為「質子驅動力」（proton-motive force）。這機制在 1960 年代由彼得．米切爾（Peter Mitchell）和珍妮芙．莫伊爾（Jennifer Moyle）兩位英國生化學家發現。米切爾是個有趣的人物；他因為工作壓力釀成嚴重健康問題，只能辭去學術崗位的職務，最後在一處叫做格林之家（Glynn House）的地方，建立了一個私營實驗室。他獲頒 1978 年諾貝爾化學獎，嘉許他提出質子驅動力經由化學滲透作用促成 ATP 合成的理論。

布朗氏力的驅動

細胞是生命的基本單元；那是一批具功能性的子單元和胞器，漂懸在一種黏性液體裡面，整個由一層細胞膜包覆。沉浸於技術性工業社會的我們，往往會把細胞想像成微小的「機器」。不過真實的生物系統和我們習慣應付的人造機器之間的差異性，與雙方的類似性同樣都很重要。

這些差異有很大部分根源於一項事實，那就是機器一般都是針對某個特定目的而製造。基於這事實，機器往往只擅長處理它們的派定目的，此外就別無長處。設計往往是針對特定目標，不具有彈性，一旦事情出了差錯——你汽車的一個輪胎爆胎，或者你的手機電池用光——機器就完全不靈了。有機生物體則是歷經歲月發展成形的，心中沒有特定目的，一般較具彈性，能因應多重目的，還能自行修復。

細胞不只能耐受混沌，它們還駕馭混沌。它們沒有選擇餘地，這只要看看微生物學的發生環境就知道了。

我們的人類尺度世界比較寧靜祥和又可預測。在好天氣的日子拋球，你可以很有自信地估算球會飛多遠。相較而言，細胞是在幾十億分之一公尺的奈米尺度運作，那個世界的狀況是由隨機運動和噪音所支配——生物物理學家彼得．霍夫曼（Peter Hoffmann）稱這種現象為「分子風暴」（molecular storm）。單憑一次大混亂中的普通熱量顫動，我們體內的分子每秒互撞數兆次，就可讓尋常的暴風雨自慚形穢。放大到人類尺度想像一下，這就像是住在能與細胞分子風暴相提並論的氣候環境中，嘗試在不斷被其他球體轟擊的情況下拋球，而那些球體攜帶的能量，數億倍於你的手臂所能傳送的能量。

這樣的環境，看來並不適合舉辦任何微觀的運動賽事，或是從事細胞生態系的任何細密作業。細胞怎麼有辦法在這種情況下進行這樣的有組織活動？

這種大混亂之中有許許多多能量，不過全都是無序能量；並不能直接用來從事諸如拉動肌肉或發送養分到全身各處等工作。周遭分子處於一種近似平衡態，彼此隨機碰撞彈開。不過，細胞能利用匯集在 ATP 裡的低熵自由能量——不只直接投入工作，還能凝聚周遭介質裡的無序能量。

考量一個棘輪—齒偏向一側的齒輪。讓該棘輪承受往復的隨機顫動——布朗氏力（Brownian force），名稱得自植物學家羅伯特．布朗（Robert Brown）。他在 19 世紀早期，指出細小灰塵顆粒漂懸水中時，往往依循不可預測的方式四處移動，這種現象如今我們歸因於其他個別原子和分子對它們的持續轟擊。布朗棘輪本身一般不會偏向任一方向運動；它以不可預測的方式往復漂移。

不過，想像我們棘輪的齒並不固定，而且我們可以從外部予以控制。當棘輪朝向我們希望的方向運動，我們就把角度壓低，讓它容易移轉過去；當它朝另一方向移動，我們就放大角度，讓它較難移轉。這樣我們就得以將隨機的不定向布朗運動，變換成有定向的有用運輸作業。當然了，這需要某種外力介入，而且那種外力本身必須是低熵且遠離平衡的。

這種布朗棘輪是生物細胞內部眾多分子馬達的一種簡單模型。沒有任何外部觀察者會為了因應特定目的而改變分子形狀，而是有自由能量由 ATP 攜帶四處移動。ATP 分子能與細胞機具的移動束縛在一起，在恰當時機釋出能量，從而容許朝一個方向的變動，同時抑制朝向另一方向變動。在奈米尺度完成工作，完全關乎如何駕馭你周遭的混沌。

熱力學第二定律萬歲

薛丁格關於生命有機體消耗自由能量來維持其結構完整性的寫照，精彩顯現於真實世界的生物學。太陽為我們送來自由能量，那是相當高能量的可見光光子。那些光子由植物和單細胞生物體捕獲，用來進行光合作用，並製造 ATP 供自己使用，此外還有糖與其他可食化合物，這些都能儲存自由能量，並供動物運用。這種自由能量能用來保持生物體的內部秩序，同時讓它運動、思考並做出反應，也就是讓生物有別於無生命事物的所有事項。我們一開始從太陽能入手，現在它一路逐漸劣化，轉變成熱形式的無序能量。那項能量化為較低能量的紅外線光子，最終輻射回歸宇宙，熱力學第二定律萬歲。

這段故事的基本成分，我們討論核心理論時已見過了：光子、電子和原子核。有鑑於我們的日常生活和現代物理學似乎相隔遙遠，因此瞭解我們如何進食、呼吸和生活，我們才有辦法和它底層的粒子與力面對面接觸。

• 本篇選自本書第 30 章

本文摘自泛科學2017年11月選書《詩性的宇宙：一位物理學家尋找生命起源、宇宙與意義的旅程》，八旗文化出版。

這兩年全世界都被 COVID-19（特殊嚴重傳染性肺炎、新冠肺炎、武漢肺炎）疫情搞得雞飛狗跳。除了疫苗之外，「口罩、洗手、社交距離」堪稱「物理防疫三神器」。我們剛度過了第二個疫情下的中秋假期，看到各大交通轉運樞紐人山人海的群聚，不禁讓人擔心，擠成這副德性，樣怎麼保持社交距離啊？

最近頒發的 2021 年「第 31 次的第一屆」搞笑諾貝爾物理獎，也跟「社交距離」有關：在行人十分擁擠的通道上，大家如何互相閃躲以避免相撞，並且順利通行？

疫情前，大家在生活中碰到這種情境的經驗應該很頻繁，反正就順著人流走，有人擠過來過互相閃一下（然後心裡暗譙一下…有時候啦），經過一個不怎麼舒服的過程後，通常能順利通過。

但是這種在生活中看起來簡單的過程，有沒有辦法以物理學來理解呢？

物理學的主流是「化約主義」：希望用最簡單的理論來解釋各種現象。例如古典物理中用一個牛頓第二定律「F = ma」來解釋物體如何運動，用馬克斯威爾的四條方程式解釋一切電、磁與光的現象。物理學家的終極目標就是找出可以用一條方程式理解整個宇宙的過去、現在與未來的「萬物理論（The Theory of everything）」，所謂的萬物，當然是包含「人類行為」在內囉！

但是其他領域的學者可不吃這一套！比如說「人類的社會行為」，牽涉到神經科學、心理學、社會學等領域，每個領域都十分複雜，怎麼可能用物理學的化約主義來研究呢？

物理學家才不管這些，先做了再說！荷蘭 Eindhoven 科技大學、加州州立大學長灘分校以及義大利 Vergata 大學組成的研究團隊，探討了「擁擠的車站內通道的行人動力學」。其中加州州立大學的成員，是來自台灣的女科學家 Chung-min Lee 教授。

遊戲機變成高效的姿態感測器！

研究者將四部微軟電視遊樂器 X-BOX 用來捕捉玩家身體姿態動作的影像捕捉週邊設備「Kinect」裝設在 Eindhoven 火車站的通道上方，用以記錄通過這個通道的人群動態。這條通道一頭是市中心，另一頭則是巴士總站。

利用這四部 Kinect 拍攝到的行人影像，搭配影像辨識以及追跡演算法，可以同時標定每個進入畫面的行人，並且一路追蹤其軌跡直到離開畫面為止。整套系統從 2014 年 10 月到 2015 年 3 月，不間斷的記錄了六個月的時間，一共得到大約 500 萬人次的行人軌跡。

數據太複雜？別擔心，物理學家最擅長「化約」了

這些紀錄是貨真價實的複雜人類行為：有的是勇往直前一直線，有些左右搖擺，有些因為某些原因走到一半掉頭，也有真的就跟別人撞成一團的…物理學家如何發揮「化約主義」本色，將這些複雜的行為化簡成可以分析的數學形式呢？

研究團隊採取的方法是用將這長達六個月，累計數百萬行人來來去去的影片轉換成一個由一組「節點」（node）以及節點與節點之間的連線（edge）所組成的「圖」（graph）。

圖中每個節點都代表一個行人以及通過通道時的相關資訊，如行徑方向與軌跡長度。如果兩個行人（節點）在同一時間出現在同一畫面中，則這兩個節點就用線連起來，這條線的資訊包含它連結了哪兩個節點、兩節點間最大與最小的距離、同時在畫面上的時間等等。

假設一個情境如下（請拿出您的耐性，搭配圖二 (a) 看）：天剛亮時第 ① 個行人被攝影機捕捉到，接著第 ② 個行人跟在①後面進來，① 離開畫面後，③ 跟 ④ 分別從兩側走進來，在 ② 跟 ③ 離開畫面後，一班火車進站 ⑤⑥⑦ 先後進入畫面，然後人都離開了，中間的空檔只有 ⑧ 獨自通過，接著又有一班火車進來，⑨～⑫ 一起入鏡，最後一個離開鏡頭的 ⑫ 出鏡前瞬間 ⑬ 進來了，⑫ 離開後，⑭⑮ 進入，接著 ⑬⑭⑮ 先後出鏡，然後 ⑯ 獨自通過。

看起來有點煩，對不對？

不過轉換成圖二 (a) 的表示法，是不是就一目了然了呢？這就是「化約」的威力。即使如此，六個月累積下來的圖，上面會有 500 多萬個節點，節點間的連線數目可能上千萬，還是非常複雜。不過我們可以把這一大張圖拆成幾個「子圖」（subgraph）：每個子圖包含的節點可以靠彼此的連結連成一片，不同子圖之間則完全沒有連線。

以圖二 (a) 為例，可以分成四個子圖：一、節點 ①～⑦；二、節點 ⑧；三、節點 ⑨～⑮；四、節點 ⑯。只有子圖內部的節點可能彼此有交互作用。

但是即使把整張幾百萬個節點的超大圖拆成許多節點數較少的子圖，可能還是很難分析，像圖二 (a) 的「子圖一」包含了七個節點，要分析這七個行人怎麼互動，怎麼彼此調整行進的路線，還是太複雜了。考慮實際狀況，可以再進一步簡化：

兩個人即使同時出現在畫面中，如果距離很遠或接觸時間很短，幾乎不可能影響彼此，就把這兩人之間的連線拿掉，比如前面的例子「⑫ 出鏡前瞬間 ⑬ 進來了」的情形，就可以拿掉連線。如圖二 (b) 所示，這種太弱的連線（以虛線表示）拿掉後，會把圖形分成更多、更小的子圖。以圖二 (b) 來說，變成 8 個子圖，其中最大的也只有四個節點。

接下來，這篇論文只探討最簡單的兩種子圖：只有一個節點的，如圖二 (b) 中的 ⑧、⑬、⑯，以及兩個節點的 ①②、③④、以及 ⑭⑮，如圖二 (c)～(e)。其中 ①② 為同方向，不需要迴避相撞，所以也把這條連結拿掉，就變成各自落單的單一節點子圖了。

實際上「單節點子圖」一共有 47122 個，「雙節點子圖」一共有 9089 個。

A 編按：圖2 (a) 上「節點上的數字」代表「進入鏡頭的順序」，「節點間的連線」代表「兩人是否同時出現在同一畫面」，透過這種方式組成的圖 2 (a)，可以明確區分出那些序列是有可能相撞的。

接著再細部分析每個連線，如果距離太遠或接觸時間太短，就不可能產生碰撞或閃避行為，將符合此條件的連線設為「虛線」，形成圖 2 (b)。

最後考慮圖 2 (b) 內，每個有實線連結的節點行徑方向，如果是兩節點的行徑方向相同，就不會發生碰撞或閃避行為，可以排除不用分析，得到圖 2 (e) 的圖。

雖然我們物理學家經常吹噓物理很厲害，不過事實上我們能夠解出精確答案的力學問題，只有「一個粒子的運動」跟「兩個彼此交互作用的粒子的運動」而已，碰到「三個彼此交互作用的粒子的運動」就沒輒了，只能有近似解或是用數值模擬，所以才會有像「三體」這種科幻作品的出現啊！

三個、四個、五個…粒子的問題物理學家不會算，但是當粒子數目成千上萬或更多時，「熱力學」就登場了，物理學可以回答「很多粒子的平均行為」，並且拿來解釋熱、溫度與壓力等現象。

回歸正題，人類行為顯然比質點複雜太多，所以先從「一個人」跟「互相作用的兩個人」的行為模式著手，以此為基礎來探討「很多人的集體行為」，是相當合理的策略。

行人的軌跡其實不是直線，曲折的像是水裡的灰塵

先從最簡單的「一個人的動力學」開始，在沒有其他人的影響下，行人的軌跡大多會呈現頻率約 1 Hz（每秒一次）的小幅度「抖動」，這個很容易理解，因為這大約是人類的步伐頻率；除此之外，少數軌跡也會有比較大的晃動，甚至轉頭往回走的情形。研究團隊發現，這個行為模式跟「布朗運動」——把花粉、灰塵這些細小的物體放在水中，會被亂跑的水分子撞來撞去也跟著亂跑——類似。

既然如此，就用解釋布朗運動的「朗之萬」方程式（Langevin equation，對，就是那位跟偉大的瑪麗‧居禮傳出緋聞的朗之萬）試試看吧！

所謂的朗之萬方程式其實也很簡單，就是在物體「本來的運動傾向」之外，加上「流體的阻力」，以及「隨機的力量」。

什麼是這些行人「本來的運動傾向」呢？因為這是一條連通兩端的通道，不管是為了節省力氣或趕時間，絕大部分的人都是沿著平行通道的方向從一端以最短距離走向另一端，而不會斜著走；其次是多數人用正常速度走，但也有相當比例的人因為趕時間是快走或小跑步，其平均速率分別為每秒 1.29 與 2.70 公尺（換算成時速是 4.64 與 9.72 公里）；最後就是兩個方向都有人走。以上這些「運動的傾向」，可以寫成牛頓第二運動定律的方程式。

接著是「流體的阻力」，當行人開始偏離原來的行進路線時，會受到一個與垂直原方向的速率成正比的阻力，要將這個人「推」回原來的路線。

各位在像台北車站這類擁擠的走道上時可能有注意到：雙向行人會構成「層流」的結構，走同一個方向的人自動排起來列隊前進，這是阻力較小，也會比較省力的走路方式，偏離你所在的隊伍，就可能跟隔壁的隊伍發生摩擦甚至碰撞而難以通行，所以除非有強大的改變路徑的原因，不然我們自然就會回到原來的路徑上。

最後就是「隨機的力量」，我們周圍的其他行人隨時都有狀況，停下來拿東西的、路線突然歪掉的、腳扭了一下、忘記東西回頭的……我們必須眼觀四面，耳聽八方，隨時對這些狀況做出反應，以避免可能的衝撞，同時也造成路徑的改變。

寫下了運動方程式後，就可以在電腦裡面進行模擬，然後來跟攝影機拍到的行人真正的行為比較。結果出來了，人類的行為，可能沒有比空中的灰塵，水中的花粉更高明……

圖三為「一開始朝著巴士站方向走」的那些「單一節點」（沒有受到旁人影響）的運動狀況統計，紅點是攝影機拍到的真實行為，黑色圈圈是朗之萬方程式模擬的結果。

圖三 (a) 為平行通道方向的速率分布（本來的運動傾向），可以發現真實行為與模擬結果相當吻合！最多人是用秒速 1.29 公尺前進，有少數人是用跑的，所以在超過秒速兩公尺處也有一個小高峰，還有極少數的人會往回走（速率是負的），唯一沒抓到的特徵是在速率為零（停止）的附近。因為行人偶爾會因為種種原因而在路上停下來一段時間，但是布朗運動中的微小粒子只有在轉向的瞬間才會測得速率為零。

圖三 (b) 為垂直於行進方向的速率（流體的阻力），圖三 (c) 為偏離原來行進路線的距離（隨機的力量），兩者也都相當吻合。

結論是：如果行人的密度相當稀疏，不需要互相閃避時，行人的行為基本上跟水中的花粉進行的布朗運動很類似，可以用朗之萬方程式模擬出來。

接下來，就是考慮「兩個人互相靠近，需要互相迴避，但附近沒有其他人攪局」，也就是如圖四的狀況。

圖四中互相靠近的兩人，原本的預定路徑，也就是兩條灰色實線的距離太近，如果堅持往前走就會撞在一起，所以靠近到某一個距離就會開始調整方向，把路徑距離拉開避免碰撞（現實中還會有兩個人很有默契的往同一邊閃、再同時換邊、再同時換邊……一直閃不開的爆笑場景，這篇論文中倒是沒有討論），然後再互相遠離。

由於真實的路徑歪七扭八，加上每個人開始轉彎的時機也不盡相同，所以我們再度發揮「化約主義」的精神，把圖四簡化成圖五。

我們採用直角座標系，把通道方向（也是人流移動的分向）定義為 X 方向，垂直 X 的為 Y 方向，當大家都沿著 X 方向移動時，「會不會碰撞」是由 Y 方向的距離所決定。當兩人進入畫面時，兩條路徑的距離為 Δy_i，兩人擦身而過時的距離為 Δy_s，遠離後的路徑距離為 Δy_e。

在物理模型方面，得在「一個人的朗之萬模型」裡面加上「兩個人的交互作用力」，這個力分為兩部分：

1. 「遠遠看到前方有人走過來該準備閃了」的「長程力」
2. 「靠快撞到了趕快閃」的「短程力」

兩者都可以用數學函數寫出來加進方程式，成為「兩個人的朗之萬模型」。

研究團隊量了所有「雙節點子圖」的 Δy_i，Δy_s，Δy_ie；同時也以「兩個人的朗之萬模型」在電腦上模擬了行人的行為並且量測了這三個數值，然後畫了 e(Δy_s) 對 Δy_i 的關係圖，其中 e(Δy_s) 為對應於同一個 Δy_i 的所有 Δy_s 的平均值；以及 e(Δy_e) 對 Δy_s 的關係圖，分別為圖六 (a) 與 (b)。

再一次，真實世界的行人行為（紅點）與電腦模擬（虛線）相當吻合。此外，這個模型連「發生相撞」的頻率都可以預測得很準。難道人類行為真的跟隨波逐流的布朗運動一樣？！

每個人都有 AT 力場，半徑 1.4 公尺

值得注意的是，當 Δy_i 較小時，互相走近的兩人會開始調整方向，把距離拉開，讓兩人擦身而過時，不至於撞到（Δy > 0.6m）。有趣的是，這個現象從 Δy_i < 1.4m 就開始發生，在 0.6m~1.4m 這個範圍內，即使不改變方向，也不會撞到，但是這個距離已經夠近，讓人感到「個人領域受到侵犯」的威脅，而開始迴避對方，把距離拉開。

也就是說，在擁擠的通道中，「讓人安心的社交距離」是 1.4 公尺（我是很想把它叫做「AT-Field 絕對領域」啦…），我們不太想讓陌生人靠近到這個距離以內。要提醒各位的是，這是「一大堆人的行為」的平均值，並不是每個人都是同一個數值。

雖然說得到的是「搞笑諾貝爾獎」，不過這個研究過程可是很嚴謹的，一點也不搞笑。這個研究也說明了，個人的想法跟行為很複雜，人與人之間的互動很複雜，但是一大堆人的行為平均起來，可能會呈現簡單的模式，可以用物理學的「化約主義」方法，來理解「人類群體的行為」。

當然這還是相當初步的研究，而車站裡移動的人潮，也不過是人類的社會行為中一個非常簡單的現象，所以想用物理學的方法論，來研究社會科學，還有很長的路要走（而且社會科學家可能也會不高興）。

但是在物聯網越來越盛行的今日，各式各樣的人類活動被轉換成大量的資料累積下來，可以預見研究人類行為的方式會越來越多樣化。到最後會不會出現像艾希莫夫的科幻經典「基地系列」中，可以預知人類未來命運，並且扭轉其方向的「心理歷史學」呢？讓我們繼續看下去——

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1. Alessandro Corbetta, Jasper A. Meeusen, Chung-min Lee, Roberto Benzi, and Federico Toschi, Physics-based modeling and data representation of pairwise interactions among pedestrians, Phys. Rev. E 98, 062310 (2018).