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數學是與生俱來的天賦,還是文化下的產物?

果殼網_96
・2017/09/07 ・3187字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 537 ・八年級

文/ 性感的小腳脖 |心理學愛好者、經濟學愛好者,科學人科普作者

買菜、找零、理財、看時鐘……生活中處處有數學,我們從小就能處理與數字有關的問題。那麼,這種數學本領從何而來呢?

Mathematics Geometry Cube Body Hexahedron

數學不用「學」,因為人類本來就會?

哲學家、數學家勒內‧笛卡爾(Rene Descartes,1596~1690)可能會說:它們生而有之。以笛卡爾為代表的理性主義流派認為:人類最初的知識是不「學」自明的,從學習中獲得的知識,要麼不準確,要麼就會誤導人;因此可靠的知識不能來自感覺經驗,而只能來自人心固有的天賦觀念。

對此,不少心理學家紛紛表示認同。他們認為存在一種天生的數學內核(mathematical core),通過自我慢慢發展,這種數學內核最後會「長」成我們所熟悉的一切數學能力 [1]。動物和我們一樣,也擁有數學內核。換句話說,只要發展得當,動物們也能「長」出各種各樣的數學能力來。

這匹名為「聰明漢斯」的馬曾被認為可以做計算,不過後來有心理學家發現它只是在根據出題人的暗示做出反應。圖/By Karl Krall – Karl Krall, Public Domain, wikimedia commons

長久以來,心理學家都支持「數學天賦論」:數學能力是人類自打娘胎裡出來就有的能力。有些研究發現,10~12 個月的嬰兒已經知道 3 個黑點和 4 個黑點是不一樣的 [2],甚至有研究還發現,剛出生三四天的小寶寶就已經能辨別 2 和 3 的差別 [3]

除了咿呀學語的嬰兒,大猩猩、老鼠、鳥、貓、海豚、大象等動物也被證明能夠處理數學問題 [4]。無論是繈褓中的嬰兒,還是遠離「世俗」的動物,它們都沒有機會接觸系統的文化和教養,這些證據似乎說明數學能力是一種與感覺經驗無關的天賦。

然而,在數學認知領域深耕了二十多年的拉斐爾‧努涅斯(Rafael Núñez)教授對此表示反對。

努涅斯是加州大學聖地牙哥分校認知科學系教授,近日他在《Cell》旗下期刊《認知科學進展》(Trends in Cognitive Sciences)上發表了一篇綜述文章 [5],系統地總結了 30 餘年來有關「數學能力起源」的論文。在文中,努涅斯旗幟鮮明地反對「數學天賦論」。他表示:

過去之所以將數學能力視為一種不學而能的天賦,是因為混淆了一些與之有關的概念,數學能力沒有天賦,只能是文化的產物。

「數學天賦論」到底有何不對?

人們對數量的識別和辨認,存在兩種通路 [6]。一種被心理學家稱為「數感」(subitizing),它能在一眨眼之間(通常小於 100 毫秒)就完成計數任務,而且正確率接近滿分。但是數感的容量有限,一般只能存在 1~4 個數量。一旦超過 4 個數量,就該另一種通路「大數表徵」(large quantity discrimination)發揮作用了。雖然大數表徵的容量無限,但它的計數能力非常糟糕,不僅慢而且不準確。

舉個例子,在下圖第一排中,我們一眼就能看出每個方框中各有多少黑點,這是數感作用的結果;然而,第二排就很難一眼看出來了,如果硬要用眼睛看的話,那麼我們只能得到一個近似的答案,這就是大數表徵。

第一排可以利用數感一眼就看出黑點的個數,分別為 2、4、3、1;第二排則沒有辦法一眼看出,只能慢一點兒數清楚,分別為 6、5、8、7。作者製圖

通過總結,努涅斯教授列舉了數學天賦論的三大問題:

首先,數學天賦論帶有明顯的目的論(teleology)色彩。所謂目的論是指,對現象的解釋是依據它的用處,而不管它的內在形成過程是什麼樣。比如說,目的論認為人之所以有眼睛。是因為人要看東西,而不是因為有了眼睛所以人才能看見東西。數學天賦論對數學能力的解釋正是如此:因為數學在生活中能提高人和動物的生存優勢,所以大自然才選擇了它。

但是,作為數學能力生物前提的數感和大數表徵,並不能單獨形成完備的數學能力,後者必須在語言、符號等文化因素的「催化」下才能實現。努涅斯用滑雪運動做了一個類比,身體平衡和直立行走能力都是滑雪的生物前提,但不能因為身體平衡和直立行走是自然選擇的產物,我們就說滑雪技術也是一種天生的本領。

其次,數學天賦論忽視了原始社會居民的情況。目前的研究大多是以現代社會居民作為被試(特別是大學生),他們在實驗中展現出了豐富多彩的數學能力。然而,原始社會居民的數學能力卻十分匱乏。不像現代人的數學系統能表示 10 個以上數量(比如中文能數到 10,英語能數到 12),絕大多數的原始部落居民只能表示 5 以下的數量,更有一些部落的數學系統中只有 1 和 2。這就說明,離開了現代社會這個大環境,人類的數學能力還僅僅停留在最原始的水準上。因此,原始社會中所缺少的文化因素,一定是數學能力發展的必要條件。

最後,努涅斯認為當前動物研究的結果也存在過度推廣。那些能在實驗中展示數學才能的動物們,都接受過特別的訓練。努涅斯在文中就列舉了一項研究,為了學會識別簡單的數字,猴子們學習了近四個月,嘗試了 2 萬餘次,即使這樣,它們的準確率也只能達到 75%。而且,實驗室環境也經過了精心佈置,有很多細節都有利於動物們表現數位能力。然而,大自然中的動物從來沒有接受過訓練,它們的生活環境也沒有任何人為因素。因此,實驗室中的動物在多大程度上能代表全體動物們呢?這要打上一個問號。或許我們只能說,實驗室中的動物才具有數學能力。

這只黑猩猩記憶數字的能力甚至超過人類,不過很難說它有沒有數學能力。圖片來源:Tetsuro Matsuzawa

會區分多跟少,不表示你會數學!

努涅斯表示,心理學家過去對於「數學來源於天賦」的誤判,可能與他們濫用名詞有關。努涅斯特別強調了「數量」(quantitative)與「數字」(numerical)的不同,前者指簡單地感知到不同數量之間存在區別,而後者則是借用符號進行更為抽象的運算

說白了,心理學家所認為的我們與動物共有的數學能力,應該叫做「數量能力」,它是一種更接近知覺層面的現象,就像我們能感知物體的大小、顏色、方向一樣。努涅斯認為,心理學家將這種知覺現象混淆成了數學能力,他們經常引用的證據,說嬰兒和動物也能區分不同數量,這其實是一種天生的知覺現象,與數學無關。因此,能夠區分「少」和「多」之間的差異,並不能說是掌握了數學能力。只有在經過語言和符號的轉化後,這種知覺現象才能進一步發展為我們現在稱之為數學的那種能力。

在努涅斯看來,分得清3個蘋果比1個蘋果多,並不能等同於數學能力。圖/By julenka @Pixabay

靠先天還是靠後天?該學還是得學呀!

「數學能力是文化的產物」,努涅斯的觀點一發出便引起了爭議。

同一期的期刊上還刊登了德國圖賓根大學動物心理學家安德里亞斯‧尼德(Andreas Nieder)的反駁短文 [7],他認為數學是大腦的產物,而大腦的生長模式早已由基因「預設」,因此數學只能是天生的。雖然大腦有可塑性──大腦隨環境變化而發生改變,但尼德認為這種可塑性的影響微乎其微,因此文化對數學並沒有多少干涉能力。

這兩位同行之間的爭論還在繼續,但無論數學能力是先天還是後天的產物,該學的數學還是要學啊!

參考文獻

  1. Wynn, K. (1998).An evolved capacity for number. In The Evolution of Mind (Cummins, D.D. and Allen, C., eds), pp. 107–126, Oxford University Press.
  2. Antell, S. E., & Keating, D. P. (1983). Perception of numerical invariance in neonates. Child Dev, 54(3), 695-701.
  3. Strauss, M.S. and Curtis, L.E. (1981) Infant perception of numerosity. Child Dev. 52, 1146–
  4. 楊偉星, 張明亮, 李紅霞, 楊雅琳, &司繼偉. (2017). 人類基本數學能力的進化證據. 心理科學進展, 25(5), 810-824.
  5. Núñez, R. E. (2017). Is there really an evolved capacity for number?. Trends in Cognitive Sciences, 21(6).
  6. Mandler, G., &Shebo, B. J. (1982). Subitizing: an analysis of its component processes. Journal of Experimental Psychology General,111(1), 1-22.
  7. Nieder, A. (2017). Number faculty is rooted in our biological heritage. Trends in Cognitive Sciences, 21(6), 403–404

本文版權屬於果殼網(微信公眾號:Guokr42),原文為〈数学能力是人类固有的天赋?有人不这么看〉,禁止轉載。如有需要,請聯繫sns@guokr.com

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果殼網_96
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你對大數字有「感覺」嗎?一本電子書檔案有多大?一間國家圖書館有多少藏書是合理的?——《一輛運鈔車能裝多少錢?》
三民書局_96
・2023/07/07 ・3010字 ・閱讀時間約 6 分鐘

ZB(zettabyte,皆位元組)相當於 10 億兆位元組:1 後面帶了 21 個 0。1 ZB 相當於可以儲存美國國會圖書館(Library of Congress)所有藏書量的 1,000 億倍。」——《紐約時報》,2009 年 12 月 10 日

科技帶來的巨大單位和微小單位

科技帶來了許多大數字,大多數都以陌生單位表示,因此又多了另外一組大單位:M(mega,百萬)、G(giga,吉)和T(tera,兆),這些單位日常生活中就會用到,而更大的單位:P(peta,拍)和E(exa,艾)現在也會時不時出現。

現今電腦和智慧手機非常普及,因此我們早已習慣 GB(gigabyte,吉位元組)和百萬像素(megapixel)等單位。然而,這些前綴單位經常使用在位元組(byte, B)這類無形實體上,相較於更常見的十億(billion)和兆(trillion)來說,我們更難理解這些單位的意義。

科技的發展,尤其是電腦、資訊科學的突飛猛進,帶來了許多前所未有、人腦已經不太能「想像」的大數字。圖/envatoelements

這裡幫大家統整一下,通常會使用 K(kilo,千)代表一千、M 代表一百萬、G 代表十億、T 代表一兆。如果你想要為未來的科技發展進一步做好準備,接下來的單位依序為:P、E、Z(zetta,皆)和Y(yotta,佑)。依序後者為前者的1,000倍。

電腦的速度極快也同樣有一系列相對應代表小數量和小尺寸的前綴單位,往往更令人陌生:m(milli,毫)、µ(micro,微)、n(nano,奈)和 p(pico,皮),分別代表千分之一、百萬分之一、十億分之一和一兆分之一。這些前綴單位通常使用在長度和時間上,例如毫公尺(millimeter, mm)和奈秒(nanosecond, ns)。

國際通用單位的符號、名稱和詞頭。表/維基百科

這些數字到底多大多小?可以「感覺」一下嗎?

大多數人對這些微小單位毫無感覺,也不知道提供這些數字的人是根據什麼資料算出來的,因此只能任由資訊提供者擺布。以下是幾個能帶給你啟發的例子。

幾年前的聖誕節前夕,贈送亞馬遜 Kindle 或其他新推出的電子書閱讀器作為禮物蔚為風潮,甚至聽說蘋果公司(Apple)也將推出平板裝置(iPad 在 2010 年 1 月下旬發布,但一直到 3 月才上市)。2009 年12 月 9 日,《華爾街日報》指出巴諾書店(Barnes & Noble)的 Nook 電子書閱讀器擁有 2 GB 記憶體,「約能存下 1,500 本電子書」。隔天,《紐約時報》提出 1 ZB 記憶體,「相當於可以儲存美國國會圖書館所有藏書量的 1,000 億倍」。

一間圖書館有多少藏書是合理的數字?

我當時很幸運正要開始出課程的期末考題,這些科技領域數字,正是上天贈與我的靈感。我在試題中問到:

假設以上兩個描述皆正確,請計算美國國會圖書館大約有多少本書?

回答這個問題只需要簡單的算術,然而計算數字非常龐大,而大部分的人不見得擅長大數字計算。出現太多0的時候,腦袋往往會轉不過來。寫下 Z 所代表的完整數字(1 後面帶著 21 個 0)可能會有幫助,但往往會寫錯。

接下來我會提到,使用科學記號(scientific notation)書寫是較佳方法,但像「Z」這樣的單位,除了極少數人外幾乎沒人知道,對大部分的人來說根本毫無意義。

既然直覺無法帶來任何幫助,就仔細計算一下吧。根據《華爾街日報》的說法,2 GB 可以儲存 1,500 本書,代表一本書略多於 1 MB。再根據《紐約時報》的說法,1,000 億倍等於 1011 倍,將總位元組數 1021除以 1011 倍,會得到國會圖書館藏書量約相當於 1010 位元組。如果每本書為 106 位元組(約為 1 MB),將 1010 除以 106 可以得出,國會圖書館藏書本數約為 104 本,也就是 10,000 本書。如果你對這裡使用的指數和科學記號不太熟悉,接下來會有更深入的解釋。

10,000 本是合理的估計值嗎?比起盲目猜測合不合理,可以試試評估這個數值是否過大或過小,也就是試題的第二部分:

一間圖書館的藏書應該有幾本才算是合理的範圍?一萬本是合理的數字嗎?圖/envatoelements

計算出來的數字看起來太多、太少,還是差不多?為什麼?

當然如果一開始就算錯了,就沒辦法正確回答這個問題。部分學生遭遇到這個狀況,而必須試圖解釋小至分數或大至數億以上的數字。

儘管計算正確的學生狀況會好一點,但某些學生在評估數字合不合理時,依然遇到了困難。看來就算是比較小的大數字,依然難以想像出實際情況。不少學生認為一間大圖書館藏書 10,000 本十分合理,完全出乎我的意料。

其中一位學生回答:「我猜就算是普林斯頓大學的圖書館,隨便也超過 10,000 本書吧!」實際上這樣說也沒錯啦!但回答得還不夠好。單單我自己的辦公室就有超過500本書,我敢打賭許多更專注於學術研究的同事,都擁有好幾千本書。至於坐落在校園中心的巨大建築、貌似學生都十分熟悉的學校圖書館,藏書整整超過 600 萬本。

一本書到底有多大?TB 或是 MB 又到底有多大呢?以下是簡單的答案。以常見的文本來說,一位元組可以儲存 1 個英數字元。珍‧奧斯汀(Jane Austen)的《傲慢與偏見》(Pride and Prejudice)約有 97,000字,共 550,000 個字元,因此一本純文字的浪漫小說或傳記,大小基本上可以評估為 1 MB,因此 1 GB 可以儲存這類書籍約 1,000 本。圖片則要佔據更多空間,每張圖約幾KB到幾MB。

《華爾街日報》的計算結果十分合理,但相比之下,《紐約時報》卻大錯特錯。

電子書檔案有多大?

大家可以評估看看,以下 3 則關於電子書大小的說法:

「《欽定版聖經》(King James Bible)的文字檔案大小很可能不超過 500 KB。」

「如果以文字檔來看,1 GB 可以儲存相當於 2,000 本《聖經》文字量的書籍。」

「整個微軟 Office 套裝軟體程式,約會佔用與一本厚書相當的硬碟空間。例如,微軟 Office 中小企業版僅佔用 560 MB。」

《聖經》文字量可比《傲慢與偏見》多上許多,字數整整接近 800,000 字,相當於約 4.5 MB 的純文字,稱得上一本厚書。前兩則描述還算合理一致,雖然都過於樂觀。資料壓縮技術雖然可以減少所需儲存容量,但並沒辦法壓縮到 500 KB 這麼小。然而,第三則描述則差了 1,000倍,560 MB 的微軟Office軟體佔用的空間,整整接近 500 本厚書佔用的硬碟空間。

一本聖經多達八十萬字。圖/envatoelements

順道一提,根據 loc.gov(國會圖書館網站)上的資料,國會圖書館藏書約為 1,600 萬冊,外加 1.2 億件其他資料。另外提一個有趣的說法,《紐約時報》的電子書閱讀器報導,也試圖幫助讀者視覺化國會圖書館的藏書量:「相當於可以在美國本土和阿拉斯加蓋上 7 層書籍。」先不管這段資訊實不實用,資訊是否真的正確就交由你來計算吧。但我想給你個提示,幫助你開始計算,1 平方英里超過 2,500 萬平方英尺,而一本書籍的大小就大概與你手上的這本書相當。

——本文摘自《一輛運鈔車能裝多少錢?:輕鬆培養數感,別再被數字迷惑》,2023 年 6 月,三民出版,未經同意請勿轉載。

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創立於1953年,為了「傳播學術思想,延續文化發展」,60年來默默耕耘著書的園地。從早期的法政大學用書、三民文庫、古籍今注新譯叢書、《大辭典》,到各式英漢字典及兒童、青少年讀物,成立至今已出版了一萬多種優良圖書。不僅讀者佳評如潮,更贏得金鼎獎、小太陽獎、好書大家讀等諸多獎項的肯定。在見證半個世紀的社會與時代變遷後,三民書局已轉型為多元、綜合、全方位的出版機構。

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用烏賊與科普的魅力,讓教室爆滿——專訪清華大學生命科學系焦傳金教授
科技大觀園_96
・2021/06/09 ・3919字 ・閱讀時間約 8 分鐘

實驗進行中,一隻烏賊被放入透明的水族箱,其中一側被隔出了左右兩個小隔間,分別放有一隻與兩隻蝦。水族箱中烏賊看清了兩邊的活蝦後,可以自由選擇游進哪一個隔間,伸出腕足捕捉可口的食物。在烏賊游進其中一個隔間後,另一邊就會被關閉,因此每次都只能選一邊。

問題來啦,一隻蝦 v.s. 兩隻蝦,換做你是烏賊,會如何做決定呢?

究竟烏賊是否有判斷出 2>1 的能力呢?圖/科技大觀園繪製

這是清華大學生命科學系特聘教授焦傳金在去 (2020) 年所發表的研究成果,證實了烏賊具有「相對價值感」的概念。做為海產店、夜市小吃的盤中常客(而且還很好吃),烏賊也懂得數數,擁有「數感」,能夠分辨得出 2 比 1 來得多,一般情況下當然是選兩隻蝦啦。但經過特別訓練的烏賊,能夠「記得」一隻蝦可以代表不只一隻蝦,因此在後續實驗中,產生了烏賊覓食偏好一隻蝦,勝過了兩隻蝦的結果。

解密烏賊的決策邏輯

「實驗室的每個人,都有 T 恤上面是有墨汁的。」

談起飼養繁瑣,需要海水又每天都需要活餌,還三不五時受驚噴墨,養殖難度可說鑲金邊等級的烏賊,舉手投足間標準學者氣質,一派溫文儒雅的焦傳金,迸發出強大的熱切。他分享自己的觀察,大眾對於烏賊、章魚這類頭族類動物往往充滿好奇,也常常被用在塑造外星人、異形的形象。除此之外,在冰冷理性的實驗室,學生焦慮煩悶時也常去到「花枝房」,觀看水族箱中優游、表皮花紋瞬間變換的烏賊,療癒抒解心情。

烏賊又名花枝、墨魚,屬於頭足類軟體動物。多數人最熟悉的頭足類動物,除了餐桌上好吃的海鮮,最有名的大約就是德國奧伯豪森(Oberhausen)水族館的「章魚保羅」了。2010 年的世界盃足球賽,章魚保羅連續「成功預測」了賽事的勝利隊伍,引起了許多注目風靡。而焦傳金開始烏賊研究的起點,其實就是源自於大家的這個好奇:無脊椎動物到底能有多聰明?牠們的「聰明」擁有跟人類做決定一樣的邏輯特色嗎?

烏賊又名花枝、墨魚,屬於頭足綱軟體動物。圖/Pixabay

焦傳金在 2016 年的研究發表就揭露了烏賊具有「數感」,覓食找東西吃的時候,明顯看得出來烏賊會選擇數量較大的那一邊。而更有趣的是在後續實驗中,團隊讓烏賊從兩隻小蝦與一隻大蝦裡做選擇。最後實驗發現,烏賊的選擇,會跟當下的飢餓程度有很強的關聯。烏賊如果處於比較飢餓的狀態,就會鋌而走險選擇一隻大蝦,以獲得高風險高報酬;沒那麼餓的時候,則會選擇兩隻小蝦,穩健獲利。可以說,這樣的選擇邏輯,即使是人類,也無法做得更好了。

而在相對價值感的實驗中,團隊先以 0 對 1 訓練烏賊,在烏賊選擇 1 隻蝦那格的時候,當場會再額外多提供一隻活蝦,經過六次訓練,再以 1 對 2 測試烏賊會如何選擇。沒有經過訓練的烏賊主要偏好數量較多──也就是兩隻蝦那格;但曾經受訓記得「1 隻蝦不只是 1 隻」的烏賊,則對於一隻蝦那格展現了明顯的偏好,而這樣的覓食習慣改變,在經過一個小時後進行的實驗中顯示,仍然保留了下來。

什麼是「相對價值感」?焦傳金舉例:「一瓶礦泉水,如果是在沙漠中走了三天了,第一次遇到一罐礦泉水,那價值就會非常的高。」同樣的物質,在不同情境中的價值會改變,這樣的相對價值感在人類的決策中,佔有很重要的比例。而焦傳金的研究更證實了,在動物──甚至是無脊椎動物的行為中,也存在著相對價值的概念。

神經科學的聖杯:大腦

像這樣的研究,其實也是科學家認識神經系統、大腦運作的起點。

談及神經科學研究最終的「聖杯」人類的大腦,焦傳金眼神發亮。焦傳金做為神經科學家,研究主題無論是烏賊的價值判斷、軟絲的視覺溝通密碼,抑或視神經科學的研究,都圍繞著神經科學的核心探索:大腦是如何運作的?

「所有東西以物質論來說,都是一樣的,但為什麼生物、動物會這麼不一樣?」焦傳金一句話道出了生命世界最大的謎團,也是最引人入勝之處。

動物的大腦究竟是怎麼運作的?圖/科技大觀園繪製

討論到以章魚做實驗的可能性,焦傳金興致勃勃,表示如果有機會,會希望探索神經系統發達的章魚是否真的具有「意識」。他也說明,相較於底棲性、身體內有硬質骨板的烏賊,章魚的活動範圍更加廣泛,實驗錄影紀錄較為困難,而且章魚僅有口器「牙齒」的部分有硬質結構,全身皆為肌肉,逃脫能力極為高強。

像章魚、烏賊這類頭足類動物,為什麼會發展出如此複雜的神經系統?一般認為,動物會演化出複雜的神經系統,可能與社會行為有關,無論是爾虞我詐的社會關係、各種合縱連橫、選擇策略獲得優勢,都需要複雜的決策能力。但除了軟絲有社會性,會藉由改變表皮花紋顏色彼此溝通;同樣屬於頭足類的烏賊與章魚都屬於獨居的動物,只有在繁殖期會與同族有交流。

較常見的推測認為,相較於其他有殼的軟體動物,頭足類沒有外殼保護,身體充滿蛋白質非常「好吃」,生存演化出現的生存之道,就是發展出複雜的行為策略,包括偽裝、噴墨、噴射推進,以避免被捕食,而複雜的神經系統,也是由此而來。焦傳金也特別說明,這個問題在科學上很難驗證,很可能最終都不會出現標準答案。

但焦傳金認為,科學的趣味與意義,就隱藏在這個試圖解答疑問的過程中。

對於大自然與科學的探索,多數的基礎研究起初獲得解答的時候,也都不具應用性,更像是一種心靈層面的滿足感:「做基礎科學,是一種探索真理的過程。你有一個問題,這個問題可以做實驗來回答,那晚上就可以安心睡覺。」

如何將科學帶給一般大眾

對焦傳金而言,這樣的滿足感,不應該侷限於科學家、研究者,更應該有機會讓所有的人都有機會一睹為快。焦傳金表示,當然不需要每個人都很懂科學,但提升國民素養,科普就是最好的方式。此外,科學家如果只專注自己的領域中,就只能影響同領域的同行。但科普將資訊分享給一般的社會大眾,成功的話可以影響的範圍就會很大,是很愉快的事情。

清華大學的「當代認知神經科學:腦與心智」,焦傳金透過淺顯易懂的比喻與連結,成為清大最受歡迎的通識課程。焦傳金分享,從事科普最大難處在於,要做到淺顯易懂卻又引人入勝。而其中最需要的,就是需要豐富的想像力,找到適合的語言,將艱深的科學發現轉換成大家可以聽得懂的比喻,使用日常生活的連結、慣用的用字用詞,讓聽眾接收並且理解。科普成功與否的關鍵之一,在於需要「有趣好玩」,因為通常科學內容並非對於大眾直接「有用」的,所以需要加入可以引發大家的興趣的元素。而最大的難處還在於,知識含量「含金度」高的時候,通常就不容易理解、也不容易產生趣味。該如何讓知識含量不減,又增加趣味,箇中取捨就像場拔河。

此外,「熱情」也是進行科普活動需要加入的元素。焦傳金解釋,透過鏡像神經元的作用,情緒會互相感染,如果講者選擇自己喜歡的題目講得很嗨,就可以吸引別人的注意力。一定要說服自己,是真的喜歡才去講,懷著溫度,就可以影響他人。

多接觸海洋,就是關懷海洋議題的起點

說到以科普影響他人,近年來海洋議題越來越受到關注,焦傳金也在課程中讓學生實際計算「海洋酸化」(Ocean acidification)的案例,探討海洋議題。

他說明,近年來大家越來越重視溫室氣體排放造成的全球暖化議題,也開始瞭解到升溫攝氏 1 到 2 度對於世界的影響極為巨大,但另一個同步發生卻容易遭忽視的主題,則是二氧化碳溶入造成的海洋酸化。在過去 200 年間,海洋的 pH 值降低了 0.1 到 0.2,數字上看來變化不大,但實際上,pH 值代表著氫離子濃度的對數關係,實際上如果 pH 值由 8.1 降到 8,在氫離子濃度上就有了超過 25%的改變,勢必會影響許多海洋生物像是珊瑚、貝類的鈣化作用,現在已經出現生物外殼骨架脆化與變薄的情況,對許多生物的生存造成很大的影響。

除此之外,塑膠微粒也是較受忽視的海洋議題。隨著大眾開始關注海洋廢棄物,近年來有越來越多研究顯示,塑膠材料進到海洋中後,經沖刷撞擊成為微粒,會由海洋循環進入大氣、進到循環中再被帶到陸地。如美國的國家公園自然野地中,已經有許多地方,可以找到這些塑膠微粒,塑膠微粒勢必將由冷門的海洋議題,逐漸進到我們的視野中。

談及海洋議題,當然也不能不聊聊,近期在臺灣引發諸多論戰的大潭藻礁保護與天然氣第三接受站的爭議。焦傳金畢業自中山大學海洋生物科技暨資源學系,由海洋研究的相關背景,他表示自己自然比較傾向讓藻礁能受保護,但也主張世事並無絕對,保育也不應只能與臺灣的用電需求、經濟發展硬碰硬二者不相容。臺灣該如何由其中走出平衡之路,將有賴於全體齊心協力的智慧。

藻礁保育成為近日大眾熱烈討論的議題之一。圖/pixabay

對於藻礁議題讓台灣輿論充滿紛擾,焦傳金態度樂觀:「大家總算知道什麼是藻礁了,從海洋教育的角度來講,如果因此而更認識海洋環境、關心海洋環境,引發大家對這件事情的關注,還是有正面意義的。」台灣四面環海,但受限於過去的管制因素,大家對於海洋是較為陌生的。他也期待,有越來越多人投入海洋的活動,增加與海洋的接觸,發揮台灣作為海洋國家的優勢。

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科技大觀園_96
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文/ 性感的小腳脖 |心理學愛好者、經濟學愛好者,科學人科普作者

買菜、找零、理財、看時鐘……生活中處處有數學,我們從小就能處理與數字有關的問題。那麼,這種數學本領從何而來呢?

Mathematics Geometry Cube Body Hexahedron

數學不用「學」,因為人類本來就會?

哲學家、數學家勒內‧笛卡爾(Rene Descartes,1596~1690)可能會說:它們生而有之。以笛卡爾為代表的理性主義流派認為:人類最初的知識是不「學」自明的,從學習中獲得的知識,要麼不準確,要麼就會誤導人;因此可靠的知識不能來自感覺經驗,而只能來自人心固有的天賦觀念。

對此,不少心理學家紛紛表示認同。他們認為存在一種天生的數學內核(mathematical core),通過自我慢慢發展,這種數學內核最後會「長」成我們所熟悉的一切數學能力 [1]。動物和我們一樣,也擁有數學內核。換句話說,只要發展得當,動物們也能「長」出各種各樣的數學能力來。

這匹名為「聰明漢斯」的馬曾被認為可以做計算,不過後來有心理學家發現它只是在根據出題人的暗示做出反應。圖/By Karl Krall – Karl Krall, Public Domain, wikimedia commons

長久以來,心理學家都支持「數學天賦論」:數學能力是人類自打娘胎裡出來就有的能力。有些研究發現,10~12 個月的嬰兒已經知道 3 個黑點和 4 個黑點是不一樣的 [2],甚至有研究還發現,剛出生三四天的小寶寶就已經能辨別 2 和 3 的差別 [3]

除了咿呀學語的嬰兒,大猩猩、老鼠、鳥、貓、海豚、大象等動物也被證明能夠處理數學問題 [4]。無論是繈褓中的嬰兒,還是遠離「世俗」的動物,它們都沒有機會接觸系統的文化和教養,這些證據似乎說明數學能力是一種與感覺經驗無關的天賦。

然而,在數學認知領域深耕了二十多年的拉斐爾‧努涅斯(Rafael Núñez)教授對此表示反對。

努涅斯是加州大學聖地牙哥分校認知科學系教授,近日他在《Cell》旗下期刊《認知科學進展》(Trends in Cognitive Sciences)上發表了一篇綜述文章 [5],系統地總結了 30 餘年來有關「數學能力起源」的論文。在文中,努涅斯旗幟鮮明地反對「數學天賦論」。他表示:

過去之所以將數學能力視為一種不學而能的天賦,是因為混淆了一些與之有關的概念,數學能力沒有天賦,只能是文化的產物。

「數學天賦論」到底有何不對?

人們對數量的識別和辨認,存在兩種通路 [6]。一種被心理學家稱為「數感」(subitizing),它能在一眨眼之間(通常小於 100 毫秒)就完成計數任務,而且正確率接近滿分。但是數感的容量有限,一般只能存在 1~4 個數量。一旦超過 4 個數量,就該另一種通路「大數表徵」(large quantity discrimination)發揮作用了。雖然大數表徵的容量無限,但它的計數能力非常糟糕,不僅慢而且不準確。

舉個例子,在下圖第一排中,我們一眼就能看出每個方框中各有多少黑點,這是數感作用的結果;然而,第二排就很難一眼看出來了,如果硬要用眼睛看的話,那麼我們只能得到一個近似的答案,這就是大數表徵。

第一排可以利用數感一眼就看出黑點的個數,分別為 2、4、3、1;第二排則沒有辦法一眼看出,只能慢一點兒數清楚,分別為 6、5、8、7。作者製圖

通過總結,努涅斯教授列舉了數學天賦論的三大問題:

首先,數學天賦論帶有明顯的目的論(teleology)色彩。所謂目的論是指,對現象的解釋是依據它的用處,而不管它的內在形成過程是什麼樣。比如說,目的論認為人之所以有眼睛。是因為人要看東西,而不是因為有了眼睛所以人才能看見東西。數學天賦論對數學能力的解釋正是如此:因為數學在生活中能提高人和動物的生存優勢,所以大自然才選擇了它。

但是,作為數學能力生物前提的數感和大數表徵,並不能單獨形成完備的數學能力,後者必須在語言、符號等文化因素的「催化」下才能實現。努涅斯用滑雪運動做了一個類比,身體平衡和直立行走能力都是滑雪的生物前提,但不能因為身體平衡和直立行走是自然選擇的產物,我們就說滑雪技術也是一種天生的本領。

其次,數學天賦論忽視了原始社會居民的情況。目前的研究大多是以現代社會居民作為被試(特別是大學生),他們在實驗中展現出了豐富多彩的數學能力。然而,原始社會居民的數學能力卻十分匱乏。不像現代人的數學系統能表示 10 個以上數量(比如中文能數到 10,英語能數到 12),絕大多數的原始部落居民只能表示 5 以下的數量,更有一些部落的數學系統中只有 1 和 2。這就說明,離開了現代社會這個大環境,人類的數學能力還僅僅停留在最原始的水準上。因此,原始社會中所缺少的文化因素,一定是數學能力發展的必要條件。

最後,努涅斯認為當前動物研究的結果也存在過度推廣。那些能在實驗中展示數學才能的動物們,都接受過特別的訓練。努涅斯在文中就列舉了一項研究,為了學會識別簡單的數字,猴子們學習了近四個月,嘗試了 2 萬餘次,即使這樣,它們的準確率也只能達到 75%。而且,實驗室環境也經過了精心佈置,有很多細節都有利於動物們表現數位能力。然而,大自然中的動物從來沒有接受過訓練,它們的生活環境也沒有任何人為因素。因此,實驗室中的動物在多大程度上能代表全體動物們呢?這要打上一個問號。或許我們只能說,實驗室中的動物才具有數學能力。

這只黑猩猩記憶數字的能力甚至超過人類,不過很難說它有沒有數學能力。圖片來源:Tetsuro Matsuzawa

會區分多跟少,不表示你會數學!

努涅斯表示,心理學家過去對於「數學來源於天賦」的誤判,可能與他們濫用名詞有關。努涅斯特別強調了「數量」(quantitative)與「數字」(numerical)的不同,前者指簡單地感知到不同數量之間存在區別,而後者則是借用符號進行更為抽象的運算

說白了,心理學家所認為的我們與動物共有的數學能力,應該叫做「數量能力」,它是一種更接近知覺層面的現象,就像我們能感知物體的大小、顏色、方向一樣。努涅斯認為,心理學家將這種知覺現象混淆成了數學能力,他們經常引用的證據,說嬰兒和動物也能區分不同數量,這其實是一種天生的知覺現象,與數學無關。因此,能夠區分「少」和「多」之間的差異,並不能說是掌握了數學能力。只有在經過語言和符號的轉化後,這種知覺現象才能進一步發展為我們現在稱之為數學的那種能力。

在努涅斯看來,分得清3個蘋果比1個蘋果多,並不能等同於數學能力。圖/By julenka @Pixabay

靠先天還是靠後天?該學還是得學呀!

「數學能力是文化的產物」,努涅斯的觀點一發出便引起了爭議。

同一期的期刊上還刊登了德國圖賓根大學動物心理學家安德里亞斯‧尼德(Andreas Nieder)的反駁短文 [7],他認為數學是大腦的產物,而大腦的生長模式早已由基因「預設」,因此數學只能是天生的。雖然大腦有可塑性──大腦隨環境變化而發生改變,但尼德認為這種可塑性的影響微乎其微,因此文化對數學並沒有多少干涉能力。

這兩位同行之間的爭論還在繼續,但無論數學能力是先天還是後天的產物,該學的數學還是要學啊!

參考文獻

  1. Wynn, K. (1998).An evolved capacity for number. In The Evolution of Mind (Cummins, D.D. and Allen, C., eds), pp. 107–126, Oxford University Press.
  2. Antell, S. E., & Keating, D. P. (1983). Perception of numerical invariance in neonates. Child Dev, 54(3), 695-701.
  3. Strauss, M.S. and Curtis, L.E. (1981) Infant perception of numerosity. Child Dev. 52, 1146–
  4. 楊偉星, 張明亮, 李紅霞, 楊雅琳, &司繼偉. (2017). 人類基本數學能力的進化證據. 心理科學進展, 25(5), 810-824.
  5. Núñez, R. E. (2017). Is there really an evolved capacity for number?. Trends in Cognitive Sciences, 21(6).
  6. Mandler, G., &Shebo, B. J. (1982). Subitizing: an analysis of its component processes. Journal of Experimental Psychology General,111(1), 1-22.
  7. Nieder, A. (2017). Number faculty is rooted in our biological heritage. Trends in Cognitive Sciences, 21(6), 403–404

本文版權屬於果殼網(微信公眾號:Guokr42),原文為〈数学能力是人类固有的天赋?有人不这么看〉,禁止轉載。如有需要,請聯繫sns@guokr.com

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拿出起司和A4紙,跟著數感實驗室用數學看防疫!
數感實驗室_96
・2021/05/19 ・1246字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 528 ・七年級

y編按:數感實驗室一直都是泛科學的好夥伴,當然也要一起用知識防疫!從去年開始,數感實驗室就不遺餘力的製作許多與防疫知識相關的好內容。趁著現在只能宅家,來一起複習複習,更別忘了按讚訂閱開啟小鈴鐺喔!

從去年疫情開始時,數感實驗室就做了好幾則防疫圖文,希望疫情中能貢獻我們團隊「轉譯知識」的能力,將防疫中重要但複雜的資訊,以淺顯清楚的方式呈現。

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在我們找資料時看到一個很有趣 (也是之後的影片主題) 的研究,它說能辨別真偽資訊,是在疫情中保護自己的一項重要能力,而辨別真偽資訊的能力跟數感 (numeracy) 是呈現最高度相關。

對,跟我們 Numeracy Lab 一模一樣的字。

數感不是計算,而是運用數據與邏輯幫助我們判斷、決策。我們希望這系列的影片,能成為對抗假資訊的疫苗,讓大家都能更清楚理解疫情,能在疫情中做出對自己最好的保護措施。當然,行有餘力再多一些科普知識。


編按:以下為y編私心挑選你不容錯過的好片!大家好,歡迎來到數感實驗室,這位是以威!

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疫苗保護力95%是什麼意思?保護力95%的疫苗效果就一定高於90%的疫苗嗎?保護力這個數字,又是怎麼算出了來的呢?拿出你曾經學過的信賴區間,還有曾經玩過的RPG(?),讓我們來好好了解一下!

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  • 本系列影片感謝科技部補助與指導。
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數感實驗室_96
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