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解開高斯相關性猜想,退休統計學家的靈光一閃

UniMath_96
・2017/04/09 ・3326字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 513 ・六年級

文/陳宏賓|UniMath 主編、逢甲大學應用數學系助理教授

一道靈光射進了羅炎的腦袋,困擾數十年的高斯相關性猜想終於攻破了大門!圖/By edfungus @ pixabay, CC0 Public Domain

2014 年夏天的某一個清晨,陽光如往常一樣穿透白色窗簾照了進來,羅炎起身前往浴室盥洗,一邊刷著牙一邊回想昨晚入睡前那個證明。突然間,一道靈光射進了羅炎的腦袋,困擾數十年的高斯相關性猜想(Gaussian Correlation Inequality Conjecture)終於攻破了大門!

連結機率、統計與幾何的猜想 

高斯相關性不等式(GCI)有許多不同的版本,其中最著名的是 1972 年連結機率、統計以及幾何三大領域的版本:

想像一個射飛鏢遊戲,以正中紅心為目標射許多次,飛鏢落點會以紅心為中心呈現類似鐘形的高斯分佈(或者稱常態分佈),如果以紅心為中心點同時畫一個圓和一個方形,高斯相關性不等式即是說飛鏢落在圓和方形的交集的機率會大於或者等於落在圓形的機率乘以落在方形的機率。

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P(圓 ∩ 方)≥ P(圓)× P(方)

這裡不同於下面這種大家比較熟知的獨立事件機率,若 A 跟 B 是統計獨立的兩事件,則我們會有這個等式:

P(A ∩ B)= P(A)× P(B)

直觀來說,由於圓形和方形有重疊部分區域,射中其中一個的情況下,同時也射中另一個的機率會因此提高。

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事實上,GCI 猜測是針對任意維度 d 都成立,且兩個同中心的形狀只要是具有對稱性的凸集(symmetrical convex set)即可。

高斯相關性不等式(GCI)有許多不同的版本,其中最著名的是 1972 年連結機率、統計以及幾何三大領域的版本,來想像一下丟飛鏢。圖/By 15299 @ pixabay, CC0 Public Domain

GCI 猜想的原始型態是統計學中關於信賴區間的估算,由美國統計學家奧利佛.丹(Olive Dunn)在 1959 年首次提出。

想像我們要針對一群人(已知平均身高是 170 公分,平均體重是 65 公斤),給出一個身高和體重的範圍,使身高體重同時落在此範圍內的人數佔全部的 90% 以上。 這任務可不太容易,因為人的身高和體重是彼此相關,並非獨立的。假設身高和體重分別都呈現高斯分佈(常態分佈)的情況下,依據[68-95-99.7 法則]我們知道

P(平均加減兩個標準差)≥ 95%

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也就是說,如果身高和體重標準差分別是 7 和 8,我們會知道

P(身高介於 156 到 184 的人數)≥ 95%
P(體重介於 49 到 81 的人數)≥ 95%

再由高斯相關性不等式可以推得

P(身高介於 156 到 184 公分且體重介於 49 到 81 公斤的人數)≥ 0.95 × 0.95 = 0.9025

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維度 d=2 的情況早在 1977 年就被維吉尼亞大學的羅倫.彼特(Loren Pitt)教授證明出來。受訪時,羅倫緩緩地閉起眼睛,說起 1973 年某次和同事吃午餐時聽到這道「簡單」的數學問題時的回憶:

「嘿~羅倫,你知道有個有趣的數學問題 GCI 嗎? 就是想像一個射飛鏢遊戲,然後……」
「聽起來蠻有意思的,老墨~不過,你說這個還沒有人解出來?!」語氣顯得有點疑惑。
「恩!還沒有。」
「不太可能吧! 看起來不太難啊,應該很快就可以知道答案了。」我心裡當時這麼想。
「於是,我把自己關進一間房間,打算當我再次走出房門時就已經證明  GCI  是正確的或者錯了。」

說到這裡,羅倫張開眼睛望向窗外不發一語。而時間一轉眼已經過了將近四十年……

湯瑪斯.羅炎

故事回到解開謎底的湯瑪斯.羅炎(Thomas Royen)身上,今年已經 70 歲的他是德國一位退休統計學家,在這次事件之前可能沒甚麼人聽過他,這點倒是和前幾年華裔數學家張益唐有點像,某天突然靈光一現洞悉真理的故事在數學界也不算少數,不過這次倒是有幾點值得特別一提的趣事。

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要解決一道難題不妨先把它變得更難

首先,數學界有件事情是外界的人難以想像的。「經常發生一種情況是,解決一道看起來很困難不會解的問題的方法是把這個問題推廣成一個更難的問題,然後解決它。

聽起來有點荒謬,打個比方,就好像是一個屢次練習中連 10K 都跑不完的跑者,居然去挑戰極地超馬想藉此證明自己可以跑完 10K。羅炎的證明就是走這個套路,把猜想中高斯分佈這個條件推廣到更複雜、更一般的情況。神奇的是,問題居然就這樣解了,證明還只用了 3 頁!!!
(不過,有人覺得羅炎的版本太神了,可能不太好體會其奧妙之處,因此寫了個簡易 GCI 版的。)

在數學界經常發生一種情況是,解決一道看起來很困難不會解的問題的方法是把這個問題推廣成一個更難的問題,然後解決它。圖/By skeeze @ pixabay, CC0 Public Domain

差點沉沒的寶石

第二,這個影響重大的論文羅炎居然把它投稿到一個名不見經傳的印度期刊,因此使得他的論文 2014 年發表之後又過了兩年 才漸漸引起學術界的注意。一顆璀璨的鑽石差點就沉沒汪洋大海之中。一個學術上極重要的成果發表兩年後才傳播開來,在這個通訊發達的年代,幾乎是怎麼想都不太可能發生的事情。

而不太可能發生的事情終究還是發生了。

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峰迴路轉

羅炎不會用數學界編輯論文常用的 LaTeX 軟體,論文初稿是用 word 打的,完成後一份丟上 arXiv,一份寄給一年半以前曾指出他在一篇嘗試證明 GCI 的論文中所犯之錯誤的賓州州立大學丹諾.理查德斯(Donald Richards)教授,當理查德斯收到信件時,一眼他就知道「Bingo!就是你了!」

事後回想起來,理查德斯有幾分懊惱,這個精簡的證明居然自己三十幾年來都沒有想到。這種心情搞數學的人一生中或多或少都會遇上個幾次吧。

不過,他也慶幸能在有生之年看到 GCI 的美妙證明問世。理查德斯興奮之餘還不忘將這個重大發現通知幾個同事,也熱心的幫忙把論文重新用 LaTeX 編輯,讓它看起來專業一點,符合頂尖期刊的水平。

可惜的是,投稿出去還是撞牆,原因是過去數十年來聲稱證明 GCI 猜想的論文每年都有一籮筐,期刊的審稿委員看都看膩了,通常一下子就能指出關鍵性的錯誤所在,要是碰上像羅炎這樣沒沒無聞的傢伙,通常也不會太認真對待。

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羅炎的論文因此被草率忽略了!
羅炎的論文因此被草率忽略了!!
羅炎的論文因此被草率忽略了!!!

雖然有人曾建議羅炎投到最頂尖的期刊,像是統計年鑑(Annals of Statistics),這樣子一來消息很快就會傳到全世界,不過羅炎考量後還是決定投到很快就可以發表的印度期刊 Far East Journal of Theoretical Statistics,這種期刊的壞處就是即使刊出之後也不太有人知道這件事。一直到 2015 年底 Rafał Latała 和他的學生 Dariusz Matlak 重新寫了一個簡易 GCI 版本的論文,2017 年 3 月 28 日知名雜誌 Quanta Magazine 刊出一篇專欄報導,整個事件才得以散播出來。

最後,羅炎教授受訪時表示,他希望這個意外簡單的證明能夠鼓勵年輕的學生,善用自己的創意去尋找新的數學定理,畢竟那並不總是需要具備非常高深的理論基礎才辦得到。

“the surprisingly simple proof … might encourage young students to use their own creativity to find new mathematical theorems, since a very high theoretical level is not always required.”

本文轉載自UniMath,原文為[統計學突破]解開高斯相關性猜想,退休統計學家湯瑪斯羅炎的神來一筆

作者簡介:陳宏賓 - UniMath 主編、逢甲大學應用數學系助理教授。
數學既深且廣,我懂得不多,最喜愛組合數學相關領域,主要研究興趣是群試理論、圖論及最優化分解。2013 年出版「Partitions: Optimality and Clustering, Volume II: Multi-Parameter」一書(與 Uriel Rothblum 和 Frank K. Hwang 教授合著)。對於數學和教育有強烈的熱忱和使命感,積極創立 UniMath 電子數學媒體,致力於推廣數學文化。

關於UniMath:UniMath (You Need Math)是一個 Online 數學媒體,我們的目的是成為一個線上平台,發表數學相關的科普文章及影音,使數學用更柔軟的姿態走入群眾,提升數學素養。歡迎加入 Facebook 粉絲團知道第一手訊息!

參考文獻:

  1. L. D. Pitt, A Gaussian correlation inequality for symmetric convex sets, Ann. Probab. 5 (1977), 470– 474.
  2. T. Royen, A simple proof of the Gaussian correlation conjecture extended to multivariate gamma distributions, Far East J. Theor. Stat. 48 (2014), 139–145.
  3. R. Latala and D. Matlak. Royen’s proof of the Gaussian correlation inequality. ArXiv http://arxiv.org/abs/1512.08776, 2015.
  4. A Long-Sought Proof, Found and Almost Lost, Quanta Magazine, 2017/03/28.
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從認證到實踐:以智慧綠建築三大標章邁向淨零
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/11/15 ・4487字 ・閱讀時間約 9 分鐘

本文由 建研所 委託,泛科學企劃執行。 


當你走進一棟建築,是否能感受到它對環境的友善?或許不是每個人都意識到,但現今建築不只提供我們居住和工作的空間,更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生,正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題,確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染,同時提升我們的生活品質。然而,要成為綠建築並非易事,每一棟建築都需要通過層層關卡,才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境,政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立,旨在透過標準化的建築評估系統,鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時,為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法,自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止,已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品,涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築,不僅提升建築物的整體性能,也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

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說這麼多,你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程,要經歷哪些標準與挑戰?

綠建築標章智慧建築標章綠建材標章
來源:內政部建築研究所

第一招:依循 EEWH 標準,打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源,是綠建築(green building)的核心理念,但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單,而是涵蓋建築物的整個生命週期,也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內,都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準,讓我們先回到 1990 年,當時英國建築研究機構(BRE)首次發布有關「建築研究發展環境評估工具(Building Research Establishment Environmental Assessment Method,BREEAM®)」,是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後,於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」(Leadership in Energy and Environmental Design, LEED)這套評估系統,加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶,氣溫高,濕度也高,得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生,四個英文字母分別為 Ecology(生態)、Energy saving(節能)、Waste reduction(減廢)以及 Health(健康),分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級,設有九大評估指標。

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我們就以「台江國家公園」為例,看它如何躍過一道道指標,成為「鑽石級」綠建築的國家公園!

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園,也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時,還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築,其外觀採白色系列,從高空俯瞰,就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落;從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊,生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構,設計自然護岸,保留基地既有的雜木林和灌木草原,並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物,採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙,不僅強化了環境的保護力,也提供多樣的生物棲息環境,使這裡成為動植物共生的美好棲地。

台江國家公園是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築。圖/內政部建築研究所

第二招:想成綠建築,必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築,使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中,對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

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這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出,一路到今日,國際間對此一概念的共識主要包括再使用(reuse)、再循環(recycle)、廢棄物減量(reduce)和低污染(low emission materials)等特性,從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時,使用自然材料與低 VOC(Volatile Organic Compounds,揮發性有機化合物)建材,亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後,內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度,以建材生命週期為主軸,提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說,為確保室內環境品質,建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件;為了防溫室效應的影響,須使用本土材料以節省資源和能源;使用高性能與再生建材,不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性,也強調材料本身的再利用性。


在台江國家公園內,綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念,更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設,並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料,為鳥類和小生物營造棲息空間,讓「蚵殼磚」不再只是建材,而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆,整體綠建材使用率為 52.8%。

被建築實體圍塑出的中庭廣場,牆面設計有蚵殼格柵。圖/內政部建築研究所

在日常節能方面,台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如,引入樓板下的水面蒸散低溫外氣,屋頂下設置通風空氣層,高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出,廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地,創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企,如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流,不僅提升了隔熱效果,減少空調需求,讓建築如同「與海共舞」,在減廢與健康方面皆表現優異,展示出綠建築在地化的無限可能。

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島式建築群分割後所形成的巷道與水道。圖/內政部建築研究所

在綠建材的部分,另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程,其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材,比方提高高爐水泥(具高強度、耐久、緻密等特性,重點是發熱量低)的量,並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」,還用再生透水磚做人行道鋪面。

2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學。圖/內政部建築研究所
2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學。圖/內政部建築研究所

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區,首先,他們捨棄金屬建材,讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是,他們也將施工開挖的土方做回填,將有高地差的荒地恢復成平坦綠地,本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪,無痛轉綠。

雲林豐泰文教基金會的綠園區。圖/內政部建築研究所

等等,這樣看來建築夠不夠綠的命運,似乎在建材選擇跟設計環節就決定了,是這樣嗎?當然不是,建築是活的,需要持續管理–有智慧的管理。

第三招:智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率,除了從建築設計與建材的使用等角度介入,也須適度融入「智慧建築」(intelligent buildings)的概念,即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性,使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器,用於蒐集環境資料和使用行為,並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

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為了推動建築與資通訊產業的整合,內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度,為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂,目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例,為了掌握建築物生命週期中的能耗,需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標,評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面,則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境,以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中,充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術,來達成兼顧環保和永續發展的理念,也是利用建築資訊模型(BIM)技術打造的指標性建築,受到國際矚目。

樹林藝文綜合大樓。圖/內政部建築研究所「111年優良智慧建築專輯」(新北市政府提供)

在興建階段,為了保留基地內 4 棵原有老樹,團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描,並將大小等比例匯入 BIM 模型中,讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離,確保施工過程不影響樹木健康。此外,在大樓啟用後,BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」,透過 3D 建築資訊模型,提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護,包括保養計畫、異常修繕及耗材管理,讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用,從建造設計擴展至施工和日常管理,使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management,簡稱 FM ) 為例,該系統可在雲端進行遠端控制,根據會議室的使用時段靈活調節空調風門,會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣,而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率,保持低頻運作,實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

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總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現,從源頭減少碳足跡;綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小,並保障居民的健康;智慧建築標章運用科技應用,實現能源的高效管理和室內環境的精準調控,增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用,讓建築不僅是滿足基本居住需求,更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

建築物於魚塭之上,採高腳屋的構造形式,尊重自然地貌。圖/內政部建築研究所

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小透鏡們的魔術- 由模糊而生的清晰 ! Engraved panel casts image on walls
Scimage
・2011/05/31 ・515字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 498 ・六年級

家裡有方格玻璃門的朋友都知道,光通過那種玻璃門會變成像是光斑,如果再離遠一點就變成均勻的光。這樣的設計是為要讓光被打亂,所以外面的人看不到裡面,可是光又進的去。不過這樣的模糊特性不是絕對的,經由數學計算,其實清晰的影像可以從這樣的光斑來產生。

影片中的小板子上有很多非等向性的小透鏡,打上光之後,如果離螢幕很近,就只會產生光斑,不過把這小板子慢慢拿遠以後,照出來的光斑慢慢變成聚合成的美女跟愛因斯坦的影像了( 做影像展示的好像很喜歡用愛因斯坦,像之前介紹過的用細菌照相也是!)。

這樣的技術是透過把影像的深淺強度用橢圓的高斯分布來展開,用很多可控制位置的模糊影像來合成清晰影像,最後將可對應造成光斑的小透鏡做成表面的起伏就完成了。以往這樣的系統常常是在傅立葉轉換平面,利用控制光的波前相位分布來達成,不過那樣的技術需要特殊的調變元件,也會損失光強(發光強度)。這影片提出的方式比較直觀跟容易設計,也有可能大規模利用塑膠材質來達成,或許可以用在一些特定的照明場合上~!

學術文獻

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本文原發表於科學影像Scimage[2011-05-30]

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Scimage
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