大圈航法 (Great Circle Sailing)

2012/01/10 | | 標籤:

前些日子有網友問我,兩地如何求解距離及方位角問題,想起以前航海學曾學過大圈航法,一些讀者知道應用,但是原理不清楚,因此留文分享。

假想地球為完美球體,在球上過任意兩點有一大圈,沿著大圈航行可以找到最短距離,例如,在赤道上任兩點或是同經度的任兩點,都可以畫出像赤道那樣的假想線 ─ 大圈。除這兩點之外,再利用北極或南極當第三點,可以繪出一個球面三角形,航海學就是利用這個球面三角形以及球面餘弦、正弦定律,求解兩地距離及方位角。

令這個三角形為 △ABC,A 為起點,B 是終點,C 為北極或南極,三個角∠A∠B∠C的對邊分為是 abc,依球面餘弦及正弦定律,等式分別為

cos(c) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(C) ….. (1)
sin(A)/sin(a) = sin(B)/sin(b) = sin(C)/sin(c) ….. (2)
由式 (2) 可推導式 (3),
sin(A) = sin(a) sin(C)/sin(c) ….. (3)

先用 (1) 式求 c,再用 (3) 式算出A,舉個例子從台北往洛杉磯,台北經度緯度(北緯25度30分,東經121度2分10秒),洛杉磯經度緯度(北緯34度,西經118度12分),
由 A 點緯度可得 b = 90° – (25+30/60)° = 64.5°
由 B 點緯度可得 a = 90° – 34° = 56°
由 AB 兩地經度可得 C = 360° – (121+2/60+10/3600)° – (118+12/60)° = 120.76°
因此 c = cos-1(cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) cos(C)) = 105.71°
地球半徑 R 約為 6371 公里,因此 AB 兩地距離 c = 2πR x 105.71 / 360 = 11754.4 公里

出發 A 點航向角為
A = sin-1(sin(a) sin(C)/sin(c)) = 47.73°
也就是以正北為 0°,順時鐘方向量至 47.73°,即為 A 點出發航向角

請注意,採大圈航法要一直修正航向,除非你沿著赤道或是經線航行,否則每隔經度 5° 需調整航向角。另外,球面三角形內角總合是大於 180°!

原文來自 研發養成所 http://4rdp.blogspot.com


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關於作者

資深的電子產品研發人員,興趣廣泛,喜愛閱讀以及研究新奇事物。 為研發養成所部落格版主 https://4rdp.blogspot.tw/

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