天有多大？古埃及人用「駱駝」推算地球周長——天文學中的距離（一）

1894 年，美國物理學家邁克生（Albert Abraham Michelson）作為芝加哥大學物理系的創立者，在為學校的瑞爾森物理實驗室（Ryerson Physical Laboratory）落成典禮致詞時，表示：「雖然無法斷言說，未來的物理學不會比過去那些驚奇更令人驚嘆，但似乎大部分的重要基本原則都已經被穩固地建立了。」

以我們現在的後見之明，這段話聽起來固然錯得離譜，但在當時，從 17、18 到 19 世紀，在伽利略、牛頓、馬克士威等前輩的的貢獻之下，物理學已經達成了非凡的成就。

我們現在稱為古典的物理學，對於整個世界的描述幾乎是面面俱到了，事實上沒有人預料到 20 世紀將出現徹底顛覆世界物理學認知的重要理論，量子力學。

而這最一開始竟只是出自於一件不起眼的研究，關於物體發出的光。

萬物皆輻射

在此我們要先理解一個觀念：所有物體無時無刻不在發出電磁波輻射，包括了你、我、你正使用的螢幕，以及我們生活中的所有物品。

至於為什麼會這樣子呢？其中一個主要原因是，物體都是由原子、分子組成，所以內部充滿了帶電粒子，例如電子。這些帶電粒子隨著溫度，時時刻刻不停地擾動著，在過程中，就會以電磁波的形式放出能量。

除了上述原因之外，物體發出的電磁波輻射，還可能有其他來源，我們就暫時省略不提。無論如何，從小到大我們都學過的，熱的傳遞方式分成傳導、對流、輻射三種，其中的輻射，就是我們現在在談的，物體以電磁波形式發出的能量。

那麼，這些輻射能量有什麼樣的特徵呢？為了搞清楚這件事，我們必須先找個適當的範本來研究。

理想上最好的選擇是，這個範本必須能夠吸收所有外在環境照射在上面的光線，只會發出因自身溫度而產生的電磁輻射。這樣子的話，我們去測量它發出的電磁波，就不會受到反射的電磁波干擾，而能確保電磁波是來自它自己本身。

這樣子的理想物體，稱為黑體；畢竟，黑色物體之所以是黑的，就是因為它能夠吸收外在環境光線，且不太會反射。而在我們日常生活中，最接近理想的黑體，就是一點也不黑、還超亮的太陽！這是因為我們很大程度可以肯定，太陽發出來的光，幾乎都是源於它自身，而非反射自外在環境的光線。

或者我們把一個空腔打洞後，從洞口發出的電磁波，也會近似於黑體輻射，因為所有入射洞口的光都會進入空腔，而不被反射。煉鐵用的鼓風爐，就類似這樣子的結構。

到目前為止，一切聽起來都只是物理學上一個平凡的研究題目。奇怪的是，在對電磁學已經擁有完整瞭解的 19 世紀後半到 20 世紀初，科學家儘管已經藉由實驗得到了觀測數據，但要用以往的物理理論正確推導出黑體的電磁波輻射，卻遇到困難。正是由此開始，古典物理學出現了破口。

黑體輻射

由黑體發出的輻射，以現在理論所知，長得像這個樣子。縱軸代表黑體輻射出來的能量功率，橫軸代表黑體輻射出來的電磁波波長。

在理想狀況下，黑體輻射只跟黑體的溫度有關，而跟黑體的形狀和材質無關。

以溫度分別處在絕對溫標 3000K、4000K 和 5000K 的黑體輻射為例，我們可以看到，隨著黑體的溫度越高，輻射出來的能量功率也越大；同時，輻射功率最高的波段，也朝短波長、高頻率的方向靠近。

為了解釋這個曲線，物理學家們開始運用「當時」畢生所學來找出函數方程式，分成了兩派：

一派是 1896 年，由德國物理學家維因（Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien），由熱力學出發推導出的黑體輻射公式，另一派，在 1900 與 1905 年，英國物理學家瑞立（John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh）和金斯（James Jeans），則是藉由電磁學概念，也推導出了他們的黑體輻射公式，稱為瑞立－金斯定律。

你看，若是同時擺上這兩個推導公式，會發現他們都各自對了一半？

維因近似 Wien approximation 只在高頻率的波段才精確。而瑞立－金斯定律只對低頻率波段比較精確，更預測輻射的強度會隨著電磁波頻率的提升而趨近無限大，等等，無限大？――這顯然不合理，因為現實中的黑體並不會放出無限大的能量。

顯然這兩個解釋都不夠精確。

就這樣，在 1894 年邁克生才說，物理學可能沒有更令人驚嘆的東西了，結果沒幾年，古典物理學築起的輝煌成就，被黑體輻射遮掩了部分光芒，而且沒人知道，這是怎麼一回事。

普朗克的黑體輻射公式

就在古典物理學面臨進退維谷局面的時候，那個男人出現了——德國物理學家普朗克（Max Planck）。

普朗克於 1900 年就推導出了他的黑體輻射公式，比上述瑞立和金斯最終在 1905 年提出的結果要更早，史稱普朗克定律（Planck’s law）。普朗克假想，在黑體中，存在許多帶電且不斷振盪、稱為「振子」的虛擬單元，並假設它們的能量只能是某個基本單位能量的整數倍。

這個基本單位能量寫成 E=hν，和電磁輻射的頻率 ν 成正比，比例常數 h 則稱為普朗克常數。換言之，黑體輻射出來的能量，以hν為基本單位、是一個個可數的「量」加起來的，也就是能量被「量子化」了。

根據以上假設，再加上不同能量的「振子」像是遵循熱力學中的粒子分佈，普朗克成功推導出吻合黑體輻射實驗觀測的公式。

普朗克的方程式，同時包含了維因近似和瑞立－金斯定律的優點，不管在低頻率還是高頻率的波段，都非常精確。如果我們比較在地球大氣層頂端觀測到的太陽輻射光譜，可以發現觀測數據和普朗克的公式吻合得非常好。

其實有趣的是普朗克根本不認為這是物理現象，他認為，他假設的能量量子化，只是數學上用來推導的手段，而沒有察覺他在物理上的深遠涵意。但無論如何，普朗克成功解決了黑體輻射的難題，並得到符合觀測的方程式。直到現在，我們依然使用著普朗克的方程式來描述黑體輻射。不只如此，在現實生活中，有許多的應用，都由此而來。

正因為不同溫度的物體，會發出不同特徵的電磁波，反過來想，藉由測量物體發出的電磁波，我們就能得知該物體的溫度。在疫情期間，我們可以看到某些場合會放置螢幕，上面呈現類似這樣子的畫面。

事實上，這些儀器測量的，是特定波長的紅外線。紅外線屬於不可見光，也是室溫物體所發出的電磁輻射中，功率最大的波段。只要分析我們身體發出的紅外線，就能在一定程度上判斷我們的體溫。當然，一來我們都不是完美的黑體，二來環境因素也可能產生干擾，所以還是會有些許誤差。

藉由黑體輻射的研究，我們還可以將黑體的溫度與發出的可見光顏色標準化。

在畫面中，有彩虹背景的部分，代表可見光的範圍，當黑體的溫度越高，發出的電磁輻射，在可見光部分越偏冷色系。當我們在購買燈泡的時候，會在包裝上看到色溫標示，就是由此而來。所以，如果你想要溫暖一點的光線，就要購買色溫較低，約兩、三千 K 左右的燈泡。

結語

事實上，在黑體輻射研究最蓬勃發展的 19 世紀後半，正值第二次工業革命，當時鋼鐵的鍛冶技術出現許多重大進步。

德國鐵血宰相俾斯麥曾經說，當代的重大問題要用鐵和血來解決。

就傳統而言，煉鋼要靠工匠用肉眼，從鋼鐵的顏色來判斷溫度，但若能更精確地判斷溫度，無疑會有很大幫助。

德國作為鋼鐵業發達國家，在黑體輻射的研究上，曾做出許多貢獻，這一方面固然可能是學術的求知慾使然，但另一方面，也可以說跟社會的需求與脈動是完全吻合的。
總而言之，普朗克藉由引進能量量子化的概念，成功用數學式描述了黑體輻射；這件事成為後來量子力學發展的起點。儘管普朗克本人沒有察覺能量量子化背後的深意，但有另一位勇者在數年後繼承了普朗克的想法，並做出意味深長的詮釋，那就是下一個故事的主角――愛因斯坦的事了。

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中國是四大古文明之一，有著一段輝煌的天文觀測史，帶來精密的曆法、博大的哲學與玄妙的星象文化。其中，戰國至漢代為中國宇宙論發展最為迅猛的時期，部份觀念甚能先進於中、近古的西洋。當我們回首這些朝代的興衰遞嬗，不僅補苴思想史與科學史的罅漏，更能以此反思漢代以後國人精神世界何以飽和、枯竭。

中國古代主要的宇宙論有三家：「蓋天」、「宣夜」與「渾天」。以現代觀點而言，宣夜描述宇宙本質，渾天解釋繁星運行，蓋天與渾天可參照西方地心說（天動說）。

蓋天說 穹頂下的大地

「蓋天說」是中國最早的宇宙模型，認為「方屬地，圓屬天，天圓地方」^{註 1}，即「天圓地方」、穹廬狀的天覆蓋方形的地。

到了戰國時代，蓋天說開始受到質疑，如《大戴禮記》中就記載，曾子曾提到：

天之所生上首，地之所生下首，上首謂之圓，下首謂之方，如誠天圓而地方，則是四角之不揜也。^{註 2}

意思是「圓天」與「方地」的形狀無法契合。

到了戰國晚期，蓋天說被修正為「天似蓋笠，地法覆槃」^{註 3}，即天與地為平行的拱面；另種說法是天與地是平行的平面，由八根「天柱」支撐。傳說中的水神共工，就是在與顓頊爭奪王位失敗以後怒撞了天柱之一的不周山，導致「天」傾斜，也就有了「女媧補天」的故事。

然而，無論「地」是什麼形狀，星體將永遠處在人類能看見的範圍，並不符合天體東升西落的觀測結果，「漢賦四大家」之一的揚雄寫的《難蓋天八事》就否定了蓋天的說法。儘管到了西晉時期，仍有虞聳的「穹天說」來繼承蓋天理論，但在愈發廣大而精確的觀測數據面前，蓋天說已是落日餘暉。

宣夜說 由「氣」推動的無邊宇宙

「宣夜說」，則認為宇宙無邊無際，而「氣」推動宇宙的運行。這樣的想法受道家宋鈃、尹文的影響，即「氣」為萬物本源。《莊子．逍遙遊》中寫道：

天之蒼蒼其正色邪？其遠而無所至極邪？

其中便隱含宣夜的概念。

如今的我們認為宇宙雖非無限大，卻沒有邊界與固定形狀，這點與宣夜說相同，儘管這樣的理論在觀測實用上不如蓋天說與渾天說。

宣夜說對於天體生成的理論，也與今日意外巧合。《列子．天篇》就提到：

日月星宿亦積氣中之有光耀者。

而在現今的天文學概念中，恆星確實是由氣體聚集、壓縮而成。

神秘的宣夜說在戰國以後逐漸失傳，到了東漢時只剩郄萌一家。還有西晉楊泉《物理論》寫道：

發而升，精華上浮，宛轉隨流，名之曰「天河」，一曰「雲漢」，眾星出焉。

也繼承宣夜說。至於「氣」與宇宙論的建構工作，就由渾天說繼續發展。

渾天說 最接近真實宇宙面貌的一刻

「渾天說」主張宇宙是個完整的「球體」，而非蓋天說的「半球體」，而地球處於這個球體之中，這個說法較接近現代的天文學理論。同樣受道家的影響，渾天說的宇宙組成裡，「水」與「氣」是重要的概念。

這個概念最早可見於戰國楚地竹書《太一生水》與《恆先》^{註 4、註 5}，同期的魏人石申與齊人甘德也依渾天之說，設計出最早估算天象的「渾儀」。

漢武帝的年號「太初」顯然受到渾天說的影響，也正是於此前後，渾天說逐漸取代了蓋天說的地位。此後，仍有不少關於「氣」的零星論述，如西漢末年的《易緯》、東漢王充的《論衡》、《白虎通》。

而東漢科學家、「漢賦四大家」的張衡集渾天說之大成。他設計了以水為動力、並加入地平圈和子午線的「渾天儀」，其著作《渾天儀》與《靈憲》分別繼承了「水」與「氣」的學說。可惜《渾天儀》如今已失傳，只能從晉人的《渾天儀注》中略窺一二。

此外，《晉書．天文志》中寫到：

宣夜絕無師承，周髀多所違失，惟渾天得近其情。

而唐代的方炯也寫了《渾天論》來駁斥蓋天和宣夜的理論。由於哲學理論與文人的支持，渾天說力壓其他兩者，逐漸成為中國宇宙觀的主流。

雖然未有數學化的觀念，但中國宇宙論卻如此接近事實。然而，為何在漢代以後就再也沒有巨大斬獲、進而造就西方那般的天文革命呢？

農民曆的出現與天文觀測的式微

明代的顧炎武在《日知錄》中提到：

三代以上，人人皆知天文。「七月流火」，農夫之辭也；「三星在戶」，婦人之語也；「月離於畢」，戍卒之作也；「龍尾伏辰」，兒童之謠也。

此處的「三代」指的應該就是堯、舜、禹，其中不難見到：由於農耕需求，上古時代的天文學經驗迅速積累，如被認為可能是堯都平陽的山西陶寺遺址，就有著中國最古老的觀象臺（約建於西元前 2100 年）。

《尚書．堯典》也說道：

（堯）乃命羲和，欽若昊天，歷象日月星辰，敬授人時。

日中，星鳥，以殷仲春。

日永，星火，以正仲夏。

宵中，星虛，以殷仲秋。

日短，星昴，以正仲冬。

這些都可以看出，上古的四季是由「星宿」來定義；大火星（心宿二）也十分重要，用以判斷入秋的時間，《史記》就記載了堯曾封商人始祖契於商丘，任「火正」，負責觀測、祭祀大火星。

由此可知，古代人由於生產勞動的需要，人們「時間」和「季節」的掌控非常重要，因此必須研究天文和曆法。然而，自從夏后氏制定《夏小正》開始，農民曆的出現，大大減少了觀星的必要。

此外，受到文化變遷的影響，漢代以後的天文學更開始攙入「讖緯之學^{註 6}」，「宜」、「忌」觀念深植人心，造成西周的人文精神與東周的理性精神逐漸喪失。雖然漢代天文學仍有極高成就，但究其根本，仍是奠基於戰國天文哲學的實際觀測結果，宇宙論體系的成長已相對趨緩。

然而，這是中國宇宙學或天文觀測沒落的主因嗎？

知識份子的胸懷

事實上，王充的《論衡．譏日篇》批判了當時的迷信氛圍，就是理性精神未被「讖緯」的飛沙走石淹沒的中流砥柱。一種學說，或者一種學術風氣的興衰下，最重要的還是知識分子的胸懷，縱使國家學術風氣有了些許問題，只要那些文人持續發聲，那麼企圖尋求真知的風尚就能成為銅山鐵壁，所有挑戰相形之下悉如熒光單薄，被穆穆的清風飄颻殆盡。

不幸的是，隨著朝代的遞嬗，「儒學」逐漸成為讀書人的唯一；唐代科舉猶有「明算」科，元、明以後的四書五經則已佔據了一切，清代更把僅存的儒學凍結為僵化的「樸學」。於是，讀書人的視野預漸狹隘，那片遙遠的星河漸行漸遠，把滋養科學革命的后土，拱手讓給了西洋。

註解

1. 出自《周髀算經》卷上之五。
2. 出自《大戴禮記》《曾子天圓》之一
3. 出自《晉書》《志第一 天文上》之八。
4. 張佑任（2021），郭店楚簡〈太一生水〉之宇宙論。《哲學論集》，53（p33 – 53）。
5. 丁四新（2018），楚竹书《恒先》的三重宇宙生成论与气论思想。《中国哲学》，2018 年 01 期。
6. 讖緯之學：一種政治預言。「讖」是假藉上天的預言來達到政治目的，通常會加上圖作配合，稱為「圖讖」。 「緯」則是假藉孔子的言論所偽造出來的典籍，是真正記載孔子言論的「經」相對，所以也稱為「緯書」。 「讖緯」是一種用來凸顯帝王政權合理化的工具，盛行於西漢末年。

備受關注的再生能源

近年來，以太陽能發電的再生能源備受關注。

太陽能電池是太陽能發電的關鍵裝置，這是用半導體將陽光的能量直接轉變成電能的裝置。雖然有「電池」這個名稱，但不像乾電池那樣可以儲存電能。所以「太陽能電池」這個稱呼其實並不洽當，應該稱其為「太陽光發電元件」才對。

太陽能電池會利用到第 1 章 1－2 節提到的半導體光電效應（將光轉變成電能的現象）。不過，僅僅只透過照光，並不能從半導體中抽取出電能。要將光能轉變成電能，必須使用 pn 接面二極體（參考第 1 章 1－8 節）才行。

圖 5－1(a) 為 pn 接面二極體，p 型半導體有許多電洞做為載子，n 型半導體內則有許多電子做為載子。這個 p 型與 n 型半導體接合後，接合面附近的電洞會往 n 型移動擴散，電子則會往 p 型移動擴散，如圖 5－1(b) 所示。

移動擴散之後，接面附近的電子與電洞會彼此結合，使載子消滅，這個過程稱為複合。結果會得到圖 5－1(c) 般，沒有任何載子存在的區域，這個區域就稱為空乏層。

接面附近的空乏層中，n 型半導體的帶負電電子不足，故會帶正電；另一方面，p 型半導體的帶正電電洞不足，故會帶負電（圖 5－1(d)）。

因此，n 型與 p 型半導體之間的空乏層會產生名為內建電位的電位差，在接面部分形成電場。這個電場可以阻擋從 n 型半導體流出的電子，與電子從 n 型流向 p 型的力達到平衡，故可保持穩定狀態。

這種狀態為熱平衡狀態，放著不管也不會發生任何事。也就是說，接面上有內建電位差之壁，不管是電子還是電洞，都無法穿過這道牆壁。

在這種狀態下，如果陽光照入空乏層，半導體就會在光能下產生新的電子與電洞，如圖 5－2 所示。此時，新的電子會因為內建電場所產生的力而往 n 型半導體移動，新的電洞則往 p 型半導體移動（圖 5－2(a)）。於是，電子便會在外部電路產生推動電流的力，稱為電動勢。

在光照射半導體的同時，電動勢會一直持續發生，愈來愈多電子被擠入外部電路，於外部電路供應電力。被擠出至外部電路的電子會再回到 p 型半導體，與電洞結合（圖 5－2(b)）。我們可以觀察到這個過程所產生的電流。

目前太陽能電池的大部分都是由 Si 半導體製成。以 Si 結晶製成的太陽能電池結構如圖 5－3 所示。

為方便理解，前面的示意圖中，都是以細長型的 pn 接面半導體為例。但實際上，太陽能電池所產生的電流大小，與 pn 接面二極體的接面面積成正比。所以 pn 接面的面積做得愈廣愈好，就像圖 5－3 那樣呈薄型平板狀。

前面的說明提到，陽光可產生新的載子，這裡讓我們再進一步說明其原理。

圖 5－4 為 Si 原子之電子組態的示意圖（亦可參考第 38 頁圖 1－11）。Si 原子最外層的軌道與相鄰 Si 原子以共價鍵結合，故 Si 結晶的軌道填滿了電子，沒有空位（圖 5－4(a)）。

若摻雜雜質磷（P）或砷（As）等 15 族（Ⅴ族）元素，形成 n 型半導體，便會多出 1 個電子。這個電子會填入最外層電子殼層的最外側軌道（圖 5－4(b)），與共價鍵無關，故能以自由電子的狀態在結晶內自由移動。

由於電子軌道離原子核愈遠，電子的能量愈高，所以位於最外側軌道的電子擁有最高的能量（參考第 57 頁，第 1 章的專欄）。最外側軌道與最外層電子殼層的能量差，稱為能隙。

另一方面，如果是摻雜鎵（Ga）或銦（In）等 13 族（Ⅲ族）元素的 p 型半導體，會少 1 個電子，形成電洞。這個電洞位於最外層電子殼層，能量比自由電子還要低（圖 5－4(c)）。

空乏層不存在自由電子或電洞等載子，此處原子的電子組態皆如圖 5－4(a) 所示。

陽光照進這個狀態下的空乏層區域時，原子的電子會獲得光能飛出，轉移到能量較高的外側軌道（圖 5－4(d)）。此時的重點在於，電子從光那裡獲得的能量必須大於能隙。如果光能比能隙小的話，電子就無法移動到外側軌道。

光的能量由波長決定，波長愈短，光的能量愈高（參考第 217 頁，第 5 章專欄）。光能 E（單位為電子伏特eV）與波長 λ（單位為 nm）有以下關係。

E［eV］＝1240／λ［nm］

另一方面，抵達地表的陽光由許多種波長的光組成，各個波長的光強度如圖 5－5 所示。

由圖可以看出，可見光範圍內的陽光強度很強。陽光中約有52％的能量由可見光貢獻，紅外線約佔 42％，剩下的 5～6％ 則是紫外線。

若能吸收所有波長的光，將它們全部轉換成電能的話，轉換效率可達到最高。不過半導體可吸收的光波長是固定的，無法吸收所有波長的光。

Si結晶的能隙為 1.12eV，對應光波長約為 1100nm，位於紅外線區域。也就是說，用 Si 結晶製造的太陽能電池，只能吸收波長小於 1100nm 的光，並將其轉換成電能。

不過，就像我們在圖 5－5 中看到的，就算只吸收波長比 1100nm 還短的光，也能吸收到幾乎所有的陽光能量。

光是看以上說明，可能會讓人覺得，如果半導體的能隙較小，應該有利於吸收波長較長的光才對。不過，並不只有能隙會影響到發電效率，圖 5－6 提到的光的吸收係數也會大幅影響發電效率。光的吸收係數代表半導體能吸收多少光，可以產生多少載子。

有幾種材料的光吸收係數特別高，譬如 Ⅲ—Ⅴ 族的砷化鎵（GaAs）。GaAs 的能隙為 1.42eV，轉換成光波長後為 870nm，可吸收的光波長範圍比 Si 還要狹窄。但因為吸收係數較高，所以用砷化鎵製作的太陽能電池的效率也比較高。

總之，GaAs 是效率相當高的太陽能電池材料。然而成本較高是它的缺點，只能用於人造衛星等特殊用途上。即使如此，研究人員們仍在努力開發出成本更低、效率更好，以化合物半導體製成的太陽能電池。

——本文摘自《圖解半導體：從設計、製程、應用一窺產業現況與展望》，2022 年 11 月，台灣東販出版，未經同意請勿轉載。