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《「客」隨「主」變—探討韓愈貶謫詩中空間與時間的真實性 》——2019數感盃/高中職組專題報導類佳作

數感實驗室_96
・2019/05/25 ・3131字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 549 ・八年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:李元萌、 施宥旭/國立臺南二中。
圖/pexels

一、研究動機

古代詩人常因主觀心情的劇變,使得客觀時間或空間的描述產生放大或縮小的意象,用以類比其喜怒哀樂的轉折。「朝辭白帝彩雲間,千里江陵一日還」,即因李白獲赦後喜悅至極,而感覺時間變短;「劉郎已恨蓬山遠,更隔蓬山一萬重」,乃因詩人在送別友人時,對其日後的旅途而感覺距離的拉長;「似將海水添宮漏,共滴長門一夜長」則描寫女子因思念之情而對夜晚感覺格外漫長。

在高中國文〈師說〉一課中認識韓愈,藉由欣賞詩詞更讓我們了解他人生中的挫折與難關,在〈瀧吏〉、〈食曲河驛〉、〈武關西逢配流吐蕃〉、〈過始興江口感懷〉⋯⋯等詩中,皆描繪其貶謫途中之感,尤在〈左遷至藍關示侄孫湘〉中,刻劃其剛被貶謫的抑鬱之情, 我們也對詩中空間與時間的真實度感到好奇,遂以其生平與貶謫途中的地理位置,深入探討並進行研究。我們將從幾首詩中提及關鍵的數字,進行研究並分析其空間、時間的真實性:

  1. 韓愈的貶謫路途十分遙遠,〈左遷至藍關示侄孫湘〉中「一封朝奏九重天,夕貶潮州路八千」 一句,不禁讓人想一探是否真如詩中所寫從長安城到潮州長達八千里呢?
  2. 韓愈是否真能在一日之間到達這潮濕蒸鬱,暗無天日的潮州呢?「我今罪重無歸望,直去長安路八千。」韓愈在〈武關西逢配流吐蕃〉中亦提及「路八千」, 這樣的關聯是與上首詩巧合嗎?
  3. 〈瀧吏〉一詩中「下此三千里,有州始名潮。」究竟是否自昌樂瀧至潮州真要三千里呢?

二、故事背景

貶謫文化讓中國文學史更添色彩,作家余秋雨在《文化苦旅》一書中認為:「詩人被貶到外頭,失了寵,摔了跤,只好與山水親熱,這樣一來,文章有了,詩詞也有了,而且往往寫的不錯。」也因為貶謫路途的遙遠,跋山涉水,所到之處無不是蠻荒之地,生活極其困頓, 憂憤之下才能寫出流傳千古的作品。

而名列唐宋古文八大家的韓愈亦是如此,元和十四年, 唐憲宗派使者往鳳翔迎佛骨進宮中,供奉三日後送寺。韓愈毅然決然上呈〈諫迎佛骨表〉, 內容提及歷代信佛的帝王大都「運祚不長」,要求將佛骨「投諸水火,永絕根本,斷天下之 疑,絕後代之惑」遂引起皇帝震怒;但在崔群及國戚貴人為他說情之下,改貶潮州刺史。潮州位於廣東沿海,唐朝時尚未開發,韓愈長途跋涉,奔走任所,值藍關(今陝西省一帶)時逢大雪,人與馬早已疲倦,心中感到痛苦和絕望。還好其姪韓湘的勸慰,心情才稍為好轉, 寫下〈左遷至藍關示侄孫湘〉這首流傳千古的詩。

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三、研究內容

路程的巨大數字,雖有可能使用誇飾筆法,但仍令人好奇,其實際的空間距離有多少? 需花費的時程多少?是否為刻意放大?

(一)距離的演算首先,我們以距離來探討韓愈這短艱苦的貶謫歲月。韓愈因〈諫迎佛骨表〉被貶,自唐代政治中心長安出發,依下列詩詞分析,陸續經過藍田關、武關西、曲河驛、楚昭王廟、昌樂瀧、 始興江及潮州市。

唐代以唐太宗李世民的雙步(左右腳各跨一步)為距離單位的標準,叫作「步」,並規定三百步為一里,一里為 454.2 公尺。一「步」的五分之一為一尺。唐代一尺相對於現在約 0.303 米,一里換算約 454.2 公尺。依照唐代古地圖所示,比例尺為 1:21,000,000,試計算各段路程的直線距離。(如表一)

【公式:地圖上的距離(公分)× 比例尺(1:21,000,000)÷100,000=實際上的距離(公里)】

 

圖/資料來源:唐代古地圖

1.〈左遷至藍關示姪孫湘〉

一封朝奏九重天,夕貶潮州路八千。欲為聖明除弊事,肯將衰朽惜殘年。

雲橫秦嶺家何在?雪擁藍關馬不前。知汝遠來應有意,好收吾骨瘴江邊。 本詩是在韓愈貶潮州時,自潮州出藍關時之作,可見其剛被貶謫時憂憤怨恨之心。由上 述資料得知,這段路程的總距離約為 3534.3 公里(=3534300 公尺),即 3534300 ÷ 454.2 = 7781.37 里,故韓愈在詩中所提及的八千里與實際距離相去不遠。

2.〈武關西逢配流吐蕃〉

嗟爾戎人莫慘然,湖南地近保生全。我今罪重無歸望,直去長安路八千。

此詩為韓愈謫潮州,途經武關西而作之。依唐朝古制,西邊所擒之蕃囚,皆會發配至南 方且不會被殺戮。而韓愈在南貶途中,自藍田入商洛於武關西時,遇到一群發配湖南的蕃囚, 感懷自己因言論不敬、冒犯帝王,被遠貶至瘴癘之鄉,覺得不如「蕃囚」,心情沉痛抑鬱,有感而作〈武關西逢配流吐蕃〉,也因為受到如此大的打擊,詩中才會用八千里一詞來說明自身的境遇。由上述資料可知,自武關西至潮州距離約 3315.9 公里(= 3315900 公尺),即 3315900 ÷ 454.2 = 7300.53 里,與詩中「直去長安路八千」相去不遠。

3.〈瀧吏〉

(節錄) 南行逾六旬,始下昌樂瀧。險惡不可狀,船石相舂撞。 下此三千里,有州始名潮。惡溪瘴毒聚,雷電常洶洶。 鱷魚大於船,牙眼怖殺儂。州南數十里,有海無天地。 潮州雖云遠,雖惡不可過。於身實已多,敢不持自賀。

韓愈赴潮州途中所作,聞潮州瘴癘之地,此種痛苦抑鬱的心情清楚呈現在此詩。 韓愈自昌樂瀧至潮州仍有約 1963.5 公里(= 1,963,500 公尺),即 1963500 ÷ 454.2 = 4322.98 里, 與其三千里之敘述有落差,推究原因可能是因連續六十天的「南行」,離長安愈來愈遠,驚怖之情愈增,故感覺離潮州十分接近。(二)時間的計算接著,我們利用幾項唐代的主要交通工具(馬車、牛車)計算其速率與時間,並檢驗合理性;再綜合現代的交通工具,討論如何才可使這八千里在半天內迅速抵達。

我們分析古代的交通工具,並計算出其速率與所需時間(如表二),由此得知,韓愈自長安城至潮州的這段路程至少需 3.5 天,故「一封朝奏九重天,夕貶潮州路八千」所描寫的時間是不合理的。再比較現代各種交通工具,並計算出其速率與所需時間(如表三)。

由此得知,韓愈若身處現代,應搭乘飛機或高鐵,才能如詩中所寫的在半天的時間內抵達潮州。

四、結論

韓愈在〈左遷至藍關示侄孫湘〉詩中,藉由「路八千」營造距離之遙以及「朝奏」、「夕貶」的用詞,刻劃出時間壓迫的侷促感;在〈武關西逢配流吐蕃〉詩中,韓愈以八千里之遙凸顯自身遭遇不如蕃囚,再加上是貶謫途中的第二站,故距離尚無誇大之詞;在〈瀧吏〉詩中因貶謫之途越來越接近潮州,憂憤之情油然而生,故恐懼感愈增,感覺離貶謫地潮州十分接近,距離因而縮短,感到迫促。

正如「朝為青雲士,暮作白首囚」(韓愈〈赴江陵途中寄贈王二十補闕李十一拾遺李二十六員外翰林三學士〉)所寫,韓愈真切敘述貶謫後的痛苦之情,字裡行間流露出憤恨之情,令人印象深刻。

再根據我們分析、驗算後,發現詩中對於空間(距離)的描寫並無誇大其詞,但在時間的描述明顯不符古代交通工具之性能。這也證明對客觀時間或空間的感受,常因作者當下主觀的生活際遇與心情,產生放大或縮小的情形,而這種變化也加深了文學的趣味性。

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文章難易度
數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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時間與空間的顛覆!如何用簡單的方式了解「相對論」?——《物理角色圖鑑》
azothbooks_96
・2024/09/16 ・2086字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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時間不再絕對?牛頓與愛因斯坦的時間觀差異

川村老師,請用簡單的方式告訴我「相對論」是什麼?

圖/《物理角色圖鑑》

老師:狹義相對論源自相對性原理(Principle of relativity,指物理定律〔Physical law〕適用於所有以等速直線運動的物體) 與光速恆定原理。根據這個理論,時間是相對的,依不同觀察者而有所差異。牛頓力學中的時間是絕對的,愛因斯坦則認為,可依不同的觀察者位置對時間進行不同定義。

圖/《物理角色圖鑑》

老師:之前在討論「力」時,也提過離心力。離心力是「慣性力」的一種,慣性力指物體在加速運動時感受到的與加速方向相反的力。置身在沒有窗戶的電梯中,當電梯向上加速,電梯內的人會受到向下的慣性力(譯注:因看不到外面,使得他無法判斷電梯的運動情況)。若加速度為 g,物體質量為 m,則物體所受慣性力為 mg,與在地面所受的重力 mg 相同。愛因斯坦無法區別這兩種 mg 的差異,所以視為等效。但無論慣性力的方向為何,物體都會往向量合成後的視重力場方向掉落。

時間在任何地方都固定不變嗎?

世界上最快的速度是光速。物體的移動速度若接近光速,它的時間進程就會變慢。也就是說,在接近光速的太空船上,時間會變得悠長。而且,接近光速的物體長度會朝行進方向收縮。

物體只要具有質量,即使在靜止狀態依然擁有能量(其能量 E mc2,稱為靜止能量(Rest energy)。

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提到光的運動,我們已經知道光的路徑會彎曲。

1919 年,天文學家觀測到恆星發出的光線在經過太陽附近時被偏折,這種現象稱為「重力透鏡效應」(Gravitational lens),有助於了解黑洞等宇宙中質量分布的情況。此外,天體物理學家也觀測到時間的延遲。簡而言之,接近地面的時鐘行進速度會比高處的時鐘慢,GPS 也是依據這種效應來進行校正。

圖/《物理角色圖鑑》
圖/《物理角色圖鑑》

時間

牛頓力學中的「時間」(也就是我們一般理解的時間)和相對論中的時間大異其趣。牛頓在《自然哲學的數學原理》(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica,1687)中,假設空間是均勻平坦的;從過去到未來,在任何地方都平均延伸。在牛頓力學中,全宇宙的時間一致。

但相對論否定了這一點。

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圖/《物理角色圖鑑》

光速恆定原理指出,光的速度是固定不變的。這種狀況下,空間中不同地點發生的兩件事,對某個觀測者來說是同時發生,但對另一參考系的觀測者而言則非同時發生。也就是說,時間的前進速度並非在任何地方都相同。因此,時間和空間不能視為各自獨立的兩回事,應該一體化,視為四維空間(時空,Spacetime)。

不過,這是指物體移動速度接近光速時的情況。日常生活中,使用過去的時間觀不會有任何問題。

黑洞

黑洞(Black hole)是一種天體,因為密度極高,重力極強, 不只物質,連光都會被吸進去,無法逃逸。天體是宇宙中所有物體的總稱,具體來說,指太陽、恆星、行星、星團、星雲等。從相對論來看,黑洞周圍空間是扭曲的。照以下方式想像應該會比較容易理解:

把重物放在一大塊展開的薄橡皮布上,放置處就會凹下去,而這塊凹陷會影響到周圍。同樣的,黑洞所在之處會發生猛烈的空間扭曲,經過附近的天體會被極強的重力吸引,落入其中,連光也難逃魔掌。

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銀河系有許多黑洞,但具體數字不詳。2019 年,一個跨國研究計畫團隊首次拍攝到黑洞的「影子」,掀起一陣討論熱潮。

——本文摘自《物理角色圖鑑:用35個萌角色掌握最重要的物理觀念,秒懂生活中的科普知識》,2024 年 9 月,漫遊者文化,未經同意請勿轉載。

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azothbooks_96
55 篇文章 ・ 21 位粉絲
漫遊也許有原因,卻沒有目的。 漫遊者的原因就是自由。文學、人文、藝術、商業、學習、生活雜學,以及問題解決的實用學,這些都是「漫遊者」的範疇,「漫遊者」希望在其中找到未來的閱讀形式,尋找新的面貌,為出版文化找尋新風景。

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沒有「引力」,只有「時空扭曲」——《高手相對論》
遠流出版_96
・2022/04/30 ・2747字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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廣義相對論的基本

廣義相對論,簡單地說就是兩點。

  • 第一,一個有質量的物質,會彎曲它周圍的時空。這是「物質告訴時空如何彎曲」。
  • 第二,在不受外力的情況下,一個物體總是沿著時空中的測地線運動。這是「時空告訴物質如何運動」。

這裡根本沒有引力的事,根本不需要引力。

這個畫面是這樣的。你可以將時空想像成一張彈簧床,本來彈簧床是平的,往上面放幾顆球,彈簧床上有球的地方周圍就變成彎曲的了——這幾顆球,彎曲了各自周圍的時空。

地球為什麼繞著太陽轉?牛頓認為那是因為太陽對地球有引力。但是廣義相對論認為,地球根本不知道太陽在哪裡,只是太陽把時空彎曲得比較厲害,地球是根據自己所在時空的測地線運動而已。就好像彈簧床上的小球可以繞著大球滾動,而你知道大球並沒有吸引小球,那只是因為彈簧床上大球的周圍有凹陷。

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廣義相對論認為,地球根本不知道太陽在哪裡,只是太陽把時空彎曲得比較厲害,地球是根據自己所在時空的測地線運動而已。

同樣的時空,每個物體的速度不一樣,它們遵循的測地線也不一樣。有的物體會直接掉向太陽,有的會繞著太陽做橢圓運動,有的與太陽擦肩而過,這些都只不過是物體在沿著自己的測地線運動而已。

同一個時空不同的物體,測地線也不一樣。

當然,每個有質量的物體在彎曲時空當中運動的同時,也是在彎曲著自己周圍的時空,只是彎曲的程度不同。時空的形狀由這些物質共同決定,而所有物質都會沿著自己周圍時空的測地線運動。

用彈簧床打比方是不得已而為之,物質彎曲時空並不是如同小球在彈簧床上往下「壓」的結果,而是自然地彎曲周圍所有方向上的時空,所造成的結果。而且請注意,被彎曲的不僅僅是空間,還有時間,只是這部分,我們留到後面的章節再細說。

在這裡,我還要澄清一點。你也許會有這樣的疑問:既然高速運動物體的質量會增加,那多出來的質量是不是也會彎曲空間呢?答案是不會。廣義相對論裡說的「物質彎曲了空間」,可以理解成是物質的「靜止質量」在彎曲空間,靜止質量是所有座標系都同意的不變數。時空的內在幾何形狀是絕對的,但是時空在不同的座標系中被看成了不同的樣子。

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廣義相對論就是這麼簡單。

自然運動狀態

愛因斯坦再一次看破了紅塵。什麼是引力?可以說根本沒有引力,有的只是時空的彎曲。

或者也可以說,所謂引力,就是在大尺度下才能看出來的、時空的彎曲。鯨魚的身體是曲線型的,但是如果近距離看,它身上每個地方都近似一塊很平的小平面。局部的測地線就是很直很直的直線,這就是為什麼我們上一章說「局部沒有引力」。

如果近看鯨魚,會覺得只是一塊平面(?)圖/envato elements

講到這裡,我們要重新定義「自然運動狀態」這個概念。所謂自然運動,就是在沒有任何外力干擾的情況下,一個物體自由自在的狀態。

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亞里斯多德(Aristotle)認為自然的運動狀態是靜止。這符合我們的生活經驗——沒有外力干擾的東西好像都是靜止不動的。

後來,伽利略和牛頓說這不對,力並不是讓物體運動的原因,力其實是改變物體運動狀態的原因。一個物體在光滑的平面上滑動,如果沒有任何摩擦力干擾,它就會一直這樣運動下去。所以等速直線運動和靜止沒有差別,它們都是自然運動。

貓咪推了球之後,如果沒有任何摩擦力,球就會永無止盡的運動下去。圖/envato elements

而現在,愛因斯坦表示,一切沿著測地線的運動,都是自然運動。

可以想像太空中有一個周圍非常空曠、沒有任何星體的地方,這裡的時空是平直的,測地線是完美的直線,所以物體沿著測地線運動,正好就是等速直線運動。

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如果時空是彎曲的,太空人就會繞著地球轉,而失控的電梯就會直接掉下去,這兩個運動看似不同,但其實都是自由落體運動,它們謹守本分地沿著自己的測地線運動。所以它們雖然有加速度,仍然是自然運動。

自由落體運動、等速直線運動,以及靜止,它們沒有本質上的差別。你在一個封閉的實驗室裡不管做什麼實驗,都沒有辦法區分它們。愛因斯坦表示它們是同一回事,都是沿著測地線運動,都是自然運動。

反過來說,你站在地面不動,站一會兒就累了,這其實是一種不自然的運動。你本來想沿著測地線往下掉,可是地板阻止了你。想要體驗真正的自由,你應該做自由落體運動。

都怪地板阻止了我們自由落體!(⋯⋯?)圖/envato elements

為什麼引力質量正好等於慣性質量,為什麼一輕一重兩個鐵球會同時著地?現在,廣義相對論給這個巧合提供了一個解釋——因為只要質量沒有大到能與地球相提並論、足以顯著影響周圍時空的形狀的程度,測地線就只和物體的初始速度有關,與質量無關!

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回頭再看上一章中講的兩個想像實驗。不管你是在加速的火箭上,還是站在地面不動,都有一個外力在阻止你沿著測地線走,所以它們是一樣的。

無論是在地球附近自由落體,還是在太空中空曠、沒有任何星體的地方做等速直線運動,都是沿著該地測地線的自然運動,所以它們也是一樣的。

無論是在地球附近自由落體,還是在太空中空曠的地方做等速直線運動,都是沿著該地測地線的自然運動。圖/envato elements

只要你接受時空尺寸是相對的,你就能接受狹義相對論;只要你接受時空可以彎曲,你就能接受廣義相對論。接受了時空的這兩個性質,光速為什麼不變、慣性質量為什麼等於引力質量、引力到底是不是真實的存在⋯⋯這些問題就不用再糾結了。

所以,相對論是個簡單理論,它只是相當深刻;其實我覺得廣義相對論比狹義相對論還容易理解,它只是美麗非常。

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也許下次看見鯨魚的時候,你可以想起廣義相對論。

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遠流出版_96
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遠流出版公司成立於1975年,致力於台灣本土文化的紮根與出版的工作,向以專業的編輯團隊及嚴謹的製作態度著稱,曾獲日本出版之《台灣百科》評為「台灣最具影響力的民營出版社」。遠流以「建立沒有圍牆的學校」、滿足廣大讀者「一生的讀書計畫」自期,積極引進西方新知,開發作家資源,提供全方位、多元化的閱讀生活,矢志將遠流經營成一個「理想與勇氣的實踐之地」。

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在數學中尋找想像力的自由——《生而為人的13堂數學課》
臉譜出版_96
・2022/03/28 ・2312字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • 作者/ 蘇宇瑞 
  • 原文作者/ Francis Su
  • 譯者/ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由,是想像的自由

如果探索是在尋找已經存在的東西,那麼想像就是在建構新的想法,或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子,都知道一桶沙子的無限潛力,同樣的,康托也曾說過:「數學的本質就在於它的自由。」[3](康托在19世紀後期做出開創性的研究成果,讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。)

他的意思是,數學不像科學,研究的主題未必和特定的實物有關,因此數學家在能夠研究的題材上,不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像,砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的,拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形,且沒有引進或移走「洞」,那麼從拓撲學的角度,我並沒有改變它。因此,橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的,因為其中一個形狀可以變形成另一個;另一方面,甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的,因為你必須在橄欖球上戳一個洞,才可以把它變成甜甜圈。

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拓撲學是很有趣的主題,因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸,來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動,所以稱它們為空間

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間,通常是為了回答某個奇特的問題,例如「是否存在具有這種或那種病態的物件?」。(對,我們在數學上會用到病態一詞,是在描述奇怪或異常的表現,就像在醫學中一樣。)然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說,有和田湖(Lakes of Wada):可在地圖上繪出,且邊界完全相同的三個相連區域(「湖」);位於其中一座湖的邊上的任何一點,一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄(Takeo Wada)的名字命名的。還有夏威夷耳環(Hawaiian earring),這是個華麗的物件,上頭有無限多個逐次變小的環,全相切於一個點。[4]

這個碎形圖有三個區域(深色、中間色和淺色的「湖」),有相同的邊界,但與原始和田湖不同的是,圖中的每個湖都由不連通的水池組成。
圖/生而為人的13堂數學課
夏威夷耳環。圖/生而為人的13堂數學課

亞歷山大角球的病態空間

病態空間(pathological space)有個相當著名的例子(至少在數學家當中很有名),就是亞歷山大角球(Alexander horned sphere)。球是呈泡泡形狀的曲面,正圓球表面的空間具有「單連通」(simply connected)這個性質,意思大致上就是,如果你在球的表面拿著一條繩子,把兩端繫在一起,做成一個圈,那麼所繫成的圈不會卡在球上,永遠可以從球上移走,與球分離。(甜甜圈就截然不同了,它表面的空間不是單連通的:如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞,再把兩端繫在一起,你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。)

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1924年,J. W. 亞歷山大(J. W. Alexander)在想像他的帶角球時,思考了一個問題:有沒有可能用某種奇特的變形方式,讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰,但泡泡表面的空間又不是單連通的?

起先亞歷山大認為,不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子!他的假想結構可以描述如下(這不完全是他的結構,但在拓撲學上是相同的):取一個泡泡,擠出兩個「角」,接著再從每個角擠出一對捏起的手指,且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰,所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟,從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指,相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去,做到極限,就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈,無法從帶角球脫離,原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束,沒有做到極限,那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構,不僅需要靠想像力思考,還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

亞歷山大角球。圖/生而為人的13堂數學課

你可以想像把圖放大,去看接連各層級的捏角的碎形本質:在細節的每個層級,景象看起來都相同。

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想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願,瞧!你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力,數學學習的樂趣會多出多少?你不必從事高等數學,就能運用想像力。

在算術中,我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數;能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少?你能不能找出連續十個不是質數的數?

在幾何學中,我們可以設計出屬於自己的圖案,探究它們的幾何性質;你喜歡的圖案裡有哪些對稱性?

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在統計學中,我們可以考慮一個資料集,想出有創造力的視覺化方法;哪些方法的特點最好?

如果你是從枯燥的教科書上學數學,那就看看能不能把問題改造一下,以提升你的想像力,這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

摘自《生而為人的13堂數學課:透過數學的心智體驗與美德探索,讓你成為更好的人的練習》,2022 年 1 月,臉譜出版
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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。