資料來源：PanSci: 有醉不歸–青少年大量飲酒將損害空間工作記憶
「經鼻內視鏡」腦下垂體腫瘤切除手術，克服治療困境，降低併發症機率！
- 作者／照護線上編輯部
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「有位 60 歲的男性病人，一開始是因為視力模糊、全身痠軟、虛弱無力來就診。檢查發現在腦下垂體長了一顆 3 公分左右的腫瘤。」
林口長庚醫院腦腫瘤神經外科主任李丞騏醫師指出，「受到腫瘤壓迫，正常腦下垂體的功能受到影響，導致內分泌失調。腦下垂體附近的視神經也受到壓迫，導致視野缺損、視力模糊。」
經過討論後，患者接受經鼻內視鏡腦下垂體腫瘤切除手術，利用內視鏡從鼻腔進入蝶竇，再磨開骨頭進入蝶鞍，移除腦下垂體腫瘤。李丞騏醫師說，手術過程相當順利，術後患者的視力便幾乎完全復原。隨著內分泌功能逐步恢復，全身痠軟、虛弱無力的狀況也明顯改善。經鼻內視鏡腦下垂體腫瘤切除手術從外觀看不到傷口，術後疼痛較少、恢復期較短，讓患者非常滿意。
腦下垂體是重要的內分泌器官，當腦下垂體出現腫瘤時，可能出現多種症狀表現。李丞騏醫師說，一般可將腦下垂體腫瘤區分為「功能性」與「非功能性」。
功能性腦下垂體腫瘤會分泌過量荷爾蒙，例如泌乳激素瘤分泌過多泌乳激素，造成月經失調、乳房脹痛、乳汁分泌、不孕等；生長激素瘤分泌過多生長激素，在成人會導致肢端肥大症，而且常合併心血管疾病、睡眠呼吸中止症、大腸癌風險上升等；若分泌過多促腎上腺皮質激素（ACTH），會導致庫欣氏病，症狀包括月亮臉、水牛肩、肌肉萎縮、皮膚變薄、骨質疏鬆、中樞型肥胖等。
腦下垂體腫瘤較小時，可能完全沒有症狀。腫瘤逐漸變大之後，會對周遭的腦組織造成壓迫，而讓患者出現頭痛、頭暈、眼窩後方疼痛等症狀。李丞騏醫師說，若腫瘤壓迫視神經，可能造成視野缺損、視力模糊。
還有約 10% 的腦下垂體腫瘤會以急性腫瘤出血來表現。李丞騏醫師說，患者可能出現劇烈頭痛、噁心、嘔吐、視力急速惡化，甚至意識昏迷、性命垂危。
經鼻內視鏡腦下垂體腫瘤切除手術優勢解析
倘若腦下垂體腫瘤已壓迫視神經造成視力模糊、視野缺損，一定要手術治療。李丞騏醫師說，另外若腦下垂體腫瘤壓迫造成腦下垂體功能低下，導致全身倦怠、虛弱無力、食慾不振等症狀，也要考慮手術治療。
功能性腦下垂體腫瘤會分泌過多荷爾蒙，影響生理功能。李丞騏醫師說，除了泌乳激素瘤以藥物治療為首選之外，其他的功能性腦下垂體腫瘤都應該採用手術治療。
腦下垂體腫瘤切除手術目前是以經鼻內視鏡手術為主流，已經逐漸取代傳統開顱手術。李丞騏醫師說，手術時會經由單側或雙側鼻孔，先從鼻腔進入蝶竇，接著會磨除顱底骨頭進入蝶鞍。將腫瘤外面的包膜切開，就可以使用一些特殊設計的器械將腫瘤一塊一塊的移除。直到確認腫瘤已全部切除或是神經獲得足夠減壓，就可以確認手術已經順利完成。
移除腫瘤後，醫師會將腦膜貼回，再使用一些組織凝膠關閉傷口，減少術後腦脊髓液鼻漏的機會。接受經鼻內視鏡腦下垂體腫瘤切除術，患者通常可以在 5 天左右出院。
相較於傳統開顱手術，經鼻內視鏡腦下垂體腫瘤切除手術有許多優勢。李丞騏醫師分析，由於腦下垂體位於顱底，傳統開顱手術必須鋸開頭骨、切開腦膜、勾開大腦，橫越腫瘤上方的神經血管才有辦法進行腦下垂體腫瘤切除。
在勾開大腦的過程中，很容易造成術後腦腫脹以及腦出血；在橫越神經血管的過程中，很容易造成不必要的損傷；在移除腫瘤的過程中，傳統手術使用顯微鏡，視野受到限制，所以沒有辦法做到非常完整的腫瘤切除，而且後續止血也比較困難。這些都是傳統開顱手術在處理腦下垂體腫瘤會遇到的問題，以及衍生出來的併發症。
經鼻內視鏡腦下垂體腫瘤切除手術是從大腦下方進行，不須鋸開頭骨、不須勾開大腦，不須橫越許多神經血管。而且內視鏡的解析度高，能夠提供較寬廣的視野，讓醫師能夠把病灶以及顱底構造看得更清楚，可執行完整的切除、減壓與止血。
「經鼻內視鏡手術與其說是『微創』，倒不如說是『無創』。因為是由鼻孔進入，所以外觀沒有傷口。」李丞騏醫師說，「患者在術後疼痛較少、感染風險較低、住院天數也比較短，大約 5 天便可以出院。」
除了用來切除腦下垂體腫瘤，經鼻內視鏡手術還可以處理多種顱底病灶，包括常見的腦膜瘤、顱咽管瘤、脊索瘤、鼻腔惡性腫瘤、或從其他地方轉移過來的惡性腫瘤。李丞騏醫師說，甚至於是一些感染發炎的病灶，也都可以利用經鼻內視鏡手術來處理。
貼心小提醒
腦下垂體腫瘤的症狀表現很多樣，可導致頭痛、視力模糊、視野缺損、內分泌失調等，雖然腫瘤尺寸不大，但也會造成許多問題。李丞騏醫師說，經鼻內視鏡腦下垂體腫瘤切除手術克服了許多傳統開顱手術的困難，發揮較好的治療成效，並減少併發症發生的機會，幫助患者解決腦下垂體腫瘤的大麻煩！
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我們需要覆蓋率更高的網路！低軌道衛星通訊的好處在哪？臺灣有機會發展自己的「星鏈」嗎？
要是海底電纜被截斷，馬斯克的星鏈又不幫忙？台灣會不會成為資訊孤島？
近年 SpaceX 不斷發射 Starlink，看起來野心滿滿，多到都成為光害了。
在烏俄戰爭爆發後，Starlink 為烏克蘭提供的不間斷網路服務，更讓全世界看見低軌道衛星通訊的重要性。
通訊戰已經逐漸打到太空，台灣也不遑多讓。今年 11 月 12 日，鴻海與中央大學合作的兩枚低軌道通訊衛星珍珠號，以及成功大學與智探太空合作的立方衛星「IRIS-C2」已經成功升空，三顆衛星都已經取得了聯繫。台灣，也能很快擁有自己的星鏈嗎？我們還欠缺哪些關鍵技術呢？
什麼是低軌道衛星？它可以取代海底電纜嗎？
在全民都會上網的現代，我們的電腦網路依靠光纖等實體線路，手機、WIFI 通訊則仰賴周遭的基地台，因此只要手機離基地台太遠，就會收不到訊號。未來，這些問題低軌道通訊衛星都能解決。這些在天上快速移動的衛星，只要數量夠多，就能覆蓋整個地球表面。因此不論你是在遠離基地台的深山，甚至是高空中的飛機，都能透過通訊衛星來連線上網。
除此之外，在 5G 通訊逐漸成熟的現在，下一代通訊技術 B5G 追求更快、更低延遲的數據傳輸，也會需要低軌通訊衛星來解決傳統基地台功率與覆蓋性不夠的問題。
但因為人口密集、土地面積小，台灣現在的無線網路服務覆蓋率已經很高了。台灣需要擔心的另一個問題是對外的海底電纜斷裂，使我們與世界失去聯繫手段。
除了要擔心戰爭爆發時敵人為了封鎖台灣消息，而主動破壞電纜以外。台灣周邊的電纜也常因為底拖網、抽砂船作業時被破壞，甚至天災都可能導致電纜被破壞。例如 2006 年恆春地震發生時，高屏海底峽谷就產生海底濁流，也就是海底的土石流。這股海底濁流一衝而下，破壞了呂宋海峽的數條電纜，不只影響了整個東亞以及東亞到美國、英國之間的通訊，包括許多跨國銀行交易。海底電纜斷裂的影響層面非常廣，2006 年恆春電纜斷裂事件發生後，還被聯合國國際減災策略署（ISDR）形容為「現代新型態災難」。
不論海底電纜斷裂的原因會是什麼，我們都需要有充足的準備來應對，而低軌道通訊就是其中的首選。
目前全球有在發展低軌道通訊的不只有 SpaceX 的 Starlink，其他還有 Amazon 的 Kuiper、加拿大的 Telesat 和由美國、歐洲、日本等企業投資的 EutelSat OneWeb 等等。
當然，其中最受矚目的當然還是 Starlink，而且它的發展速度真的有夠誇張。Starlink 在 2020 年才開始在北美提供服務， 去年 4 月我們製作了一集節目在介紹 Starlink，當時就已經總共有 2,000 顆星鏈衛星被發射上太空，服務使用者有 25 萬人。到了今年 8 月，短短又 16 個月經過，在低軌道運行的衛星數量，從兩千顆增加到了 4500 顆，用戶人數從 25 萬人暴增到突破 200 萬人，這肯定是打了針或是吃了藥。當然，訂閱 Starlink 的服務可能需要考慮考慮，但訂閱泛科學頻道，請不要再考慮了，就在這邊，趕快按下去吧！ 然後別忘了，SpaceX 的野心，是在天上佈下總計 42000 顆的通訊衛星，大約是現在數量的再十倍，當這個目標達成時，我們的通訊手段可能將迎來天翻地覆的變化。
你可能好奇，這些距離地面遙遠的通訊衛星，能提供多快的上網速度？會不會衛星通訊到頭來只是個噱頭？在光纖電纜的技術進步下，海底電纜的速度確實已經非常快，傳輸速度是低軌衛星的五千到十萬倍左右，這根本是阿烏拉對上芙莉蓮，只有被虐的份啊！
世界越快心則慢，但網路越慢心更急。Starlink 到底夠不夠用呢？依照 Starlink 實際用戶的實測回饋，雖然星鏈服務的 Ping 值多落在 15~60ms 左右，下載約 100 Mbps，上傳約 15Mbps，但對於一般消費者來說已經算是能接受的了。尤其對於偏遠地區、研究站的通訊，又或是未來 B5G、6G 物聯網中，與大量自動駕駛汽車、智慧裝置的連動，通訊衛星都將成為可考慮的另類選擇。
但如果我們未來不想只看馬斯克或是大公司的臉色，勢必需要發展屬於自己的通訊衛星。那麼，發展一顆通訊衛星，需要哪些技術呢？
低軌道有多「低」？低軌道通訊衛星需要哪些技術？
實際上，在低軌通訊衛星出現之前，我們早就有使用衛星進行通訊的經驗，例如衛星電視使用的廣播衛星。然而廣播衛星和低軌道衛星卻有著完全不同的設計邏輯，這是挑戰，也是機遇。
廣播衛星位於地球同步軌道，距離地面約 4 萬 2 千公里，優點是距離地面遠，因此一顆衛星的覆蓋範圍極廣，只要三顆衛星就能覆蓋地球大部分地區。缺點就是距離地面真的太遠了，就算以光速傳遞訊息，來回 8 萬 4 千公里，就有 0.28 秒的延遲，想必沒有人希望用這種速度來上網。 而低軌道衛星，例如 Starlink，就將他們的衛星分布在距離地面 350 至 1500 公里之間，只有地球同步軌道的 120 分之一到 28 分之一的距離和訊號延遲。反過來說，低軌道的優點是延遲短，缺點就是覆蓋面積小，因此才需要那麼多的衛星來覆蓋整個地球。
再來，在天線的設計上也完全不同。接收廣播衛星訊號的天線，就是我們暱稱為小耳朵的衛星碟形天線，通常設計成凹面鏡的樣子。根據光學原理，平行光入射凹面鏡後，會聚焦在焦點。也就是說，接收器不是圓盤本身，我們會將接收器放置在焦點來接受最強的訊號。除了小耳朵之外，大型電波望遠鏡的設計，也是出於同樣的原理。
Starlink 的做法則不是這樣，因為用戶不只有接收訊息，還需要發送訊息。Starlink 的天線，是一個稱作 Dishy McFlatface 的小圓盤，只是後來變成方形了就是了。當你在自家屋頂或庭院設置了 Dishy，它內建的 GPS 會鎖定自己與附近 Starlink 衛星的位置，並且建立點對點的雙向資料傳輸。
重點來了，要做到點對點的傳輸，代表這些電磁波訊號不能再是廣播衛星那種廣發的波狀訊號，而是要聚集到一條又窄、能量密度又高，如同雷射般的筆直路線上。
有在看我們節目的泛糰肯定有印象，這是我們今年第三次提到這個技術了。沒錯，在無線獵能手環還有宇宙太陽能這兩集中，都有遇到需要遠距傳遞電磁波能量或訊號的情況。其實用到的技術都相同，那就是波束成型（Beamforming）。誒，我們都報明牌那麼明顯了，還不趕快找概念股，然後訂閱一下泛科學嗎？
一般來說，電磁波都會如同水波般向外發散，波束成型會先把一個訊號源拆成數個小訊號源，將這些訊號源排成一排，並且控制大家的相位。在電磁波的互相干涉下，就會形成一條筆直前進的電磁波。你可以想像一群本來正各自單兵作戰的士兵，透過整隊與喊口號將大家都動作同步，那麼這些士兵就會一起筆直地朝一個方向前進。在比較舊的 Dishy 型號中，寬 55 公分的圓形接收器上，裡面共有 1280 個六角型，每個六角形裡面都是一個天線，這些天線在波束成型後，會構成一個筆直、能量又強的電磁波束，與天上的衛星展開通訊。
咦？但衛星一直在動啊，難道天線也要一直追著衛星跑嗎？其實不用，我們只要對這群士兵下向左轉、向右轉的口令就好。例如我們喊向左轉，那只要左邊的士兵步伐放慢，右邊的士兵加快速度，就能完成轉向。同樣的道理，我們只要改變每個訊號源發出訊號的時機，改變每個波的相位，就能讓干涉出的訊號朝向特定角度，而不用機械式的移動天線本身。而能做到這種功能的天線，我們稱為相控陣列天線。
知道了地面天線如何和低軌道通訊衛星取得聯繫後，還沒完。這些丟出去的指令，衛星收到了沒錯，但如果你想要連上網際網路，最終這些訊號還是要能連上有線網路。
在星鏈 1.0 時，每顆 Starlink 衛星都是單獨運作，衛星在接收地面天線發出的訊號後，會傳遞到附近的地面接收站 Gateways，接著 Gateways 一樣會走光纖電纜的方式與網際網路連接，讓用戶得以上網。地面接收站一般設有 9 個雷達天線，每個直徑 2.86 公尺。衛星本體，例如 Starlink 2.0 上，則配有四個陣列天線，兩個用來與使用者相連，兩個連向地面接收站。
然而，這樣的設計限制了 Starlink 的服務，因為這代表地面接收站與你的天線，必須同時在同一顆衛星的訊號範圍內。但是低軌衛星的覆蓋範圍又不大，一個地面站只能照顧方圓 800 公里內的用戶。因此如果你家附近沒有地面接收站，抱歉，你還是收不到訊號的。如果你在廣闊的大海上，就更不用想了。再來，就算 Starlink 提供全台灣的無線網路服務，但如果這個地面接收站就設置在台灣，那麼當台灣的對外海底電纜斷了，就一樣回天乏術，星鏈的設置可說是毫無價值。
SpaceX 當然也想擺脫地面接收站的束縛，況且如果到了海上就收不到訊號，那可遠遠無法稱上「全球通訊」。因此到了 Starlink 2.0 時，衛星間通訊技術 LISL (Laser Inter Satellite Link) 全面安裝到了衛星上，藉由衛星間的通訊，取代海底電纜的作用，進行跨地區的通訊服務。你看，現在不只海底有資訊高速公路，在天上也出現了網路任意門。比起過去衛星間使用的無線電傳輸，使用 LISL 技術的衛星與衛星之間，用的是雷射。雷射傳訊不僅頻寬較寬，因為光在真空中的速度是最快的，比在光纖中還快。因此與海底電纜相比，傳輸速度反而有可能更快，衛星間的雷射通訊技術，也成為目前太空研究領域中非常重要的一環。
在通訊研究中，除了硬體技術的革新外，另一個最大的問題是，如此龐大的星鏈星座網路該怎麼設計？如何選擇地面天線要與哪個衛星通訊？每個衛星該攜帶多少個雷射發射器與接收器？資料傳輸要經過幾個衛星，才不會因為過多的路由，造成網路延遲飆升。哇～諸如此類的網路設計難題，都是因應通訊衛星而生的新型態網路結構所需面對的課題。而當這些問題被解決，那麼 Starlink 將真正全面擺脫地面接收站，並且能向地球上任何一個角落提供不受限的網路服務。
台灣的低軌道通訊衛星
根據中央社報導，台灣和 SpaceX 從 2019 年開始就展開嘗試性商談，但至今仍未能談妥。今年 11 月 14 日，中華電信成功與另一家公司簽署了台灣低軌衛星的獨家代理合約。這間搶在 SpaceX 之前簽約的公司，就是前面也提到過的 Eutelsat OneWeb。相較於 SpaceX 已經發射升空的 Starlink 大約有 4500 顆，Eutelsat OneWeb 現在的低軌衛星數量大約有 600 顆。台灣的目標，則是在 2024 年底前，布建國內 700 個、國外 3 個非同步軌道衛星的終端設備站點、以及 70 個將資訊候傳的設備站點，建構能完整覆蓋全台的衛星通訊。
除了與現有的低軌道通訊服務公司簽約外，在打造自製台版星鏈的道路上，也傳來令人振奮的消息，就在簽約的兩天前，11 月 12 日，由中央大學與鴻海科技集團共同研發的珍珠號 PEARL-1C 和 PEARL-1H，兩顆立方衛星升空，並且與地面取得聯繫。搭載的儀器除了中央大學的電離層探測儀之外，還包含了 Ka 頻段的通訊酬載以及剛剛介紹的相控陣列天線，希望能為台灣自製的低軌道衛星通訊打下基礎。
國家太空中心則預計在 2026 年，將第一顆低軌通訊衛星送入太空，2028 年發射第 2 顆。希望能推動 B5G 的發展，並成為發展台版星鏈的敲門磚。
目前台灣的太空領域，許多的技術都正在發展、測試階段。除了這集提到的相控陣列天線、衛星間通訊技術，還有這集還來不及提到的長時間航行的充電問題、姿態校正問題，甚至是未來自行發射衛星的所需要的火箭科技，都需要一步步來解決、實踐。而且根據太空中心估計，至少要擁有 120 顆低軌道通訊衛星，才能確保全台 24 小時的通訊都不間斷，要達成這個艱鉅的任務，我們還有好多路要走，好多衛星要升空。
但千里之行，始於足下，千星之鏈，始於發射架。從福衛系列衛星到獵風者衛星，台灣的太空路線越來越鮮明，也讓人期待包括火箭、衛星到通訊技術的未來發展。
這集我們以 Starlink 為例，詳細的介紹了低軌通訊衛星的重要性，以及需要面對的技術突破。
也想問問大家，你覺得未來低軌通訊衛星，會如何改變網路市場呢？
- 衛星通訊成為常態，到哪都可以上網，等等這代表不管去哪都無法以網路不穩當藉口了嗎？可惡！
- 衛星通訊只是壁花配角，有線的海底電纜終究是主流
- 先等等，衛星競爭太激烈，衛星都比星星還要多了，真的不會在天上發生連環車禍嗎？
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參考資料
- https://www.satellitetoday.com/broadb…
- https://www.space.com/spacex-starlink…
- https://news.pts.org.tw/projects/taiw…
- https://iknow.stpi.narl.org.tw/post/R…
- / list_of_confirmed_starlink_speed_tests
- https://www.eettaiwan.com/20230130ta3…
- https://case.ntu.edu.tw/blog/?p=41279https://technews.tw/2021/04/23/leask-…
- http://esrpc.ncu.edu.tw/public/focus/…
- https://jictcms.itri.org.tw/xcdoc/con…
- https://www.cna.com.tw/news/aipl/2023…
- https://www.ttc.org.tw/News/more?id=e…
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萬物皆混沌？——族群演化、股市、氣候變遷背後的神秘公式
你知道有那麼一條公式——它不僅可以表述生態系中動物族群的數量變化、城市裡人口隨時間的變遷，還與金融市場的波動、甚至是氣候變遷有所關聯？更令人驚奇的是，這個式子並不是什麼複雜的偏微分方程，它只有短短一行、就連國小學生都能代入算出。
這個看似相當簡單的式子，能推演出極其複雜的圖像；而在看似錯綜複雜的圖像背後，卻又隱藏著某種未知的神秘規律。今天這篇文章，將帶領大家透過這個簡單的函數重新認識世界。
自然界潛藏的規律
且讓我們先從自然界談起。假設一片草原上有一群斑馬生活著，我們想要知道明年、後年、甚至數十年後的數量；我們知道，這一部分取決於斑馬的出生率，還有另一部分取決於環境的負載力——假設斑馬的族群總數超過了該草地所能負荷的程度，很可能在往後導致族群的縮減，因此，負載力有點類似於一個約束條件。有了以上的資訊，我們可以嘗試用數學來描述：
這邊，xn 代表的是「現存族群數量與最大可容納的族群數量」之比值，你可以想像成：假設這片草原此時此刻有 60 隻斑馬，而草原所能容納斑馬數量的最大值為 100 隻斑馬——一旦超過這個值，那麼便會面臨諸如饑荒等生態危機。因此，在此例子中，x0 = 60/100 = 0.6。而假設我們想知道明年的數量，也就是 x1，便可以帶進去推算。那麼，式子中的＂r＂又是什麼？你可以將它理解為「成長率」，但要注意的是，它的值一般是界定在 0 與 4 之間。
如果單純只看 xn+1 = r xn，假設 r=2，今年有 60 隻斑馬、明年有 120 斑馬、後年便會是 240 隻，這樣只會無止盡地指數增長下去；因此，當我們設定了＂(1 - xn)＂這個約束條件後，便可以解決這個問題——假如今年的 xn = 1，意味著該地斑馬數量已然達到環境可負荷的最大值，便會因為饑荒等因素滅絕，隔年得到的數量便將為零。這個看似簡單、卻又多少能給生態學家建構模型的公式，稱為「單峰映射」(logistic map)，也是今天文章的主角。
這個式子不僅可套用在生態系，也可以套用在人口學：舉個例子，某城市今年有 60 萬人，該城市所能負載的最大人口為 100 萬人，而每年的成長率大概是 r = 1.5，那麼，套進公式會發現：明年的人口將為 36 萬、第三年人口將為 34.6 萬……，從而漸漸達到平衡點。如果一開始我們假定有 30 萬人，明年將會成長為 31 萬、後年成長為 32 萬，然後趨近於和前者相近的平衡點。最後，如果這個城市一開始就有 90 萬人，第二年便會因為環境負載力而銳減至 13.5 萬人，但後年、大後年之後將會隨著成長率升高而回升至約莫 33 萬人的平衡點。
而這些資訊並非憑空構思的，因為它們本身就含括在單峰映射的公式裡，用圖表呈現便一目了然，你會發現無論前幾年如何變化、最終都會回歸一個平衡點：
而這個穩定值是取決於＂r＂的，也就是說，只要 r = 1.5，無論人口數目如何變化，最終的平衡點都不會有所差異。
規律的瓦解、未知的開端
因此，我們何不來看看＂r＂會如何變化？這時，我們回到原本的假設：一個城市裡有 60 萬人口，如果改動不同的 r，演化曲線將會如何改變？
當我們將 r 值逐步增加，一切看似並無異常；當 r=2.8 時，我們發現圖形出現了週期性的振盪，但最後依舊回歸平穩。順帶一提，我們可以藉由「分枝圖」(bifurcation diagram) 來觀察 x 的穩定值與 r 的關係，在 r=0 至 2.8 之間，x 穩定值有攀升趨勢；在 r=1.5 時，根據前述的例子，x 的穩定值落在 0.33 左右，從下圖也可以直接看出：
我們繼續調大 r 值。正當一切看似正常發展時，詭異的事情發生了：
在此之前，一切族群的數量都是平穩的，但在 r 超過 3 左右，持續的振盪出現了，且自此「平衡點」不復存在；不僅如此，當 r 值不斷調升，顯示出來的圖像從原本 2 個值、4 個值、到更多值之間來回振盪。值得一提的是，這種「週期性振盪」的現象在生態圈與人口變化中是確實存在的，很有可能前一年數量減少、今年數量增加、明年數量又再減少。讓我們來看看對應的分枝圖：
這對應於原本從 2 個值之間的擺盪、分岔成 4 個值之間的擺盪、再分岔成 8 個值之間的擺盪……如此往復。此外，如果你留意橫軸 r 之間的間隔，會發現：當 r 愈大時，分岔的速度也愈快！
現在讓我們繼續將 r 值調升，來看看會發生什麼事：
話不多說，我們直接來看看分枝圖：
令人毛骨悚然的結果出現了！前面我們觀察到，當r提升時，系統會出現週期性的振盪，對應於分枝圖中的「分岔」，且分岔的速率會不斷增快、再增快；而在 r 超過 3.5699 時，規律的振盪、分岔將不復存在，取而代之的是一團無法預測的隨機——這就是所謂的「混沌」(chaos)。
混沌、股票市場、以及蝴蝶效應
現在讓我們看一下完整的分枝圖長什麼樣子：
換而言之，當系統的變量到一定程度時，將會變成隨機且無法預測的。以人口為例，一開始我們假設的情況很簡單，就是 60 萬人口與 r=1.5 的成長率；接著我們發現，無論人口基數如何，只要 r 維持原狀，數年、乃至於數十年後的平衡點都是相近的。然而，當r值提升後，平衡點的值便會浮動了，r=3 之後週期性的振盪便出現了、且分岔點不斷加速倍增；緊接著，我們赫然發現：
當 r 值大於 3.5699 時，系統將全然處於混沌狀態。
也就是說，即便給定初始條件，最後的人口演化將會是無法預測的。事實上，這種「混沌」、「隨機」的現象並不僅僅侷限於自然界的族群或者人口數量，它其實是隨處可見的。比如：家中水龍頭關不太緊時，水滴很自然地會落下，按理來說，鬆緊程度與水壓毫無變化的情況下，滴水的規律應該也是不變的；但如果你花一段時間觀察，會發現水滴可能一下子連續落下兩滴、一下子又只落下一滴——我們根本無法預測每一次的滴落模式。
另一個例子就是金融市場：當我們投資了固定金額的股票後，市場的波動將導致金額的浮動，就算有再好的分析師與預測模型，我們也不可能精準預測明天的投資金額會變多少。順帶一提，在金融學中描述期權的模型是「布萊克－休斯模型」(Black-Scholes model)，它便是從微觀粒子的「布朗運動」(Brownian motion) 所推導而來，其中粒子碰撞隨時間演化的隨機過程被稱為「維納過程」(Wiener process)。布萊克－休斯模型的假設之一，便是將隨時間演化的「股票價格」描述成維納過程，從而預測、消弭潛在的風險。事實上，休斯本身大學時就是主修物理學的。
而提到「混沌現象」，最經典的例子當然還是氣象學家愛德華．洛倫茲（Edward Lorenz）的那句名言：
「一隻海鷗拍動翅膀，將導致永久性的氣候變化。」
“One flap of a sea gull’s wings would be enough to alter the course of the weather forever.”
爾後，這個現象被稱為「蝴蝶效應」(Butterfly effect)，也就是說，縱然系統初始條件只有微不足道的變化，也會導致最後產生的結果大相徑庭；即使是一隻在巴西的蝴蝶拍動翅翼，周邊的氣流變化會連帶影響、擴散至大氣系統，甚至能致使一個月後的德州發生龍捲風。
這些非線性、隨機的現象在自然界無處不在，許多科學家也嘗試研究，締造了「混沌理論」(chaos theory) 的研究熱潮。一旦我們能從中梳理出一些規律，那麼，也許便能更精確地掌握「混沌」之中的資訊，這將有助於我們更精確地預測投資股票的風險、也有助於人們更準確地預測天氣的變化。
混沌背後的神秘常數
從描述族群、人口的簡單函數推演到「混沌狀態」的存在已經夠令人驚豔了，然而，不知你是否曾留意過分枝圖中、每一段分岔點之間的間隔？
如果你把我們最後得到的分岔圖放大來看，會發現在混沌狀態之前、分岔點出現的速率不斷增快；而如果你對每一個分岔點之間的間隔取比值，你會發現——每一次得到的值都會是同一個數字，這個數字大致為 4.669，它被稱為「費根鮑姆常數」(Feigenbaum constants)。
更令人細思極恐的是，這個「常數」並非只存在於單峰映射，所有混沌理論中有這種分岔性質的圖像，它們之間的比例都是這個常數！而目前數學界尚未能明確理解這個常數的性質，唯一可以推測的是：
費根鮑姆常數（4.669…）與混沌理論有密不可分的聯繫；該常數的出現意味著混沌現象即將發生。
在前述單峰映射的例子中，費根鮑姆常數主宰了 r=3.5699 之前的分岔規律；在 r 超過 3.5699 後，系統便徹底進入混沌狀態了。
除此之外，你或許也發現了，每個分岔的形狀都超乎尋常地相似，後一個分岔根本上就是前一個分岔的縮小版。這種特徵令人聯想到數學上的「碎形」(fractal)，也就是某些形狀放大後會是自己的本體、從而無窮延伸下去。最著名的例子就是複數平面上二次多項式迭代出來的「曼德博集合」(Mandelbrot set)。信不信由你——當我們將單峰映射的分枝圖與曼德博集合比照來看，會發現分岔點之間是有所對應關係的；也就是說，單峰映射可以視為曼德博集合的一部分！
從簡單的單峰映射公式，我們推導出了自然界族群、人口的演化模式，進一步發現了「混沌」狀態的存在；而在看似極其複雜的混沌狀態中，似乎又發現了隱藏在隨機背後的神秘規律。
混沌理論在生活中是無所不在的，時至今日，仍有不少未知的特性等著人們發掘與驗證。從生物的競爭、人口的演化、股市的浮動、亂流的成因、到氣候的變遷……這些日常事物都被混沌現象主宰著，從而使我們無法精準預測到未來的走向。然而，費根鮑姆常數的發現與幾何碎形的聯繫卻也指出了隨機背後潛藏著某些規律，這也不禁令人讚嘆自然界的美麗與神秘。
狐禪
