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愛因斯坦與廣義相對論的誕生--《科學月刊》

作者:
聶斯特/中央大學物理系與天文所退休教授
陳江梅/中央大學物理系教授

一世紀前,偉大的物理學家愛因斯坦(Albert Einstein, 1879~1955)完成了廣義相對論,透過時空的彎曲來描述重力交互作用,這個理論毫無疑問的是物理學中最激動人心的智慧結晶。愛因斯坦在物理學上做出了許多劃時代的貢獻,例如在1905 年,年輕的他就獨立地完成了許多開創性的成果,其中有關光電效應的論文,是開啟量子物理大門的關鍵性工作,他也因此獲得1921 年諾貝爾物理獎的桂冠。然而,對一般大眾來說,愛因斯坦最著名的研究成果就是相對論,他在1905 年完成了狹義相對論,討論等速運動系統的物理特性,其中光速不變性的假設所推論出來的「時間膨脹」、「長度收縮」等奇特效應,是理論物理中令人非常著迷的現象。十年之後,愛因斯坦更將其理論推廣至加速的系統,建構出描述重力作用的廣義相對論。

學生時期的愛因斯坦

愛因斯坦在大學時期是一個相當古怪的學生,常常翹課,成績也並不突出,最後勉強達到畢業門檻,而他大部分的時間致力於獨立研究物理學中最前沿的問題。至於考試,愛因斯坦則依賴於他的同學格羅斯曼(Marcel Grossmann, 1878~1936)所做的筆記。因為愛因斯坦經常缺課,再加上似乎不夠尊重師長的態度,使得他在授課老師心中留下不良的印象。他的物理學教授韋伯(Heinrich Friedrich Weber, 1843~1912) 曾經責備他說:「你是一個很聰明的孩子,愛因斯坦,非常聰明的孩子,但是你有一個很大的缺點,就是永遠聽不進去別人對你說的任何事情。」他的數學教授閔可夫斯基(Hermann Minkowski, 1864~1909)則曾經稱他為「懶狗」。許多年後,當被問到關於愛因斯坦發表的狹義相對論時,閔可夫斯基的評論是「我真的不敢相信他能夠做到。」

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愛因斯坦所就讀的蘇黎世聯邦理工學院。 Source: Shepard4711

廣義相對論的基礎

廣義相對論所討論的,是自然界中的重力,也稱為萬有引力,是人類最熟知的作用力。牛頓(Isaac Newton, 1642~1727)首先理解到,萬有引力不單單只是造成地球上萬物會向下掉落的原因,也是天體中星球運行的作用力來源。他寫下了質量如何產生重力的萬有引力公式,再加上他所提出的物體運動必須服從的三大運動定律,構成了牛頓力學的體系,主導我們對物理的認知達數百年。直到愛因斯坦發表相對論後,物理世界才又往前跨出了重要的一步。

廣義相對論的理論基礎,起源於一個稱為「等效原理」的基本概念——當一個人在自由墜落的時候,他感受不到自己的重量。自由墜落是一個加速的運動狀態,而物體的重量則是重力作用的結果,因此,等效原理說明了這兩個物理現象間有一定的關聯性。這個想法給愛因斯坦很深的啟發,引導他建立了一個革命性重力理論的方向。根據愛因斯坦的說法,等效原理的靈感出現在1907 年,是他一輩子中感到最快樂的想法。

根據狹義相對論,物理學家已經理解到在牛頓力學體系中的一維時間和三維空間不再是各自獨立的,勞侖茲(Hendrik Lorentz, 1853~1928)給出了兩個相對等速運動的觀測者間,他們測量到的時間和長度的轉換關係,也就是說,時間和空間必須被看成一體,形成一個稱為「時空」的概念。

一個完整的重力理論包含兩個部分:第一,需要知道物質如何產生重力場,在牛頓的理論就是萬有引力方程式;第二,重力場是如何作用在物體上,因而改變物體的運動狀態,在牛頓的理論中就是第二運動定律。在廣義相對論彎曲時空的架構下,重力如何作用在物體的部分相對上較容易理解,即物體在彎曲時空中走最短路徑,而最短路徑在數學上可由測地線方程式算出。因此,廣義相對論的建構中最核心的問題,就是推導出物質如何彎曲時空的重力場方程式。

1927

1927 年10 月所召開的第五次索爾維會議,主題為「電子與光子」,並齊聚了當時最頂尖的物理學家,包括正中間的愛因斯坦、居里夫人(第一排左三)、勞侖茲(第一排左四)、包立(Wolfgang Pauli,第三排右四)與海森堡(Werner Heisenberg,第三排右三)等人。 Source: I Harsten

困擾愛因斯坦的難題

儘管愛因斯坦對於建立新的重力理論的物理直覺是清晰而深刻,但是要將他的想法具體的實踐出來,需要一個全新的數學架構。討論彎曲時空結構的數學工具「微分幾何」,便成了廣義相對論所需要的數學平台。但是很不幸的,愛因斯坦一開始並不十分熟悉微分幾何,以致於遲遲無法建構出具有一致性的理論。他再次向格羅斯曼尋求幫助,他拜託老同學說:「格羅斯曼,你一定要幫幫我,否則我會瘋了。」

愛因斯坦開始和格羅斯曼合作,埋首於廣義相對論的建構,經過了一段時間的努力之後,愛因斯坦和格羅斯曼終於在1913年發表了著名的「綱要(Entwurf)」論文,這篇論文分為物理與數學兩部分,分別由愛因斯坦和格羅斯曼撰寫。然而,他們兩人在這篇論文中都犯下了錯誤,而這些錯誤全是起源於對彎曲時空的數學沒有能夠全盤掌握。這個新的數學領域,雖然大數學家黎曼(Bernhard Riemann, 1826~1866)早在1854 年就曾發表他在彎曲空間幾何的研究成果,但對愛因斯坦和格羅斯曼這樣的新手來說,他們只能透過可獲得的文獻,對彎曲空間的數學工具有粗略的理解,但是,他們尚未完全了解彎曲時空的數學公式之真正意涵和在他們新的重力理論當中所扮演的角色。

廣義相對論的誕生

廣義相對論的誕生,也就是推導出正確的重力場方程式的日子,發生在1915年的11 月,那一個月份,愛因斯坦在4 日、11 日、18 日和25 日分別發表了有關廣義相對論的論文,從考慮比較簡單的特殊系統再推廣到一般情形,逐步改進結果,而正確的重力場方程式則是出現在25 日的論文之中。

大數學家希爾伯特(David Hilbert,1862~1943)有關重力場方程式的論文也是在這個時間點完成,所以一直都有到底是誰先得到重力場方程式的爭論。愛因斯坦首次提出正確的重力場方程是在1915 年11 月25 日,但就在5 天之前,希爾伯特在德國哥廷根大學的一個報告中介紹了他對廣義相對論的研究成果。希爾伯特的研究主要目的是考慮重力與電磁力的整合模型,他從作用量出發,利用變分原理,進而分析理論的數學性質。

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大數學家希爾伯特。 Source: Open Logic

誰先發現重力場方程式?

愛因斯坦和希爾伯特論文發表的時間十分接近,導致了誰先孰後的爭議:發現重力場方程式應歸功於愛因斯坦還是希爾伯特?有些物理學家和科學史家認為希爾伯特首先發現重力場方程式,而愛因斯坦則是在幾天之後獨立地發現了它。

希爾伯特參與廣義相對論的研究起始於1915 年6 月,那年夏天,愛因斯坦訪問了哥廷根大學,並發表了一系列演講介紹他的重力理論。他和希爾伯特對理論中的問題進行深入的討論。在接下來的幾個月,希爾伯特深入研究關於愛因斯坦的理論,他很快就找到了一個優雅的數學處理方法。他寫信告訴愛因斯坦他的研究成果,而愛因斯坦則要了希爾伯特的筆記與計算的副本。

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哥廷根大學一景(1961 年攝)。 Source: Roger W

從愛因斯坦的回信來看,他顯然在11 月18 日前收到了這些筆記副本。但是,沒有證據可以判斷希爾伯特給愛因斯坦的筆記中是否已有愛因斯坦方程式,如果有,那麼愛因斯坦就是在自己提出這個方程式前就已經知道結果。另一種說法是,明確的重力場方程式事實上並沒有出現在希爾伯特給愛因斯坦的筆記副本裡,甚至也沒有在他11 月20日的報告中,希爾伯特是在稍後的論文校對過程時,才將愛因斯坦方程式加入到他的論文當中。

這個兩種看法在1997 年哥廷根大學的圖書館公布了有關希爾伯特在12 月6 日所做的論文校對相關文件後,更添加神祕色彩。希爾伯特的校對版論文內容和最後正式發表的版本是有些不同,最特別的是,在校對版文件中可能是包含愛因斯坦方程式的半頁手稿被人撕走了。這種狀況使得真相更加撲朔迷離,陰謀論的說法層出不窮:難道是愛因斯坦的支持者摧毀證明方程式存在的證據?抑或是希爾伯特的支持者想要掩蓋方程式不存在的事實?

無論真相為何,愛因斯坦和希爾伯特對廣義相對論的建立,都扮演著極其關鍵的角色,愛因斯坦的物理圖像清晰,動機明確,雖然所需的數學基礎和一些疑惑困擾了他許多年,但終究達到目的。希爾伯特經由愛因斯坦的介紹開始重力的研究,他的數學知識雄厚,利用作用量和變分的方法,為重力場方程式的推導開闢出一個在數學上非常簡潔的方法。他們倆人之間在1915 年的相互交流與討論,肯定對彼此的研究產生正面的影響。誰先推導出重力場方程的爭議,一開始在兩人的內心,也確實曾經激起短暫時期的不愉快情緒。然而,在他們往後的頻繁交流過程中,幾乎看不出這爭議對他們的友好關係產生任何嫌隙,或許他們終究認為,這件事並不是個值得浪費時間和友誼的議題。

光路徑偏折

歷史上,牛頓最先提出光線受重力的影響,它所行進的路徑會產生偏折的可能性,在此之後,許多物理學家也都曾經做過光線路徑偏折的具體計算。回到1911 年,愛因斯坦在尚未建構出完整的廣義相對論之前,就曾經基於等效原理和他早先的理論版本,預言光線在經過太陽時會受到它的重力作用影響,而產生0.87 秒角的偏折。

對於光線經過太陽會產生偏折的觀測,在廣義相對論誕生前就已經在嘗試進行。觀測的對象是恆星所發出的光線,因為太陽光太強烈,所以可行的觀測只能在日蝕發生時進行。在1914 年7 月底,德國天文學家弗洛因德里希(Erwin Finlay-Freundlich, 1885~1964)與兩位同伴總共攜帶三組相機前去克里米亞,為將發生在8 月21 日的日蝕觀測做準備。很不幸地,德國在8 月1 日的正式宣戰開啟了第一次世界大戰,俄羅斯也出兵參與戰爭。因此,俄羅斯政府拘留了弗洛因德里希,並且沒收了他的設備,也使得這次的觀測計畫被迫中止。愛因斯坦曾經抱怨說:「決定我的科研奮鬥中最重要的結果,將不會在我的有生之年看到。」事實上,當時另一組美國的觀測隊伍並沒有受到發生戰爭的影響,可惜日蝕當天的天氣並不好,是一個不適合拍攝的陰天,因此美國隊伍的觀測過程也並不順利。

幸運的愛因斯坦

這次觀測的延遲對於愛因斯坦來說應該是一個幸運事件,因為直到1914 年,他對光線路徑偏折的計算並沒有考慮到空間彎曲所造成的效應,預測值為0.87 秒角,而這個預測值是不正確的。一年之後,愛因斯坦理解到空間彎曲的部分和時間彎曲的效應是一樣大,他修正預測值增加到1.74 秒角,是原始結果的兩倍大,而這才是正確的數值。如果在1914 年8 月弗洛因德里希成功地完成了對光線彎曲的測量,那麼他的觀測結果就會不符合愛因斯坦所做的預言,那麼愛因斯坦將會發現自己處在一個相當尷尬的位置上。

對於支持廣義相對論最關鍵的觀測結果,是英國天文物理學家愛丁頓(Arthur Stanley Eddington, 1882~1944)所領導的團隊在1919 年完成的。愛丁頓是廣義相對論在英國首要的支持者,他曾用英語寫了許多文章來介紹並推展廣義相對論。和愛因斯坦一樣,愛丁頓在當時是少數和平主義的熱衷支持者。第一次世界大戰期間,英國實行了徵兵政策,而愛丁頓寧可被判刑也不願意入伍服役參與戰爭,經過了一番的努力,他以日蝕觀測在科學研究的重要性,成功地說服仲裁庭給予他一年的免除兵役豁免權,讓他可以領導1919 年的日蝕觀測團隊。幸運地,這場戰爭在愛丁頓豁免時效過期前的1918 年底就結束了。

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英國天文物理學家愛丁頓。 Source: Smithsonian Institution

在戰爭結束後的1919 年, 共有兩個團隊對當年5 月29 日發生的日蝕進行觀測,格林威治天文臺的克羅梅林(Andrew Crommelin, 1865~1939)所帶領的觀測團隊到巴西,而愛丁頓則領隊到非洲。這次的觀測進行得很順利,而觀測資料分析的結果符合了愛因斯坦廣義相對論的預測。

觀測的結果於1919 年11 月6 日在英國皇家哲學學會和皇家天文學會的倫敦聯合會議上向全世界公佈,天文學家戴森(Frank Watson Dyson, 1868~1939)總結說:「經過仔細研究拍攝的底片,我正式宣布,結果證實了愛因斯坦的預言。一個非常明確的結果顯示了光線的偏折,符合愛因斯坦重力理論的推論。」就在第一次世界大戰結束一周年的前夕,德國科學家愛因斯坦延續了英國科學家牛頓的光環,正式地將萬有引力理論推廣至廣義相對論。這消息也迅速地傳播到世界的每個角落,各地的報紙,都大肆報導這個科學史上劃時代的里程碑,而愛因斯坦也因此迅速地提升至世界名人的地位。

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愛丁頓於1919 年所拍攝之日蝕照片。(Public Domain)

廣義相對論已經誕生一世紀,從它延伸出的許多有趣課題,例如黑洞、宇宙學、重力波、重力透鏡等,幫助我們更深入地理解自然界的奧祕。然而,直到現在,還有許多尚未解決的問題,期待有更多的愛因斯坦來尋找答案。無論如何,就像音樂和美術一樣,能一窺自然界運行的「美」,無疑是一個激動人心的感受。

1234〈本文選自《科學月刊》2015年8月號〉

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什麼?!你還不知道《科學月刊》,我們46歲囉!
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