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你到底有多愛我?

Photo Credit:Lauren Lionheart

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數學相當強調「量化」的概念。用熱戀中的情侶最愛說的話來舉例就是——你到底有多愛我?

這是個很難回答的問題,跟「數學到底能幹嘛?」差不多困難。要是隨便說個「超愛的」,恐怕對方會立刻展現出約莫一平方公分的白眼,貞子從電視機裡爬出來時的極限也差不多是這樣了(很,很老的梗嗎?)。

在與各位分享該如何回答這個問題前,我們先看看生活中其他事物是如何量化的。

※   基準是量化的基準

最常見的數量當屬「長度」了。

理化課本有教過,公尺最早的定義是:通過巴黎的經線,從赤道到北極的距離的千萬分之一。之後,人們還製作了一架米原器(Mètre des Archives),以零度時米原器的兩道刻度距離,定義為一公尺。科技進步,手機日新月異,手機不僅是必需品,還是一種時尚品。公尺的定義也不遑多讓,不斷更新,越來越精準,如今最時髦的定義是:光速的1/299792458。

用光速、經線、甚至用幾隻 iPhone 來作基準都無所謂(答案是 8 隻 iPhone 約為1公尺),重點是要有「基準(reference)」。任何量化都是相對的概念,我身高一米七,意思即是我整個人是赤道到北極距離的千萬分之 1.7 ,或光走 5.670589618 奈秒的距離。

原來矮子如我,低頭看自己的腳也有時間差,真感人。

我們只是將這段長度取名為「公尺」,要叫他阿姆斯特朗旋風炮也可以,目的只是為了省略掉原本那一長串,有關經線或光速,講出來大家也無法想像的長度。

※   再奇怪的東西,都可以量化

只要有基準,誰都可以被量化。

好比「辣」這種因人而異的感覺,也可以量化成:甜椒 0~5 度,普通辣椒約 10,000 度(也跳太快),知名的辣椒醬 Tabasco 則是 2,500~5,000 度。辣度的基準來自於從食物中萃取一單位的辣椒素,加水稀釋,再找一位可憐蟲來品嘗。不考慮品嘗過程中造成的液體損失,不考慮可憐蟲的味覺。當這位可憐蟲用那媲美梁朝偉在《東成西就》裡的一雙厚唇說「我吃不出來有辣的感覺了」,稀釋溶液與原本辣椒醬的比例,就是辣度(Scoville Scale)。

糖度也是類似的測量方式,擔任基準點的一度糖度( Brix ),即是 1 克蔗糖融在 100 克水中的糖度。有了基準點,便可以用各種方式去量化不同水果、飲料的糖度。

每次我去飲料站時,都很想對著店員大喊:「我要糖度 10 Brix 的葡萄柚綠茶,不要再跟我說什麼微糖、三分糖了!」

不過,可能會被當瘋子吧。一定會的。

Photo Credit:Ari Helminen

Photo Credit:Ari Helminen

絕對的基準,不如相對的基準

解釋辣度時,我們可以發現到有個彆扭的地方,辣度跟資本主義社會的財富一樣,甜椒只有可憐的 2、3 度,Tabasco 為 5000 度,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒將近 150 萬辣度。在這種情況下,比起使用「絕對」的辣度作為基準點,我們更常使用「相對」的基準點。好比說,講起國人一年吃過的便當盒堆疊起來有多高,要是超級高,媒體可能會說「有幾棟101高」。我們也可以用辣度這條線上,連續的兩項產品做為基準點:特立尼達蠍子壯漢T辣椒是一般辣椒的150倍,一般辣椒是Tabasco的2倍,Tabasco則是甜椒的2500倍。

這樣量化的好處是,量化的倍數會比較小,比較好想像。但缺點則是,要是想知道特立尼達蠍子壯漢T辣椒是Tabasco的幾倍,就得牽扯到比加減要麻煩的乘除運算。

某些數學,正是為了解決討厭的計算過程而生的。

雖然它看起來也蠻討厭的就是了。

※   分貝(decibel, dB)出場

大家常聽到的「分貝」,就是為了這種狀況而生。

給定基準點是A2,A1即可以用X dB來量化。

X dB = 10×log10(A1/A2)

在分貝換算下,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒比一般辣椒要辣 21.8 dB,一般辣椒比 Tabasco 要辣 3 dB,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒則比 Tabasco 辣 24.8 dB。可以看見,變成分貝後,原本要用乘除運算 150×2 =300 的倍數問題,跟傳統的線性刻度一樣,可以使用加減法運算 21.8+3 =24.8 就可以解決。

這個,即是所謂的對數乘法規則。直觀一點地想,差 10 倍剛好是 10×log1010=10 分貝,差 100 倍則是1 0×log10100=20 分貝,剛好是兩個「差10倍」換算成分貝後的相加。換句話說,如果今天冰箱、冷氣機、跟對面老王的太太製造出來噪音各是 50、60、70 分貝,也可以很快直接推論出冷氣機的音量是冰箱的 10 倍,老王的太太又比冷氣機吵10倍,總共是比冰箱吵100倍。

※你到底有多愛我的數學式回答

最後回到一開始的話題,要是你的另一半雙手繞著你的頸子,輕聲問你:「你到底有多愛我?」

為了不讓她的雙手變成蟒蛇,你的頸子變成一隻等著被絞殺的青蛙,你得先搞清楚,這問題跟所有的量化問題一樣,重點在「基準」。

你不能拿舊情人來當基準,姑且不論你搞不好得因此說謊(大概是前女友的0.5倍那麼愛吧,這種話說得出口嗎),拿舊情人當基準太無情,對方搞不好會控訴你「以後你也會這樣跟別人說嗎」。

也不能拿朋友的感情來當基準點,免得下次她不小心說溜嘴:「你說要跟比我們少 3 dB恩愛的情侶出去嗎?」

拿太大的基準「謝霆鋒愛張柏芝」太不誠懇,太小的基準「張柏芝愛謝霆鋒」又是找死。

我認為最好的方法呢,是以「當下的關係」當基準點,去量化「未來的關係」。

「我噢,如果以現在為基準點,我們繼續這樣相處下去,可能每隔一天,我就會多愛妳 3 dB,噢,你不知道 dB 嗎?3 dB 就是 2 倍的意思……」

這邊還可以轉移話題,多好。

如果她對單位不感興趣或她根本數學比你好,那你只好接著說:「這樣交往一個星期後,我愛妳的程度跟今天比,就像特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒跟一般辣椒的辣度差異。」

這是數學式的浪漫。有用嗎?我想或許有用吧。

Photo Credit:cgoldberg89

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註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

關於作者

賴 以威

賴以威

數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室