公設化集合論的奧秘 (10) 跳不出如來佛手掌心的聯集運算

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文 / 翁昌黎（《孔恩vs.波普》中文譯者）

在前文《公設化集合論的奧秘 (9)》中，我們最終證明了有理數和自然數一樣多。但有個問題仍然沒有回答，那就是一開始我們把整個數線用半開半閉區間切成許多段落（0, 1］, （1, 2］, （2, 3］, …，並用它們來考察有理數與自然數的個數比例，結果發現每一段都是無窮多比1，既然這樣為什麼最後的結果卻是兩者打成平手了呢？

如果我們只是接受證明的結果而沒有進一步去思考為什麼，那將喪失對趣味盎然且重要的數學問題探索的熱情，我們很容易退墮成背誦數學教科書的機器和工具。你會讀到許多定義定理和證明，然後繼續面對更多的定理和證明，接著仍然是不知所謂無窮無盡的定理和證明，直到你的頭腦因超負荷而當機或關機，最後以恨死這些鬼東西作為謝幕。

順著這個為什麼追問下去可以帶我們到涉及可數無限的一個根本定理，它將揭示出可數無限集合的重要性質並告訴我們聯集運算的基本限制，讓我們逐漸從直觀常識與邏輯推論的痛苦衝突中解放出來，並親口品嚐可數無限集合的香醇美味。

對於以上提出的疑問可以從兩個方面來進行猜測，一是當我們把無窮個長度為1的區間連接起來時，自然數的個數終於「追上了」有理數的個數？ 或者是，當這些長度為1的區間被聯結加總之後，原來的有理數個數並沒有因此而增加？ 又或者這兩個猜測都有各自正確的部分？

如果後面這個猜測正確的話，那這個結果讓人震驚，因為它無異於說當你把一個擁有無限元素的區間加總了無限次之後其結果仍然不變！這如何可能呢？但前文的證明似乎暗示事情就是這樣，我們需要確實的數學證據（證明）來確認這個猜測。

回顧前文，我們證明了自然數N和有理數序列：

0；1/1  ,  –1/1；1/2  ,  –1/2  ,  2/1  ,  –2/1；1/3  ,  –1/3  ,     3/1  ,  –3/1； …

之間存在一個一對一且映成的函數關係，如果把自然數集合重新配對，也能證明自然數N和非負有理數序列：

0； 1/1；1/2  ,   2/1；1/3  ,  3/1；1/4  ,   2/3  ,   3/2  ,   4/1；1/5  ,   5/1； …

之間存在一個一對一且映成的函數關係，當然和負有理數Q-之間也是一樣。所以我們等於用特例證明了兩個可數無限集合的聯集也是可數無限，也就是若〡A〡= ω 且〡B〡= ω 則〡A ∪ B〡= ω，其中A ∩ B = Ø。

上面的結果說明了甚麼？它的意思是兩個可數無限集合的聯集雖然增加了集合的元素個數但卻沒有增加集合的尺寸，這是我們意外發現的無限集合的奇異特性，那麼接下我們自然要問，如果把集合多加幾個，比如取100萬個可數無限集合的聯集，那聯集之後的大集合其尺寸會增加嗎？

為了確保這個大集合的元素個數真的增加了，我們必須讓這100萬個集合之間都沒有共通元素，也就是對任意集合Am和An，Am ∩ An = Ø，這種沒有共同元素的集合稱之為不相交（disjoint）。不相交這個條件之所以重要是因為如果聯集的兩個集合之間沒有共同元素，那麼集合間的聯集就相當於加法，比如：

A= {1, 2, 3}         B= {4, 5, 6}    A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A ∪ B之元素個數正好等於A元素個數加上B元素個數。但如果A和B有共同元素存在，那麼聯集之後的元素個數就可能減少而破壞了加法的性質。比如：

A= {1, 2, 3}         B= {3, 5, 6}    A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6}

聯集之後元素個數是5個而不是6個。

知道兩個可數無限集合的聯集也是可數無限之後讓我們信心大增，於是我們進一步推測對任何有限的n來說，若∀Ai, i ∈n 都是可數無限集合的話（且它們兩兩之間不相交），那麼A1∪A2∪A3∪…∪An是否仍然是可數無限集合？這個證明就留給有興趣的人來嘗試完成，我們要直接解決更普遍的情況，也就是把聯集的兵團總數擴充到可數無限個，因此要確定：

定理2    集合A=∪_{n ∈ ω} A_n = A₁∪A₂∪A₃∪…∪A_n∪ … 為可數無限集合。

是否成立才行。如何證明它呢？

既然每個集合兵團An都是可數無限，那表示我們可以將它們的元素用自然數編上序號，形成這樣的結構：An = {a1, a2, a3, a4, …}。其中下標1, 2, 3, 4,…是每個兵團內士兵的番號。為了進一步區別士兵是屬於哪個特定兵團，我們把兵團編號放在士兵番號之前以示區別，比如把第一兵團A1的士兵集合寫成：

紅字部分代表兵團編號而黑字則是兵團內的士兵番號，因此按這個編制方式我們可以給出所有可數無限兵團的士兵編碼方式如下：

．．．

所以我們可以把所有集合兵團的聯集A看成由士兵隊伍構成的無底方陣棋盤：

．．．

接著只要再挪用一次等量的定義，找出一個從N到A的一對一且映成函數f就大功告成了。我們已經把這個祕訣用藍色箭頭畫出來了，你會發現把自然數0, 1,2, 3, 4, …依序從無底方陣棋盤的左上角a11開始配對，然後依照箭頭的路線分配圖依次把士兵幹掉，也就是0 →a11 ,  1→ a21 ,  2 → a12 , 3 → a31 ,… ，自然數就可以將A兵團成員消滅殆盡不留一個活口。這表示函數f確實是一一對應，A兵團為可數無限集合無誤。

定理2證實了我們一開始的猜測，自然數似乎追上了有理數，而且有理數經由無限加總之後並不增加其尺寸。我們忽然意識到，雖然聯集公設仿如魔術師般讓我們得以製造任意大小的自然數，但它的法力卻不足以讓我們突破可數無限的限制。聯集公設ZF5和無限公設ZF6猶如孫悟空的兩件法器，讓我們遨遊於可數無限集合的廣大天地，但任憑其筋斗雲東飛西竄卻仍跳不出如來佛的掌心。也就是說若單憑聯集運算只能繼續留在可數無限的世界而無緣造訪更加遙遠的天界，如何脫胎換骨修成正果就只有等下回分解了！