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公設化集合論的奧秘 (10) 跳不出如來佛手掌心的聯集運算

翁 昌黎
・2015/01/27 ・2253字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 540 ・八年級

公設化集合論的奧秘(10)

photo source:  Moyan Brenn

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

在前文《公設化集合論的奧秘 (9)》中,我們最終證明了有理數和自然數一樣多。但有個問題仍然沒有回答,那就是一開始我們把整個數線用半開半閉區間切成許多段落(0, 1], (1, 2], (2, 3], …,並用它們來考察有理數與自然數的個數比例,結果發現每一段都是無窮多比1,既然這樣為什麼最後的結果卻是兩者打成平手了呢?

如果我們只是接受證明的結果而沒有進一步去思考為什麼,那將喪失對趣味盎然且重要的數學問題探索的熱情,我們很容易退墮成背誦數學教科書的機器和工具。你會讀到許多定義定理和證明,然後繼續面對更多的定理和證明,接著仍然是不知所謂無窮無盡的定理和證明,直到你的頭腦因超負荷而當機或關機,最後以恨死這些鬼東西作為謝幕。

順著這個為什麼追問下去可以帶我們到涉及可數無限的一個根本定理,它將揭示出可數無限集合的重要性質並告訴我們聯集運算的基本限制,讓我們逐漸從直觀常識與邏輯推論的痛苦衝突中解放出來,並親口品嚐可數無限集合的香醇美味。

對於以上提出的疑問可以從兩個方面來進行猜測,一是當我們把無窮個長度為1的區間連接起來時,自然數的個數終於「追上了」有理數的個數? 或者是,當這些長度為1的區間被聯結加總之後,原來的有理數個數並沒有因此而增加? 又或者這兩個猜測都有各自正確的部分?

如果後面這個猜測正確的話,那這個結果讓人震驚,因為它無異於說當你把一個擁有無限元素的區間加總了無限次之後其結果仍然不變!這如何可能呢?但前文的證明似乎暗示事情就是這樣,我們需要確實的數學證據(證明)來確認這個猜測。

回顧前文,我們證明了自然數N和有理數序列:

0;1/1  ,  –1/1;1/2  ,  –1/2  ,  2/1  ,  –2/1;1/3  ,  –1/3  ,     3/1  ,  –3/1; …

之間存在一個一對一且映成的函數關係,如果把自然數集合重新配對,也能證明自然數N和非負有理數序列:

0; 1/1;1/2  ,   2/1;1/3  ,  3/1;1/4  ,   2/3  ,   3/2  ,   4/1;1/5  ,   5/1; …

之間存在一個一對一且映成的函數關係,當然和負有理數Q-之間也是一樣。所以我們等於用特例證明了兩個可數無限集合的聯集也是可數無限,也就是若〡A〡= ω 且〡B〡= ω 則〡A ∪ B〡= ω,其中A ∩ B = Ø。

上面的結果說明了甚麼?它的意思是兩個可數無限集合的聯集雖然增加了集合的元素個數但卻沒有增加集合的尺寸,這是我們意外發現的無限集合的奇異特性,那麼接下我們自然要問,如果把集合多加幾個,比如取100萬個可數無限集合的聯集,那聯集之後的大集合其尺寸會增加嗎?

為了確保這個大集合的元素個數真的增加了,我們必須讓這100萬個集合之間都沒有共通元素,也就是對任意集合Am和An,Am ∩ An = Ø,這種沒有共同元素的集合稱之為不相交(disjoint)。不相交這個條件之所以重要是因為如果聯集的兩個集合之間沒有共同元素,那麼集合間的聯集就相當於加法,比如:

A= {1, 2, 3}         B= {4, 5, 6}    A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A ∪ B之元素個數正好等於A元素個數加上B元素個數。但如果A和B有共同元素存在,那麼聯集之後的元素個數就可能減少而破壞了加法的性質。比如:

A= {1, 2, 3}         B= {3, 5, 6}    A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 6}

聯集之後元素個數是5個而不是6個。

知道兩個可數無限集合的聯集也是可數無限之後讓我們信心大增,於是我們進一步推測對任何有限的n來說,若∀Ai, i ∈n 都是可數無限集合的話(且它們兩兩之間不相交),那麼A1∪A2∪A3∪…∪An是否仍然是可數無限集合?這個證明就留給有興趣的人來嘗試完成,我們要直接解決更普遍的情況,也就是把聯集的兵團總數擴充到可數無限個,因此要確定:

定理2    集合A=∪n ∈ ω An = A1∪A2∪A3∪…∪An∪ … 為可數無限集合。

是否成立才行。如何證明它呢?

既然每個集合兵團An都是可數無限,那表示我們可以將它們的元素用自然數編上序號,形成這樣的結構:An = {a1, a2, a3, a4, …}。其中下標1, 2, 3, 4,…是每個兵團內士兵的番號。為了進一步區別士兵是屬於哪個特定兵團,我們把兵團編號放在士兵番號之前以示區別,比如把第一兵團A1的士兵集合寫成:

0

紅字部分代表兵團編號而黑字則是兵團內的士兵番號,因此按這個編制方式我們可以給出所有可數無限兵團的士兵編碼方式如下:

1

...

所以我們可以把所有集合兵團的聯集A看成由士兵隊伍構成的無底方陣棋盤:

2

...

接著只要再挪用一次等量的定義,找出一個從N到A的一對一且映成函數f就大功告成了。我們已經把這個祕訣用藍色箭頭畫出來了,你會發現把自然數0, 1,2, 3, 4, …依序從無底方陣棋盤的左上角a11開始配對,然後依照箭頭的路線分配圖依次把士兵幹掉,也就是0 →a11 ,  1→ a21 ,  2 → a12 , 3 → a31 ,… ,自然數就可以將A兵團成員消滅殆盡不留一個活口。這表示函數f確實是一一對應,A兵團為可數無限集合無誤。

定理2證實了我們一開始的猜測,自然數似乎追上了有理數,而且有理數經由無限加總之後並不增加其尺寸。我們忽然意識到,雖然聯集公設仿如魔術師般讓我們得以製造任意大小的自然數,但它的法力卻不足以讓我們突破可數無限的限制。聯集公設ZF5和無限公設ZF6猶如孫悟空的兩件法器,讓我們遨遊於可數無限集合的廣大天地,但任憑其筋斗雲東飛西竄卻仍跳不出如來佛的掌心。也就是說若單憑聯集運算只能繼續留在可數無限的世界而無緣造訪更加遙遠的天界,如何脫胎換骨修成正果就只有等下回分解了!

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。


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如果可以簡單,誰想要複雜?2021 諾貝爾化學獎得獎的是……讓合成變簡單的「不對稱有機催化劑」! ft. 陳榮傑博士【科科聊聊 EP62】

PanSci_96
・2021/10/26 ・3018字 ・閱讀時間約 6 分鐘
2021 年諾貝爾化學獎得主 Benjamin List 和 David MacMillan。圖/TheNobelPrize

化學反應中,能夠加快反應過程的物品就叫做「催化劑」。我們的生活處處都有催化劑,據估計,世界上大概有 35% 的 GDP ,是和某種化學催化有關的。但想想看,如果能讓催化劑的效率提升,是不是更能讓省去繁雜的製程,提高工作效率呢?

今年的諾貝爾化學獎,就是頒發給革新催化劑的 Benjamin List 和 David MacMillan!他們開發出「不對稱有機催化劑」,不只改善催化效率,也克服了「不對稱金屬催化劑」的缺點。說到這,什麼是「不對稱催化劑」?不對稱「有機」催化劑和不對稱「金屬」催化劑又有什麼差別?

為了解答這個問題,這次泛泛泛科學請到中央研究院化學研究所的陳榮傑老師,來替我們解說本屆獲獎的「不對稱催化劑」到底是什麼?另外,陳榮傑老師還說出 2020 年僅用兩週就做出轟動全台的「瑞德西韋」背後小故事!就讓我們一起來了解本次諾貝爾化學獎的內容吧!

本次專訪感謝 台灣科技媒體中心 的協助。

  • 00:57 陳榮傑老師的研究

中央研究院化學研究所的陳榮傑老師主要研究「有機合成」,包括天然物的全合成、不對稱有機催化反應。有時他的實驗室也會運用合成能力協助開發藥物,最著名的即是在 2020 年,他們僅用兩週就合成出可以協助治療新冠肺炎的「瑞德西韋(Remdesivir)」藥物,純度還高達 97%。

延伸閱讀:武漢肺炎/中研院7人團隊2週合成瑞德西韋 純度達97%

  • 03:39 2021 諾貝爾化學獎得獎研究

李斯特(Benjamin List)在研究催化性抗體時,雖然以前就有人以脯氨酸(proline)做催化劑,但卻因為當時沒有系統性發展,所以研究後繼無人。結果在他簡單的測試下,不僅證明脯氨酸是有效的催化劑,也證明它能驅動不對稱催化。

麥克米倫(David MacMillan)則是為了能夠讓不對稱催化劑能夠大規模工業生產,所以開始改良不對稱催化劑,最後他利用胺基酸的衍生物合成,開發出以他命名的催化劑 MacMillan catalyst。

延伸閱讀:

The Nobel Prize in Chemistry 2021

【2021諾貝爾化學獎】更高效率且環保的化學合成——「不對稱有機催化劑」

2021諾貝爾化學獎記者會 會後新聞稿

  • 06:33 想了解「不對稱催化劑」要先知道「鏡像異構物」

不對稱合成也可以稱為手性合成、掌性合成、鏡像異構物合成。有些分子會產生鏡像異構物(enantiomer),宛如一個分子照了鏡子,結構左右互換,又好似人的左右手雖然對稱但算是兩種不同的結構。同一組鏡像異構物的沸點、熔點、光譜都一樣,兩者唯一不同的是用偏極光照射時,正常分子是右旋的位移,但鏡像異構物則會產生左旋的位移。

延伸閱讀:左旋還是右旋?化學對稱跟你我的身體有關!

  • 09:37 不對稱合成

生物體內組成的基本單位如氨基酸、醣類,很容易會產生鏡像異構物,這些鏡像異構物也需要不同的酵素去辨認,如同你的左右手只能分別套上左右手的手套。在製藥上無可避免的須要只合成其中一種鏡像異構物才會有效果,而用化學的方式選擇性合成單一的鏡像異構物,這就叫做「不對稱合成」。

另外如有兩種鏡像異構物也需要分別測試,陳榮傑老師舉例 1960 年代的沙利竇邁(Thalidomide)事件就是不清楚沙利竇邁的右旋結構可以抑制孕婦害喜症狀,左旋結構卻會導致新生兒畸形,才會造成畸形兒比例異常升高。

2001 年時就有另一組人馬(William S. Knowles, Ryoji Noyori, K. Barry Sharpless)以不對稱催化獲得當年諾貝爾化學獎,不過當年開發的催化劑含有金屬成份,今年獲獎的催化劑研究則不含金屬,避免了金屬造成的問題。

延伸閱讀:鏡像異構物的分離方法(上)

  • 15:47 為什麼需要「不對稱催化劑」?

要達成不對稱合成,最好的方式是透過催化劑,讓反應活化能降低,加速反應進行。如果不採用不對稱催化劑加以控制,合成出的化合物會是各佔一半含量的異構物。

延伸閱讀:不對稱催化(Asymmetric Catalysis)(一)─ 不對稱氫化反應(Catalytic Asymmetric Hydrogenation)

  • 17:47 催化的重要性

根據估計,世界上有 35% 的 GDP,都在某種程度上涉及到化學催化 。因為催化劑可以降低反應活化能,原來需要高溫或高壓的反應,有了催化劑就可以在較低的條件下進行,節省了大量能量。諾貝爾化學獎至今頒發過七組關於催化的研究,不只是製藥,石油產業、高分子材料等等也都是催化研究的受益者,可見催化對我們的生活有著巨大的影響力。

  • 20:22 2001年也有不對稱催化劑的研究獲得諾貝爾化學獎,與今年的差別是?

2001 的諾貝爾化學獎由 William S. Knowles、Ryoji Noyori、K. Barry Sharpless 三位獲得,他們的不對稱催化劑含有金屬成份,有些還是貴金屬或重金屬,合成過程中需要特別去除重金屬污染,會有殘留的風險。而今年得獎的 Benjamin List 與 David  MacMillan 開發的「不對稱有機催化劑」屏除金屬,使用更精細的方式設計分子的立體結構。用量只要原來金屬催化劑的百分之一,還能維持效用與不對稱的選擇性,而且沒有重金屬的污染問題。比起許多酵素必須在人體內作用還有過往的金屬催化劑,不對稱有機催化劑能做的事情更多,未來延續性更加廣泛!

延伸閱讀:

The Nobel Prize in Chemistry 2001

【2001諾貝爾化學獎】催化性的不對稱合成

  • 25:32 Benjamin List 與 David MacMillan 的得獎關鍵

早在 1970 年代就有人在研究以脯氨酸(proline)用做催化劑,但卻沒有人繼續研究下去,Benjamin 認為可能是其效果不甚理想。抱著先試試的態度,Benjamin 測試了是否能夠催化讓兩個碳原子結合的羥醛反應(aldol reaction)。令他驚訝的是結果相當的有效。透過實驗,Benjamin 不僅證明脯氨酸是一種有效的催化劑,也證明了這種氨基酸可以驅動不對稱催化。

MacMillan 早年投身在天然物全合成領域,接受紮實的有機合成訓練。在研究有機金屬不對稱催化的過程中產生了避免使用金屬成分的想法,後來發展出與 Benjamin List 基底不太一樣但殊途同歸的研究結果。

  • 31:51 陳榮傑老師在「天然物全合成」的研究歷程

「天然物全合成」就是要動用所有可能的方法合成標的化合物,由於天然物的結構複雜,合成的方法也是非常紮實的訓練。

  • 35:07 科學家為了化繁為簡研究催化劑

可以簡單,誰想要複雜?為了把工作過程簡單化,並更有效率地完成工作,科學家們才願意研究催化劑。此外,化學反應的步驟越多,最後的產率可能會變低,所以如果能夠簡化步驟,就不會白白浪費物質與時間成本。

  • 42:39 2020 年轟動全台的瑞德西韋
  • 54:13 每個研究的背後,都有一個為社會付出的科學家

在每個領域,都有人在做很基礎的事情。希望能藉這次的化學獎,讓大家知道基礎研究的重要;大家也要想到,在這些受獎人的光環之下,其實背後也是有許多基礎研究在支撐的。

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