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公設化集合論的奧秘 (9) 為什麼有理數和自然數一樣多?

翁 昌黎
・2015/01/26 ・2864字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 556 ・八年級

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photo source:onlyinyourstate

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

如果問到底有理數(rational numbers)和自然數哪個數量多,相信很多人會不假思索地回答當然是有理數比較多。不信的話,讓我們來考察一下半開半閉區間(0, 1] 裡的有理數數量,也就是任何大於0小於等於1的有理數,我們發現它們有無限多個,比如1/2 ,  1/3 ,  7/15 ,  36/1125 等等,但在這個區間裡自然數卻只有一個1。在這個 區間裡有理數和自然數的個數比是無限比 1!

接著看下一個半開半閉區間(1, 2],有理數仍然有無限多個而可憐的自然數仍然只有一個2。我們可以把這種區間無限往後延伸,然後頭尾相接得到一個(0,∞) 的無間斷區間,由於每一小段有理數與自然數的個數都是無限比1 ,因此直接宣布有理數完勝自然數似乎毫無疑問。

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但既然我們在前文《如何打造「測量」集合的武器?》中得到一個新的工具,現在不如把它拿來測試,看看有理數和自然數誰多誰少。為了喚起記憶,我們把它重寫如下:

定義1 對任意兩個集合A和B,如果存在一個一對一(one-to-one )且映成(onto)的函數(function)ƒ : A→B,則稱A與B等量(equinumerous),寫成A≈B

這個定義企圖捕捉的意義是在甚麼條件下A集合和B集合一樣大,或者說它們具有相同的尺寸(sizes)。兩個集合之間存在一個一對一且映成函數的意思是說,當我們把A和B裡的元素一一配對之後,A集合可以把B集合的「家當」全部消耗掉而沒有漏網之魚,因此我們把它們視為具有相同的「財富量」。

實際上要怎麼運用呢?那就看看如何用這個新工具來定義有限集合:

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定義3 對任意集合A,如果存在一個一對一(one-to-one )且映成(onto)的函數ƒ : n→A,其中n 為任意自然數,也 就是n ∈ N,則稱集合A為有限集合(finite set) ,否則A為無限集合。

當然你喜歡把A放在前面做為定義域也可以,但把n放在前面有個好處,就像我們拿直尺測量物體的長度一樣,我們把定義域的集合n(別忘了,在集合論裡自然數就是集合)當成量度集合大小的尺標,後面的集合A是待測量的物件,因此這個定義看起來就像是拿n(定義域) 來量度A。

比如A= {紅色, 黃色, 藍色}, 是由三原色所構成的集合,它是否是個有限集合呢? 看看我們能否找到一個一對一且映成的函數ƒ : 3→A?3這個集合= {0, 1, 2} ,它有0, 1, 2三個元素,所以 ƒ : 3→A就是 ƒ : {0, 1, 2}→{紅色, 黃色, 藍色},我們只須指定:

ƒ(0) → 紅色

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ƒ(1) → 黃色

ƒ(2) → 藍色

則函數ƒ為一對一且映成,因此根據定義,三原色所形成的集合A為有限集合。

仔細觀察會發現,由於全體自然數的集合N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  9, …}, 所以有限集合的標尺n就是某個N裡面的成員,現在來測量前文提到的偶數集合E ={2, 4, 6, 8, 10…},看看它與自然數集合的關係為何。首先我們把E當成定義3中的A集合放在函數的後面 (對應域) 等待測量,我們發現N集合中的任何成員n都無法與E搭配形成一對一且映成函數,不管n有多大似乎都不夠用,所以根據定義,E不會是有限集合。

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但我們發現,如果用N當標尺,則可以找到一個一對一且映成的函數ƒ : N→E。只要把N的第一個元素對準E的第一個元素,然後依此類推,也就是取

0 → 2,   1 →4,   2 → 6,   3 → 8,   4 → 10 … 就可以了。我們發現E與N等量而且它的尺度超出了任何自然數n,我們把這個相當於全體自然數集合的尺度用ω來表示。這個量度集合大小的量稱為基數(Cardinal number或 Cardinality),一般用〡A〡來表示A集合的基數,比如三原色的集合A的基數〡A〡=3。對於N和E來說,我們發現〡N〡=〡E〡=ω。於是我們發現,所謂的基數並不一定是個數字,雖然有限集合的基數正好等於某個自然數n,但與N等量的無限集合其基數是ω而不是某個n。

如同我們在《公設化集合論的奧秘 (6)》中談到,無限公設ZF6允許這個集合存在,它屬於可數無限集合,現在又發現它的基數〡N〡等於 ω。 通常你會看到自然數集合的基數用符號ℵ0來表示,寫成〡N〡= ℵ0,那麼N和ω到底是同一個還是不同的東西呢?它們與ℵ0之間的關係又是甚麼?

許多集合論或分析學的書都說ω= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  9, …},也就是ω= N,數學家們通常也把ω和N交替使用不加區分,但它們在功能上卻有微妙的差異。現代數理邏輯之父弗列格 (G. Frege) 曾經提出過指稱 (reference或Bedeutung) 與意義 (sense或Sinn) 的概念差異。比如說「珍的前夫」和「《時間簡史》的作者」都是霍金,因此這兩句描述擁有相同的指稱 (霍金) ,但卻有不同的意義。

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若借用以上概念來看待N和ω,則我們可以說N和ω有相同的指稱,那就是全體自然數集合本身,而ω則又可以充當度量N集合尺度的尺標,這種尺標稱之為序數 (ordinal number) 。事實上所有的自然數也是序數,所以被拿來當成量度有限集合的尺標。但我們目前的知識配備尚無法精確定義序數,所以暫時把它當作一種具有排序性質的集合就可以了。至於ℵ0則可以視為是可數無限集合基數的名稱。

小結一下以上的思路,我們先用函數來測量和比較兩個集合的大小,然後選取某種特殊的有序集合(序數)作為標尺來標定基數。比如用序數5來標定具有5個元素的集合量度,這個量度就是基數5。而基數為5的集合比基數為3的集合大,基數為ω的集合又比任何基數為n的集合要大,形成一個次序井然的集合量度世界。

請注意目前為止我們並沒有定義基數到底是甚麼,只是說若兩個集合等量則它們擁有相同的基數,並用序數(同樣尚未定義)來標定它。這類似於說當美元兌台幣的匯率為1:32時,一美元可以兌換成相當於32元台幣的價值,儘管我沒有告訴你價值的定義是甚麼,也沒告訴你貨幣是甚麼,但你依然可以正確操作貨幣兌換,只要你正確了解匯率的比值即可。

現在我們就來處理有理數與自然數誰多誰少的問題,關鍵在於能否找到有理數與自然數之間的一對一且映成函數。為了簡化問題,讓我們先觀察非負的有理數,也就是所有大於等於0的有理數集合。好消息是這些有理數都能以分數m/n 的形態來表示,只要n不是0且m, n都是自然數。但如何將無窮多的非負有理數全都羅列出來呢?

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進一步的分析發現不論任何有理數其分子與分母相加(m+n)都是一個定值,只要我們從最小的m+ n開始,依序寫出所有可能的有理數組合不就成了?因為n不能是0,所以第一個最小的m+ n有理數為0/1,也就是0。當m + n依序增加,我們得到一個有理數列如下:

0/1;1/1;1/2  ,  2/1;1/3  ,  2/2  ,  3/1;1/4  ,  2/3  ,  3/2  ,  4/1;1/5  ,  2/4  ,   3/3  ,  4/2  ,   5/1;…

每一組從m+ n = 1開始,然後2, 3, 4, 5…依序寫出有理數的各種可能組合,不幸的是我們在標紅字的部分發現之前已經出現的值,比如2/2 = 1/1= 3/3 等等。這樣我們表列的有理數就多於實際有理數的總和,必須想辦法把它們消去才行。

方法很簡單,只要把最大公因數gcd (m, n)=1的條件加進我們的有理數列,那些等值重複的項目就消掉了,因此我們得到一個新數列:

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0; 1/1;  1/2  ,  2/1;1/3  ,  3/1;1/4  ,  2/3  ,  3/2  ,  4/1;1/5  ,  5/1; …

所有非負的有理數盡在其中矣。

只要再施加點詭計,就能把負有理數也包含進來,方法就是把每個絕對值相等但正負號相反的有理數緊跟其後的擺放,形成一個新數列:

0; 1/1  ,  –1/11/2  ,  –1/2  ,   2/1  ,  –2/11/3  ,  –1/3  ,   3/1  ,  –3/1

經過這個安排,所有有理數都被搜羅進來,沒有遺漏也沒有重複。

然後我們將自然數集合N與以上數列所成的集合Q作一個對應:

0 → 0

1 →1/1

2 → –1/1

3 → 1/2

4 → –1/2

就構成了一個一對一且映成的函數關係,因此根據測量集合尺度的定義,Q與N等量,我們證明了有理數和自然數一樣多。經常違背直覺的無限集合還有哪些神奇之處?那只有等下回分解了。

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。
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地球在20年間「亮度」變低了!——地球暖化讓陽光反照率直直落

Mia_96
・2021/10/23 ・2757字 ・閱讀時間約 5 分鐘

地球暖化會造成溫度升高?不稀奇!地球暖化會造成人類生活環境越來越嚴峻?也不稀奇!但你有聽過,因為地球暖化,讓我們的亮度竟然逐年遞減,地球變得越來越暗嗎?

地球亮度的改變並不是近期才出現的新興議題,關於地球亮度的變化,科學家早在 1990 年代前後便提出一種現象「全球黯化」(global dimming)去解釋為何地表獲得的太陽光能量越來越低。

當時透過資料指出,進到地球的太陽能量大幅降低,從 1950 到 1990 年入射至地表的太陽光能量,竟然平均減少 4%! 也就是身處在地球上的人類會覺得地表的亮度似乎逐漸地降低。

但入射地表能量降低的原因並非是太陽發出能量的變化,而是因為近幾年我們最常耳聞的,空污現象! (圖/pixabay

當人類使用石油、煤炭等非再生能源發電時,會在環境中產生許多氣膠微粒,而這些氣膠微粒進入大氣,微粒可以吸收、反射入射到地球的太陽光,使太陽之能量無法進到地球表面,進而造成地球亮度降低。

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而全球黯化同時也影響著人們過去對於全球暖化的理解,當全球黯化造成入射到地表的太陽光減少時,代表著地球所獲得的能量並不如過往我們所想像的這麼多。換句話說,全球黯化所造成的冷卻效應竟比不上人們所造成的暖化速度!

知曉地球改變亮度的方法——地照!

近期最新研究更是顯示,1998 年到 2017 年近十年內,地球的反照率逐年下降!除全球黯化造成地表獲得太陽能量減少外,當從外太空看著地球時,地球竟然也越來越暗了!

反照率是一種常用於亮度表示的方式之一,其指的是太陽電磁波段入射至地表的總量質,除以被地表反射的量值所得出的數字。不同的地表特性即有不一樣的反射量質。因此,透過反照率的升降,科學家也可以推估氣候變遷對環境所產生的變化與影響。

計算反照率的方式十分特別,在科學中我們將其稱為「地照」!

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地照現象指的為當太陽光照射到地表,地表會反射部分太陽光,而當地表反射太陽光至月球未被太陽照到的地方時,月球又會將地表所反射至月面的光線反射回地球。

看似應該沒有被太陽光照射到的月球表面,其實也會因為地球反射之陽光而產生微弱的光。而最適合觀測地照的時間通常為弦月時分。 (圖/Wikipedia

地照的變化與地表的改變息息相關。例如冰雪的反射率較高,當地表溫度較低,累積較多冰雪時,地照數據便可能會上升;而洋面的反照率較低,當地表溫度較高,造成冰雪融化成海洋,則地照數據便可能會下降。

透過地照反射的光線強弱,可以推測地球反照率的變化,進而推測地表本身變化。 (圖/Wikipedia

除了利用地照觀測地球反照率外,為使觀測更加精確,科學家利用於 2000 年發射的 CERES 儀器(Clouds and the Earth’s Radiant Energy System)觀測大氣至地表的太陽光輻射與地表放出之輻射,並進一步分析對影響地球溫度的重要因子──雲,和太陽輻射的交互關係。

CERES 主要希望可以解答雲在氣候變遷中所扮演的角色與造成的影響,是美國國家航空暨太空總署地球觀測系統(EOS)計畫中的一部分。 圖/Wikipedia

研究結果分析發現,從 2000 年到 2015 年,地球反照率曲線一直維持接近平坦的狀態,但近年,地球反照率的衰退卻日益明顯,如下圖表示:

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(圖/參考資料 1

橫軸座標為年度,縱軸座標為地照反照率之異常改變(單位為每瓦/平方公尺),黑色為地照異常之數據,藍色為 CERES 觀測到異常之數據,而灰色陰影區域則為誤差範圍。從圖中可以看出,地照反照率在這幾年下降約 0.5 W/m2,而 CERES 之數據則是下降約 1.5 W/m2

十年一變──太平洋年季震盪

科學家推測,改變反照率的原因,是週期性發生在太平洋的氣候變化──太平洋年季震盪。

太平洋年季震盪指的為太平洋的海水溫度會以十年為週期尺度產生變化:當北太平洋和熱帶太平洋間的海水溫度較高時,稱作暖相位;而當北太平洋和熱帶太平洋間海水溫度較低時,稱作冷相位。

而地球亮度改變的原因,正是因為太平洋年季震盪到了暖相位,造成海面低雲減少,反照率降低!

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低雲較為溫暖,其主要成分是由水滴組成,當太陽輻射照射水滴時,較多太陽反射至太空,地球的反照率較高,也造成地表溫度降低;而高雲主要成分由冰晶組成,透光性較佳,再加上高雲通常體積較低雲薄,故太陽輻射可以順利進入地表,地球反照率相對降低。

當北太平洋與熱帶太平洋間海水溫度升高時,洋面上空氣需達到飽和的水氣量相對增加,氣塊達到飽和條件較高,低層雲較難生成。(其實背後原因極其複雜,作者僅是以最簡單的方式嘗試解釋。)當低層雲減少時,反射率降低,造成較少太陽輻射至太空,地球亮度因此變得越來越暗。

雲在地球輻射能量中一直扮演著重要的角色,低雲反射太陽輻射的能力較強,高雲吸收地球輻射的能力較強,因此較多的低雲往往造成地表降溫,而較多的高雲則會造成地表增溫。 (圖/pixabay

交織纏繞的反饋機制

看完整篇文章也別急著下結論!其實地球上的現象不僅環環相扣,影響因素更是族繁不及備載,從海溫改變的原因、高低雲量多寡的變化、反照率升降的主因……,我們都很難用單純或是絕對的一段話去完整解釋自然界的現象。

科學家所能做到的,是透過原因推導、盡力的去解釋現象,所以關於地球反照率下降的趨勢原因,除了太平洋年季震盪、海溫升高、低雲變化等,或許也還有科學家尚未清楚的其他可能性。

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但同時,令科學家擔心的事情是,因全球暖化造成地表的反照率降低,代表地表接收到的能量、進到地表之能量相對增加,而吸收的能量又加速全球暖化的速度,地球或許會因為這樣的回饋機制持續升溫,造成更加嚴重的溫室效應。如何去因應溫度上升造成的種種問題,也將會是我們需要不斷去思考問題。

參考資料

  1. AGU AdvancesEarth’s Albedo 1998–2017 as Measured From Earthshine
  2. science alert,《Two Decades of Data Show That Earth Is ‘Dimming’ as The Planet Warms Up
  3. Wikipedia,《Clouds and the Earth’s Radiant Energy System
  4. Wikipedia,《行星照

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Mia_96
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喜歡教育又喜歡地科,最後變成文理科混雜出生的地科老師
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