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讓數學說說看:什麼是裝維他命的最佳策略?

黃誠熙(Sky Huang)
・2016/03/09 ・2572字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 509 ・六年級
source:Colin Dunn
source:Colin Dunn

我們知道維生素(也稱維他命)在環境中容易被破壞,所以當我們使用維生素藥劑時,可以進行以下策略:把大罐子中一部分的藥劑放入一個小罐子內,先使用小罐子裡的維生素藥劑,等到小罐子吃完後打開大罐子再次把藥劑倒入小罐子內,如此循環。由於大部分的藥劑都存於大罐子內,並且在大部分的時間都處於封閉的情況,因此可以減少氧化的程度。然而,我們可以想像,如果一次倒入小罐的維生素藥劑太少,我們必須不斷地打開大罐子,這時封閉的大罐子的策略就失效了;另一方面,要是倒入小罐的維生素藥劑太多,那大量的維生素在小罐內每天被打開食用,我們想要減少氧化的策略也會施小。因此,今天想研究的就是:要在小罐子裡裝多少藥劑才會有最少的氧化程度?

(% 對於不想看推導公式的朋友們請直接往下跳結論囉! %)

首先,我們把上述問題化成數學問題:想像一個人購買了一大罐,裝了 N 顆的維生素藥劑,每天吃一顆,N 天會吃完。為了減少氧化程度,我們把維生素分成了 p 次裝入小罐中,也就是說,第一步,打開大罐子,把 N/p 的藥劑放入一個小罐子,之後 N/p 天都使用小罐子中的藥劑,等小罐子中藥劑使用完畢再度打開大罐子倒入 N/p 顆維生素,如此循環。為了研究這個問題,我們定義單顆維生素的品質為 q(t),他的值在一開始剛買到的時候是 1,在氧化的過程中慢慢往 0 的方向減少;除此之外再定義一個品質下降速率 R(t),可用於計算此單顆藥劑被食用時的品質了。我們可以寫下此單顆維生素被食用時的品質:

eq1

其中 r1、r2 為大、小罐子氧化速率隨時間的變化 ;T1 是此藥劑從大罐子轉移至小罐子的時刻,T2 則是此藥劑被服下的時刻。

我們也可以計算所有維生素藥劑被食用時的品質總和 Q。當我們剛買來整罐的維生素時,維生素藥劑的品質總和為 N (normalized 之後的值,單顆藥劑品質一開始為 1),而我們想知道的問題是,要使用什麼樣的 p 值才可以最大化 Q 函數。很顯然這個問題的答案是決定於品質下降速率函數 R(t),當 R(t) 決定之後,Q 可以藉由許多的積分和總和來決定,而最佳的 p 值則可由 Q 對 p 微分來得到。這個函數和研究也可用在一些相似的衰減(decay)系統。下面讓我們來猜猜品質下降速率 R(t) 並且試著研究最佳化的裝罐策略吧!

1. 近似方法

1-1 近似一

想像開罐的時候,空氣會進入罐中,那些會氧化維生素藥劑的東西會補充,達到常溫常壓下的一般環境濃度;蓋子關上後,這些東西的數量會慢慢下降。因此,R(t) 函數應該和距離上一次開罐之間的時間有關,因此,假設 R(t) 函數是通用(universal)函數,在所有的罐子中都是一樣的函數,也和罐中狀況無關聯,只和距離上一次開罐之間的時間 t 有關。

1-2 近似二

氧化速率 R(t) 隨時間t的變化可以從化學反應速率以及瓶中氧化物質減少速率,瓶外空氣滲入瓶中的量等等因素決定。然而,在此假設 R(t) 是 exponential decay 函數,並且令 R(t) 在 t = 0 時有最大值,接著快速衰減;由於罐子不是密封的,因此會有少量空氣緩慢地滲入補充罐子內部氧化物質,因此可以推論此decay函數最終最小值為一大於零的數:

eq2

r_demo

其中 t 是距離開罐之間的時間(請見近似一說明),A、B、C 為決定此 decay 函數的參數 (皆 > 0)。其中,B 為 decay 速度的參數,單位為時間的倒數 (1/t)。C 則為 R(t) 的最小值,A 為 exponential 函數的震幅。有了 decay 函數 R(t),我們就可以推導這一罐維生素藥劑在不同 p 值的策略下,使用的品質總和:

eq3

最終的形式顯然看起來非常複雜。下面就來討論 R(t) 函數的參數如何改變最終的結果。

2. 討論

2-1 B 參數的設定

因為 B 參數是和時間有關,而不是和品質,數量有關的參數,因此相對好處理。下圖顯示不同 B 參數下 R(t) 的變化:

r_B

(藍: B = 2; 紅: B = 0.2; 黃: B = 0.1; 綠: B = 0.02)

 

可以發現當 B 的值較大時 R(t) 函數下降速度較快。或許我們可以合理的猜測,在實際的狀況中,當 t = 20 天的時候,R(t) 函數會趨近於最終值:R(20) ~= C;因此,在這次的計算中 B = 0.2。

2-2 A、C 參數的設定

A、C 參數的設定就比較困難了。一個可能合理的猜測是,維生素廠商並不能假設維生素藥劑使用者會把藥劑裝到小罐子中避免氧化,因此在使用期限內維生素的品質必須要維持在一個看似合理的數值,因此,我們可以推測,在沒有使用 “裝到小罐子中儲存” 策略的情況下 (p = 1),最終服下維生素藥劑的品質 Q 應該要是一個看似合理的數值,譬如說 Q (p = 1) = 0.5 N。這個假設當然很有可能和事實有出入,譬如說,合理的數值可能更多可能更少;然而,A、C 的絕對值對於最佳化p的值並不會有很大的影響,而是 A 和 C 的比值影響比較大。我們試著帶入 N = 365 (一年的維生素藥劑),並且引入剛剛所說的條件 Q (p = 1) = 0.5*N ~= 182,可以得到 A + C 約等於 0.003。下圖畫出不同的 A、C 比值得到的 Q 隨 p 變化曲線。

q_AC

(藍: A = 0.003, C = 0; 紅: A = 0.002, C = 0.001; 黃: A = 0.0015, C = 0.0015; 綠: A = 0.001, C = 0.002; 橘: A = 0, C = 0.003)

 

首先發現所有曲線都通過一接近 p = 1 的點 (此交點 p != 1),當不使用分罐策略時會有相似的品質。接著,我們也可以發現當 C 遠大於 A 時 (exponential term 消失,速率函數變成線性,此時和開關罐子無關,因此分裝行為變得沒有幫助),Q 變成一條直線,顯示 Q 並不隨 p 的值變化。當 A 的值越來越大 C 的值越來越小,會發現曲線變得越來越圓滑,最終當 C= 0 時達到最圓滑的曲線。

3. 結論

從上面的討論可以得知:

(1) 若是氧化的速率不會隨開瓶關瓶變化,那分裝策略沒有幫助。

(2) 大致上來說,最佳的分裝策略的 p 值分布在 5 ~ 10 之間,也就是假如買了一罐一年份 365 顆維生素,一次裝入小罐子的量大約是在 40 ~ 80 顆之間。不過大部分曲線在 p > 10 之後仍然有不錯的值,因此更少的顆數 (< 40) 是可以接受的。

(3) 分裝策略能夠增加 20% ~ 70% 的維生素藥劑新鮮度,不過由於 A、C 的絕對值不是非常精確,因此實際增加的量還需要更詳細的研究。

致謝

感謝室友楊智軒 (Louis Yang) 在討論中提出的許多有用的建議。


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黃誠熙(Sky Huang)
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黃誠熙(Sky Huang), 目前為UCLA博士候選人。


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「好奇心」不只是珍貴的學習動機,還能讓孩子學得更好、記得更牢!

數感實驗室_96
・2022/05/12 ・1781字 ・閱讀時間約 3 分鐘

大家或許都有這樣的經驗:隔天要考試了,卻不管怎麼背誦依然記不得內容,反倒是平常無意間看到的有趣事情,那怕再冷僻或有些困難,卻深深印在腦海裡,就算隔了好一陣子依然記得很清楚。
就算隔了好一陣子依然記得很清楚。或者回想一些學習能力很強的友人、孩子,好像也特別愛問「為什麼」,對事物都充滿好奇。

一些學習能力很強的友人、孩子,好像也特別愛問「為什麼」,對事物都充滿好奇。圖/envato elements

究竟,好奇心跟學習有甚麼關聯呢?

好奇心讓你記得更清楚

戴維斯加州大學曾作過一項研究相關研究。他們邀請了一群受試者,給他們快速看過一系列題目,不用作答,只需自評對題目的「把握度」及「好奇度」。評分完畢後,實驗者將一邊進行 fMRI 掃描大腦活動,一邊觀看方才「把握度較低」的 50 餘組題目與對應解答。

全部看完後休息 20 分鐘,受試者被要求再次作答同樣、但順序調整過的題目。由於都不是選擇題,受試者完全無法猜答案。22.5 小時後,受試者被要求第二次作答。

有趣的結果發生了。

實驗結果發現,受試者20分鐘後,針對「好奇度高」的題目答對率高達 70.6%;「好奇度低」的題目答對率只有 54.1%。

22.5小時後,「好奇度高」的題目答對率依然有 45.9%;「好奇度低」的題目答對率只剩 28.1%。

好奇心讓你記得。圖/數感實驗室

與問題無關的資訊也能記得牢牢的!

不只如此,實驗裡還設計了一個很特別的橋段:在每題的【題目】與【解答】中間,隨機插入一些人臉,之後的兩次測驗中,同時請受測者辨認那些人臉照片是否有出現在原本的題目中。

實驗結果發現,受試者在看到比較好奇的題目,不只答案會記得比較牢,連辨認在題目和答案中間呈現的人臉的正確率也比較高!圖/envato elements

實驗結果發現,受試者在看到比較好奇的題目,不只答案會記得比較牢,連辨認在題目和答案中間呈現的人臉的正確率也比較高!

好奇度高與好奇度低的題目,各自有著 42.4% 與 38.2% 的人臉辨識正確率。換句話說,好奇心不僅能幫助記得關心的事件,還能連帶強化和事件無關資訊的記憶力。

為什麼會這樣呢?研究人員利用 fMRI 掃描,發現好奇心引發的強化記憶迴路,和外在動機啟動的區域非常相似,同樣仰賴多巴胺在神經間進行傳遞。

受試者看到他們比較好奇的題目時,會活化大腦內部一條與獎勵機制有關的途徑,增加負責大腦記憶的海馬迴活動。此時,大腦會處在能夠吸收各種資訊並記憶下來的狀態,所以即使是與問題無關的無聊資訊,也比較容易記住。

過去我們一直鼓勵探索、鼓勵孩子喜歡數學,激發學習動機。這次跟大家分享的研究,更進一步展現了「好奇心」與「喜歡」的價值。它不只是學習的起點,不只是讓孩子學習時快樂些,更是學習路上的加速器,能讓孩子學得更好、更有效率。

好奇心讓學習更快樂也更有效率!圖/envato elements

那麼,好奇心要去哪裡買?

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參考資料

  • Matthias J. Gruber, Bernard D. Gelman, Charan Ranganath. States of Curiosity Modulate Hippocampus-Dependent Learning via the Dopaminergic Circuit. Neuron, 2014 DOI: 10.1016/j.neuron.2014.08.060

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/