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數理性思維的七個面向:對數學的美感─《喚醒你與生俱來的數學力》

PanSci_96
・2015/06/09 ・4058字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 512 ・六年級

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  • 講求合理性
  • 利用對稱性
  • 追求一致性

在教授數學之餘,我也是一名專業的指揮家。經常有人問我:「要同時兼顧數學補習班和指揮家的事業,應該很不容易吧?」

其實對我來說,我從來不覺得這是全然不同的兩件事,因為指揮家閱讀總譜(將樂團各聲部的音集中記錄的樂譜)的過程,其實和解讀數學的邏輯非常相似。
我為了學習指揮而前往歐洲留學時,經常聽到人家說:「不錯,他(她)的邏輯力很強。」

在日本,我總覺得人們傾向於吹捧那些很有天分或才氣的人,卻對那些強調理論的人敬而遠之。不過在歐洲地區(美國可能也是這樣),logical (邏輯的)卻會使一個人得到尊敬和讚賞。

古典樂就是在這樣的歐洲土壤上滋長茁壯。在解讀莫札特、貝多芬、威爾第(Giuseppe Fortunio Francesco Verdi)、普契尼(Puccini Giacomo)或馬勒(Gustav Mahler)等天才遺留給後世的無數名曲樂譜時,其中的「邏輯」總讓我感動不已。

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然而音樂上的「邏輯」,指的究竟是什麼呢?答案當然就是「和聲」了。

指揮家的練習

有的時候,人們會問我:「指揮家都是怎麼練習指揮的呢?」

說起來,樂手們練習樂器,確實比較容易在腦海中產生畫面,但指揮家練習指揮的方式,似乎不是那麼容易想像。

雖說這個世界上有形形色色的指揮家,不能一概而論,但至少我自己在練習的時候,幾乎不太練習「手臂的動作」。當然,在那些難以與獨奏配合、節奏或速度改變的地方,我會去思考「手臂應該如何動作」,但真正的練習(或者說是學習)其實有百分之九十以上都是在閱讀「總譜」。

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那麼,所謂的閱讀總譜,究竟在讀些什麼呢?其實最主要就是和聲(harmony)的進行。當然,一開始一定會先確認哪些段落會使用到哪些樂器,但花最多心思的部分還是在和聲的閱讀上,因為和聲的進行將會決定音樂呈現出來的感覺。

古典音樂的特徵

要用一句話說明古典樂和其他音樂的區別,是很困難的一件事,不過如果硬要說的話,我認為速度「不固定」的是古典樂,速度固定的則是古典樂以外的音樂。

古典樂以外的音樂大多會加入鼓等節奏樂器。由於該節奏樂器基本上會遵守一定的速度,所以整體音樂的速度自然也會固定不變,甚至有可能利用機械來演奏節奏樂器(即俗稱的「數位音樂」)。當然,古典樂以外的音樂也有可能在途中減慢或加快速度,但那只限於少部分的音樂,而且速度改變後又會立刻固定下來,按照一定的速度進行演奏。

相對於此,古典樂通常以「小節」或「拍」為單位,演奏的速度變化無常。如果刻意讓古典樂曲配合節拍器,完全按照固定的節拍演奏,那麼古典樂將變得無聊而不耐聽,失去曲子本身的魅力。

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職業的管弦樂團即使沒有指揮家,也能夠合奏出大部分的樂曲,因此很少會為求整齊畫一而需要一名指揮存在。只是在「如何營造音樂」上,每個樂手都會有各自的想法和程度上的差異,因此如果在沒有指揮的情況下演奏,樂手們就必須互相揣測對方的心態,最後很容易各自使出了渾身解數,整場演奏卻平庸無味。

指揮家最重要的任務就是指示眾人如何完成一段音樂。當指揮家告訴眾人:「往這裡走」,明確地指示出音樂的行進方向,整個樂團才能夠放下心來盡情發揮。當然,思考如何呈現音色或其他無法用言語表達的音樂內涵也是指揮家的責任,但總地說來,指揮家最重要的任務其實是決定如何呈現千變萬化的速度。只是,儘管決定權在指揮家手中,但既然是古典樂的演奏,當然不可能隨性發揮。指揮家必須想像(研究)作曲家腦海中所描繪的速度變換方式,以及在該樂曲創作的年代和情境下,速度「應該」以什麼樣的方式進行變換,然後盡可能忠實地重現樂曲原貌,而其中最重要的關鍵就是和聲的進行

和弦與和弦記號

接下來的內容或許有點專業,但為了讓各位理解後面的內容,我必須先介紹和弦以及和弦記號的概念。次頁的樂譜是C大調及C小調的和弦與和弦記號。

(請見原書page 226)

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和弦可依各自的功能(角色)進行分類。其中最重要的三種和弦就是前頁列舉的主和弦(T)、屬和弦(D)和下屬和弦(S)。

(i)主和弦(T)
在該調中扮演主角的和弦。演奏此和弦會給人一種「解放」、「解決」或「放鬆」的感覺。這種感覺就好像回到「自己的家」一樣,所以一首樂曲的最後,通常都會以主和弦做結尾(回到自己的家)。除了Ⅰ(以C大調來說就是do、mi、so)之外,也可以用Ⅵ或Ⅲ的和弦來取代。

(ii)屬和弦(D)

與主和弦相反,此和弦會給人一種「緊張」的感覺。這種感覺就好像來到「目的地」一樣,特徵是會讓人特別想要前進到主和弦(回到自己的家)。除了Ⅴ(以C大調來說就是so、si、re)之外,Ⅲ或Ⅶ的和弦也具備屬和弦的功能。

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(iii)下屬和弦(S)
雖然沒有屬和弦這麼強烈,但跟主和弦比起來,同樣給人「緊張」的感覺。這種和弦容易給人「發展」、「外放」的印象。可以前進到屬和弦(繼續遠行),也可以用主和弦收尾(回到自己的家)。除了Ⅳ(以C大調來說就是fa、ra、do)之外,Ⅱ或Ⅳ的和弦也具備下屬和弦的功能。

我在閱讀總譜時,會先著眼於一種叫做裝飾奏的和聲進行。所謂的裝飾奏,指的是以下三種和聲進行的任何一種:

  • T→D→T
  • T→S→D→T
  • T→S→T

各位最熟悉的和弦進行應該是T→S→D→T吧,因為「起立~(T)→立正~(S)→敬禮~(D)→坐下~(T)」,是最經典的一種和弦進行方式。

好了,接下來要進入重頭戲了。

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Classical music.2
Source by Wikipedia

一段音樂如果在進入D(敬禮)的和弦之前減緩速度,會給人一種極度不自然的感覺。因為「立正.」的時間一旦拖延過久,任誰都會想要快點進入「敬禮」的階段(會彈奏樂器的人,請務必親自一試!)

不過不可思議的是,等到進入D (敬禮)的和弦以後,即使段落稍微延長一點,也不會給人不自然的感覺。雖然有些人可能會出現腰痛等身體不適的症狀(笑),但在音樂的世界裡,即使D (敬禮)的長度是S(立正~)的兩倍,也幾乎不會讓人產生不協調的感覺。然而,當D (敬禮)的長度比S (立正)還短的時候,反而會讓人有種奇妙的感受,好像有點浪費或是把老師當成笨蛋似的感覺。

不過,雖然說D(敬禮)的時間可以拉長,但在D(敬禮)的和弦進行期間,心情上會持續處於緊張的狀態,而這就是最精彩的部分了。接下來,接續在緊張之後的T(坐下)會讓人覺得鬆了一口氣,因為「呼,回到家了~」的安心感和喜悅感,能夠同時讓緊張的情緒獲得舒緩。

所以想要創作出令人心情愉快的音樂,必須在進入D的和弦之前做音樂的鋪陳,然後進入D的和弦之後,不慌不忙地在抵達T之前,盡量爭取時間,以這種方式完成(演奏)一段裝飾奏。說得極端一點,我想所謂的音樂演奏,就是在裝飾奏中營造出從緊張到緩和的自然流動。

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以上的內容我已經盡可能地簡單化了。實際上,即便是古典派的樂曲,也有不少無法輕易找到D 的情況,因為作曲家會以各種形式在樂曲中創作D。例如用V以外的和弦代替、省略增四度(以C大調來說就是Fa 到Si 之間的音程)、用轉調或節奏取代和弦進行D的創作……等,不拘泥於特定形式是很常見的事。

我認為指揮家學習的最大目的,就是從總譜中找出各式各樣的D ,並營造出最符合作曲家創作初衷的裝飾奏。
假如你曾經在一首曲子中,聽到某一段覺得特別感動,我敢說其中一定有裝飾奏的存在。愈是有名的曲子,組織出裝飾奏的和聲進行愈高明。只要分析樂譜即可知道,這些經過極度精密計算的邏輯,是建立在薪火相傳的「傳統」和天才作曲家一手打造的「革新」之上。我們內心的感動絕非偶然,其中確實存在著打動人心的理由。

數學和音樂的共通點

當然,光靠邏輯並不能創造出打動人心的音樂。在講究邏輯之前,自然還需要有作曲家和演奏家用一顆熱誠的「心」,向眾人傳達想傳達的感覺。

在這一方面,音樂和數學其實有異曲同工之妙。數學是自然界的「語言」。每一個數學式當中,肯定都包含著某些「訊息」。無法用一顆感性的心傾聽其中訊息的數學家或物理學家,絕對不可能成為一流的研究者。

我認為數學和音樂存在著兩項共通點,一是「兩者皆為美麗的邏輯」,二是「接觸這兩種學問的人都必須具備豐沛的感性」。

事實上,在著名的數學家當中,有很多熱愛音樂的人。

廣中平祐是日本最具代表性的數學家之一,聽說他在高中的時候曾經夢想成為一名音樂家(廣中先生在與私交甚篤的小澤征爾對談時提到)。當時朋友們全都認為,擅長鋼琴又能夠作曲的他,應該會申請音樂大學,沒想到他卻在高中二年級時,突然發現數學的魅力,開始潛心投入數學的世界裡,最後步上數學而非音樂之路。

廣中先生曾說:「數學和音樂一樣美。」

另外,愛因斯坦熱愛音樂一事同樣廣為人知。有一段相當有名的逸聞是,他曾經在接受採訪時,被問及這麼一個問題:「對你來說,死亡是什麼?」

當時他的回答是:「死亡就是再也無法聆聽莫札特。」

在我自己的身邊,也有很多學生時期的理組朋友喜歡音樂,更值得一書的是,有很多醫生都很擅長彈奏樂器。現在甚至還有一支成員皆由醫生(或未來的醫生)組成的業餘管弦樂團(全日本醫家管弦樂團)。

相反的,喜歡數學的音樂家似乎並不多見,但這是因為職業音樂家通常都從小開始學習音樂,因此在被訓練占去多數時間的前提下,他們應該很少有機會接觸到數學的本質。

事實上,在我周圍的職業音樂家中,(儘管本人可能沒有注意到)也有不少人在言行舉止之間,不經意流露出數學的資質。無論是他或她,這些人總是能夠在豐富的感性與細膩的理論間,達成絕佳的平衡,讓我們聽見最動人的演奏。其中就有兩位音樂家,各自在數學和醫學的領域登峰造極。

一位是指揮家辛諾波里(Giuseppe Sinopoli)。他是歷任愛樂管弦樂團音樂總監、德勒斯登國立管弦樂團首席指揮的名指揮家,在日本也有眾多樂迷。不過學生時期的他,不只曾在馬切魯諾音樂學院專攻作曲,同時還持有帕多瓦大學精神醫學的博士學位。

另外,同樣身為指揮家的安塞美(Ernest Ansermet),不但曾帶領瑞士羅曼德管弦樂團等留下無數著名的錄音作品,同時也曾在索邦大學數學系求學,後來更成為洛桑大學的數學系教授。

 

臉譜-喚醒你與生俱來的數學力-立體書本文摘錄自《喚醒你與生俱來的數學力》,臉譜出版社出版。

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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一鍵生成心智圖?統整文章、製作簡報、學習知識!三款 AI 保母級教學!
泛科學院_96
・2024/03/04 ・4383字 ・閱讀時間約 9 分鐘

真的假的,只要有它,再難的事都能秒懂?

它就是 AI 心智圖工具,只要一句話,一個關鍵字,就能生成一張完整的知識架構圖。

無論是聽不懂老師在講什麼的學生,還是被老闆交辦沒聽過的工作,只要把聽不懂的詞丟進去,噠啦~瞬間一目了然!

而且這些 AI 心智圖工具,也能直接把生成的圖表或段落變成一頁簡報,真的非常方便!

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今天,我將介紹 Whimsical 、 Xmind 和 MyMap 這三個 AI 心智圖工具,其中 Whimsical 是免費的,Xmind 跟 MyMap 這個 AI 功能要額外付費,但我自己實測的感覺非常好,因此也推薦給大家。

廢話不多說,讓我們開始吧!

Whimsical

Whimsical 對 APP 開發者可能並不陌生,是集結流程圖、心智圖、 APP 原型圖的線上工具,現在有加入 AI,不僅可以更快速地整理內容,甚至能無中生有。雖然一個帳號只能免費使用 AI 100 次,再多就要付費,但我用到現在也還沒用完。

先從快速整理內容來吧,我這邊用泛科學這篇文章當範例,複製文章內容跟他說

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請幫我把下面的內容,整理成心智圖

暗能量是什麼?看不到也摸不著,我們該如何找到它?

這樣文章的大綱就在你面前了,如果對某些主題有興趣,就可以用心智圖上的關鍵字去 google 搜尋。

接下來,就輪到無中生有啦!這次我什麼都沒有給他,直接輸入

請給我核融合的基礎知識架構心智圖

這樣 Whimsical 就會給你核融合的知識架構圖啦。

你看,是不是很簡單呢?

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如果想要把這張心智圖做成簡報,你只要選擇 Section 把它框起來,

就能在右邊的 Present 欄位上面,看到新的 Section,這時按下撥放,就會是一張剪報嘍。

作為流程圖與心智圖工具的 Whimsical 本來就很容易上手,加上 AI 就變得更無腦了,你甚至可以讓 Whimsical + AI 做完所有內容,再自己再微調版面,框選 Section,就有一份出色的簡報啦!

不過還是要說一下,Whimsical 的 AI 找得資料有點少,可能連學校作業的需求都無法應付,如果真的要瞬間秒懂所有事情,你可能要試試看 Xmind 或 MyMap 。

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Xmind

先來說說 Xmind ,這款工具稱得上是臺灣最知名的心智圖工具了吧?像是創意思考或人生整理術之類的課程,都經常能見到 Xmind 的身影。現在加上 AI 之後,真的創造了天下沒有難學的知識,一個關鍵字,一張心智圖,順著心智圖學習,沒什麼事難得倒你。

這邊我想要提醒大家, Xmind 跟 Xmind AI 是兩個獨立的產品線,傳統的紅色的圖示 Xmind 包含桌面版程式與手機 APP , Pro 專業版的售價是每三個月 16 美金, Xmind AI 是新推出的產品,圖示改成紫色,專業版費用是每個月 8 美金,兩者並不互通,重要的事說三次,兩者不互通,兩者不互通,今天分享的是紫色的 Xmind AI 線上平台,不要跑錯家哟。

回到正題, Xmind 的 AI 稱為 Copilot ,只要跟 Copilot 說出你聽不懂的關鍵字,它就會用心智圖幫你解答,為什麼只要關鍵字呢?這邊來做個示範,跟前面 Whimsical 一樣,輸入

請給我核融合的基礎知識架構心智圖

然後再輸入

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核融合的知識架構

最後只給 Copilot

核融合

這三個關鍵字。

好像字越少,內容越豐富?推測是 Copilot 會直接把輸入內容當成搜尋詞彙,因此訊息越多,限制越大。在用 Copilot 時,我都盡量給簡單的關鍵字,等它完成比較豐富的心智圖後,再對心智圖中的單一項目進行 AI 生成。

沒錯,這就是 Xmind 好用的地方了,無論是你自己畫心智圖遇到瓶頸,還是剛剛 AI 生成的心智圖有不完整的地方,只要點有問題的項目,再點選畫面下方的 Copilot ,就能再生成後續內容啦!

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Xmind 也支援心智圖直接轉簡報的功能,每個項目就是一頁簡報,會依照簡報架構播放簡報。

如果要放說明文字在簡報上,你可以點項目後按下面的 note 輸入文字,

也可以在 local image 上傳你要的圖片,就會在該張簡報呈現這些內容。

雖然 Xmind 不能把簡報弄得美美的,但 Xmind 支援將心智圖下載成 .md 或 .ppt 等檔案格式,之後就可以套入之前介紹過的 gamma 或其他人做好的 template ,一份有結構、漂亮的簡報就完成啦!

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MyMap

最後介紹的 MyMap ,不是 google 那個 MyMap ,是 MyMap AI ,這個 A 編用完之後直接在工作群組裡面大喊:「這東西真是太好用了阿!」的一個工具。

一進入 MyMap 介面,基本上看不到任何工具欄或 icon ,只有跟 AI 的對話框,沒錯,這才是我想要的 AI 工具! 什麼複雜操作都不用,只要跟 AI 說話,工作就完成啦!

能有這麼狂的介面,也就表示 MyMap 對自己的 AI 功能很有信心,實際用過真的,沒跟你五四三,用得過程中完全不需要找工具欄,資料與內容整理都非常到位!

跟 Whimsical 類似,MyMap 支援多種資料呈現方式,你也不需要知道有什麼呈現方式,在問它問題的時候,它就會解析你想要的內容可能適合什麼形式的呈現,如果有多種呈現方式適合,它還會問你要用什麼形式呈現。

如果你想要用已有的文件或內容做心智圖或其他圖表,你只要按下對話框旁邊的加號,就會跳出上傳檔案或輸入網址的對話框,上傳或輸入網址之後,他就會出現即時預覽的視窗,接著,就可以跟檔案對話了。

像我給它前面泛科學黑洞文章的網址,這時候只要跟他說

幫我整理這個網頁的內容重點

MyMap 不囉嗦,直接給我一個完整的內容重點整理。

用到現在,MyMap 的唯一缺點是拖曳畫面很不直覺,以及它非常非常小氣,只有七天試用期,訂閱 MyMap 的最低價格是 9 美元,但 A 編為了 GPT4 ,之接訂了 12 美元的 pro 版。看來無論是遊戲還是現實,課金變強都是不變的道理啊!

結語

好啦,其實也沒什麼特別要總結比較的,因為 MyMap 用起來真的太舒服了,但如果你只想當個免費仔,可以先用用看 Whimsical 。

而 Xmind 呢,其實它的檔案格式的支援度是最高的,要用其他軟體加工做成簡報的話,Xmind 還是有它的優勢之處的!

如果這支影片對你有幫助的話,請幫我在影片下方點個喜歡,並且把這支影片分享給需要的朋友,最後別忘了訂閱泛科學院的頻道,我們下支影片再見囉。

更多、更完整的內容,歡迎上科學院的 youtube 頻道觀看完整影片,並開啟訂閱獲得更多有趣的資訊!

泛科學院_96
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我是泛科學院的AJ,有15年的軟體測試與電腦教育經驗,善於協助偏鄉NPO提升資訊能力,以Maker角度用發明解決身邊大小問題。與你分享人工智慧相關應用,每週更新兩集,讓我們帶你進入科技與創新的奇妙世界,為未來開啟無限可能!

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民眾黨是未來台灣政治的樞紐?
林澤民_96
・2024/01/30 ・3382字 ・閱讀時間約 7 分鐘

一、前言

選後的立法院三黨不過半,但民眾黨有八席不分區立委,足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟,勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是:民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票,屈居第三,但因其獲得部分藍、綠選民的支持,在選民偏好順序組態的基礎上,它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位,將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」?

這次總統大選,誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題,更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制,多數決選制英文叫 first-past-the-post(FPTP),簡單來講就是票多的贏,票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後,賴蕭配會贏已經沒有懸念,但這只是選制定規之下的結果,換了另一個選制,同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想:選制是人為的,而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制;既定的選制推出了一位總統,並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪,台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

圖/作者自製

如果在「三跤㧣」選舉之下,選情的激盪從候選人的得票多少看不出來,那要從哪裡看?政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK,看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在,如果不存在,那代表有 A 與 B 配對 A 勝,B 與 C 配對 B 勝,C 與 A 配對 C 勝的 A>B>C>A 的情形。這種情形,一般叫做「循環多數」(cyclical majorities),是 18 世紀法國學者孔多塞(Nicolas de Condorcet)首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

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另一方面,如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人,這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」(Condorcet winner),而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」(Condorcet loser)。三角嘟的選舉若無循環多數,則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家,然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人,而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家,那與循環多數一樣,意涵選後政治將不會穩定。

那麼,台灣這次總統大選,有沒有孔多塞贏家?如果有,是多數決選制之下當選的賴清德嗎?我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波(1 月 11 日至 12 日),也是選前最後民調的估計,得到的結果令人驚訝:得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家,而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此,那白色力量將會持續地激盪台灣政治!

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計,侯友宜可能是孔多塞贏家,而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果,顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生,而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動,還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確,但短期內的改變,很可能反映了選情的激盪,甚至可能反映了循環多數的存在。

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三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調,總樣本 N=1001 位受訪者中,如果當時投票,會支持賴清德的受訪者共 355 人,佔 35.4%;支持侯友宜的受訪者共 247 人,佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人,佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統,也絕對不會投給他的候選人」,在會投票給三組候選人的 802 位支持者中,一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖:

根據這個交叉表,我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序,然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下,候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是:

  • 柯文哲 PK 賴清德:311 > 261(54.4% v. 45.6%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:287 > 285(50.2% v. 49.8%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:293 > 279(51.2% v. 48.8%)

所以柯文哲是孔多塞贏家,賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差(4.1%),除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外,其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 40%,侯友宜 33%,柯文哲 27%,與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中,柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制,孔多塞輸家賴清德當選。

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不過以上的分析有一個問題:各陣營的支持者中,有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統,也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者,其「無反應率」(nonresponse rate)高達 34.5%。相對而言,侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人?一個假設是因為藍、白性質相近,對許多綠營選民而言,其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說,藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人,因此指認較無困難。無論如何,把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」(missing value)而棄置不用總不是很恰當的做法,在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下,把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人,也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果,得到

  • 柯文哲 PK 賴清德:389 > 413(48.5% v. 51.5%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:396 > 406(49.4% v. 50.6%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:376 > 426(46.9% v. 53.1%)

此時賴清德是孔多塞贏家,而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%。雖然依多數決選制,孔多塞贏家賴清德當選,但賴的得票率超過實際選舉結果(40%)。用無實證的假設來填補遺失值,反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強,補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例,分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果,得到

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  • 柯文哲 PK 賴清德:409 > 393(51.0% v. 49.0%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:407 > 395(50.8% v. 49.2%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:417 > 385(52.0% v. 48.0%)

此時柯文哲又是孔多塞贏家,而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%,與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄,看似最不可取。然而縮小的樣本裡,三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值,但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度,我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何,在缺乏完全資訊的情況下,我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家,而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性,我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年,多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定,值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家,是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置,讓柯文哲與賴清德 PK 時,能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的,當他與侯友宜 PK 時,他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠,他也能夠勝出。反過來看,當賴清德與侯友宜 PK 時,除非他的基本盤夠大,否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中,賴清德得 40%,侯友宜得 33%,柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德(52.5%)遠遠超過討厭侯友宜(23.7%),賴雖然基本盤較大,能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小,卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家,賴清德之所以成為孔多塞輸家,都是這些因素的數學結果。

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林澤民_96
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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。