數理性思維的七個面向：整理─《喚醒你與生俱來的數學力》

真的假的，只要有它，再難的事都能秒懂？

它就是 AI 心智圖工具，只要一句話，一個關鍵字，就能生成一張完整的知識架構圖。

無論是聽不懂老師在講什麼的學生，還是被老闆交辦沒聽過的工作，只要把聽不懂的詞丟進去，噠啦～瞬間一目了然！

而且這些 AI 心智圖工具，也能直接把生成的圖表或段落變成一頁簡報，真的非常方便！

今天，我將介紹 Whimsical 、 Xmind 和 MyMap 這三個 AI 心智圖工具，其中 Whimsical 是免費的，Xmind 跟 MyMap 這個 AI 功能要額外付費，但我自己實測的感覺非常好，因此也推薦給大家。

廢話不多說，讓我們開始吧！

Whimsical

Whimsical 對 APP 開發者可能並不陌生，是集結流程圖、心智圖、 APP 原型圖的線上工具，現在有加入 AI，不僅可以更快速地整理內容，甚至能無中生有。雖然一個帳號只能免費使用 AI 100 次，再多就要付費，但我用到現在也還沒用完。

先從快速整理內容來吧，我這邊用泛科學這篇文章當範例，複製文章內容跟他說

請幫我把下面的內容，整理成心智圖

暗能量是什麼？看不到也摸不著，我們該如何找到它？

這樣文章的大綱就在你面前了，如果對某些主題有興趣，就可以用心智圖上的關鍵字去 google 搜尋。

接下來，就輪到無中生有啦！這次我什麼都沒有給他，直接輸入

請給我核融合的基礎知識架構心智圖

這樣 Whimsical 就會給你核融合的知識架構圖啦。

你看，是不是很簡單呢？

如果想要把這張心智圖做成簡報，你只要選擇 Section 把它框起來，

就能在右邊的 Present 欄位上面，看到新的 Section，這時按下撥放，就會是一張剪報嘍。

作為流程圖與心智圖工具的 Whimsical 本來就很容易上手，加上 AI 就變得更無腦了，你甚至可以讓 Whimsical + AI 做完所有內容，再自己再微調版面，框選 Section，就有一份出色的簡報啦！

不過還是要說一下，Whimsical 的 AI 找得資料有點少，可能連學校作業的需求都無法應付，如果真的要瞬間秒懂所有事情，你可能要試試看 Xmind 或 MyMap 。

Xmind

先來說說 Xmind ，這款工具稱得上是臺灣最知名的心智圖工具了吧？像是創意思考或人生整理術之類的課程，都經常能見到 Xmind 的身影。現在加上 AI 之後，真的創造了天下沒有難學的知識，一個關鍵字，一張心智圖，順著心智圖學習，沒什麼事難得倒你。

這邊我想要提醒大家， Xmind 跟 Xmind AI 是兩個獨立的產品線，傳統的紅色的圖示 Xmind 包含桌面版程式與手機 APP ， Pro 專業版的售價是每三個月 16 美金， Xmind AI 是新推出的產品，圖示改成紫色，專業版費用是每個月 8 美金，兩者並不互通，重要的事說三次，兩者不互通，兩者不互通，今天分享的是紫色的 Xmind AI 線上平台，不要跑錯家哟。

回到正題， Xmind 的 AI 稱為 Copilot ，只要跟 Copilot 說出你聽不懂的關鍵字，它就會用心智圖幫你解答，為什麼只要關鍵字呢？這邊來做個示範，跟前面 Whimsical 一樣，輸入

請給我核融合的基礎知識架構心智圖

然後再輸入

核融合的知識架構

最後只給 Copilot

核融合

這三個關鍵字。

好像字越少，內容越豐富？推測是 Copilot 會直接把輸入內容當成搜尋詞彙，因此訊息越多，限制越大。在用 Copilot 時，我都盡量給簡單的關鍵字，等它完成比較豐富的心智圖後，再對心智圖中的單一項目進行 AI 生成。

沒錯，這就是 Xmind 好用的地方了，無論是你自己畫心智圖遇到瓶頸，還是剛剛 AI 生成的心智圖有不完整的地方，只要點有問題的項目，再點選畫面下方的 Copilot ，就能再生成後續內容啦！

Xmind 也支援心智圖直接轉簡報的功能，每個項目就是一頁簡報，會依照簡報架構播放簡報。

如果要放說明文字在簡報上，你可以點項目後按下面的 note 輸入文字，

也可以在 local image 上傳你要的圖片，就會在該張簡報呈現這些內容。

雖然 Xmind 不能把簡報弄得美美的，但 Xmind 支援將心智圖下載成 .md 或 .ppt 等檔案格式，之後就可以套入之前介紹過的 gamma 或其他人做好的 template ，一份有結構、漂亮的簡報就完成啦！

MyMap

最後介紹的 MyMap ，不是 google 那個 MyMap ，是 MyMap AI ，這個 A 編用完之後直接在工作群組裡面大喊：「這東西真是太好用了阿！」的一個工具。

一進入 MyMap 介面，基本上看不到任何工具欄或 icon ，只有跟 AI 的對話框，沒錯，這才是我想要的 AI 工具！ 什麼複雜操作都不用，只要跟 AI 說話，工作就完成啦！

能有這麼狂的介面，也就表示 MyMap 對自己的 AI 功能很有信心，實際用過真的，沒跟你五四三，用得過程中完全不需要找工具欄，資料與內容整理都非常到位！

跟 Whimsical 類似，MyMap 支援多種資料呈現方式，你也不需要知道有什麼呈現方式，在問它問題的時候，它就會解析你想要的內容可能適合什麼形式的呈現，如果有多種呈現方式適合，它還會問你要用什麼形式呈現。

如果你想要用已有的文件或內容做心智圖或其他圖表，你只要按下對話框旁邊的加號，就會跳出上傳檔案或輸入網址的對話框，上傳或輸入網址之後，他就會出現即時預覽的視窗，接著，就可以跟檔案對話了。

像我給它前面泛科學黑洞文章的網址，這時候只要跟他說

幫我整理這個網頁的內容重點

MyMap 不囉嗦，直接給我一個完整的內容重點整理。

用到現在，MyMap 的唯一缺點是拖曳畫面很不直覺，以及它非常非常小氣，只有七天試用期，訂閱 MyMap 的最低價格是 9 美元，但 A 編為了 GPT4 ，之接訂了 12 美元的 pro 版。看來無論是遊戲還是現實，課金變強都是不變的道理啊！

結語

好啦，其實也沒什麼特別要總結比較的，因為 MyMap 用起來真的太舒服了，但如果你只想當個免費仔，可以先用用看 Whimsical 。

而 Xmind 呢，其實它的檔案格式的支援度是最高的，要用其他軟體加工做成簡報的話，Xmind 還是有它的優勢之處的！

如果這支影片對你有幫助的話，請幫我在影片下方點個喜歡，並且把這支影片分享給需要的朋友，最後別忘了訂閱泛科學院的頻道，我們下支影片再見囉。

更多、更完整的內容，歡迎上泛科學院的 youtube 頻道觀看完整影片，並開啟訂閱獲得更多有趣的資訊！

一、前言

選後的立法院三黨不過半，但民眾黨有八席不分區立委，足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟，勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是：民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票，屈居第三，但因其獲得部分藍、綠選民的支持，在選民偏好順序組態的基礎上，它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位，將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」？

這次總統大選，誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題，更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制，多數決選制英文叫 first-past-the-post（FPTP），簡單來講就是票多的贏，票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後，賴蕭配會贏已經沒有懸念，但這只是選制定規之下的結果，換了另一個選制，同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想：選制是人為的，而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制；既定的選制推出了一位總統，並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪，台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

如果在「三跤㧣」選舉之下，選情的激盪從候選人的得票多少看不出來，那要從哪裡看？政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK，看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在，如果不存在，那代表有 A 與 B 配對 A 勝，B 與 C 配對 B 勝，C 與 A 配對 C 勝的 A＞B＞C＞A 的情形。這種情形，一般叫做「循環多數」（cyclical majorities），是 18 世紀法國學者孔多塞（Nicolas de Condorcet）首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

另一方面，如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人，這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」（Condorcet winner），而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」（Condorcet loser）。三角嘟的選舉若無循環多數，則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家，然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人，而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家，那與循環多數一樣，意涵選後政治將不會穩定。

那麼，台灣這次總統大選，有沒有孔多塞贏家？如果有，是多數決選制之下當選的賴清德嗎？我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波（1 月 11 日至 12 日），也是選前最後民調的估計，得到的結果令人驚訝：得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家，而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此，那白色力量將會持續地激盪台灣政治！

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計，侯友宜可能是孔多塞贏家，而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果，顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生，而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動，還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確，但短期內的改變，很可能反映了選情的激盪，甚至可能反映了循環多數的存在。

三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調，總樣本 N=1001 位受訪者中，如果當時投票，會支持賴清德的受訪者共 355 人，佔 35.4%；支持侯友宜的受訪者共 247 人，佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人，佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統，也絕對不會投給他的候選人」，在會投票給三組候選人的 802 位支持者中，一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖：

根據這個交叉表，我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序，然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下，候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是：

• 柯文哲 PK 賴清德：311 > 261（54.4% v. 45.6%）
• 柯文哲 PK 侯友宜：287 > 285（50.2% v. 49.8%）
• 侯友宜 PK 賴清德：293 > 279（51.2% v. 48.8%）

所以柯文哲是孔多塞贏家，賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差（4.1%），除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外，其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中，三位候選人的得票率分別是：賴清德 40%，侯友宜 33%，柯文哲 27%，與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中，柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制，孔多塞輸家賴清德當選。

不過以上的分析有一個問題：各陣營的支持者中，有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統，也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者，其「無反應率」（nonresponse rate）高達 34.5%。相對而言，侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人？一個假設是因為藍、白性質相近，對許多綠營選民而言，其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說，藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人，因此指認較無困難。無論如何，把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」（missing value）而棄置不用總不是很恰當的做法，在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下，把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人，也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果，得到

• 柯文哲 PK 賴清德：389 > 413（48.5% v. 51.5%）
• 柯文哲 PK 侯友宜：396 > 406（49.4% v. 50.6%）
• 侯友宜 PK 賴清德：376 > 426（46.9% v. 53.1%）

此時賴清德是孔多塞贏家，而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中，三位候選人的得票率分別是：賴清德 44%，侯友宜 31%，柯文哲 25%。雖然依多數決選制，孔多塞贏家賴清德當選，但賴的得票率超過實際選舉結果（40%）。用無實證的假設來填補遺失值，反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強，補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例，分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果，得到

• 柯文哲 PK 賴清德：409 > 393（51.0% v. 49.0%）
• 柯文哲 PK 侯友宜：407 > 395（50.8% v. 49.2%）
• 侯友宜 PK 賴清德：417 > 385（52.0% v. 48.0%）

此時柯文哲又是孔多塞贏家，而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802，三位候選人的得票率分別是：賴清德 44%，侯友宜 31%，柯文哲 25%，與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄，看似最不可取。然而縮小的樣本裡，三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值，但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度，我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何，在缺乏完全資訊的情況下，我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家，而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性，我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年，多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定，值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家，是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置，讓柯文哲與賴清德 PK 時，能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的，當他與侯友宜 PK 時，他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠，他也能夠勝出。反過來看，當賴清德與侯友宜 PK 時，除非他的基本盤夠大，否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中，賴清德得 40%，侯友宜得 33%，柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德（52.5%）遠遠超過討厭侯友宜（23.7%），賴雖然基本盤較大，能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小，卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家，賴清德之所以成為孔多塞輸家，都是這些因素的數學結果。

資料來源

• 《美麗島電子報》追蹤民調第109波（1月11日至12日）

雖然很少有學生小學畢業後還不懂乘法表，但有很多人確實不會算，如果一個人開車的速度是每小時 56 公里，開了 4 小時之後，他就開了 224 公里。要是每公克花生賣 40 美分，而 1 袋花生賣 2.2 美元，那麼，這袋花生裡就有 5.5 公克花生。假如全世界人口中有 1/4 是中國人，其餘的 1/5 是印度人，那麼，印度人在全世界的人口中就占了 3/20，或說是 15％。當然，要理解這些問題，並不像學會算 35×4＝140、（2.2）/（0.4）＝5.5、1/5×（1–1/4）＝3/20＝0.15＝15％ 這麼簡單。對很多小學生來說，這不是自然而然就會的東西，要靠做很多很實用、或是純屬想像的問題，才能進一步學會。

至於估計，學校裡除了教一些四捨五入之外，通常也沒有別的了。四捨五入和合理的估計與真實人生大有關係，但課堂上很少串起這樣的連結。學校不會帶著小學生估計學校砌一面牆要用掉多少塊磚、班上跑最快的人速度多快、班上同學爸爸是禿頭的比例多高、一個人的頭圍與身高之比是多少、要堆出一座高度和帝國大廈等高的塔需要幾枚 5 美分硬幣，還有他們的教室能否容納這些 5 美分硬幣。

幾乎也沒人教歸納推理，也不會用猜測相關性質和規則的角度，來研究數學現象。在小學數學課裡談到非形式邏輯（informal logic）的機率，就跟講到冰島傳說一樣高。當然，也不會有人提到難題、遊戲和謎語。我相信，這是因為很多時候，聰明的 10 歲小孩輕輕鬆鬆就能打敗老師。

數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書，也在《科學美國人》撰寫專欄，而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物（前提是有人指定他們去讀的話）。此外，數學家喬治．波利亞（George Polya）的《怎樣解題》（How to Solve It）和《數學與合情判讀》（Mathematics and Plausible Reasoning），或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書，是瑪瑞琳．伯恩斯（Marilyn Burns）所寫的《我恨數學》（The I Hate Mathematics! Book），書裡有很多啟發性的提示，帶領讀者解題與發想各種奇思異想，是小學數學課本裡罕見的內容。

有太多教科書仍列出太多人名和術語，就算有說明解析，也很少。比方說，教科書上會說加法是一種結合律運算（associative operation），因為（a + b）+ c＝a +（b + c）。但很少人會提到非結合律運算，因此，充其量來說，結合律運算的定義是畫蛇添足。不管是結合律或非結合律，你知道了這些資訊之後要怎麼應用？書上還會介紹到其他術語，但除了用粗體字印在書頁中間的小框框裡，看起來很了不起之外，也沒什麼值得提的理由。這些術語滿足了很多人認為，知識就好比一門普通植物學，每種學問都可以在體系中，找到自己的類別和位置。相比之下，把數學當成有用的工具、思維方式或是獲得樂趣的途徑，在多數小學教育課綱中都是很陌生的概念（即使教科書內容不錯也一樣）。

或許有人會認為，在小學階段，可以用電腦軟體，來幫助學生掌握基本的算數原理及相關應用（應用題、估計等等）。可惜的是，目前可用的程式通常是從教科書上擷取無趣的例行練習，轉化成電腦螢幕版本而已。我不知道有任何軟體可用整合、一致且有效的方法，來教算術與解題應用。

小學階段的數學教學品質普遍不佳，最終必會有人怪罪於老師能力不足，而且對數學沒什麼興趣、或不懂欣賞數學。我認為，這當中有一部分又要歸咎於大專院校的師資培養課程中，很少或根本不強調數學。以我自己的教學經驗來說，我教過的學生中，表現最差的是中學生，而不是大學主修數學的學生。準小學老師的數學背景也很糟，很多時候甚至根本沒有相關的數學教學經歷。

而每所小學聘用一、兩位數學專才，在學校裡每天分別到不同班級輔導（或教授）數學，或許可以解決部分問題。有時我認為，如果大學數學教授和小學老師每年可以交換個幾星期，會是個好方法。同樣的，把主修數學的大學生和研究生交到小學老師手裡，不會造成傷害（事實上，後者或許能從前者身上學到一些東西）。而三、四、五年級的小學生則可以在完全適任的老師教導下，接觸到數學謎題與遊戲，將可大大獲益。

稍微打個岔，謎題與數學之間很有關係，而且相關性會一直延續到大學與研究階段的數學。當然，把謎題換成幽默也通。我在《數學與幽默》（Mathematics and Humor）書中試著說明，數學和幽默都是某種益智遊戲，與猜謎、解題、遊戲和悖論多有共通之處。

數學和幽默都是把概念組合、拆開再拼回來，然後從中得到樂趣。慣用的手法包括並列、歸納、迭代和倒向（比方說「aixelsyd」就是把「dyslexia」﹝閱讀障礙﹞的字序倒過來）。那麼，如果我放寬這個條件，但緊縮另一個條件會怎樣？某一個領域的概念（像是綁辮子），和另一個看來完全不同領域的概念（如某些幾何圖形的對稱性）有什麼共通點？當然，即便不是數盲，可能也不熟悉數學這個面向，因為你必須要先具備一定程度的數學概念，才可以拿來耍弄。其他像獨創性、不協調感以及精簡的表達，對於數學和幽默來說也都同樣重要。

可能有人說過，因為所受訓練之故，數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義，但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同，因此很好笑。比方說，哪種運動比賽時要蓋臉？答案是，冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊（按：原文「Which two sports have face-offs」，「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」，而這也是冰上曲棍球常用的術語，意指「爭奪球權」）。他們也很沉溺於歸謬法（reductio ad absurdum），或設定極端前提條件然後做邏輯演練，以及各式各樣的字組遊戲。

如果可以透過小學、中學或大學階段的正式數學教育，或是非正式的數學科普書籍，傳達數學有趣的面向。我認為，數盲就不會像現在這麼普遍。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。