《電磁通論》，古籍風格

功與工作

有些大家慣用的字彙常常會被專業學科借用，專家賦予這些字新的定義，比平常的意思更具體、也更有技術性。物理學有個例子是「功」（work）。如果向一個粒子施加定力，並推動一段距離，你所做的功就定義為施力（沿著粒子運動方向的分量）乘上粒子移動的距離。

這是個很具體的物理量，實際上也是能量的一種形式。做多少功，物體的能量就會增加多少。顯而易見的，這個定義和日常生活中我們對工作（work）的理解有點相關：世人為了完成一些目標（大多是想獲取金錢報酬），而費心費力工作。

不過，物理所講的功有明確的意義，使用的範圍也很清楚；相較之下，平常大家說的工作的意思就有些模糊，泛指很多事情。

動力與動量

動量（momentum）這個字看來不太一樣。物理學的動量是 γmv（相對論的珈瑪符號乘上物體靜止質量、再和物體速度相乘），是一種量化方式，用來描述粒子以已知速率往某個固定方向持續前進的傾向。若粒子的速率遠比光速小，γ會非常接近一， 所以能省略掉。

而更廣義的動力（momentum）用來指稱政治運動，或其他社會變動及政策背後的推力。同樣的，一件事的動力愈大，也暗示它愈難停下。不過，這些領域都沒有明確定義何謂「動力」。

物理學中的「場」

到目前為止，我試著不要太常用一些字，但在之後的章節這些字會很常出現。其中一個就是「場」（-eld）。通常場是一片平坦土地的代稱，上頭種了些植物，可能有農夫在照顧，也許還會有幾頭乳牛。

此外這個字也可以代表特定的研究領域或專業，往前翻你就會知道我已經用過這個意思了。這兩個意思其實也可以合併使用，像在解釋稻草人為什麼可以獲得終生教職的時候，就會用到。

物理學的「場」有個更技術性，但還是和前面意義相關的定義。物理學家說的場是個物理量，在空間中某個區域的每個點上都有特定的對應值。如果你待在一個房間內，就可以用各式各樣的場來描述這個環境。身為一位物理學家，你或許會這麼做：

首先你要想出一個方式來明確指出房間中的每一個點。有個好辦法是先選定房間地面的某個角落為「原點」。

然後選取交於原點的其中一個牆面，沿著地面平行於這面牆的方向走過一段距離（稱為x）；接著再順著平行另一面牆的方向走一段（稱為y），你就能碰到地上所有的點。進一步的，只要往上走段距離（叫作z），就可以抵達房間內所有的點了。你需要的只有三個數字：x、y、z。

幾種有用的場

現在可以來談談幾種有用的場了。舉例來說，溫度就是一種場，房間裡的每一點都有一個溫度值。假設平均來看，我們說房內的溫度是攝氏二十一度；如果房間中每一處的溫度都和平均值一樣，那麼你得到的就是一個常量場（constant field）：場的值和點的位置無關，也就是和x、y、z沒有關係。

然而，天花板附近的溫度很有可能比地面的高出一點，因為熱空氣的密度比冷空氣小，會升向天花板。我們可以用某個場來描述溫度與高度的關係，好比T(z)，換句話說，溫度T只和高度z有關。

T是z的函數（function。另一個生活常用字「功能」，這次是被數學家借去用了），可能像T(z) =20.5 + 0.5z，這裡的z以公尺為單位、而T以攝氏溫標（℃）為單位，舉例來說。在兩公尺高的房間內，地面的溫度是 20.5 + 0.5×0 = 20.5℃，而天花板的溫度則是 20.5 + 0.5×2 =21.5℃。

至於天花板和地板之間其他每一點的溫度，都可以用這個溫度場的函數計算出來。其他的場可以用來描述不同的事情，好比空氣密度，或甚至是噪音量。

以上所談的場在每個點都只由一個數字代表。這些場有大小，卻沒有方向。因此我們稱它為「純量場」（scalar -eld）。「純量」（scalar）代表只有大小、卻沒有方向的東西。

某些種類的場則擁有方向，我們叫這種場為「向量場」（vector field）。我之前有提到一些向量場的例子，像是大型強子對撞機的磁鐵製造的電場與磁場。這個房間也有重力場這個向量場。重力場在房內的每一點都有個值（力的大小大約是每公斤九．八牛頓），以及方向（指向地面）。

實際上，電場和磁場都是量子場，重力場可能也是，但科學家還不清楚相關理論。在日常用途中這件事常被忽略掉，但如果你在極小的尺度下觀察這些場，就會發現它其實不是個數值連續體，而是底層的量子場中一連串離散（discrete，意思是不連續，如階梯般一級一級，而不是如漸層色彩一樣柔和變化）的量子、或激發（excitation）的總和（疊加）。

這些激發有點像是波又有點像粒子。電磁學的量子理論―量子電動力學擁有兩個場，分別是光子場以及電子場。我們量測到的電磁波，或是獨立的光子及電子，都是這兩個場的激發。這裡我們又看到一個科學家借用日常名詞的例子。很明顯「激發」和平常我們的用法緊密相關，因為量子場論是個扣人心弦（exciting）的理論。

無論是不是量子理論，場的概念都是一樣的。場是個物理量，在你感興趣的空間範圍內的每一點，都擁有對應的值，可能是單純的數值或是很多個量子的總和。

——本文摘自《撞出上帝的粒子：深入史上最大實驗現場》，2022 年 12 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

統一電學、磁學、光學的理論，為相對論與通訊系統奠定基礎的馬克士威；制定絕對溫度，對熱力學與電學都做出重大貢獻的克耳文男爵。這兩位物理巨擘竟然也都和計算機有關係？事實上，正是拜他們之賜，面積儀才能演變為解微分方程的類比計算機。

本文為系列文章，上一篇請見：面積儀無法加減乘除，卻開創出「類比式計算機」新路│《電腦簡史》（二十二）

馬克士威與面積儀的改良

「把時間拉長，比如說一萬年後回頭看人類的歷史，十九世紀最重要的事件無疑是馬克士威發現了電動力學方程式。」──這是科學頑童費曼對馬克士威的讚譽。

愛因斯坦也推崇馬克士威的成就是「自牛頓以來，最深刻、最豐碩的觀念變革」。1999 年千禧年前夕，BBC 請一百位物理學家列出心目中最偉大的物理學家，結果馬克士威位居第三，僅次於愛因斯坦與牛頓。

許多人不知道，這位物理大師在理論物理之外，也曾投入機械設計，還因而影響了類比計算機的發明。

1855 年元月，二十三歲的馬克士威向蘇格蘭皇家藝術協會 (Royal Scottish Society of Arts) 提交一篇論文。他在這篇論文指出面積儀的缺失，並提出改良設計。原來面積儀的滾輪上下滑動時，位置不可能總是精確到位，以致數值會有誤差。馬克士威改用兩顆圓球取代滾輪與圓錐體，圓球固定在原地轉動，就不會有滑動偏差。

皇家藝術協會不但刊登這篇論文，還特地給予馬克士威 10 英鎊獎金（大約是當時工匠 45 天的工資），鼓勵他將所設計的新型面積儀製造出來。不過馬克士威什麼也沒做。

可能是他原本對製造就沒興趣，也可能是他在當年四月突然發現有個新的面積儀，構造簡單、攜帶方便，又可以適用於任何大小的圖。這當然就是阿姆斯勒於前一年發明的極座標面積儀，馬克士威的設計只改善了精確性，但在其它各方面卻都遠遠不及，或許因此他才打了退堂鼓。不過幸好如此，否則馬克士威如果真的投入面積儀的生產製造，不知道會不會影響到他後來提出改變世界的電磁理論。

湯姆森兄弟接手

雖然馬克士威設計的面積儀沒有成形，但是他的論文還是被大他九歲、同是英國物理學家的詹姆斯．湯姆森 (James Thomson) 注意到了。湯姆森認為極座標面積儀仍然有些許滑動偏差，不夠精確。於是他參考馬克士威的圓球設計，於 1864 年發明由轉盤、圓筒與圓球三者組成的面積儀，沒有滑動問題，構造又比馬克士威的原始設計簡單許多。

不過湯姆森也是紙上談兵，並未實際著手打造，甚至沒有公開發表，就此將面積儀拋諸腦後。沒想到十二年後，他遺忘許久的這個設計竟然再度浮現腦海，而激起他記憶之人是同為物理學家的弟弟威廉．湯姆森 (William Thomson) 。

威廉與詹姆斯相差二歲，但無論在學術理論或工程技術方面的成就，都遠遠超過哥哥，後來還因貢獻卓越而受封為克耳文男爵 (Baron Kelvin) 。絕對溫度的制定便是出自他的倡議，因此就以克耳文作為絕對溫度的單位名稱，記為 K。除此之外，熱力學與電學還有許多現象或定理也以克耳文為名，以表彰他所做出的重大貢獻。在工程技術方面，克耳文參與了大西洋海底電纜的鋪設、設計經由海底電纜發送電報的系統，還發明了許多科學儀器。

1867 年，克耳文開始思考預測潮汐的可能性。

克耳文的「潮汐預測機」

英國四面環海，在當時海權時代，無論是對貿易或國防而言，掌握各個港口的潮汐漲落都至關重要。影響潮汐的主要因素當然是太陽與月球的引力，但是不同經緯位置所受的引力大小與角度都不相同，海底地形也會影響潮水的運動，加上地球本身就在旋轉，種種複雜因素互相作用，根本不可能憑物理公式直接算出漲退潮的時間。

克耳文採取的作法，是將潮汐變化的波形視為許多簡單的基本波形疊加的結果；每個基本波形都可以用三角函數表示，如此便是一個預測潮汐的數學模型。

這個模型的妙處在於不需要計算；不用算出三角函數的值，也不用一一加總。因為基本波形可以用圓周運動來表示，也就可以用輪軸旋轉來模擬（波的週期取決於轉速、振幅取決於半徑大小）；適當地讓幾個輪軸連動便能模擬出波形疊加的結果，也就是潮汐的變化。

克耳文於 1873 年展示以此原理打造的潮汐預測機，用了八個連動的輪軸，轉動後會在標有時間軸的紙上，畫出潮汐的高度。

潮汐預測機雖然能自動疊加三角函數，不需人工計算，但這是在機器運轉之後。在機器建造之前，還是得用傅立葉分析 (Fourier analysis)，找出組成潮汐變化的基本波形，才能知道輪軸的大小與轉速要設計成怎樣。而這牽涉到微分方程式的計算，相當複雜耗時。

如果是一勞永逸也就罷了，偏偏每個港口的潮汐變化都不同，各有各的傅立葉分析要做，太耗費時間了。難道這不能也用機器代勞嗎？

從面積儀進化成「調和分析儀」

1876 年，克耳文向哥哥詹姆斯提及這個問題，詹姆斯突然想起自己十幾年前設計的面積儀——既然將微分方程中的項目積分可以解出方程式，或許面積儀可以派上用場。克耳文一聽其中原理，馬上明瞭若將兩台詹姆斯設計的面積儀整合在一起，讓第一台的圓筒連接到第二台的轉盤，相當於將前者的計算結果做為後者的輸入值，就可以解二階線性微分方程式。只要串接更多台面積儀，就能解更高階的微分方程式，做出更吻合潮汐變化的傅立葉分析。

他們兄弟倆很快完成論文，詹姆斯先發表他之前發明的面積儀，並提及克耳文發現的潛在應用。克耳文隨後再發表論文，詳述利用詹姆斯的面積儀解微分方程式的原理，並附上自己設計的「調和分析儀」 (Harmonic Analyser)，專門用來做潮汐的傅立葉分析。兩年後，調和分析儀原型機問世，雖然只能做到波形的二次分析，但已經向世人證明機器可以解微分方程。以調和分析儀為基礎，後來又延伸出各種不同用途的類比計算機，分別用於熱力學、氣象學的分析，乃至火炮射擊的調控，都取得相當不錯的成效。

不過克耳文理想中，將很多台面積儀串接起來，組合成一部可解更高階微分方程式的分析儀，其實不可能做得到。因為第一台面積儀轉動所產生的扭力，不足以傳遞到後面的面積儀。這個問題是機械零件無法克服的，必須等到電子零件出現，才能解決扭力不足的問題，也才能打造出真正可解各種微分方程式的計算機。

文／余海峯｜馬克斯．普朗克地外物理研究所博士後研究員

• 1901 年諾貝爾物理獎：為什麼 X 射線不叫倫琴射線？

第二屆諾貝爾物理獎於 1902 年頒發。這一年共有兩位得主平均分享物理獎，他們是勞倫茲（Hendrik Lorentz）和塞曼（Pieter Zeeman）。

在 19 世紀之前，電現象和磁現象被認為是兩種不同的現象。在 19 世紀，法拉第（Michael Faraday）和馬克士威 （James Maxwell）成功把電、磁與光三種現象一同解釋。法拉第定律是描述電磁感應的經驗定律、馬克士威方程可以推導出所有電磁現象。實驗物理學家與理論物理學家聯手破解大自然的奧秘。

馬克士威方程不單止包含了所有電磁現象，更導出了一個結論：有一種能夠在真空中傳播的振動，其傳播速度恰好等於光速。然後，赫茲更用實驗證明了電磁波的確存在，電磁與光效應從此結合。

勞倫茲：提出解釋電磁現象的電子論

然而，究竟電磁波是由什麼產生的？勞倫茲提出，有一種細小的帶電粒子在物質裡面。當這些帶電粒子流動時就會產生電流；當它們來回振動時就會產生一個隨時間改變的電場，根據法拉第定律這就會感應產生相應的磁場。而改變的電場和磁場，正正就是馬克士威方程所預言的電磁波，也解釋了觀察到的光的偏振現象。勞倫茲認為這些細小帶電粒子就是電子。

法拉第當年一直研究磁場對光的影響，他發現了磁場能夠改變光的偏振平面，稱為法拉第效應。可是法拉第生前的最後實驗──研究磁場如何影響發光源──以失敗告終。

塞曼：發現磁場會分裂光譜線

這個任務最後被塞曼完成了。相對於勞倫茲這個理論物理學家，塞曼是個實驗物理學家。塞曼發現了在磁場的影響之下，原子光譜發射線會分裂成更多更細緻的光譜線。這個實驗顯示原子之中的確有細緻的結構，驗證了勞倫茲的電子理論。他們二人對於電磁與光現象的貢獻為他們帶來了 1902 年的諾貝爾物理獎。

現在這個磁場分裂光譜線的現象被稱為塞曼效應。塞曼效應被廣泛應用在天文學，天文學家能藉觀察來自遙遠天體的光譜線的塞曼效應，計算出天體的磁場強度。而勞倫茲電子理論，也與我們在之後介紹到愛因斯坦時將會討論的光電效應有密切關係。

在科學裡，當理論和觀察結合時，往往能夠帶來豐碩的成果。在電、磁、光三個現象的統一裡，透過法拉第、馬克士威、洛倫茲與塞曼這些科學巨人，人類得以解開大自然奧秘的一小部分。

本文摘自《物理雙月刊》38 卷 12 月號 ，更多文章請見物理雙月刊網站。

發想/製圖：鄭子宇(台大電機系)

延伸閱讀：
【科學史上的今天】06/13—馬克士威爾誕辰（James Clerk Maxwell, 1831－1879）