雨中的因材施教

本文與 BRITA 合作，泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎？

如果你回到兩百年前，試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水，可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐，氣味刺鼻，甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水，被戲稱為「流動的污水」，當時的人們雖然知道水不乾淨，但卻無力改變，導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

幸運的是，現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物，但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰，哪些技術真正有效？

濾水技術：從霍亂危機到高效濾芯

19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展，面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊，甚至未經處理的地下水，導致傳染病肆虐。

1854 年，英國醫生約翰·斯諾（John Snow）透過流行病學調查，發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關，這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度，促使公衛政策改革，加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初，英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒，成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率，這一技術迅速普及，成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾，尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後，惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年，後藤新平出任民政長官，他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設，對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題，他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓（William Kinnimond Burton） 來台，規劃現代化的供水設施。在雙方合作下，台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年，全台已有 16 座現代水廠，有效改善公共衛生，為台灣城市化奠定關鍵基礎。

進入 20 世紀，人們已經可以喝到看起來乾淨的水，但問題真的解決了嗎？ 科學家如今發現，水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物，甚至微量的內分泌干擾物，這些看不見、嚐不出的隱形污染，正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此，濾水技術迎來了一波科技革新，活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透（RO）等技術相繼問世，各有其專長：

• 活性碳吸附：去除氯氣、異味與部分有機污染物

• 離子交換樹脂：軟化水質，去除鈣鎂離子，減少水垢

• 微濾技術、逆滲透（RO）技術：攔截細菌與部分微生物，過濾重金屬與污染物等

這些技術相互搭配，能夠大幅提升飲水安全，然而，無論技術如何進步，濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯，決定了水質能否真正被淨化，而現代濾水器的競爭，正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是，最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能？

濾芯的壽命與更換頻率：濾水效能的關鍵時刻濾芯，雖然是濾水器中看不見的內部構件，卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例，其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂，能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質，並過濾鉛、銅等重金屬，同時軟化水質，提升口感。

然而，隨著市場需求的增長，非原廠濾芯也悄然湧現，這不僅影響濾水效果，更可能帶來健康風險。據消費者反映，同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯，顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全，建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯，避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙，正面則可看到 BRITA 商標，以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣，並且沒有拉環設計，底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節，才能確保濾芯發揮最佳過濾效果，讓每一口水都能保證潔淨安全。

不過，即便是正品濾芯，其效能也非永久不變。隨著使用時間增加，濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞，導致過濾效果減弱，濾水速度也可能變慢。而且，濾芯在拆封後便接觸到空氣，潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯，不僅會影響過濾效能，還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質，形成「過濾器悖論」（Filter Paradox）：本應淨化水質的裝置，反而成為污染源。為此，BRITA 建議每四週更換一次濾芯，以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題，BRITA 推出了三大智慧提醒機制，確保濾芯不會因過期使用而影響水質：

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈：即時監測濾芯狀況，顯示剩餘效能，讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒：掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間，自動提醒何時該更換，減少遺漏。

3. LINE 官方帳號自動通知：透過 LINE 推送更換提醒，確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天，濾芯已不僅僅是過濾裝置，更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備，成為了健康生活的關鍵。

濾水技術：不僅是進步，更是守護未來

人類對潔淨飲用水的追求，從未停止。19世紀，隨著城市化與工業化發展，水污染問題加劇並引發霍亂等疾病，促使濾水技術迅速發展。20世紀，氯消毒技術普及，進一步保障了水質安全。隨著科技進步，現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術，去除水中的污染物，讓每一口水更加潔淨與安全。

今天，消費者不再單純依賴公共供水系統，而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如，BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求，從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題，去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%，並通過 SGS 檢測，通過國家標準水質檢測「可生飲」，讓消費者能安心直飲。

然而，隨著環境污染問題的加劇，真正的挑戰在於如何減少水污染，並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具，更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備，它象徵著人類與自然的對話，提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利，更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源，且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

下過雨後，天空藍得透明。這個自然現象，衍生出成語雨過天青，比喻情況由壞轉好。雨過天晴也有同樣的意思，不過仍以雨過天青較為正式。閒話少說，讓我們造兩個句吧。

這事挽救及時，現已雨過天青。

雨過天青，您的事可以放心了。

這個成語還有個故事呢。有一種瓷器，稱為雨過天青，起源於五代‧後周柴世宗。某日臣子請示，皇家瓷器要燒成什麼顏色？柴世宗隨手批示：「雨過天青雲破處，這般顏色作將來。」工匠經過多次實驗，終於燒製出來，這就是有名的「柴窯」。由於沒有作品傳世，柴窯的真面目已無從查考。

談到這裡，該談談這個成語的意涵了。大雨過後，天空為什麼藍得透明？這是因為空氣中的灰塵隨著雨下降下，空氣較為潔淨的關係。喜歡打破沙鍋問到底的小朋友或許還會問：為什麼空氣潔淨、天就較藍？

這要從天空為什麼呈藍色說起。空氣的成份，主要是氮氣和氧氣。晴天的時候，射到地球上的陽光碰到空氣中的氮分子或氧分子，會引起散射作用。藍光的波長較紅光短，散射得較厲害，看在我們眼裡，天空就成為藍色的。

這個道理看起來好像很簡單，但是人類明白這個道理是 19 世紀末的事。1873 年，英國物理學家瑞利是第一位看天看出名堂的人。他的散射理論——瑞利散射，破解了天色的秘密。

在陽光的七種色光中，紅、橙、黃光的波長較長，藍、靛、紫光的波長較短。空氣中的氧分子、氮分子，大小恰好可以散射波長較短的藍光，藍光散了一天，天空當然呈藍色的。

到了傍晚，夕陽西下，陽光打斜裡射過來，較接近地面，而地面的空氣含有較多的水氣和灰塵，粒子比氧分子、氮分子大得多，較容易散射波長較長的紅光、橙光或黃光，艷麗的晚霞就是這樣散射出來的。

如果天上懸浮著小水滴，也就是雲，那又是另一種景象。小水滴比灰塵大得多，各種波長的色光都能被它散射，結果雲就成為白色的。如果雲層較厚較密，陽光穿不過去，就變成了灰色或黑色。白雲蒼狗，不過是陽光玩的把戲而已！

當雲聚成雨滴的時候，顆粒就更大了，大得具有稜鏡的作用。倘若一邊已出太陽，一邊還在下雨，陽光穿過雨滴，就會形成彩虹。噴泉和瀑布上也可以出現彩虹，原理是一樣的。

孔子強調因材施教，根據不同學生的特質，告訴他們不同的答案，才是最理想的老師。這道理，之前的那位教導徒弟該如何撐傘的大和尚也懂。

※

走了半天，大和尚一行人總算來到個小聚落，聚落裡的人生活很清苦，沒什麼能佈施給他們的，大和尚跟徒弟在聚落裡的祠堂睡了一晚，隔天一早即動身前往下一個村落。雖然肚子還很餓，但至少天氣放晴了，大雨清洗過的草原，翠意盎然，光是看著，就令人比昨天更精神抖擻。然而好景不常，才離開祠堂沒一刻鐘，烏雲彷彿像發現自己睡過頭了，迅速從後方趕上，稀哩嘩啦地又是一陣大雨。更糟糕的是，揹行囊的胖徒弟出發時看到天氣好，不小心將傘留在祠堂裡。大和尚一行人躲在路旁的草棚底下避雨，討論該怎麼辦。

「我比較瘦，跑得比較快，不如師父跟大家在這裡等著，我回去拿傘。」

一位體態單薄的瘦徒弟自告奮勇，大和尚擔心他感冒，但也想不到別的方法，只好目測一下他的身形，再看看棚子外的雨勢，掐指算了算。大夥兒送瘦徒弟出發時，最機靈的小徒弟聽見大和尚對瘦徒弟說

「你現在回去，雨會從你身後打來。要是雨勢斜到……度，你就全力衝刺，不然，以……的速度走慢一點，比較不會淋濕。」

雨聲蓋住了大和尚的話，小徒弟聽得不是很清楚。過了半响，瘦徒弟還沒回來，坐成一圈的大夥兒開始擔心起他會不會迷路。胖徒弟霍地站了起來

「我去找他好了。」

「你？不要好了，你那麼胖，跑不快，表面積又大，會淋到特別多的雨，等等感冒了。」

「傘是我保管的，本來就該我去找回來才是。」

現在才想到，誰叫你早上只顧著吃。小徒弟心裡嘀咕著，但同門師兄弟一場，不好意思說出來。

「好吧，那就麻煩你走一遭，看看他到底去哪裡了。」

大和尚又掐指計算了一會兒，接著說

「你隨時注意雨勢，根據雨打下來的角度，調整你的最佳速度為……。」

大和尚用手杖在地上寫了一道複雜的式子，胖徒弟把式子抄在手上，作勢吞掉。

那是上台前寫「人」避免緊張的吧。

小徒弟又想吐草他，等到胖徒弟跑出去後，他才問大和尚

「師父，同樣都是在雨天裡奔跑，為什麼你給了一道最佳速率的式子給胖師兄，但告訴瘦師兄的卻是『要嘛全力跑，不然慢慢跑』呢？」

「因材施教，他們倆個嘛，身材不同。」

大和尚露出微笑，他回答

「在雨中行走，我們常以為全力奔跑，降低在雨中停留的時間，可以淋到最少的雨。但事實上，跑得越快，雨勢相對會變得更水平，身體受雨的面積因此增加，臉上、胸膛，都會被雨淋到。因為『被淋到的雨』同時跟『雨中停留時間』和『身體受雨面積』都成正比，最小化前者，卻大幅增加了後者，反而不一定是最佳結果。」

大和尚又拿起手杖，在濕掉的泥土地上畫了個圖形。

「瘦徒兒的身高h，身寬w，他的側面可以用一個長方形來近似。假設雨勢跟水平夾角是φ，瘦徒兒奔跑的速度是v_r，那麼，單位時間內，長方形的高所受到的雨勢是：h∙(v_r -u∙cosϕ)/v_r

長方形的寬被雨淋到的量則是：(w∙u∙sinϕ)/v_r

兩個相加，整理後得到：h+u(w∙sinϕ-h∙cosϕ)/v_r

從這個式子裡可以看到，要是 w∙sinϕ-h∙cosϕ>0，表示第二項是正的，這時候提升v_r跑越快越好，因為第二項會減少。但要是 ，則跑太快，反而第二項負的會變小，表示會淋到更多雨。這時 w∙sinϕ-h∙cosϕ<0，最佳策略就是『像風一樣』，保持同等於雨勢水平分量的奔跑速度，抵銷雨的水平速度。這麼一來，只有頭頂、肩膀、以瘦徒兒的高鼻子會濕。這麼一說，他倒是很像那個香港藝人，唱〈風一樣的男子〉的……」

大和尚自己傻笑了起來。

       ※

       小徒弟不理師父無聊的笑點，蹲下來低頭鑽研泥土上的畫。除了長方形之外，師父還畫了另一個橢圓形的人，那應該就是胖師兄吧，可是，這兩者之間有甚麼差異呢？站著的大和尚回答，一句句解釋從小徒弟頭上落下來

「橢圓形的胖徒弟，就算雨是垂直的，他的胸口跟鮪魚肚都還是會被淋濕噢。」

「原來是近似於身體的幾何圖形不同啊…」

「是啊，假設胖徒兒的身材是一個橢圓形，用方程式表示為：x²/a² +y²/c² =1

其他的計算方式就差不多，一樣算出他的表面積在不同奔跑速度影響下，被雨淋到的份量，再利用微分取極值。可以得到：v_e=u∙cosϕ+(a/c) ²∙tanϕ∙u∙sinϕ 這樣的結果。有趣的是啊……」

大和尚講得興起，不管在一旁開始推導的小徒弟，或早就被催眠到睡著的其他徒兒，自顧自地說下去

「這式子告訴我們，要是胖徒兒的肚子越大，個頭越小，得就得跑得更快。這難道是上天對體型的歧視嗎……」

過了大半刻，好不容易雨停了，胖徒弟跟瘦徒弟才一起回來。當他們的身影同時出現在草棚前時，還在算微分的小徒弟抬頭一看，背對陽光的他們，看起來就像是一個10。學過二進位的小徒弟想，果然是2個人啊。

參考文獻

D. Kalman and B. Torrence,“Keeping dry: The mathematics of running in the rain,” Mathematics Magazine, pp. 266-277, Oct. 2009

註：更多賴以威的數學故事，請參考《超展開數學教室》。

澳大利亞北領地的 Tanami 沙漠，有一個叫做 Lajamanu 的偏遠小鎮。2023 年 2 月 19 日晚間，突然下起驟雨。^[1]直至隔天早晨，累積了 61.4 毫米的雨量。^{[2, 3]}降雨期間，魚群也跟著從天上落下。^[1]

動物雨的種類

英文俚語「raining cats and dogs」，以「降下貓狗」形容大雨滂沱。^[4]19 世紀的英國畫家 George Cruikshank，還拿這個比喻當題材，創作虛構作品（上圖），抱怨糟糕的天氣。^[5]事實上回顧歷史，其他動物比較常由空中砸下來。早在西元前 1 世紀，羅馬博物學者老普林尼（Pliny the Elder）就曾記錄魚和蛙，隨著暴風雨墜落。文藝復興時期開始，更不時有版畫描繪此類事件（下圖）。除了與上述雷同的情形，也有蛇或鼠的個案。 ^[6]19世紀以降的文獻，則增加了蜘蛛、螞蟻、蝸牛、淡菜（貽貝）、寄居蟹，以及各色蠕蟲等千奇百怪的案例。^[7]

許多動物雨的紀錄，要不是歷史悠久，死無對證；就是鄉民口述，人微言輕。信者恆信；質疑者則當是鄉野奇談，嗤之以鼻。然而，若有科學家挺身背書，那就不一樣了。1947 年 10 月 23 日，美國路易斯安那州野生動物與漁業局的生物學家 A.D. Bajkov，在該州的 Marksville，親身體驗奇妙的自然現象。他事後撰文，投稿《科學》（Science）期刊，^{[8, 9]}興奮之情躍然紙上：

「那天早上 7、8 點之間，2 到 9 英吋（約 5 到 23 公分）的魚落在樹梢和院子裡」，使這個南方小鎮的居民困惑之餘，群情激昂。當時他和妻子正在餐廳裡享用早餐，一聽服務生說魚群從天而降，便立刻跑去蒐集。Marksville 銀行的總裁 J.M. Barham 表示，起床就發現數以百計的魚落在自家院子裏，鄰居太太家也是。7 點 45 分，1 名該銀行的員工和 2 個商人的路途，則遭魚群阻斷。^[8]

「離餐廳半個街區外的銀行附近，平均每平方碼（約 0.84 平方米）就有一條魚。」有的慘遭車輛輾壓；有些則落在房子的屋頂上。「牠們屬於在地的淡水魚類…」這名生物學家如數家珍地，列舉了一堆名字。然後說他將撿來的魚，全部裝成一罐，泡福馬林，要「分送數個博物館」。^[8]

水龍捲

根據美國國會圖書館的介紹，動物雨的肇因或許不只一種：許多科學家將矛頭指向，形成於陸地，並行經水域的水龍捲（waterspouts）。其最高風速為每小時 100 英里（約 161 公里），中央低壓渦漩（vortex），會像吸塵器般，吸入周圍的水、空氣，以及包含生物在內的小東西。水龍捲移動的過程中，因為逐漸失去能量，沿路容易掉東掉西，造成動物雨等現象。美國普渡大學的 Ernest Agee 教授，「曾見過小池子的水，整個被路過的龍捲風淨空」，所以覺得天上要是砸下幾隻蛙，也算頗為合理。^[10]不過，如果水龍捲夾帶的，不是動物，而是石頭，就可能變成危險的石頭雨。這種情形，有時會被誤認為來自外太空的隕石雨。^[6]

上升氣流

南伊利諾大學的 Doc Horsley 教授等科學家，認為上升氣流（updrafts），也會導致動物雨：暖空氣由地表高壓處，向上升到較冷的低壓處。在暴風雨中，能超過每小時 60 英里（約 97 公里），幾乎與中等水龍捲相當，所以擄走小動物的潛力，也不遑多讓。^[10]

一起掉落的物種

水龍捲和上升氣流，都是從路經之處，任意搜刮。既然被帶走的東西包羅萬象，為何同時落於一處的，卻是相近的物種？美國華盛頓大學的 William Hayden Smith 教授解釋：當風力漸減，重的東西，會比輕的先掉下來。於是，尺寸和重量雷同的個體，便一起墜落。^[10]

魚還活著…

講了半天，所以那些澳洲沙漠裡的魚，後來怎麼了？當地的議員 Andrew Johnson Japanangka，告訴 ABC 新聞臺，有些魚落地後倖存。「被孩子們撿起來，保存於瓶罐裡。」同樣的事件在 1974、2004 和 2010 年，亦曾發生過，部份居民甚至記得當年的情景。總之，這在該小鎮，雖然罕見，但算是正常。^[1]

1. Allison C, Trevaskis L, Barwick A. (21 FEB 2023) ‘Fish ‘rained from the sky’, outback community says, in freak weather event’. ABC News.
2. ‘Lajamanu, Northern Territory – February 2023 Daily Weather Observations’. Australian Bureau of Meteorology. (Accessed on 24 FEB 2023)
3. ‘Notes to accompany Daily Weather Observations’. Australian Bureau of Meteorology. (Accessed on 24 FEB 2023)
4. Cambridge University Press. ‘It’s raining cats and dogs!’ Cambridge Dictionary. (Accessed on 23 FEB 2023)
5. George Cruikshank. ‘Very Unpleasant Weather, or, the Old Saying Verified “Raining Cats, Dogs, & Pitchforks.”!!!’. Yale Center of British Art. (Accessed on 23 FEB 2023)
6. Franza A, Morelli M, Faggi D, et al. (2021) ‘To be or not to be, that is the question: The Marsala meteorite (Italy, 1834) and the role of the doubtful meteorites in the history of meteoritics’. Meteoritics & Planetary Science, 56(5): 922-943.
7. Berenbaum MR. (2015) ‘Who’ll Stomp the Rain?’. American Entomologist, 61(3): 133–135.
8. Bajkov AD. (1949) ‘Do Fish Fall from the Sky?’. Science, 109(2834): 402
9. Dennis J. (2013) ‘6. It’s Raining Frogs and Fishes’. In: It’s Raining Frogs and Fishes: Four Seasons of Natural Phenomena and Oddities of the Sky. Diversion Books.
10. Science Reference Section. (19 NOV 2019) ‘Can it rain frogs, fish, and other objects?’. U.S. Library of Congress.