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雨中的因材施教

賴 以威
・2014/06/10 ・1986字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 429 ・四年級

孔子強調因材施教,根據不同學生的特質,告訴他們不同的答案,才是最理想的老師。這道理,之前的那位教導徒弟該如何撐傘的大和尚也懂。

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Photo Credit:Kalexanderson

走了半天,大和尚一行人總算來到個小聚落,聚落裡的人生活很清苦,沒什麼能佈施給他們的,大和尚跟徒弟在聚落裡的祠堂睡了一晚,隔天一早即動身前往下一個村落。雖然肚子還很餓,但至少天氣放晴了,大雨清洗過的草原,翠意盎然,光是看著,就令人比昨天更精神抖擻。然而好景不常,才離開祠堂沒一刻鐘,烏雲彷彿像發現自己睡過頭了,迅速從後方趕上,稀哩嘩啦地又是一陣大雨。更糟糕的是,揹行囊的胖徒弟出發時看到天氣好,不小心將傘留在祠堂裡。大和尚一行人躲在路旁的草棚底下避雨,討論該怎麼辦。

「我比較瘦,跑得比較快,不如師父跟大家在這裡等著,我回去拿傘。」

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一位體態單薄的瘦徒弟自告奮勇,大和尚擔心他感冒,但也想不到別的方法,只好目測一下他的身形,再看看棚子外的雨勢,掐指算了算。大夥兒送瘦徒弟出發時,最機靈的小徒弟聽見大和尚對瘦徒弟說

「你現在回去,雨會從你身後打來。要是雨勢斜到……度,你就全力衝刺,不然,以……的速度走慢一點,比較不會淋濕。」

雨聲蓋住了大和尚的話,小徒弟聽得不是很清楚。過了半响,瘦徒弟還沒回來,坐成一圈的大夥兒開始擔心起他會不會迷路。胖徒弟霍地站了起來

「我去找他好了。」

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「你?不要好了,你那麼胖,跑不快,表面積又大,會淋到特別多的雨,等等感冒了。」

「傘是我保管的,本來就該我去找回來才是。」

現在才想到,誰叫你早上只顧著吃。小徒弟心裡嘀咕著,但同門師兄弟一場,不好意思說出來。

「好吧,那就麻煩你走一遭,看看他到底去哪裡了。」

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大和尚又掐指計算了一會兒,接著說

「你隨時注意雨勢,根據雨打下來的角度,調整你的最佳速度為……。」

大和尚用手杖在地上寫了一道複雜的式子,胖徒弟把式子抄在手上,作勢吞掉。

那是上台前寫「人」避免緊張的吧。

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小徒弟又想吐草他,等到胖徒弟跑出去後,他才問大和尚

「師父,同樣都是在雨天裡奔跑,為什麼你給了一道最佳速率的式子給胖師兄,但告訴瘦師兄的卻是『要嘛全力跑,不然慢慢跑』呢?」

「因材施教,他們倆個嘛,身材不同。」

大和尚露出微笑,他回答

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「在雨中行走,我們常以為全力奔跑,降低在雨中停留的時間,可以淋到最少的雨。但事實上,跑得越快,雨勢相對會變得更水平,身體受雨的面積因此增加,臉上、胸膛,都會被雨淋到。因為『被淋到的雨』同時跟『雨中停留時間』和『身體受雨面積』都成正比,最小化前者,卻大幅增加了後者,反而不一定是最佳結果。」

大和尚又拿起手杖,在濕掉的泥土地上畫了個圖形。

因材施教

 

「瘦徒兒的身高h,身寬w,他的側面可以用一個長方形來近似。假設雨勢跟水平夾角是φ,瘦徒兒奔跑的速度是vr,那麼,單位時間內,長方形的高所受到的雨勢是:h∙(vr -u∙cosϕ)/vr

長方形的寬被雨淋到的量則是:(w∙u∙sinϕ)/vr

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兩個相加,整理後得到:h+u(w∙sinϕ-h∙cosϕ)/vr

從這個式子裡可以看到,要是 w∙sinϕ-h∙cosϕ>0,表示第二項是正的,這時候提升vr跑越快越好,因為第二項會減少。但要是 ,則跑太快,反而第二項負的會變小,表示會淋到更多雨。這時 w∙sinϕ-h∙cosϕ<0,最佳策略就是『像風一樣』,保持同等於雨勢水平分量的奔跑速度,抵銷雨的水平速度。這麼一來,只有頭頂、肩膀、以瘦徒兒的高鼻子會濕。這麼一說,他倒是很像那個香港藝人,唱〈風一樣的男子〉的……」

大和尚自己傻笑了起來。

      

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       小徒弟不理師父無聊的笑點,蹲下來低頭鑽研泥土上的畫。除了長方形之外,師父還畫了另一個橢圓形的人,那應該就是胖師兄吧,可是,這兩者之間有甚麼差異呢?站著的大和尚回答,一句句解釋從小徒弟頭上落下來

「橢圓形的胖徒弟,就算雨是垂直的,他的胸口跟鮪魚肚都還是會被淋濕噢。」

「原來是近似於身體的幾何圖形不同啊…」

「是啊,假設胖徒兒的身材是一個橢圓形,用方程式表示為:x2/a2 +y2/c2 =1

其他的計算方式就差不多,一樣算出他的表面積在不同奔跑速度影響下,被雨淋到的份量,再利用微分取極值。可以得到:ve=u∙cosϕ+(a/c) 2∙tanϕ∙u∙sinϕ 這樣的結果。有趣的是啊……」

大和尚講得興起,不管在一旁開始推導的小徒弟,或早就被催眠到睡著的其他徒兒,自顧自地說下去

「這式子告訴我們,要是胖徒兒的肚子越大,個頭越小,得就得跑得更快。這難道是上天對體型的歧視嗎……」

過了大半刻,好不容易雨停了,胖徒弟跟瘦徒弟才一起回來。當他們的身影同時出現在草棚前時,還在算微分的小徒弟抬頭一看,背對陽光的他們,看起來就像是一個10。學過二進位的小徒弟想,果然是2個人啊。

 

參考文獻

D. Kalman and B. Torrence,“Keeping dry: The mathematics of running in the rain,” Mathematics Magazine, pp. 266-277, Oct. 2009

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
32 篇文章 ・ 10 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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AI 可以設計散熱,但誰敢讓它出貨?林唯耕談算力背後的物理現實
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2026/08/20 ・2819字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 高柏科技 合作,泛科學撰文

林唯耕剛回台灣任教時,曾在清華大學的實驗室裡用一立方公分的「氨」做實驗。沒想到氨氣意外洩漏,那股刺鼻的氣味瞬間瀰漫整棟大樓,引來眾多師生抗議。

「從此以後,我再也不敢在實驗室裡用氨了。」他在《思想實驗室》的訪談中,帶著笑意回憶這段往事。

這段插曲聽來像是一則工程師的寓言:在理論模型中,氨是太空熱控系統的理想介質;但在現實的辦公大樓裡,它首先是逼人逃竄的臭味。公式本身沒有錯,但現實世界永遠比公式更複雜——它包含了人、成本、風險,以及必須為後果負責的工程師。

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高柏科技技術專家、清華大學榮譽退休教授林唯耕 ,曾任職於美國 OAO 工程部熱流組,深耕電子構裝散熱與熱管技術多年。隨著 AI 浪潮席捲全球,他鑽研一輩子的老問題再次被推向科技產業的核心:當晶片運算速度無止境攀升,那股伴隨而生的熱,究竟該往哪裡去?

熱不會讀新品發表會

科技巨頭在發表會上熱衷於談論大型語言模型、GPU 規格與驚人的算力。這些詞彙在投影片上光鮮亮麗,彷彿進步毫無邊界。然而,每一次數位運算都紮實地發生在實體晶片上。晶片會發熱、材料會疲勞老化,一旦設備過熱,系統便會降頻保護。在物理現實面前,再動聽的發表會敘事也必須低頭。

晶片會發熱、材料會疲勞老化,一旦設備過熱,系統便會降頻保護 / 圖片:envato

回顧個人電腦發展早期,晶片幾乎不需專屬散熱元件。隨後,鋁製鰭片、風扇、熱管到均溫板逐一登場。這段歷程常被視為技術升級,其實更像是對空間的極限勒索:晶片功率翻倍,發熱源的面積卻沒變大,機箱空間也不可能無限擴張。

林唯耕指出,散熱設計的核心只有三要素:功率、熱源面積與空間限制。他舉例,在標準的 1U 機箱中,若發熱面積約為三十乘三十毫米,氣冷系統在達到八百瓦時就會面臨瓶頸。這並非固定的物理常數,而是取決於空間、面積與氣流的動態平衡。最現實的代價在於,風扇轉速提升的背後,是噪音、電力損耗與空間占用。

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因此,「液冷技術」的興起並非單純為了追求酷炫,而是算力密度提升後的必然選擇。它能更精準地帶走晶片廢熱,卻也將新的挑戰帶入機房:漏液風險、流道堵塞、材料相容性,以及維運時的難度。工程的進步,本質上鮮少是徹底消滅問題,更多時候是選擇一組「比較值得承擔」的新問題。

太空教他的,不是把答案搬回地面

太空熱控工程之所以迷人,是因為它剝奪了地球上最常見的散熱工具。在真空宇宙中,沒有空氣能讓風扇製造對流;受光面溫度破百度,陰影處卻極度嚴寒。工程師必須純粹仰賴熱傳導、熱輻射,以及熱管與環路型熱管(LHP)來搬移熱能。

熱管運作的關鍵在於「相變」——液體蒸發時吸收大量潛熱,冷凝後重回循環。林唯耕比較了銅與水的熱傳導能力:在他設定的特定條件下,實心銅塊約能傳導 120 瓦的熱能;但若每秒有一立方公分的水發生蒸發相變,移熱量可瞬間拉升至 2.4 千瓦(kW)。他強調「每秒」的觀念,因為散熱談的是動態流動速率,而非靜態的冷卻魔法。

儘管如此,太空科技並不能直接套用到地面。太空元件因考量重量、功耗與維修難度,偏好無馬達幫浦的被動式設計;但地面 AI 伺服器面臨更高的熱負載與環境溫度,往往仍需幫浦驅動流量。當年那場「氨氣洩漏」事故正是最好的提醒:技術是否「先進」,與它是否「適合」當下的場景,始終是兩回事。

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他強調「每秒」的觀念,因為散熱談的是動態流動速率,而非靜態的冷卻魔法。/圖片:envato

好論文,為什麼仍可能造不出好產品

學術研究致力於證明「可行性」,而工業現場則要求「可重複性」——不僅要能運作,還得確保每台出廠的設備都不漏水。林唯耕將此定義為「從 0 到 1」與「從 1 到 100」的差別。後者涉及良率、成本、公差與客戶信任。論文中那次最完美的實驗數據,在產線上往往未必管用。

他從不避談失敗。在高柏科技早期與學界合作時,也曾遇過實驗數據無法複製,或研究方向偏離產業需求。這未必是雙方努力不夠,而是彼此對「成功」的標準不同。為了解決這道鴻溝,高柏科技推動「柏苗啟航創新培育計畫」,每年投入逾千萬資金與成大、中山、台科大等校合作,並指派專業人才在過程中持續微調、校正,確保研發貼近產線現實。

他分享了近期一項液冷工質校正專案。團隊使用非侵入式的超音波流量計進行觀測,但由於儀器預設以「水」校正,換成其他化學流體後讀數便出現誤差。最初嘗試用幫浦壓差推算,卻發現缺乏重複性,數據甚至推導出不合理的蒸發率。最後團隊回歸基本面,改用秤重法搭配能量平衡進行交叉驗證,才讓數據成功收斂。

這個故事真正的價值不在於「產學雙贏」的口號,而在於那段不夠優雅的挫折:假設失效、數據混亂、方法砍掉重練。也正是在這種時刻,企業需要的不只是會算數的人才,而是能洞察研究何時「走鐘」,並有權力喊停、要求重來的關鍵決策者。

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林唯耕坦言,過去在校園裡總認為「技術第一、成本第二」,進入商界後才驚覺行銷與信任關係往往才是關鍵。這番話雖然不如科技突破那樣動聽,卻是產品能否進入市場的殘酷真相。再卓越的散熱設計,若無法穩定生產或贏得客戶信任,也僅止於一份精美的報告。

AI 會給答案,誰來負責出貨?

訪談尾聲,主持人國威提出了一個時代難題:假設 AI 能在彈指間生成散熱架構、材料配方與流道設計,企業該選擇全面擁抱 AI 的速度,還是保留緩慢但穩定的工程驗證,以規避潛在的失效風險?

林唯耕拒絕落入二選一的框架。他的觀點是:兩者並存。AI 擅長處理資訊、生成草案;但工程師仍須實作原型,進行嚴苛的性能與可靠度測試,最終由人決定是否出貨。這並非盲目崇拜人類直覺,而是基於一項事實:AI 的資料庫裡,通常沒記載下一次「意外洩漏」或「材料疲勞」的細節,且模型永遠無法為量產結果擔負法律與商業責任。

在 AI 時代,最稀缺的未必是熟練下指令(Prompt)的人,而是具備這種能力的人:能預判答案可能在哪裡出錯、能設計實驗將問題「逼」出來,並且願意為最終的量產品質負起責任。

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大眾習慣將雲端想像成輕盈、無重量的空間。但現實中,雲端是由龐大的機房架構而成,裡面裝滿了晶片、管線、泵浦與冷卻液。虛擬算力的每一次擴張,都會在實體世界留下發熱的足跡。散熱工程師的價值,就是不讓這筆物理帳單,被埋沒在光鮮亮麗的投影片背後。

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【成語科學】雨過天青:天空為什麼是藍色的?傍晚的橘紅色天空又是怎麼形成的?
張之傑_96
・2023/10/06 ・1183字 ・閱讀時間約 2 分鐘

下過雨後,天空藍得透明。這個自然現象,衍生出成語雨過天青,比喻情況由壞轉好。雨過天晴也有同樣的意思,不過仍以雨過天青較為正式。閒話少說,讓我們造兩個句吧。

這事挽救及時,現已雨過天青。

雨過天青,您的事可以放心了。

下過雨後,天空藍得透明。圖/pixabay

這個成語還有個故事呢。有一種瓷器,稱為雨過天青,起源於五代‧後周柴世宗。某日臣子請示,皇家瓷器要燒成什麼顏色?柴世宗隨手批示:「雨過天青雲破處,這般顏色作將來。」工匠經過多次實驗,終於燒製出來,這就是有名的「柴窯」。由於沒有作品傳世,柴窯的真面目已無從查考。

談到這裡,該談談這個成語的意涵了。大雨過後,天空為什麼藍得透明?這是因為空氣中的灰塵隨著雨下降下,空氣較為潔淨的關係。喜歡打破沙鍋問到底的小朋友或許還會問:為什麼空氣潔淨、天就較藍?

這要從天空為什麼呈藍色說起。空氣的成份,主要是氮氣和氧氣。晴天的時候,射到地球上的陽光碰到空氣中的氮分子或氧分子,會引起散射作用。藍光的波長較紅光短,散射得較厲害,看在我們眼裡,天空就成為藍色的。

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藍光的波長較紅光短,散射得較厲害,看在我們眼裡,天空就成為藍色的。圖/pixabay

這個道理看起來好像很簡單,但是人類明白這個道理是 19 世紀末的事。1873 年,英國物理學家瑞利是第一位看天看出名堂的人。他的散射理論——瑞利散射,破解了天色的秘密。

在陽光的七種色光中,紅、橙、黃光的波長較長,藍、靛、紫光的波長較短。空氣中的氧分子、氮分子,大小恰好可以散射波長較短的藍光,藍光散了一天,天空當然呈藍色的。

到了傍晚,夕陽西下,陽光打斜裡射過來,較接近地面,而地面的空氣含有較多的水氣和灰塵,粒子比氧分子、氮分子大得多,較容易散射波長較長的紅光、橙光或黃光,艷麗的晚霞就是這樣散射出來的。

陽光打斜裡射過來,而地面的空氣含有較多的水氣和灰塵,較容易散射波長較長的紅光、橙光或黃光。圖/pixabay

如果天上懸浮著小水滴,也就是雲,那又是另一種景象。小水滴比灰塵大得多,各種波長的色光都能被它散射,結果雲就成為白色的。如果雲層較厚較密,陽光穿不過去,就變成了灰色或黑色。白雲蒼狗,不過是陽光玩的把戲而已!

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當雲聚成雨滴的時候,顆粒就更大了,大得具有稜鏡的作用。倘若一邊已出太陽,一邊還在下雨,陽光穿過雨滴,就會形成彩虹。噴泉和瀑布上也可以出現彩虹,原理是一樣的。

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那天下了一場「動物雨」!!
胡中行_96
・2023/03/13 ・2173字 ・閱讀時間約 4 分鐘

澳大利亞北領地的 Tanami 沙漠,有一個叫做 Lajamanu 的偏遠小鎮。2023 年 2 月 19 日晚間,突然下起驟雨。[1]直至隔天早晨,累積了 61.4 毫米的雨量。[2, 3]降雨期間,魚群也跟著從天上落下。[1]

19 世紀英國畫家 George Cruikshank 描繪俚語「raining cats and dogs」的概念。圖/參考資料 5(Public Domain)

動物雨的種類

英文俚語「raining cats and dogs」,以「降下貓狗」形容大雨滂沱[4]19 世紀的英國畫家 George Cruikshank,還拿這個比喻當題材,創作虛構作品(上圖),抱怨糟糕的天氣。[5]事實上回顧歷史,其他動物比較常由空中砸下來。早在西元前 1 世紀,羅馬博物學者老普林尼(Pliny the Elder)就曾記錄,隨著暴風雨墜落。文藝復興時期開始,更不時有版畫描繪此類事件(下圖)。除了與上述雷同的情形,也有的個案。 [6]19世紀以降的文獻,則增加了蜘蛛螞蟻蝸牛淡菜(貽貝)、寄居蟹,以及各色蠕蟲等千奇百怪的案例。[7]

16 世紀版畫:天空降「魚」。圖/參考資料 6,Figure 2(Public Domain)
17 世紀版畫:天上掉下大量的蛇(左)和鼠(右)。圖/參考資料 6,Figure 3(Public Domain)

許多動物雨的紀錄,要不是歷史悠久,死無對證;就是鄉民口述,人微言輕。信者恆信;質疑者則當是鄉野奇談,嗤之以鼻。然而,若有科學家挺身背書,那就不一樣了。1947 年 10 月 23 日,美國路易斯安那州野生動物與漁業局的生物學家 A.D. Bajkov,在該州的 Marksville,親身體驗奇妙的自然現象。他事後撰文,投稿《科學》(Science)期刊,[8, 9]興奮之情躍然紙上:

「那天早上 7、8 點之間,2 到 9 英吋(約 5 到 23 公分)的魚落在樹梢和院子裡」,使這個南方小鎮的居民困惑之餘,群情激昂。當時他和妻子正在餐廳裡享用早餐,一聽服務生說魚群從天而降,便立刻跑去蒐集。Marksville 銀行的總裁 J.M. Barham 表示,起床就發現數以百計的魚落在自家院子裏,鄰居太太家也是。7 點 45 分,1 名該銀行的員工和 2 個商人的路途,則遭魚群阻斷。[8]

「離餐廳半個街區外的銀行附近,平均每平方碼(約 0.84 平方米)就有一條魚。」有的慘遭車輛輾壓;有些則落在房子的屋頂上。「牠們屬於在地的淡水魚類…」這名生物學家如數家珍地,列舉了一堆名字。然後說他將撿來的魚,全部裝成一罐,泡福馬林,要「分送數個博物館」。[8]

水龍捲

根據美國國會圖書館的介紹,動物雨的肇因或許不只一種:許多科學家將矛頭指向,形成於陸地,並行經水域的水龍捲(waterspouts)。其最高風速為每小時 100 英里(約 161 公里),中央低壓渦漩(vortex),會像吸塵器般,吸入周圍的水、空氣,以及包含生物在內的小東西。水龍捲移動的過程中,因為逐漸失去能量,沿路容易掉東掉西,造成動物雨等現象。美國普渡大學的 Ernest Agee 教授,「曾見過小池子的水,整個被路過的龍捲風淨空」,所以覺得天上要是砸下幾隻蛙,也算頗為合理。[10]不過,如果水龍捲夾帶的,不是動物,而是石頭,就可能變成危險的石頭雨。這種情形,有時會被誤認為來自外太空的隕石雨。[6]

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上升氣流

南伊利諾大學的 Doc Horsley 教授等科學家,認為上升氣流(updrafts),也會導致動物雨:暖空氣由地表高壓處,向上升到較冷的低壓處。在暴風雨中,能超過每小時 60 英里(約 97 公里),幾乎與中等水龍捲相當,所以擄走小動物的潛力,也不遑多讓。[10]

一起掉落的物種

水龍捲和上升氣流,都是從路經之處,任意搜刮。既然被帶走的東西包羅萬象,為何同時落於一處的,卻是相近的物種?美國華盛頓大學的 William Hayden Smith 教授解釋:當風力漸減,重的東西,會比輕的先掉下來。於是,尺寸和重量雷同的個體,便一起墜落。[10]

魚還活著…

講了半天,所以那些澳洲沙漠裡的魚,後來怎麼了?當地的議員 Andrew Johnson Japanangka,告訴 ABC 新聞臺,有些魚落地後倖存。「被孩子們撿起來,保存於瓶罐裡。」同樣的事件在 1974、2004 和 2010 年,亦曾發生過,部份居民甚至記得當年的情景。總之,這在該小鎮,雖然罕見,但算是正常。[1]

  

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參考資料

  1. Allison C, Trevaskis L, Barwick A. (21 FEB 2023) ‘Fish ‘rained from the sky’, outback community says, in freak weather event’. ABC News.
  2. Lajamanu, Northern Territory – February 2023 Daily Weather Observations’. Australian Bureau of Meteorology. (Accessed on 24 FEB 2023)
  3. Notes to accompany Daily Weather Observations’. Australian Bureau of Meteorology. (Accessed on 24 FEB 2023)
  4. Cambridge University Press. ‘It’s raining cats and dogs!’ Cambridge Dictionary. (Accessed on 23 FEB 2023)
  5. George Cruikshank. ‘Very Unpleasant Weather, or, the Old Saying Verified “Raining Cats, Dogs, & Pitchforks.”!!!’. Yale Center of British Art. (Accessed on 23 FEB 2023)
  6. Franza A, Morelli M, Faggi D, et al. (2021) ‘To be or not to be, that is the question: The Marsala meteorite (Italy, 1834) and the role of the doubtful meteorites in the history of meteoritics’. Meteoritics & Planetary Science, 56(5): 922-943.
  7. Berenbaum MR. (2015) ‘Who’ll Stomp the Rain?’. American Entomologist, 61(3): 133–135.
  8. Bajkov AD. (1949) ‘Do Fish Fall from the Sky?’. Science, 109(2834): 402
  9. Dennis J. (2013) ‘6. It’s Raining Frogs and Fishes’. In: It’s Raining Frogs and Fishes: Four Seasons of Natural Phenomena and Oddities of the Sky. Diversion Books.
  10. Science Reference Section. (19 NOV 2019) ‘Can it rain frogs, fish, and other objects?’. U.S. Library of Congress.
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胡中行_96
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曾任澳洲臨床試驗研究護理師,以及臺、澳劇場工作者。 西澳大學護理碩士、國立台北藝術大學戲劇學士(主修編劇)。邀稿請洽臉書「荒誕遊牧」,謝謝。