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雨天也要立如松

賴 以威
・2014/06/03 ・2717字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 449 ・四年級

credit: CC by David Blackwell.@flickr
credit: CC by David Blackwell.@flickr

一個人的姿態很重要。

舉手投足,不僅影響到他人對自己的第一印象,根據研究指出,甚至會影響到自己的心情。好比說,如果開會前做出「信心滿滿、雙手叉腰」的姿勢一兩分鐘,言談將會更有自信,要是彎腰駝背,會讓人下意識地變得更怯懦。佛家也很強調姿態的重要,提出「四威儀」:

立如松、行如風、坐如鐘、臥如弓。

佛家認為,時時注意自己的姿態,就是一種隨時隨地的修行。然而,生活中有許多處境艱難,讓我們無法好好恪守四威儀,特別在梧桐花開的五月,或是整天蟬鳴的七八月,那是梅雨、颱風的季節。

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在雨中撐傘還要立如松,行如風,除了心性的修行,恐怕還需要數學的輔佐。

 

※

請想像一下這樣的畫面:一位大和尚和幾個徒弟四處化緣,他們走在一望無際的草原上。天空中厚重的烏雲,忽然像被人擰過了一般,下起了雨。眾人撐起雨傘,繼續前進。一會兒,雨勢轉驟,颳起風來,就算撐傘,眾人的綁腿依然被雨水打濕,變成深色。大和尚問了個子最高的高徒弟,有沒有看見前方有村落。高徒弟搖了搖頭。

大和尚注意到高徒弟將傘撐得很低,甚至弓起了背,整個人彎腰蜷縮在傘底下。勉強要說是立如松,也只會讓人聯想到景觀盆栽裡曲折蜿蜒的老松。他搖了搖頭,怎麼這些徒弟不懂得觀察師傅呢。

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「徒兒們,看看為師,不彎腰駝背,身上一點也沒濕。」

仔細一瞧,大和尚身子挺得筆直,傘也舉得老高,但下擺乾乾的,一滴雨水也沒有。

「因為師父比較矮?」

大和尚愣了一下,臉上閃過一片紅色,他回答

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「雖然這是事實,也是原因之一,不過不是關鍵。重點是,面對雨水的迎擊,不需要讓自己變矮,變小。只要懂得『後退』就好。」

「師父在說禪嗎?」

「不,我在說數學。」

大和尚用手杖在地上畫了一幅圖

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「這是我們在雨中行走的截面圖。假設雨跟地面夾角為θ,拿傘的高度為h,傘的寬w。

立如松行如風坐如鐘臥如弓_1

你們看,當雨是斜的,傘的遮蔽範圍將從長方形變成平行四邊形,傘正下方h.cotθ的範圍都會被雨淋濕。傘拿低一點讓h變小,的確有幫助。但更正確的方式,應該是往後退h.cotθ,即可確保褲管不會被淋濕。」

大和尚頓了頓,繼續說:

「不是常跟你們提起,要時時注意四威儀,『立如松、行如風』嗎。只要懂得這個道理,雨天不用駝背走路,還可以將傘舉得更高,更英挺,只要算好後退距離,依然得保全身不濕。」

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徒弟們照著師父的話做了後,雖然傘舉再頭前,看起來有點像和尚版的自由女神像,但綁腿的確不再被雨淋濕了。正當大夥兒讚嘆師父博學多聞時,高徒弟發問

「師父,徒兒腳沒濕,可是臉卻濕了。」

眾人一看,只見他臉上滿是雨水,甚至僧袍領口顏色都變深了,那模樣有些滑稽。大和尚笑了笑,低聲說

「誰叫你長那麼高,活該。」

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「師父說什麼?」

「噢,沒有。為師說,因為你長太高了,要是雨打得斜,註定會被淋到的。從方才圖的例子可以看到,要是傘拿低一點,遮雨的高度跟傘高度一樣是h,但當傘拿高一點時,遮雨的高度即是w.tanθ,竟然跟傘的寬度w和雨的斜度有關。而遮雨的高度是(h,w.tanθ)兩個數值取較小值。換句話說,只要身高高於w.tanθ的人,終究難逃被淋溼的命運。往後退,就像你現在這樣,腳不濕,但上半身卻淋溼了。」

大和尚邊說,邊用手杖又畫了個圖

立如松行如風坐如鐘臥如弓_2

「這時,只好做出取捨,要讓褲管淋溼多少?頭淋溼多少?這樣的取捨可以靠調整傘的高度,和後退的幅度來達成。除了雨斜度θ、傘舉的高度h、寬度w,再假設三個數字,後退幅度x,身高l,以及褲管會濕掉的高度z。z可以利用相似三角形的概念求得

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也就是說,褲管直到h-x.tanθ的高度都會濕掉。中間身體w.tanθ的部分不會濕。上半身從天靈蓋往下l-h+(x-w).tanθ的部位都會濕掉。」

大和尚將自己背上遮陽的斗笠卸下,遞給高徒弟

「你算好後,再調整斗笠戴的位置跟角度,用斗笠遮住上半身的雨勢吧。駝背讓l變小,的確可以降低淋到雨的部位,但有違修行,還是別做了。」

 

※

走了一個時辰,雨勢不但沒趨緩,上天彷彿在考驗眾人,還加強風勢,讓雨變得更斜,這下,除了最高的徒弟外,其他人也紛紛戴上斗笠,除了大和尚依然不用。

意外發現「原來我最矮啊」的大和尚,看著這些徒兒為了恪守他的教訓,在雨中不駝背,雖然還是有些氣他們怎麼都那麼高,活該被雨淋,但想了想,還是決定再傳授他們一道心法。

「把傘拿斜吧。」

「拿多斜呢,師父。」

「跟雨勢垂直。」

大和尚又拿起手杖,在地上畫著。

立如松行如風坐如鐘臥如弓_3

「我們可以用這圖來證明『傘與雨勢垂直』為最佳拿法。將傘一端投影到地表上的點為圓心,傘寬為半徑,可以畫出圖中的圓。再給定下雨方向為斜率,過圓上一點,符合『點斜式』所需條件,即能畫出一條直線。直線跟地表相接的點,與圓心之間的距離是避雨區域,水平拿傘時,此區域長度是w。乘上tanθ,即得到可遮雨高度w.tanθ。現在,當傘拿的角度與雨勢垂直,這條線就會變成圓的切線,通過圓上一點,線跟圓心的距離最遠,避雨區域最大,變成w.secθ。」

大和尚抬頭看,每一位徒弟,臉上沒被雨淋到,卻濕淋淋地「一頭霧水」。他只好換個方式解釋

「你們試試看,從原本水平拿傘,慢慢變斜,會淋到雨的部分越來越少,在某個角度會達到最大值,之後再更斜時,反而又會變小。對吧?」

徒弟們轉動手腕嘗試,點頭回應師父。

「再看剛剛地上這張圖,要是傘跟雨勢不垂直,這條線會變成割線,和圓相交兩點,要是這個角度是最大值,就表示有另一個角度也會提供最大的遮雨高度,兩個最大值,違反你們實際操作的體驗。」

徒弟們紛紛發出「噢噢」的聲音,像是知識被扔進了他們的心中,發出的回響。大和尚最喜歡聽到這種反應了。這時,最機靈的小徒弟開口了,

「師父,所以說,要是搭配第一張圖,遮雨高度即會從原本的 w.tanθ 變成 w.secθ,各自可以再寫成\( \frac{w.sinθ}{cosθ} \) 和\( \frac{w}{cosθ} \),前者比後者多了 sinθ 倍,因為 sinθ 永遠小於1,所以當傘拿斜,永遠會比傘拿直的能遮住更多。」

「很好,你說的沒錯。」

大和尚滿意地點點頭。

「雖然數學是世間法,但有些時候,世間法也能幫助我們修行的。」

看著地上的圖,大和尚忽然轉身問最高的徒弟身高

「一米八四。」

「假設眼睛距離天靈蓋10公分,好吧,看來4.72公里以內,都還是沒有村莊了。」

他想起,好久以前,他曾經在附著了氣霧的玻璃上,這樣畫圖解釋數學,但那時候他還太年輕,不知道數學有這麼廣泛的應用。

註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室 。

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不是不會髒,而是更難沾:耐污馬桶的表面科學
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2026/09/22 ・3364字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文與 Panasonic 合作,泛科學撰文 

●以下科學研究內容作為知識分享,不直接與Panasonic A La Uno全自動洗淨馬桶產品功能連結

在做家務的痛苦排行榜上,「刷馬桶」絕對名列前茅。明明天天都在沖水,但過不了幾天,馬桶內壁邊角總會浮現黃黃的水垢、角落發黑的霉斑,甚至是那些刷掉又長出來的粉紅色污垢(黏質沙雷氏菌)。

許多市售衛浴設備常標榜「神奇抗污」或「永久不沾」,讓人誤以為安裝後便能永保潔淨。然而從材料科學的角度來看,世上並無能使污垢憑空消失的魔法。所謂「耐污」的實質機制,並非打造完全不沾染髒污的材質,而是調整表面的物理與化學屬性,使水垢和微生物難以強力附著。一旦降低了污垢與內壁之間的附著力,透過日常水流沖刷,便能輕易地將髒污帶走。

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為什麼污垢「黏不住」? 

要搞懂為什麼某些特殊表面能做到「耐污」,我們得先像偵探一樣,拆解馬桶裡的髒污究竟是怎麼「抓緊」材料表面的。馬桶內壁的污垢主要有兩大難纏的元兇:

  1. 水垢與礦物沉積*1:我們日常使用的自來水中含有鈣、鎂等金屬離子。當水滴在表面經歷反覆的濕潤與蒸發乾燥循環時,這些離子會逐漸結晶析出,變成硬度極高、緊緊「卡」在微觀縫隙裡的礦物質水垢。
  2. 生物膜與有機物*2:包含尿液中的無機鹽、油脂殘留,以及細菌入侵後分泌出像超強膠水一般的聚合物,所組成的黏滑防禦大本營。
關鍵不是沖水,而是「這些污垢如何抓住表面」

這兩大類污垢想要在材料上「落腳」,前提是它們必須能在表面找到足夠的附著點與黏合力。那麼,材料科學家是如何讓這些髒污「站不穩」的呢?答案就藏在「表面能(Surface Energy)」與「濕潤性(Wettability)」這兩個核心概念中。

當我們把水滴在某個表面上時,水滴會聚成一顆圓滾滾的水珠,還是迅速攤平開來?這取決於表面的特性:

  • 疏水路線(Hydrophobic)*1:具備低表面能的疏水表面,能顯著減少水分子或污染物與表面之間的極性作用力與氫鍵。水滴在這種表面上會因為表面張力而收縮成水珠,當水珠滾動滑落時,就能順便把表面的灰塵與礦物質顆粒帶走,這就是著名的「自清潔效應」。
  • 親水路線(Hydrophilic / Superhydrophilic)*2:相反地,極度親水的超親水表面則會強烈地吸引水分子,在材料最外層形成一層薄薄的「水化層(Hydration Layer)」。這層水化層就像是實體的液體盾牌,讓油污、蛋白質或細菌無法直接接觸到材料基底,只能漂浮在水膜上方。

如果要用攀岩來比喻:傳統粗糙的表面就像是有許多凹槽的攀岩牆,髒污就像攀岩者,需要找到落腳點並用力撐住才能攀附;而我們做的是抽掉把手點,或是在把手上塗上潤滑油,讓髒污找不到施力點,自然難以停留。

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材料科學的核心:想辦法讓污垢「抓不住」

不給細菌「握手」的機會

解決了水垢,下一個更棘手的對手是「細菌」。

馬桶內壁那些黑黑粉粉、摸起來滑滑的污垢,在微生物學中被稱為「生物膜(Biofilm)」。細菌並不是孤立生長的,當單顆細菌落在表面後,如果覺得環境舒適,它就會開始分泌胞外聚合物(EPS),這是一種天然的超強膠水。細菌們用這種膠水把自己與同伴緊緊黏在一起,並築起堅固的防禦堡壘,這時一般的沖水就很難把它們沖洗乾淨了。

根據《Nature Communications》與《Microsystems & Nanoengineering》的學術期刊研究指出,要阻止生物膜形成,除了化學上的抗菌,材料的「表面微幾何結構」扮演了至關重要的角色。

材料科學領域中有一個著名的「附著點理論(Attachment Point Theory)」:

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  1. 粗糙與微孔洞表面:如果材料表面存在許多微小的裂縫、氣孔或微米級凹洞,細菌(體積通常約 1 到 3 微米)就會興高采烈地鑽進這些小凹槽裡。這些凹槽不僅提供了極佳的機械咬合支點,還能幫細菌擋掉水流的沖刷。
  2. 極致平滑與微結構表面:相反地,如果材料表面做到極致平滑,完全沒有微米級的缺陷;或者反過來設計出尺寸遠小於細菌的奈米結構,細菌的足跡構造(如鞭毛或纖毛)就無法在表面找到穩固的「接觸附著點(Contact Points)」。

當細菌發現自己在這個表面上連「手都握不緊」、隨時會被水流吹走時,它就無法順利定殖並分泌膠水築巢。此外,現代衛浴結構在設計時,也越來越強調「一體成形」與「無接縫工藝」。消除接縫與死角,等於直接拔除了細菌與水垢最喜歡的避風港。

阻止細菌、生物膜找不到「落腳點」

當材料、結構與流體科技組隊聯防 

了解了材料化學與微觀幾何,我們就能勾勒出一座現代耐污馬桶的完整防禦體系:【材料層(低附著力)】+【結構層(無縫平滑)】+【動態流體層(泡沫與水流剪切力)】= 高效清潔!

以市面上備受矚目的 Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶為例,就是將材料科學、結構工程與流體力學發揮到極致的典型代表:

1. 材料層:有機玻璃系新素材

A La Uno 全自動洗淨馬桶採新開發的「有機玻璃系新素材」(以壓克力高分子為基礎研發的衛浴專用材料,這類高分子成形技術亦被廣泛運用於大型水族館高壓觀景窗與飛機機艙罩)。這種材料表面具備極佳的疏水性與耐水垢特性,水滴不易長時間攤平停留;材質堅固、不易破裂,耐刮、不易造成細小傷痕。通過實驗測試,這種素材配合泡沫洗淨,在沖洗後能有效沖刷掉高達 99.99% 的大腸桿菌,從源頭阻斷細菌定殖。

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2. 結構層:無接縫工藝與三重防濺防護

在宏觀結構上,A La Uno 全自動洗淨馬桶採用無水箱沖水與便器、溫水洗淨便座一體成型設計,減少傳統水箱與座體之間的結構層次及接縫,並搭配可動迴轉式排水系統完成沖洗。更貼心的是其「三重防護」設計:

  • 泡沫防護:在水面上製造一層充沛的泡沫緩衝層,有效抑制男性站立小便時的尿液與污水飛濺;
  • 外圍防護:馬桶邊界特別設計了高約 3mm 的水檔,防止液體延著外壁滴落至地板;
  • 測漏防護:便座與馬桶本體採用不外露的防護設計,避免液體從縫隙飛濺滲漏。
Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶

3. 動態流體層:雙效泡沫洗淨、漩渦水流與 nanoe™ X

當污垢降落在馬桶內壁時,A La Uno全自動洗淨馬桶 的動態流體科技便接手進行徹底打掃。其「雙效泡沫洗淨」會先釋放直徑約 5mm 的「毫米泡沫」包裹並帶走大塊髒污,再透過直徑約 60微米的「微米泡沫」深入微觀縫隙,徹底溶解殘餘的油脂與細微污垢。接著,配合高度清潔力的「漩渦型強力水流」,利用旋轉產生的流體剪切力,一口氣將附著力已被削弱的污垢剝離並沖走。此外,Panasonic A La Uno 全自動洗淨馬桶還搭襯了 nanoe™ X 健康科技,釋放氫氧離子有效抑制異味與髒污,維持空氣與內壁的良好衛生狀態。

科技讓生活變輕鬆,但物理法則依然誠實

從材料化學的低表面能設計,到微觀幾何的附著點控制,再到流體力學的水流沖刷,一座現代抗污馬桶的演進,縮影了人類如何運用基礎科學來解決日常生活痛點的智慧。

我們習慣將衛生清潔想像成一場與細菌髒污的硬碰硬死鬥。然而,A La Uno全自動洗淨馬桶 等現代衛浴技術的突破,展示了材料科學的另一種聰明思維:不靠強酸強鹼硬打,而是透過物理與化學邏輯,將「污垢固著」的機率降到最低。

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當材料科學與現代衛浴技術結合,刷馬桶不再是一件令人頭痛的辛苦瑣事。透過這些前沿科技的加持,我們得以從繁重的家務勞動中解放,享受更加乾淨、舒適且有品質的日常生活。

*1 參考論文:A metallic anti-biofouling surface with a hierarchical topography containing nanostructures on curved micro-riblets

*2 參考論文:Brushing up functional materials

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鑑識故事系列:毒傘刺殺?!德國 Christoph Bulwin 命案
胡中行_96
・2022/11/10 ・2135字 ・閱讀時間約 4 分鐘

前言:2011 年,德國發生一起疑似用傘尖注射毒物的謀殺案件。[1] 2019 年的《重症照護個案報告》(Case Reports in Critical Care)與 2020 年的《鑑識科學、醫學暨病理學》(Forensic Science, Medicine, and Pathology)期刊,分別從不同角度,介紹了某起事故,其細節描述與此案極為神似。[2, 3] 到了 2022 年 8 月,歐洲媒體突然舊事重提,報導警方懸賞緝兇。[1] 雖然兩篇論文都沒有明言死者身份,鑑識期刊的結論又不確定是否為他殺;但基於主角的性別和年齡,還有犯案地點、手法以及化學物質的獨特性,美國社群網站 Reddit 上的「鍵盤偵探們」斷定絕對是同件事情,並且議論紛紛。[4] 本文綜合新聞報導以及專業文獻,在此假設上,試圖重建全案發生的始末。

圖/Massimiliano Sarno on Unsplash

雨傘刺客

2011 年 7 月 15 日下午 3 點 55 分,任職於礦業、化學暨能源工會的軟體工程師 Christoph Bulwin,正在德國北部漢諾威(Hannover)市通勤的路上。一名滿臉坑疤,身材消瘦的年輕男子,用雨傘刺了他的左臀一下。依照《瑞士時報》(Switzerland Times)的講法,Bulwin 擔心感染 HIV,而到醫院檢查。[1] 不過,鑑識期刊說他因為事後身體暫時無恙,所以只告訴太太雨傘刺客的事,沒有報警或就醫。[3]

住院治療

經過一段時日,Bulwin 開始感到疲憊,並出現神經功能障礙。[3] 他先是到地區醫院就診,後來因為失語、嗜睡、虛弱、紅疹、腎衰竭,以及手、腳掌過度角化等問題,轉至教學醫院的加護病房。當時他發燒、心跳飛快、血壓過高、眼瞼下垂、肌肉抽搐、動不了舌頭;而且四肢輕微癱瘓,又幾乎缺乏正常神經反射,但不該有的腳底反射倒是呈陽性。無法與人溝通的他,僅會發出無意義的聲音,並在受到疼痛刺激時,有肢體反應。 [2]醫師認為 Bulwin 得了格林-巴利症候群(Guillain-Barré syndrome),[3]一種自體免疫系統攻擊神經保護層的疾病。[5]因此,以血漿換置(plasma exchange)的方式試圖排除有害的抗體,並用免疫球蛋白療法(immunoglobulin therapy)把健康的補上。[2, 5]

重新診斷

一番努力後,Bulwin 不但沒有好轉,病況還日益惡化。他最後四肢完全癱瘓,呼吸肌無力,並陷入昏迷,不得不插管,再接上呼吸器。這讓醫療團隊開始懷疑原先的診斷,覺得那些皮膚、腎臟和神經系統的症狀,或許是中毒所致。[2, 3]驗血的結果,顯示 Bulwin 血液中的甲基汞(methylmercury),濃度為 4255 μg/L,大約是一般人的千百倍。[2, 6, 7][註]

這回醫療團隊對症下藥,一邊幫他洗腎;一邊投以叫做 DMPS 的藥物,[2]促進汞隨著尿液排出體外。[8]雙管齊下的效果顯著,Bulwin 入院 8 週後,終於被轉去住院復健機構,並持續使用 DMPS。不過遺憾的是,他才離開醫院 7 個月,[2]也就是遇刺 10 個月後,[3]便死於用了兩種適當的靜脈藥物,都依然難以控制的腦部異常放電──頑固性癲癇重積症(refractory status epilepticus)。[2, 9]

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哪來的汞?

警方於汞中毒的診斷出來之後,得知此案。他們在 Bulwin 車子的儀表板上,找到一支裝滿汞鉈化合物,尚未使用過的皮下注射小針筒;以及一些汞合金製成的珠子。此外,Bulwin 上班處的幾支溫度計,也含有汞和鉈。[3]這是否意味著他自殺或意外中毒?難不成還虛構遇刺的故事?

然而,從Bulwin死後的解剖和驗血報告,都查無與鉈相關的線索。比方說,鉈中毒或腎衰竭等疾病患者,指甲會有橫向線條,稱為「米氏線」(Mees’ lines),[10]而他壓根沒有此類症狀。但是反過來講,如果 Bulwin 真的是遭人暗殺,警方也不曉得嫌犯是誰,還有殺人動機為何。[3]全案至此,走入了死胡同。

米氏線。圖/Yannick Trottier on Wikimedia Commons(CC BY-SA 3.0)

懸案節目

時光匆匆過去,偵辦毫無進展。2022 年 8 月,德國懸案節目《案件號碼XY》(Aktenzeichen XY)又喚起了世人對此事的記憶。歐洲媒體隨後也跟進報導,並提醒大家德國警方懸賞 5 千歐元,希望有人能提供重要線索。[1]

  

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更多知名懸案

鑑識故事系列:投資騙子 Melissa Caddick 自我截肢?!

鑑識故事系列:為破案結婚?!「Somerton Man 懸案」

備註

人的體內,有從魚類等食物,攝取而來的汞。各國人血液中的汞含量稍有差異,[6]但一般都在10 μg/L以下,而且只要<20 μg/L就算正常。[7]以接受過汞合金補牙的退役美軍為例,其平均數值為2.55 µg/L。[6]相較之下,本案主角的4255 μg/L,不是普通驚人。[2]

參考資料

  1. ‘Unknown kills Germans († 40) with poison umbrella’. (25 AUG 2022) Switzerland Times.
  2. Napp LC, Moelgen C, Wegner F, et al. (2019) ‘Multimodal Elimination for Intoxication with a Lethal Dose of Organic Mercury’. Case Reports in Critical Care, 4275918.
  3. Albers A, Gies U, Raatschen HJ, et al. (2020) ‘Another umbrella murder? – A rare case of Minamata disease’. Forensic Science, Medicine, and Pathology, 16, 504–509.
  4. ‘In 2011, Christoph Bulwin was murdered…’ (AUG 2022) Reddit.
  5. ‘Guillain-Barre syndrome’. (14 JUN 2022) Mayo Clinic.
  6. ‘Biomonitoring Summary – Mercury’. (07 APR 2017) U.S. Centers for Disease Control and Prevention.
  7. Ye BJ, Kim BG, Jeon MJ, et al. (2016) ‘Evaluation of mercury exposure level, clinical diagnosis and treatment for mercury intoxication’. Annals of Occupational and Environmental Medicine, 28 (1): 5.
  8. Aaseth J, Ajsuvakova OP, Skalny AV, et al. (2018) ‘Chelator combination as therapeutic strategy in mercury and lead poisonings’. Coordination Chemistry Reviews, 358, pp. 1-12.
  9. Marawar R, Basha M, Mahulikar A. (2018) ‘Updates in Refractory Status Epilepticus’. Critical Care Research and Practice, 9768949.
  10. ‘Mees’ Lines’. (03 MAY 2022) Cleveland Clinic.
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胡中行_96
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曾任澳洲臨床試驗研究護理師,以及臺、澳劇場工作者。 西澳大學護理碩士、國立台北藝術大學戲劇學士(主修編劇)。邀稿請洽臉書「荒誕遊牧」,謝謝。
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