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你到底有多愛我?

賴 以威
・2014/01/02 ・2307字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 481 ・五年級

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Photo Credit:Lauren Lionheart
Photo Credit:Lauren Lionheart

數學相當強調「量化」的概念。用熱戀中的情侶最愛說的話來舉例就是——你到底有多愛我?

這是個很難回答的問題,跟「數學到底能幹嘛?」差不多困難。要是隨便說個「超愛的」,恐怕對方會立刻展現出約莫一平方公分的白眼,貞子從電視機裡爬出來時的極限也差不多是這樣了(很,很老的梗嗎?)。

在與各位分享該如何回答這個問題前,我們先看看生活中其他事物是如何量化的。

※   基準是量化的基準

最常見的數量當屬「長度」了。

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理化課本有教過,公尺最早的定義是:通過巴黎的經線,從赤道到北極的距離的千萬分之一。之後,人們還製作了一架米原器(Mètre des Archives),以零度時米原器的兩道刻度距離,定義為一公尺。科技進步,手機日新月異,手機不僅是必需品,還是一種時尚品。公尺的定義也不遑多讓,不斷更新,越來越精準,如今最時髦的定義是:光速的1/299792458。

用光速、經線、甚至用幾隻 iPhone 來作基準都無所謂(答案是 8 隻 iPhone 約為1公尺),重點是要有「基準(reference)」。任何量化都是相對的概念,我身高一米七,意思即是我整個人是赤道到北極距離的千萬分之 1.7 ,或光走 5.670589618 奈秒的距離。

原來矮子如我,低頭看自己的腳也有時間差,真感人。

我們只是將這段長度取名為「公尺」,要叫他阿姆斯特朗旋風炮也可以,目的只是為了省略掉原本那一長串,有關經線或光速,講出來大家也無法想像的長度。

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※   再奇怪的東西,都可以量化

只要有基準,誰都可以被量化。

好比「辣」這種因人而異的感覺,也可以量化成:甜椒 0~5 度,普通辣椒約 10,000 度(也跳太快),知名的辣椒醬 Tabasco 則是 2,500~5,000 度。辣度的基準來自於從食物中萃取一單位的辣椒素,加水稀釋,再找一位可憐蟲來品嘗。不考慮品嘗過程中造成的液體損失,不考慮可憐蟲的味覺。當這位可憐蟲用那媲美梁朝偉在《東成西就》裡的一雙厚唇說「我吃不出來有辣的感覺了」,稀釋溶液與原本辣椒醬的比例,就是辣度(Scoville Scale)。

糖度也是類似的測量方式,擔任基準點的一度糖度( Brix ),即是 1 克蔗糖融在 100 克水中的糖度。有了基準點,便可以用各種方式去量化不同水果、飲料的糖度。

每次我去飲料站時,都很想對著店員大喊:「我要糖度 10 Brix 的葡萄柚綠茶,不要再跟我說什麼微糖、三分糖了!」

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不過,可能會被當瘋子吧。一定會的。

Photo Credit:Ari Helminen
Photo Credit:Ari Helminen

絕對的基準,不如相對的基準

解釋辣度時,我們可以發現到有個彆扭的地方,辣度跟資本主義社會的財富一樣,甜椒只有可憐的 2、3 度,Tabasco 為 5000 度,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒將近 150 萬辣度。在這種情況下,比起使用「絕對」的辣度作為基準點,我們更常使用「相對」的基準點。好比說,講起國人一年吃過的便當盒堆疊起來有多高,要是超級高,媒體可能會說「有幾棟101高」。我們也可以用辣度這條線上,連續的兩項產品做為基準點:特立尼達蠍子壯漢T辣椒是一般辣椒的150倍,一般辣椒是Tabasco的2倍,Tabasco則是甜椒的2500倍。

這樣量化的好處是,量化的倍數會比較小,比較好想像。但缺點則是,要是想知道特立尼達蠍子壯漢T辣椒是Tabasco的幾倍,就得牽扯到比加減要麻煩的乘除運算。

某些數學,正是為了解決討厭的計算過程而生的。

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雖然它看起來也蠻討厭的就是了。

※   分貝(decibel, dB)出場

大家常聽到的「分貝」,就是為了這種狀況而生。

給定基準點是A2,A1即可以用X dB來量化。

X dB = 10×log10(A1/A2)

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在分貝換算下,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒比一般辣椒要辣 21.8 dB,一般辣椒比 Tabasco 要辣 3 dB,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒則比 Tabasco 辣 24.8 dB。可以看見,變成分貝後,原本要用乘除運算 150×2 =300 的倍數問題,跟傳統的線性刻度一樣,可以使用加減法運算 21.8+3 =24.8 就可以解決。

這個,即是所謂的對數乘法規則。直觀一點地想,差 10 倍剛好是 10×log1010=10 分貝,差 100 倍則是1 0×log10100=20 分貝,剛好是兩個「差10倍」換算成分貝後的相加。換句話說,如果今天冰箱、冷氣機、跟對面老王的太太製造出來噪音各是 50、60、70 分貝,也可以很快直接推論出冷氣機的音量是冰箱的 10 倍,老王的太太又比冷氣機吵10倍,總共是比冰箱吵100倍。

※你到底有多愛我的數學式回答

最後回到一開始的話題,要是你的另一半雙手繞著你的頸子,輕聲問你:「你到底有多愛我?」

為了不讓她的雙手變成蟒蛇,你的頸子變成一隻等著被絞殺的青蛙,你得先搞清楚,這問題跟所有的量化問題一樣,重點在「基準」。

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你不能拿舊情人來當基準,姑且不論你搞不好得因此說謊(大概是前女友的0.5倍那麼愛吧,這種話說得出口嗎),拿舊情人當基準太無情,對方搞不好會控訴你「以後你也會這樣跟別人說嗎」。

也不能拿朋友的感情來當基準點,免得下次她不小心說溜嘴:「你說要跟比我們少 3 dB恩愛的情侶出去嗎?」

拿太大的基準「謝霆鋒愛張柏芝」太不誠懇,太小的基準「張柏芝愛謝霆鋒」又是找死。

我認為最好的方法呢,是以「當下的關係」當基準點,去量化「未來的關係」。

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「我噢,如果以現在為基準點,我們繼續這樣相處下去,可能每隔一天,我就會多愛妳 3 dB,噢,你不知道 dB 嗎?3 dB 就是 2 倍的意思……」

這邊還可以轉移話題,多好。

如果她對單位不感興趣或她根本數學比你好,那你只好接著說:「這樣交往一個星期後,我愛妳的程度跟今天比,就像特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒跟一般辣椒的辣度差異。」

這是數學式的浪漫。有用嗎?我想或許有用吧。

Photo Credit:cgoldberg89
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註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

文章難易度
賴 以威
32 篇文章 ・ 8 位粉絲
數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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噪音對小寶寶有什麼影響?——淺談胎兒的聽覺系統發展
雅文兒童聽語文教基金會_96
・2022/03/05 ・3191字 ・閱讀時間約 6 分鐘

  • 文/朱家瑩|雅文基金會聽語科學研究中心研究員

懷孕的準媽媽總是想要給寶寶最好的,讓肚子裡的胎兒贏在起跑點——市面上五花八門的胎教音樂,通通拿來給胎兒聽!據傳,莫札特的音樂能讓胎兒剛出生智力就高人一等[1],於是準媽媽選擇了莫札特的《小星星變奏曲》。為了讓肚裡的胎兒好好接收到音樂,準媽媽直接將耳機貼在肚皮上,讓聲音少些阻隔,能夠直達胎兒的耳邊。但是請小心,這樣的音量可能過大,很可能會造成胎兒的聽力損失。

準媽媽應避免「貼身」播放胎教音樂,免得音量過大,很可能會造成胎兒的聽力損失。圖/Freepik

從媽媽的肚子裡開始「聽」

在肚子裡的胎兒,因為隔著媽媽的肚皮、子宮、羊水和甩也甩不掉的脂肪,不僅聽到的音頻較不完整,且音量也小了許多。但,即便有宛如銅牆鐵壁般的保護,若讓胎兒長時間暴露在高於 60 分貝(dBA)的低頻噪音下,仍可能會造成寶寶的聽力損失[2]

什麼?胎兒也可能會有噪音性聽損?那什麼時候該開始注意周遭的聲音,避免讓胎兒還未出生就因噪音而聽損呢?在討論前,先讓我們瞭解一下胎兒的聽覺系統發展。

就像國道建設,聽覺系統也是一段一段接起來

讓我們聽到聲音的聽覺系統分為兩個部分:一個是接收聲音的耳朵構造,包含外耳、中耳及內耳中的耳蝸;另一個則是在大腦中處理聲音的訊號的聽覺皮質(auditory cortex)。

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耳朵構造的發展很早就開始了。從第一孕期(0-14 週)開始,大約在 15 週時就會發展完成,而內耳毛細胞則是在 10-12 週開始分化;大約在第二孕期開始,依序由內毛細胞發展到外毛細胞[2, 3]。當內毛細胞發展完成,可以將聲音訊號傳遞到腦幹及顳葉時,聽覺系統就可以開始運作了,這時候大約是 25 到 29 週[4]。內毛細胞是聲音的接收器,連結著聽神經,聲音刺激引發內毛細胞震動後,就可將聲音傳輸到可以處理聲音訊號的聽覺皮質。

因此,當內毛細胞發展完成後,也就是第三孕期(28-40 週)時,聽覺系統開始運作。這時胎兒可以藉由耳毛細胞傳遞訊號到大腦,進而聽到聲音。

當內外毛細胞發展完成後,聽覺刺激就能一路上傳到聽覺皮質,正式啟用聽覺系統。圖/修改自 Freepik,增加各孕期階段之聽覺系統發展內容

胎兒也需要聽覺刺激——沒刺激就沒發展

聽覺系統的發展仰賴聽覺刺激來訓練毛細胞傳達訊息到大腦。因此,當聽覺系統開工後,便需要有聲音刺激來訓練毛細胞。文獻指出,懷胎 7 月起到出生 1 個月內,是讓胎兒學習不同聲音頻率的最佳時機[5]!不管是父母的說話或哼唱聲、環境中的講話聲,或是音樂,都是很好的刺激來源。

揪兜媽爹!聲音不是「大」又「多」就好

不過,要特別注意音量以及給予的方式,因為胎兒的耳毛細胞還很脆弱,有可能會因為過大且持續的聲音刺激造成聽力損失,得不償失。

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我們大多是透過空氣傳遞的方式聽到聲音,但肚子裡的胎兒可不一樣。外界聲音要先穿透媽媽厚厚的肚皮、子宮跟羊水才能抵達(可以想像在水裡摀著耳朵聽聲音)。因為耳朵都被羊水塞住了,胎兒是透過骨頭傳遞的方式聽聲音,能聽到的僅限於低頻音域(500 Hz 以下),如此可以保護負責處理高頻聲音的耳毛細胞[2]。但是,超過 60 分貝(dBA)的低頻噪音還是應該要避免,否則就會造成還在學習傳導訊息的耳毛細胞受到傷害,進而造成不可逆的聽力損失。

動滋動滋,媽媽肚子自動強化重低音

低頻噪音可以輕易穿透媽媽的肚子,聲壓不僅不會減少,甚至可能會增加,容易造成胎兒的耳毛細胞受到傷害。相對地,高頻噪音(500 Hz 以上)則很難進到胎兒的內耳,而且一旦進入媽媽的肚子後,還會減少 20-30 dB 的聲壓[6],因此低頻噪音對於胎兒的影響遠大於高頻噪音。

除此之外,也要注意工作環境和生活環境中的噪音。研究指出,若準媽媽的工作場域暴露在 80 分貝(dBA)的噪音當中,除了會造成胎兒聽損外,也容易早產[7];而若生活環境吵雜,像是住家靠近機場,每天暴露在 60 到 65 分貝(dBA)的飛機噪音中,也容易造成胎兒出生體重過輕[8]。由此可見,噪音對於胎兒的影響不僅是聽力發展!

不同分貝(dBA)的聽覺感受、生活中的相關聲音範例,以及對於人的影響。但此表中所呈現的分貝數是包含全頻率的聲音,並非特定高頻或低頻。表/翻譯自參考資料 9

聲光玩具可以是最佳保姆,但也可能是聽力殺手

聽覺系統的發展在出生後仍然持續進行[10],因此仍然需要不同的聲音刺激。不過,市面上常見的聲光玩具,對於嬰幼兒的聽力有潛在的危險性,所以挑選玩具時也需多多留意。

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嬰幼兒的鼓膜對於噪音很敏感,因為他們的耳道比大人短,再加上嬰幼兒的手臂長度較短,在玩玩具時,玩具和耳朵的距離比大人近,音量也會相對大聲[11]。對於年紀更小的嬰幼兒,有些甚至還沒有能力將過大音量的聲光玩具移開,同時也沒有足夠的認知能力可以辨識什麼樣的聲音音量是屬於太大聲的噪音[12]

挑選嬰幼兒玩具時,需要多加留意玩具的音量。圖/Pexels

根據 Sight & Hearing Association 2021 年的調查報告[13],下圖舉例的玩具音量皆超過 100 分貝(dBA)。可以看到玩具的種類包含尖叫雞、電子樂器、聲光機器人,甚至是音效書。

選購玩具時,若音量對你來說有點大聲,那就不要猶豫,請把它放回架上。尚未拆封的玩具因有包裝阻隔,會再降低一些音量——要是你覺得大聲,那對嬰幼兒更是震耳欲聾[14]。若是手邊已經有聲光玩具,也不用急著丟掉,可以用膠帶貼住喇叭,降低音量[15],或者直接拔掉電池[16]

聽覺系統自胎兒時期開始發展,因此當寶寶開始聽得到聲音時,就要避免持續性的噪音可能造成的聽力損害,而噪音的來源可能就是身邊常見的聲源,包含胎教音樂跟聲光玩具等。這些被視為「好」的聲音,一旦超過可容忍的音量,就會變成「不好」的噪音了。

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音量超標的玩具品項,包含尖叫雞、電子樂器、聲光機器人,還有音效書。圖/Amazon

參考文獻

  1. Rauscher, F. H., Shaw, G. L., & Ky, C. N. (1993). Music and spatial task performanceNature365(6447), 611-611.
  2. Graven, S. N., & Browne, J. V. (2008). Auditory development in the fetus and infant. Newborn and infant nursing reviews, 8(4), 187-193.
  3. James, W. (2000). Development of the ear and hearingJournal of perinatology20(1), S12-S20.
  4. Moore, J. K., & Linthicum, F. H. (2007). The human auditory system: A timeline of development. International Journal of Audiology, 46(9), 460–478. 
  5. Kisilevsky, B. S., Hains, S. M., Lee, K., Xie, X., Huang, H., Ye, H. H., … & Wang, Z. (2003). Effects of experience on fetal voice recognitionPsychological Science, 14(3), 220-224.
  6. Gerhardt, K. J., & Abrams, R. M. (2000). Fetal exposures to sound and vibroacoustic stimulationJournal of Perinatology20(1), S21-S30.
  7. Gupta, A., Gupta, A., Jain, K., & Gupta, S. (2018). Noise pollution and impact on children healthThe Indian Journal of Pediatrics85(4), 300-306.
  8. Knipschild, P., Meijer, H., & Sallé, H. (1981). Aircraft noise and birth weightInternational Archives of Occupational and Environmental Health48(2), 131-136.
  9. Committee on Environmental Health. (1997). Noise: a hazard for the fetus and newbornPediatrics100(4), 724-727.
  10. Litovsky, R. (2015). Development of the auditory systemHandbook of clinical neurology129, 55-72.
  11. Hellstrom, P. A., Dengerink, H. A., & Axelsson, A. (1992). Noise levels from toys and recreational articles for children and teenagersBritish journal of audiology26(5), 267-270.
  12. Axelsson, A. (1996). The risk of sensorineural hearing loss from noisy toys and recreational activities in children and teenagersInternational Journal for Consumer and Product Safety3(3), 137-146.
  13. Sight & Hearing Association (2021). Sight & Hearing Association Releases 2021 Annual Noisy Toys List.
  14. Jabbour, N., Weinreich, H. M., Owusu, J., Lehn, M., Yueh, B., & Levine, S. (2019). Hazardous noise exposure from noisy toys may increase after purchase and removal from packaging: A call for advocacy. International Journal of Pediatric Otorhinolaryngology, 116, 84-87.
  15. Weinreich, H. M., Jabbour, N., Levine, S., & Yueh, B. (2013). Limiting hazardous noise exposure from noisy toys: simple, sticky solutionsThe Laryngoscope, 123(9), 2240-2244.
  16. Zappi, R. E. (2021). Watch for Holiday Toys That Can Pose a Hearing Hazard.
雅文兒童聽語文教基金會_96
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雅文基金會提供聽損兒早期療育服務,近年來更致力分享親子教養資訊、推動聽損兒童融合教育,並普及聽力保健知識,期盼在家庭、學校和社會埋下良善的種子,替聽損者營造更加友善的環境。

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你到底有多愛我?
賴 以威
・2014/01/02 ・2307字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 481 ・五年級

Photo Credit:Lauren Lionheart
Photo Credit:Lauren Lionheart

數學相當強調「量化」的概念。用熱戀中的情侶最愛說的話來舉例就是——你到底有多愛我?

這是個很難回答的問題,跟「數學到底能幹嘛?」差不多困難。要是隨便說個「超愛的」,恐怕對方會立刻展現出約莫一平方公分的白眼,貞子從電視機裡爬出來時的極限也差不多是這樣了(很,很老的梗嗎?)。

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最常見的數量當屬「長度」了。

理化課本有教過,公尺最早的定義是:通過巴黎的經線,從赤道到北極的距離的千萬分之一。之後,人們還製作了一架米原器(Mètre des Archives),以零度時米原器的兩道刻度距離,定義為一公尺。科技進步,手機日新月異,手機不僅是必需品,還是一種時尚品。公尺的定義也不遑多讓,不斷更新,越來越精準,如今最時髦的定義是:光速的1/299792458。

用光速、經線、甚至用幾隻 iPhone 來作基準都無所謂(答案是 8 隻 iPhone 約為1公尺),重點是要有「基準(reference)」。任何量化都是相對的概念,我身高一米七,意思即是我整個人是赤道到北極距離的千萬分之 1.7 ,或光走 5.670589618 奈秒的距離。

原來矮子如我,低頭看自己的腳也有時間差,真感人。

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※   再奇怪的東西,都可以量化

只要有基準,誰都可以被量化。

好比「辣」這種因人而異的感覺,也可以量化成:甜椒 0~5 度,普通辣椒約 10,000 度(也跳太快),知名的辣椒醬 Tabasco 則是 2,500~5,000 度。辣度的基準來自於從食物中萃取一單位的辣椒素,加水稀釋,再找一位可憐蟲來品嘗。不考慮品嘗過程中造成的液體損失,不考慮可憐蟲的味覺。當這位可憐蟲用那媲美梁朝偉在《東成西就》裡的一雙厚唇說「我吃不出來有辣的感覺了」,稀釋溶液與原本辣椒醬的比例,就是辣度(Scoville Scale)。

糖度也是類似的測量方式,擔任基準點的一度糖度( Brix ),即是 1 克蔗糖融在 100 克水中的糖度。有了基準點,便可以用各種方式去量化不同水果、飲料的糖度。

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不過,可能會被當瘋子吧。一定會的。

Photo Credit:Ari Helminen
Photo Credit:Ari Helminen

絕對的基準,不如相對的基準

解釋辣度時,我們可以發現到有個彆扭的地方,辣度跟資本主義社會的財富一樣,甜椒只有可憐的 2、3 度,Tabasco 為 5000 度,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒將近 150 萬辣度。在這種情況下,比起使用「絕對」的辣度作為基準點,我們更常使用「相對」的基準點。好比說,講起國人一年吃過的便當盒堆疊起來有多高,要是超級高,媒體可能會說「有幾棟101高」。我們也可以用辣度這條線上,連續的兩項產品做為基準點:特立尼達蠍子壯漢T辣椒是一般辣椒的150倍,一般辣椒是Tabasco的2倍,Tabasco則是甜椒的2500倍。

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※   分貝(decibel, dB)出場

大家常聽到的「分貝」,就是為了這種狀況而生。

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給定基準點是A2,A1即可以用X dB來量化。

X dB = 10×log10(A1/A2)

在分貝換算下,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒比一般辣椒要辣 21.8 dB,一般辣椒比 Tabasco 要辣 3 dB,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒則比 Tabasco 辣 24.8 dB。可以看見,變成分貝後,原本要用乘除運算 150×2 =300 的倍數問題,跟傳統的線性刻度一樣,可以使用加減法運算 21.8+3 =24.8 就可以解決。

這個,即是所謂的對數乘法規則。直觀一點地想,差 10 倍剛好是 10×log1010=10 分貝,差 100 倍則是1 0×log10100=20 分貝,剛好是兩個「差10倍」換算成分貝後的相加。換句話說,如果今天冰箱、冷氣機、跟對面老王的太太製造出來噪音各是 50、60、70 分貝,也可以很快直接推論出冷氣機的音量是冰箱的 10 倍,老王的太太又比冷氣機吵10倍,總共是比冰箱吵100倍。

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※你到底有多愛我的數學式回答

最後回到一開始的話題,要是你的另一半雙手繞著你的頸子,輕聲問你:「你到底有多愛我?」

為了不讓她的雙手變成蟒蛇,你的頸子變成一隻等著被絞殺的青蛙,你得先搞清楚,這問題跟所有的量化問題一樣,重點在「基準」。

你不能拿舊情人來當基準,姑且不論你搞不好得因此說謊(大概是前女友的0.5倍那麼愛吧,這種話說得出口嗎),拿舊情人當基準太無情,對方搞不好會控訴你「以後你也會這樣跟別人說嗎」。

也不能拿朋友的感情來當基準點,免得下次她不小心說溜嘴:「你說要跟比我們少 3 dB恩愛的情侶出去嗎?」

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拿太大的基準「謝霆鋒愛張柏芝」太不誠懇,太小的基準「張柏芝愛謝霆鋒」又是找死。

我認為最好的方法呢,是以「當下的關係」當基準點,去量化「未來的關係」。

「我噢,如果以現在為基準點,我們繼續這樣相處下去,可能每隔一天,我就會多愛妳 3 dB,噢,你不知道 dB 嗎?3 dB 就是 2 倍的意思……」

這邊還可以轉移話題,多好。

如果她對單位不感興趣或她根本數學比你好,那你只好接著說:「這樣交往一個星期後,我愛妳的程度跟今天比,就像特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒跟一般辣椒的辣度差異。」

這是數學式的浪漫。有用嗎?我想或許有用吧。

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註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

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分貝越高聽起來就越大聲?——淺談「等響曲線」,揭開聽覺感知的神秘面紗!
雅文兒童聽語文教基金會_96
・2021/10/13 ・2964字 ・閱讀時間約 6 分鐘

  • 文/邱彥哲|雅文基金會聽語科學研究中心助理

馬路旁停著一台沒有熄火、引擎正在運轉的車,另一側站著一位警察,正在吹哨指揮交通。你覺得哪個聲音「聽起來」比較清楚呢?你會發現,高亢的哨音比較大聲,而且清楚;而低沉的引擎聲,似乎又小聲又模糊。雖然這只是舉例,卻也是我們的生活經歷。想知道背後的原因嗎?請繼續看下去,讓我們一起揭開聽覺感知的神秘面紗。

街道上充斥各種聲音,有些聲音特別清楚,有些則十分模糊。圖/GoodFon

你真的知道「聲音」是什麼嗎?

在認識聽覺感知之前,我們要先從聲音本質講起。我們都知道,以物理的角度來說,聲音是一種振動能量。物體藉由重複性的移動產生振動,振動影響周圍介質(一般來說是空氣),介質粒子會因疏密變化而產生壓力,最後形成波的型態,將能量傳遞出去。聲波振動有兩種性質:一個是頻率(Frequency),也就是一秒內振動的次數,以赫茲(Hertz, Hz)作為單位;另一個是音強(Intensity),與聲波的振幅有關,也可以說是振動產生的氣壓大小,專業上會以「力」的單位「每平方公尺多少牛頓(Newton, N; N/m2)」來標示。

然而,直接使用牛頓標示音強,數值範圍會過大,也較不直觀,所以通常會將此數值轉換為我們常見的「分貝」(decibels, dB)來表示。在這裡,我們只要知道分貝數大小表示聲音物理上的強度就可以了。讀到這行,強烈的睡意是否已經襲來?先等等!聲音還有你不為人知的一面。

分貝比較大,聽起來卻比較小聲?

換個角度,從人類感知的面向來講,上述物理現象,其實可以對應到我們常說的「音高」跟「音量」:頻率對應音高,通常頻率越高,音高越高;音強對應音量,通常音強越大,音量越大。但是,上面說的只是「通常」的情況。實際上,事情不是我們想的那麼簡單。

我們可以把人類的感知能力當作一面濾鏡,當外界刺激進入感知範圍後,事物的邏輯就可能會產生新的樣貌。拿前面的「音量」來說,並不是在所有情況下,音強大的聲音,聽起來就真的比較大聲;因為聲音還同時有頻率的性質,所以在感知音量時,也會受到頻率的影響。

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咦?也就是說,一個音強比較大的聲音,聽起來可能會比較小聲嗎?沒錯!同樣音強,但不同頻率的聲音,就聽覺感受來說,音量聽起來確實可能會不一樣。那麼,人類感知音量的全貌,究竟是什麼樣子呢?

音量感知的秘密──等響曲線

首次針對這類議題探討的,是物理學家 Fletcher 及 Munson (1993)。他們研究的背景是在 1933 年。當時,對於音量大小的描述,還停留在使用樂理強弱符號(如:p, piano, 表示「弱」; f, forte, 表示「強」)的相對概念。他們意識到,即使都用「強」來描述某個聲音,大家的感受卻不盡相同。於是他們進行實驗,運用數學方法,繪製出一張曲線圖,被後人稱為弗萊徹–蒙森曲線(Fletcher–Munson Curves),也就是「等響曲線(Equal-Loudness Curves)」的概念原型。

這張圖被後來的研究者不斷修正,直到 2003 年,國際標準化組織(International Organization for Standardization, 簡稱 ISO)發表最新版本「ISO 226:2003」。有了這張圖,音量感知的秘密就昭然若揭了──等響曲線堪稱人類音量感知的「鳥瞰圖」!

ISO 226:2003 等響曲線圖。橫軸為頻率(K 表示千倍),縱軸為分貝數。藍色曲線為舊版本之 40 方曲線,紅色曲線為最新修正版本。圖/ Wikipedia

心理感受的「音量」 ≠ 物理實際的「音強」

看不懂這張圖嗎?沒關係,且讓我娓娓道來。在此之前,我們要先了解「響度」的概念。在心理聲學領域,研究者會使用響度來表示我們一般所說的音量,並以方(Phon)」作為響度的單位。方是什麼呢?簡單來講,就是一個聲音以 1,000 赫茲純音為參考音的主觀音量大小(Howard & Angus, 2017)。舉例來說,40 方表示 1,000 赫茲的純音,以音強 40 分貝播放時,所聽起來的音量大小;若是 60 方的話,則是 1,000 赫茲純音,以音強 60 分貝播放時,所聽起來的音量大小。

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有了響度的概念,我們回頭看圖,會發現在等響曲線圖中,40 方的曲線從 1,000 赫茲往低頻區間延伸時,分貝數會逐漸上升。這就是說,如果兩個聲音要聽起來一樣大聲(響度/音量),100 赫茲聲音的分貝數(音強)需要比 1,000 赫茲來得大才有辦法。換個角度解釋,物理上同樣是 60 分貝(音強)的聲音,在 100 赫茲上,我們聽起來差不多僅是 40 方響度(音量)的聲音大小,但在 1,000 赫茲時,聽起來卻會更大聲。

聽起來是不是有點複雜呢?其實,你只要記住以下兩點即可:

  1. 等響曲線圖中,同一曲線所經之處,聲音響度/音量(聽起來)都是相等的。
  2. 人類音量感知對 1,000 赫茲附近的頻率特別敏感(聽起來特別大聲)。

現在,你知道為什麼低頻引擎聲會聽起來那麼模糊了吧?這時候你可能會說:「喔,我知道了。但這跟我有什麼關係呢?」有的,這和你荷包的關係可大了!

等響曲線的日常應用──聲音照相

你知道政府已經在 2021 年開始進行「聲音照相」(張雄風,2020)執法了嗎?所謂「聲音照相」,是指行經規定路段的車輛,如果超過指定分貝,就會被裝有噪音計的「聲音照相機」紀錄下來,進行開罰。你可能想問:「蛤?用噪音計量一量就要罰我,有沒有道理啊?」有呢!噪音計可是為我們量身訂做的喔!

所謂「聲音照相」,是指行經規定路段的車輛,如果超過指定分貝,就會被裝有噪音計的「聲音照相機」紀錄下來,進行開罰。

圖/臺北市環保局

根據《噪音管制法》訂定之《噪音管制標準》第二條之二(2013),「音量:以分貝(dB(A))為單位,括號中 A 指在噪音計上 A 權位置之測量值。」也就是說,噪音計在量測到噪音時,要以「分貝(A)」為單位。我相信你聽過分貝,但沒想到分貝還有分 A、B、C?

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其實,所謂的分貝(A)指的是「針對原始分貝值進行 A 加權」後的結果,而「A 加權」其實就是模擬等響曲線中的 40 方曲線。進行 A 加權的過程,是將噪音低頻區間的分貝數減少,再少量增加中高頻區間的分貝數(王栢村,2018)。因為噪音計最後呈現的數值,是所有頻率區間的平均結果,若是不經過 A 加權,低頻區間的數值會使整體分貝數過度膨脹,這樣「測起來」就會跟「聽起來」不一樣了。可見噪音不是隨意測量,要罰人民的錢也不是那麼容易的呢!

閱讀至此,我們了解到,人類對於不同頻率的聲音,有著不同的音量敏感度,而且聲音也能從心理感知的角度來觀察。再者,等響曲線除了揭露音量感知的神秘面紗,還實際在社會秩序中發揮作用,可見等響曲線是多麼重要的發現啊! 

參考文獻

雅文兒童聽語文教基金會_96
55 篇文章 ・ 222 位粉絲
雅文基金會提供聽損兒早期療育服務,近年來更致力分享親子教養資訊、推動聽損兒童融合教育,並普及聽力保健知識,期盼在家庭、學校和社會埋下良善的種子,替聽損者營造更加友善的環境。

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你到底有多愛我?
賴 以威
・2014/01/02 ・2307字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 481 ・五年級

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Photo Credit:Lauren Lionheart
Photo Credit:Lauren Lionheart

數學相當強調「量化」的概念。用熱戀中的情侶最愛說的話來舉例就是——你到底有多愛我?

這是個很難回答的問題,跟「數學到底能幹嘛?」差不多困難。要是隨便說個「超愛的」,恐怕對方會立刻展現出約莫一平方公分的白眼,貞子從電視機裡爬出來時的極限也差不多是這樣了(很,很老的梗嗎?)。

在與各位分享該如何回答這個問題前,我們先看看生活中其他事物是如何量化的。

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※   基準是量化的基準

最常見的數量當屬「長度」了。

理化課本有教過,公尺最早的定義是:通過巴黎的經線,從赤道到北極的距離的千萬分之一。之後,人們還製作了一架米原器(Mètre des Archives),以零度時米原器的兩道刻度距離,定義為一公尺。科技進步,手機日新月異,手機不僅是必需品,還是一種時尚品。公尺的定義也不遑多讓,不斷更新,越來越精準,如今最時髦的定義是:光速的1/299792458。

用光速、經線、甚至用幾隻 iPhone 來作基準都無所謂(答案是 8 隻 iPhone 約為1公尺),重點是要有「基準(reference)」。任何量化都是相對的概念,我身高一米七,意思即是我整個人是赤道到北極距離的千萬分之 1.7 ,或光走 5.670589618 奈秒的距離。

原來矮子如我,低頭看自己的腳也有時間差,真感人。

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我們只是將這段長度取名為「公尺」,要叫他阿姆斯特朗旋風炮也可以,目的只是為了省略掉原本那一長串,有關經線或光速,講出來大家也無法想像的長度。

※   再奇怪的東西,都可以量化

只要有基準,誰都可以被量化。

好比「辣」這種因人而異的感覺,也可以量化成:甜椒 0~5 度,普通辣椒約 10,000 度(也跳太快),知名的辣椒醬 Tabasco 則是 2,500~5,000 度。辣度的基準來自於從食物中萃取一單位的辣椒素,加水稀釋,再找一位可憐蟲來品嘗。不考慮品嘗過程中造成的液體損失,不考慮可憐蟲的味覺。當這位可憐蟲用那媲美梁朝偉在《東成西就》裡的一雙厚唇說「我吃不出來有辣的感覺了」,稀釋溶液與原本辣椒醬的比例,就是辣度(Scoville Scale)。

糖度也是類似的測量方式,擔任基準點的一度糖度( Brix ),即是 1 克蔗糖融在 100 克水中的糖度。有了基準點,便可以用各種方式去量化不同水果、飲料的糖度。

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每次我去飲料站時,都很想對著店員大喊:「我要糖度 10 Brix 的葡萄柚綠茶,不要再跟我說什麼微糖、三分糖了!」

不過,可能會被當瘋子吧。一定會的。

Photo Credit:Ari Helminen
Photo Credit:Ari Helminen

絕對的基準,不如相對的基準

解釋辣度時,我們可以發現到有個彆扭的地方,辣度跟資本主義社會的財富一樣,甜椒只有可憐的 2、3 度,Tabasco 為 5000 度,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒將近 150 萬辣度。在這種情況下,比起使用「絕對」的辣度作為基準點,我們更常使用「相對」的基準點。好比說,講起國人一年吃過的便當盒堆疊起來有多高,要是超級高,媒體可能會說「有幾棟101高」。我們也可以用辣度這條線上,連續的兩項產品做為基準點:特立尼達蠍子壯漢T辣椒是一般辣椒的150倍,一般辣椒是Tabasco的2倍,Tabasco則是甜椒的2500倍。

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這樣量化的好處是,量化的倍數會比較小,比較好想像。但缺點則是,要是想知道特立尼達蠍子壯漢T辣椒是Tabasco的幾倍,就得牽扯到比加減要麻煩的乘除運算。

某些數學,正是為了解決討厭的計算過程而生的。

雖然它看起來也蠻討厭的就是了。

※   分貝(decibel, dB)出場

大家常聽到的「分貝」,就是為了這種狀況而生。

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給定基準點是A2,A1即可以用X dB來量化。

X dB = 10×log10(A1/A2)

在分貝換算下,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒比一般辣椒要辣 21.8 dB,一般辣椒比 Tabasco 要辣 3 dB,特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒則比 Tabasco 辣 24.8 dB。可以看見,變成分貝後,原本要用乘除運算 150×2 =300 的倍數問題,跟傳統的線性刻度一樣,可以使用加減法運算 21.8+3 =24.8 就可以解決。

這個,即是所謂的對數乘法規則。直觀一點地想,差 10 倍剛好是 10×log1010=10 分貝,差 100 倍則是1 0×log10100=20 分貝,剛好是兩個「差10倍」換算成分貝後的相加。換句話說,如果今天冰箱、冷氣機、跟對面老王的太太製造出來噪音各是 50、60、70 分貝,也可以很快直接推論出冷氣機的音量是冰箱的 10 倍,老王的太太又比冷氣機吵10倍,總共是比冰箱吵100倍。

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※你到底有多愛我的數學式回答

最後回到一開始的話題,要是你的另一半雙手繞著你的頸子,輕聲問你:「你到底有多愛我?」

為了不讓她的雙手變成蟒蛇,你的頸子變成一隻等著被絞殺的青蛙,你得先搞清楚,這問題跟所有的量化問題一樣,重點在「基準」。

你不能拿舊情人來當基準,姑且不論你搞不好得因此說謊(大概是前女友的0.5倍那麼愛吧,這種話說得出口嗎),拿舊情人當基準太無情,對方搞不好會控訴你「以後你也會這樣跟別人說嗎」。

也不能拿朋友的感情來當基準點,免得下次她不小心說溜嘴:「你說要跟比我們少 3 dB恩愛的情侶出去嗎?」

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拿太大的基準「謝霆鋒愛張柏芝」太不誠懇,太小的基準「張柏芝愛謝霆鋒」又是找死。

我認為最好的方法呢,是以「當下的關係」當基準點,去量化「未來的關係」。

「我噢,如果以現在為基準點,我們繼續這樣相處下去,可能每隔一天,我就會多愛妳 3 dB,噢,你不知道 dB 嗎?3 dB 就是 2 倍的意思……」

這邊還可以轉移話題,多好。

如果她對單位不感興趣或她根本數學比你好,那你只好接著說:「這樣交往一個星期後,我愛妳的程度跟今天比,就像特立尼達蠍子壯漢 T 辣椒跟一般辣椒的辣度差異。」

這是數學式的浪漫。有用嗎?我想或許有用吧。

Photo Credit:cgoldberg89
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註:更多賴以威的數學故事,請參考《超展開數學教室》。

文章難易度
賴 以威
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數學作家、譯者,作品散見於聯合報、未來少年、國語日報,與各家網路媒體。師大附中,台大電機畢業。 我深信數學大師約翰·馮·諾伊曼的名言「If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is」。為了讓各位跟我一樣相信這句話,我們得先從數學有多簡單來說起,聊聊數學,也用數學說故事。 歡迎加入我與太太廖珮妤一起創辦的: 數感實驗室

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音叉「噹」一聲,就知有沒有?那些你不知道的聽力篩檢
雅文兒童聽語文教基金會_96
・2021/05/17 ・2880字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 559 ・八年級

  • 文 / 張晏銘、謝耀文 | 雅文基金會聽力師

還記得以前唸國小和幼兒園時,學期初老師會叫一班又一班的同學,排排站在保健室外頭等候體檢嗎?保健室護理師會幫大家量身高、體重、看看牙齒,以及會拿出一個像是叉子一樣的東西,在左邊敲一下、右邊噹一聲,請我們聽到就舉手,通過的打勾,沒通過的打叉;又或者在考汽車駕照檢測時,除了看著佈滿紅綠點的數字外,檢查人員也會在我們耳邊敲擊音叉,確認有沒有聽到聲音。你是不是也有同樣的疑問:為什麼「噹」一聲就能知道聽力有沒有問題?

那些年我們經歷過的音叉測試

音叉是在 1711 年由英國一位宮廷小號手,約翰·朔爾 (John Shore) 所發明,原本是為了替魯特琴調音校正使用;而後因為人體生理構造的獨特性及音叉的方便攜帶性,衍生出一系列的檢查方法進行聽力篩檢,多數的檢測用音叉以五個不同頻率為一組,其中又以 256 Hz 與 512 Hz 最為常見。測試時除可以敲擊不同頻率的音叉,確認受測者有沒有聽到該頻率的聲音外,還可以透過音叉擺放位置的不同組合,來瞭解聽損者的聽損型態:聽損型態概分為三種,傳導性聽損為聲音經由外耳或中耳傳遞時受阻,感音神經性聽損表示內耳或聽神經區域受損,混合性聽損則表示兼具傳導性聽損及感音神經性聽損特徵。

圖一:不同頻率的音叉樣式。圖/Tuning Fork Tests – Evoked Potential

韋伯測試 (Weber Test)〔1〕:將振動音叉置於額頭,正常聽力者會感覺聲音在正中間沒有偏向;若是單側傳導性聽損者,會感覺聲音偏向聽力受損耳,但若是單側感音神經性聽損者,則會感覺聲音偏向聽力正常耳。

圖二:韋伯測試 (Weber Test) 與林內測試 (Rinne Test) 音叉擺放位置示意圖。圖/Weber and Rinne tests – UpToDate

林內測試 (Rinne Test)〔2〕:將音叉底基部置於耳後乳突骨處,待受測者聽不到聲音時,將音叉移到耳朵耳道口旁,詢問是否有聽到聲音,若是可聽到聲音(即Rinne Test陽性,R+),代表聽力正常或感音神經性聽損,但若移到耳旁後沒聽到聲音(即 Rinne Test 陰性,R-),則判斷可能為傳導性聽力受損(尚有其他反應結果,本文未一一列舉)。

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音叉檢測法看似簡單,但其實在「噹」一聲之前,不論是敲擊力道、放置位置距離等皆有詳細規範。雖然無法由此得知完整的聽力健康狀態,但由於流程快速簡單,因此也成為部分學校聽力篩檢的檢測方式。當然,聽力篩檢的方式並不只有這一種,接下來介紹幾種不同的聽篩方法!

動動手指也能知道聽力好壞!?

一般聽力篩檢用的儀器,因為價錢昂貴又非生活中唾手可得,施測時的環境條件和執行門檻也比較高,需要受過訓練的專業人員來操作,因此不少的簡易聽篩方式因應而生,其中像「手指摩擦測試法」〔3〕,便不需要複雜的設備就能執行。測試時站在受測者的後方,將雙手懸空在受測者兩耳旁約 5 公分的距離,分別用左手或右手輕輕搓動手指,並詢問對方是否有聽到聲音,只要不到 30 秒的時間就能得知有沒有通過篩檢!這背後的原理其實是當我們輕輕摩擦手指時,產生的音量大約是 25 分貝 (dB A),且摩擦時的聲音能量主要分布在高頻,而年齡導致的聽力退化多由高頻開始,也因此目前多應用於老年人聽力篩檢〔4.5.6〕

然而這樣的方法雖然容易操作,並不具有頻率特定性,且操作上需避免視覺線索的提示,受到人為因素影響的機率也較高,所以無法完全取代標準的聽力篩檢工具。

圖三:手指摩擦測試法示意圖。圖/9 Simple Medical Tests to Check Your Health Right Now

你問我答的聽力問卷調查

現實生活中人們可能偶會沒接收到細微的聲音卻不自知,但當與人溝通交談時常需要對方重述,或者頻繁的聽錯對話內容,那便會是個不可忽視的「紅色警訊 (Red Flag)。為能客觀瞭解生活中的實際傾聽狀態,學者設計出了問卷或聽覺行為量表測驗,只需回答幾個簡單的問題,可以使受測者去留心到不同環境下自己的聆聽表現,例如年長者聽障問卷 (Hearing Handicap Inventory for Elderly-Screening; HHIE-S) 〔7〕;而對於無法自主表達的嬰幼兒或兒童,則可透過主要照顧者或學校老師的生活照護與觀察,來留意其表現,例如:雅文基金會整理的微聽損警示量表嬰幼兒聽力簡易居家行為量表等都能便捷、迅速的觀察身邊的人是否存在聽力健康疑慮。

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與時代潮流接軌的「聽力管家」

隨著網路科技的發達,聽力測驗工具也可以線上化,只要透過網路下載 App 便可進行聽力追蹤。這類型的測驗模式大概可分三種;第一種是模擬標準的聽力檢測,給予不同頻率的聲音,找出受測者在各頻率能聽到最小聲的聲音,如此一來在家也能取得自己的聽力圖;第二種模式則是找出可以聽見的最高頻率,雖然人耳理論上可以接收 20-20000 Hz 頻率的聲音,但隨著年齡增長,高頻聲音察覺能力會漸漸退化,藉此特徵去換算出耳朵的年齡;第三種模式則是噪音中的語詞聽辨測驗,多是讓受測者在有背景噪音的情況下,聽取一小段數字後跟著輸入,輸入正確語音會變得更小聲,但當輸入錯誤語音音量就會變大聲,最終找出受測者能回答正確時的語音和噪音的音量比,藉此做為是否需進一步追蹤聽力的參考依據。

表格:聽力篩檢APP〔8.9.10〕

線上聽檢十分便捷,但在選擇聽力測驗時,仍須留意測驗是否有提供完整操作說明、耳機校正程序或明確的檢查結果(如:聽力圖、聽力年齡等),以及是否能針對結果給予後續適當的建議〔8.9.10〕

聽篩種類百百款,仍然不是萬靈丹

不論是甚麼類型的篩檢測驗,都會有其限制,無法完整的全面瞭解聽力健康狀況,因此在察覺聽力健康出現問題後,仍應回診進行完整的聽力評估,確認是否需進一步介入。聽力也是我們身體機能的一種,隨年齡增長便有退化的可能,因此唯有定期檢查與追蹤,方能即時掌握聽力健康狀態,切勿輕忽怠慢唷!

參考資料

  1. Wahid, N., Hogan,C., & Attia M.(2021).Weber Test.
  2. Kong, E. L., & Fowler, J. B. (2017). Rinne Test.
  3. Torres-Russotto, D., Landau, W. M., Harding, G. W., Bohne, B. A., Sun, K., & Sinatra, P. M. (2009). Calibrated finger rub auditory screening test (CALFRAST). Neurology72(18), 1595-1600.
  4. Strawbridge, W. J., & Wallhagen, M. I. (2017). Simple tests compare well with a hand‐held audiometer for hearing loss screening in primary care. Journal of the American Geriatrics Society65(10), 2282-2284.
  5. Jin, J. (2021). Screening for Hearing Loss in Older Adults. JAMA325(12), 1234-1234.
  6. Ramdoo, K., Bowen, J., Dale, O. T., Corbridge, R., Chatterjee, A., & Gosney, M. A. (2014). Opportunistic hearing screening in elderly inpatients. SAGE open medicine2, 2050312114528171.
  7. 齊凡翔、陳建宏、楊宗翰、劉殿楨(2015)年長者聽障問卷-篩檢版得分與純音及語音聽力檢查結果之相關性。臺灣耳鼻喉頭頸外科雜誌50(4), 257-265
  8. 張晏銘、馬英娟、林淑芬(2016年12月29日)。數位時代中的聽能管理智慧工具
  9. 馬英娟(2018年7月28日)。APP玩科技,聽力保健真容易。取自:https://www.chfn.org.tw/publication/article/2/hearing_app
  10. 唐佩君(2019年3月2日)。世衛推免費App 不同音量3數字測聽力。中央通訊社。
雅文兒童聽語文教基金會_96
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