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不存在的事情也可以證明?一起體會數學證明的美麗之處!——《數學大觀念》

貓頭鷹出版社_96
・2023/05/06 ・2051字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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研究數學時,有一點非常有趣,那就是你可以證明一件事情千真萬確毋庸置疑,這也正是讓數學和其他科學有所不同的原因。

在其他的科學中,我們會因為一些法則符合現實世界的情況而接受它們,但是如果新的證據出現了,這些法則是可以被反駁或是修改的。然而在數學中,一旦某個理論被證實,它就是永遠真實不變的。舉例來說,歐幾里德在兩千年前證明出「質數有無限多個」,我們便無法再說什麼或做什麼來反駁這個理論的真實性。

科技來來去去,但是定理亙古不變。正如一位偉大的數學家哈代所說

數學家其實就像畫家或詩人,大家都在創造規律,但如果數學家創造出來的規律更永恆不朽,那是因為背後是由理念所建構而成。

對我來說,證明出一個新的數學定理似乎就是讓學術地位不朽的最佳途徑。

不存在的事也可以證明

數學不僅能證明某事絕對正確,也能用來證明某事絕無可能。

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有時候,人們會說:「你無法證明不存在的事情不存在。」我想這大概就是說你無法證明世界上並沒有紫色的牛,因為可能哪天突然就會出現一隻。

但是在數學中,不存在是可以被證明的。舉例來說,不論你多麼努力嘗試,永遠都不可能找到相加會變成一個奇數的兩個偶數,也不可能找到一個最大的質數。

在你第一次(甚或第二或第三次)遇上這些證明時可能會覺得有點嚇人,所以絕對需要一點時間來適應。不過一旦掌握到了訣竅,你在閱讀和寫出這些證明的時候都會變得相當有趣。好的證明就像一個講得很精采的笑話或是故事,會讓你對結局非常滿意。

被遮住的淺色方格

跟你說說我第一次證明某事不可能的經驗。當我還小的時候,很喜歡各種遊戲和謎題。有天,一位朋友拿了一個遊戲裡的謎題來挑戰我,想當然我很感興趣啦。他出示一個八乘八的空白棋盤,然後拿出了 32 張一乘二大小的骨牌。

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他問:「你能用這32 張骨牌將這個棋盤鋪滿嗎?」我說:「那當然,只要每一排放上四張骨牌就行了,就像這樣。」

用骨牌將八乘八的棋盤撲滿。圖/數學大觀念

「非常好,」他說,「現在假設我將左上角和右下角的正方形移開了,」他在這兩個方格中各放一枚硬幣,這樣我就不能使用了。「現在你能夠用 31 張骨牌鋪滿剩下的 62 個方格嗎?」

移走兩個對角的方格後,能否還用骨牌將其補滿?圖/數學大觀念

「或許可以,」我說。

但無論我怎麼嘗試,就是無法達成,我開始思考這是否根本就不可行。

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如果你認為這不可行,你能夠證明這一點嗎?」我的朋友這麼問。但如果我沒有將無數失敗的可能都試過一遍,又怎麼能證明這是不可能的呢?

他隨後提出建議:「看看棋盤上的顏色。」顏色?顏色跟這一切有什麼關聯?但是接下來我看到了。既然兩個被移走的方格都是淺色的,那麼棋盤上剩下的是三十二個深色方格和三十個淺色方格。但因為每一張骨牌都會剛剛好涵蓋一個淺色方格和一個深色方格,所以三十一張骨牌就不可能鋪滿這樣的棋盤。這真是太酷了!

悄悄話

如果你喜歡上述最後一個證明,那我相信你也會欣賞下面這一個。電玩遊戲「俄羅斯方塊」中有七種不同形狀,有時候我們稱之為 I、J、L、O、Z、T 和 S。

這七個形狀可以排成一個四乘七的長方形嗎?圖/數學大觀念

這七個形狀可以排成一個四乘七的長方形嗎?

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每一個形狀都剛好占據四個方格,所以我們自然會猜想,這七個形狀或許可以拼成一個四乘七的長方形(拼湊的過程中,我們可以翻轉或是旋轉這些形狀),但事實上這是一個不可能的任務。你要怎麼證明這是不可能的呢?讓我們將這個長方形上色,使其含有十四個淺色方格和十四個深色方格,如下圖所示。

請注意,除了 T 這個形狀以外,每一個形狀不論放在棋盤的哪一個位置,都一定涵蓋兩個淺色方格和兩個深色方格。但是 T 涵蓋的範圍是三個某一種顏色的方格和一個另一種顏色的方格。於是,不論其他六個方塊放在哪裡,它們一定蓋住正好十二個淺色方格和十二個深色方格,剩下來給 T 的是兩個淺色方格和兩個深色方格,也就是這個要求不可能達成。

——本文摘自《數學大觀念:全面理解從數字到微積分的12大觀念》,2023 年 3 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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任何整數裡都藏著的神秘數字:數字 9 可以創造出什麼樣的神奇火花?——《數學大觀念》
貓頭鷹出版社_96
・2023/05/08 ・1957字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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小時候,我最喜歡 9 這個數字了,因為它似乎蘊含許多神奇的特性。我想給你看一個例子,請照著下列充滿魔力的數學指示:

  1. 想一個在 1 到 10 之間的數(如果不滿意,你也可以挑更大的整數並使用計算機)。
  2. 將這個數乘以 3。
  3. 然後加上 6。
  4. 把得到的數字再乘以 3。
  5. 如果你願意的話,把這個數字再乘以 2。
  6. 將這個數字的所有位數相加,如果是個位數,就停止運算。
  7. 如果是二位數,那麼將兩個位數再次相加。
  8. 專心想著你的答案。

直覺告訴我你正在想的數字是 9,對不對?(如果不是的話,你或許該回過頭驗算一下。)

是什麼讓 9 這個數字如此神奇?我們會在本章看到它的一些神奇特性,然後我們甚至會考慮有另一個世界的存在,在那裡 12 和3 的功能相等而且完全合理!

觀察 9 的倍數

9 的第一個神奇特性可以從它的倍數中看出來:

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9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144⋯⋯

這些數目有什麼共通點?

如果你將每個數字各自的位數相加,似乎每次都會得到 9。

讓我們挑其中幾個來試試看:18 的各個位數之和是 1 + 8 = 9;27 是 2 + 7 = 9;144 則是 1 + 4 + 4 = 9。但是慢著,這裡有一個例外:99 的位數和是 18,不過 18 本身仍是 9 的倍數。所以我們得到下面這個重要結論,這件事你可能在小學就學過了,而我們稍後也會在這一章中解釋:

如果一個數字是 9 的倍數,那麼它的各個位數之和也必定是 9 的倍數(反之亦然)。

舉例來說,123,456,789 的位數和是 45(9 的倍數),所以這個數就是 9 的倍數。反過來說,314,159 的位數和是 23(非 9 的倍數),所以這個數就不是 9 的倍數。

整數的強大性質

讓我們用這個規則來了解前面的那個魔術戲法,並仔細檢驗其中的代數。你先想一個數字,我們稱之為N。乘上三倍之後你會得到 3N,在下一步變成 3N + 6。將這個數字再乘上三倍則是 3(3N + 6)= 9N + 18, 也就是 9(N + 2)。如果你決定要再乘上 2, 就會得到 18N + 36 = 9(2N+4);但不管有沒有乘上 2,你最後的答案都會是9 乘上一個整數,所以最後一定會得到 9 的倍數。(編按:這就是整數的強大性質之一,任何一個 a 倍數乘上任意整數,仍然還是 a 的倍數)

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當你計算這個數字的各個位數之和,你一定會再度得到一個 9 的倍數(可能是 9 或 18 或 27 或 36),而且這些數目的各個位數之和必定為 9。

還有另一個我也很喜歡用的魔術戲法,它是前面那個魔術的變形。找一個有計算機的人,請他從下列四位數中挑出一個:

3141 或 2718 或 2358 或 9999

這些數字分別是 π(詳見第八章)的前四位數、e(詳見第十章)的前四位數、連續幾個費氏數(詳見第五章),以及四位數的最大值。

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請他將所選的四位數乘上任何一個三位數,結果會是一個你不可能會知道的六位數或七位數。接下來請他在腦海中圈出答案中的任一位數,但不要是 0(因為它已經像是個圓圈了!),然後要他以任意順序將所有沒圈起來的數字唸出來,並且專心想著那個剩下的數字。你只要稍加注意,就可以成功地揭開答案了。

又是 9!

所以說祕密是什麼呢?請注意,能選擇的這四個數字都是 9 的倍數。

既然是從一個 9 的倍數開始,那麼乘上一個整數之後結果仍然會是 9 的倍數,因此它的位數和也一定會是 9 的倍數。隨著數字被逐一唸出,你只要將它們統統相加即可,被藏起來的那一個數字在加上之後能使總和變成 9 的倍數。舉例來說,假設他唸出 5、0、2、2、6 和 1,這些數字的總和是 16,那麼被藏起來的數字一定是 2,因為加上之後能得到最接近的 9 的倍數,也就是18;如果唸出來的數字是1、1、2、3、5、8,總和為 20,那麼隱藏的數字一定是 7,這樣才能得到 27;假設你將唸出的數字相加得到 18,他藏起來的是哪個數字?由於我們告訴過他不要圈選 0,所以缺少的數字一定是9。

謎底揭曉

但為什麼一個 9 的倍數其位數和永遠是 9 的倍數呢?讓我們來看看下面這個例子,當 3456 以 10 的次方項表示時,看起來如下式

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3456 = (3 × 1000) + (4 × 100) + (5 × 10) + 6

= 3(999 + 1) + 4(99 + 1) + 5(9 + 1) + 6

= 3(999) + 4(99) + 5(9) + 3 + 4 + 5 + 6

= (9 的倍數)+ 18

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= (9 的倍數)

運用同樣的邏輯,如果一個數字的位數和是 9 的倍數,則此數本身一定也是 9 的倍數(反之亦然:任何一個 9 的倍數其位數和一定是 9 的倍數)。

編按:任何一個整數,都可以寫成 9 的倍數+各個位數數字的和,如同上式第四行,因此只要各個位數數字的和是 9 的倍數,整個數字就會是 9 的倍數。

——本文摘自《數學大觀念:全面理解從數字到微積分的12大觀念》,2023 年 3 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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強大的三角測量學!讓我們先回顧簡單的三角邊比——《數學大觀念》
貓頭鷹出版社_96
・2023/05/07 ・1623字 ・閱讀時間約 3 分鐘

三角學能讓我們解出一些無法用古典幾何學處理的幾何題目,舉例來說,考慮下面這個問題:

僅用一個量角器和一個袖珍計算機,測出附近某座山的高度。

對於這個問題,我們將提出五種不同解法。實際上,前三種解法幾乎連一丁點數學都沒用上!

方法一(費力解法)

爬上山頂,將你的計算機往下丟(這可能需要用上相當大的力氣),然後測出計算機撞到地面所需的時間(或聆聽下方背包客的尖叫聲)。如果總共花費了 t 秒,且忽略空氣阻力和終端速度帶來的影響,那麼標準的物理學方程式會指出這座山大約高 16t2 英尺。

這個方法的缺點是空氣阻力和終端速度的影響可能相當大,所以你的計算會變得不精確,而且要找回這台計算機也不太可能了。除此之外,這個方法需要用到的計時器可能就在你的計算機上。要說優點的話,則是這個方法並不需要用到量角器。

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方法二(輕鬆解法)

找一位友善的保育巡查員,然後用你的嶄新量角器跟他交換山峰的高度這項情報。如果你找不到任何保育巡查員,那就看看附近有沒有一位親切的男士,他一身漂亮的古銅色肌膚表示他可能花了很多時間待在戶外,因而可能對你這個問題的答案相當清楚。

這個方法的優點是你有可能會交到新朋友,而且不需要犧牲你的計算機。此外,如果你對這位深膚色男士的回答心存懷疑,你還是可以親自爬上這座山,然後採用第一個方法找出答案。這個方法的缺點是你可能會失去你的量角器,還被冠上賄賂的罪名。

方法三(聰明解法)

在嘗試方法一和方法二之前,先試著找出一個告示牌,上面標有這座山的高度。這麼做的好處是你不需要犧牲任何一項裝備。 ☺

當然,如果這三種方法都不合你意,那麼我們就必須訴諸於數學的解法,也就是本章的主題。

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研究三角形可以做什麼?

「三角學」(trigonometry)在字面上就是三角測量的意思,這個詞的字根源自希臘文「trigon」和「metria」。接下來我們先從分析一些經典的三角形開始。

等腰直角三角形

等腰直角三角形包含一個 90º 角,它的另外兩個角必定相同,所以兩者都是 45º(因為三角形的內角和為180º),這樣的三角形我們稱之為 45−45−90 三角形。如果兩個直角邊的長度都是1,那麼根據畢氏定理,斜邊長一定是 。請注意,任何等腰直角三角形的邊長比例都是 ,如下圖所示。

在一個 45−45−90 三角形中,邊長的比例是 。圖/數學大觀念

30− 60− 90 三角形

在一個等邊三角形中,每個邊長都相同,而且每個角的大小都是 60º。如果我們將一個等邊三角形分成全等的兩半,如下圖所示,就會得到兩個其內角分別是 30º、60º 和 90º 的直角三角形。如果這個等邊三角形的邊長為 2,那麼內含的兩個直角三角形的斜邊長就會是 2,而較短的直角邊長為 1。根據畢氏定理,較長的直角邊長會是。因此,所有 30− 60− 90 三角形的比例都會是 (也可以學學我,用 1、2、 這個簡單的順序來記憶)。特別是如果斜邊長為 1,則另外兩個邊長分別是 以及

在一個 30− 60− 90 三角形中,邊長的比例是 。圖/數學大觀念

——本文摘自《數學大觀念:全面理解從數字到微積分的12大觀念》,2023 年 3 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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