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不存在的事情也可以證明?一起體會數學證明的美麗之處!——《數學大觀念》

貓頭鷹出版社_96
・2023/05/06 ・2051字 ・閱讀時間約 4 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

研究數學時,有一點非常有趣,那就是你可以證明一件事情千真萬確毋庸置疑,這也正是讓數學和其他科學有所不同的原因。

在其他的科學中,我們會因為一些法則符合現實世界的情況而接受它們,但是如果新的證據出現了,這些法則是可以被反駁或是修改的。然而在數學中,一旦某個理論被證實,它就是永遠真實不變的。舉例來說,歐幾里德在兩千年前證明出「質數有無限多個」,我們便無法再說什麼或做什麼來反駁這個理論的真實性。

科技來來去去,但是定理亙古不變。正如一位偉大的數學家哈代所說

數學家其實就像畫家或詩人,大家都在創造規律,但如果數學家創造出來的規律更永恆不朽,那是因為背後是由理念所建構而成。

對我來說,證明出一個新的數學定理似乎就是讓學術地位不朽的最佳途徑。

不存在的事也可以證明

數學不僅能證明某事絕對正確,也能用來證明某事絕無可能。

有時候,人們會說:「你無法證明不存在的事情不存在。」我想這大概就是說你無法證明世界上並沒有紫色的牛,因為可能哪天突然就會出現一隻。

但是在數學中,不存在是可以被證明的。舉例來說,不論你多麼努力嘗試,永遠都不可能找到相加會變成一個奇數的兩個偶數,也不可能找到一個最大的質數。

在你第一次(甚或第二或第三次)遇上這些證明時可能會覺得有點嚇人,所以絕對需要一點時間來適應。不過一旦掌握到了訣竅,你在閱讀和寫出這些證明的時候都會變得相當有趣。好的證明就像一個講得很精采的笑話或是故事,會讓你對結局非常滿意。

被遮住的淺色方格

跟你說說我第一次證明某事不可能的經驗。當我還小的時候,很喜歡各種遊戲和謎題。有天,一位朋友拿了一個遊戲裡的謎題來挑戰我,想當然我很感興趣啦。他出示一個八乘八的空白棋盤,然後拿出了 32 張一乘二大小的骨牌。

他問:「你能用這32 張骨牌將這個棋盤鋪滿嗎?」我說:「那當然,只要每一排放上四張骨牌就行了,就像這樣。」

用骨牌將八乘八的棋盤撲滿。圖/數學大觀念

「非常好,」他說,「現在假設我將左上角和右下角的正方形移開了,」他在這兩個方格中各放一枚硬幣,這樣我就不能使用了。「現在你能夠用 31 張骨牌鋪滿剩下的 62 個方格嗎?」

移走兩個對角的方格後,能否還用骨牌將其補滿?圖/數學大觀念

「或許可以,」我說。

但無論我怎麼嘗試,就是無法達成,我開始思考這是否根本就不可行。

如果你認為這不可行,你能夠證明這一點嗎?」我的朋友這麼問。但如果我沒有將無數失敗的可能都試過一遍,又怎麼能證明這是不可能的呢?

他隨後提出建議:「看看棋盤上的顏色。」顏色?顏色跟這一切有什麼關聯?但是接下來我看到了。既然兩個被移走的方格都是淺色的,那麼棋盤上剩下的是三十二個深色方格和三十個淺色方格。但因為每一張骨牌都會剛剛好涵蓋一個淺色方格和一個深色方格,所以三十一張骨牌就不可能鋪滿這樣的棋盤。這真是太酷了!

悄悄話

如果你喜歡上述最後一個證明,那我相信你也會欣賞下面這一個。電玩遊戲「俄羅斯方塊」中有七種不同形狀,有時候我們稱之為 I、J、L、O、Z、T 和 S。

這七個形狀可以排成一個四乘七的長方形嗎?圖/數學大觀念

這七個形狀可以排成一個四乘七的長方形嗎?

每一個形狀都剛好占據四個方格,所以我們自然會猜想,這七個形狀或許可以拼成一個四乘七的長方形(拼湊的過程中,我們可以翻轉或是旋轉這些形狀),但事實上這是一個不可能的任務。你要怎麼證明這是不可能的呢?讓我們將這個長方形上色,使其含有十四個淺色方格和十四個深色方格,如下圖所示。

請注意,除了 T 這個形狀以外,每一個形狀不論放在棋盤的哪一個位置,都一定涵蓋兩個淺色方格和兩個深色方格。但是 T 涵蓋的範圍是三個某一種顏色的方格和一個另一種顏色的方格。於是,不論其他六個方塊放在哪裡,它們一定蓋住正好十二個淺色方格和十二個深色方格,剩下來給 T 的是兩個淺色方格和兩個深色方格,也就是這個要求不可能達成。

——本文摘自《數學大觀念:全面理解從數字到微積分的12大觀念》,2023 年 3 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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貓頭鷹自 1992 年創立,初期以單卷式主題工具書為出版重心,逐步成為各類知識的展演舞台,尤其著力於科學科技、歷史人文與整理台灣物種等非虛構主題。以下分四項簡介:一、引介國際知名經典作品如西蒙.德.波娃《第二性》(法文譯家邱瑞鑾全文翻譯)、達爾文傳世經典《物種源始》、國際科技趨勢大師KK凱文.凱利《科技想要什麼》《必然》與《釋控》、法國史學大師巴森《從黎明到衰頹》、瑞典漢學家林西莉《漢字的故事》等。二、開發優秀中文創作品如腦科學家謝伯讓《大腦簡史》、羅一鈞《心之谷》、張隆志組織新生代未來史家撰寫《跨越世紀的信號》大系、婦運先驅顧燕翎《女性主義經典選讀》、翁佳音暨曹銘宗合著《吃的台灣史》等。三、也售出版權及翻譯稿至全世界。四、同時長期投入資源整理台灣物種,並以圖鑑形式陸續出版,如《台灣原生植物全圖鑑》計八卷九巨冊、《台灣蛇類圖鑑》、《台灣行道樹圖鑑》等,叫好又叫座。冀望讀者在愉悅中閱讀並感受知識的美好是貓頭鷹永續經營的宗旨。

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寵物過敏原有很多種,避免飲食過敏困擾,可選擇單一/特殊肉種寵物飼料
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/06/06 ・2173字 ・閱讀時間約 4 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

本文由 新萃 Nutri Source 委託,泛科學企劃執行。

你有發現家裡的狗狗經常舔自己四肢,或是身上出現不明紅疹?當心這可能是過敏反應。寵物和人類一樣,也會有過敏反應,過敏可依照「來源」分為三種:吸入性過敏、接觸性過敏和食物性過敏。

寵物的過敏源有哪些?

不管是哪一種過敏反應,在人的身上都比較容易發現和排除。但狗狗的過敏卻很難處理,如果是接觸性或吸入性過敏,即使你把家裡打掃得很乾淨,還是無法排除帶狗出去散步時可能接觸到的環境過敏原。因此,對飼主來說,最容易控制的是食物性過敏。

食物性過敏是怎麼發生的呢?其實,「食物過敏」這個詞並不太準確。正確的臨床醫學用詞是「食物不良反應」(Adverse Food Reaction, 簡稱AFR)(Jackson, H. , 2009),指的是吃下食物後身體產生各種不良反應。並進一步分為食物過敏(Food Allergy)和食物不耐受(Food Intolerances)兩種。

如果你看過動漫作品《工作細胞》,你就會知道過敏其實只是免疫系統對特定成分產生的過度反應,因此全名為「過分敏感」;而食物不耐受則並非免疫性反應,而是消化系統無法代謝或對該生物體有毒,例如狗不能吃洋蔥或巧克力,否則會致死等等。

由於寵物沒有選擇權,只能吃飼主提供的食物,如果飼料中恰好有會造成牠 AFR 的成分,就可能產生各種症狀。除了腸胃發炎和拉肚子外,最明顯的外在症狀就是皮膚問題,包括搔癢、脫毛和紅疹等。後者容易被誤判為皮膚性疾病,讓許多飼主狂跑獸醫院的同時,獸醫也難以對症下藥。

雖然曾有研究透過讓醫師用血液或唾液是否檢測出 IgE 抗體來判斷狗是否過敏(Ermel, R et al.,1997),但最新的研究卻發現,無論使用無論血清的 IgE 抗原或是唾液裡的 IgM 或 IgA 抗原都無法有效檢測出狗狗的過敏來源(Udraite Vovk Let al., 2019 & Lam ATH et al., 2019),甚至會造成偽陽性誤判。因此,目前學界公認唯一能識別食物過敏原的方法就是「食物排除法」(Food Elimination Method)。

以食物排除法,找出毛孩的食物過敏原!

食物排除法的原理相當簡單粗暴,類似我們過去在學校做的實驗一樣,抓出「控制組與對照組」。首先,將狗狗的食物換成牠沒吃過、單一來源且易消化的高蛋白質或水解蛋白質;同時嚴格限制牠對其他食物接觸,包括其他人餵食或路上亂吃等可能性都要注意,此為「對照組」,如此持續 8~12 週,觀察皮膚是否有改善。如果確實有改善,那就證明了確實是 AFR 而非皮膚病。

下一步我們可以進行「食物挑戰」,在每餐食物中逐一嘗試可能的過敏原(例如常見的牛肉、雞蛋等),有如「控制組」,等到症狀又出現,就可以確認哪種食物成分是過敏原,未來就可以在飼料中排除,讓狗狗健康快樂地成長。

這個方法需要飼主的大力配合和耐心紀錄,不僅要在漫長的試驗期,更需要在控制期一一排除所有不可能之後,才能找到答案。而其中最困難的部分,也是實驗的基礎可能是第一步:「提供狗狗牠從未吃過,且肉品單一的蛋白質」,這點對多數飼主來說幾乎是不可能的任務,因為大部分的寵物飼料成分都很複雜。不要說狗狗了,搞不好你連自己沒吃過什麼恐怕都不知道。

飼料成分多而雜,可選單一肉種飼料降低過敏。

那該怎麼進行食物排除法呢?別擔心,沒有找不到的肉品,只有勇敢的狗狗。市面上已經有了針對過敏狗狗的低敏飼料,新萃推出了一系列低敏肉,包含單一肉種的袋鼠肉、鹿肉以及野豬等相比牛豬羊等較不容易取得的肉類,是進行食物排除法第一步測試的首選。

此外,新萃牌無論哪種飼料都有美國專利 Good 4 Life® 奧特奇專利保健元素,能促進飼料中的營養都被狗狗完整吸收。不僅過敏的狗狗能吃,有消化不良症的狗狗也適用。

新萃商品選擇的是單一/特殊肉種的成分,低敏感肉品讓寵物吃了更安心。

參考資料

  1. Thus for the purpose of this discussion, although the term food allergy is used throughout, it should be recognized that this term is a presumptive clinical diagnosis and adverse food reaction is a more accurate term for these canine cases. – Consensus
  2. Jackson, H. (2009). Food allergy in dogs – clinical signs and diagnosis.. Companion Animal Practice.
  3. Assessment of the clinical accuracy of serum and saliva assays for identification of adverse food reaction in dogs without clinical signs of disease – PubMed (nih.gov)
  4. Lam ATH, Johnson LN, Heinze CR. Assessment of the clinical accuracy of serum and saliva assays for identification of adverse food reaction in dogs without clinical signs of disease. J Am Vet Med Assoc. 2019 Oct 1;255(7):812-816. doi: 10.2460/javma.255.7.812. PMID: 31517577.
  5. Direct mucosal challenge with food extracts confirmed the clinical and immunologic evidence of food allergy in these immunized dogs and suggests the usefulness of the atopic dog as a model for food allergy. – Consensus
  6. Ermel, R., Kock, M., Griffey, S., Reinhart, G., & Frick, O. (1997). The atopic dog: a model for food allergy.. Laboratory animal science.
  7. https://www.moreson.com.tw/moreson/blog-detail/furkid-knowledge/pet-knowledge/dog-food-allergen-TOP10/
  8. 狗狗因為食物過敏而搔癢不舒服,為什麼做「過敏原檢測」沒什麼用?
  9. 【獸醫診間小教室】狗狗皮膚搔癢難改善?小心食物過敏! – 汪喵星球 (dogcatstar.com)
  10. 寵物知識+/毛孩對什麼食物過敏?獸醫:驗血完全不準!診斷法只有一個 | 動物星球 | 生活 | 聯合新聞網 (udn.com)
  11. Is there a gold-standard test for adverse food reactions? – Veterinary Practice News
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任何整數裡都藏著的神秘數字:數字 9 可以創造出什麼樣的神奇火花?——《數學大觀念》
貓頭鷹出版社_96
・2023/05/08 ・1957字 ・閱讀時間約 4 分鐘

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

小時候,我最喜歡 9 這個數字了,因為它似乎蘊含許多神奇的特性。我想給你看一個例子,請照著下列充滿魔力的數學指示:

  1. 想一個在 1 到 10 之間的數(如果不滿意,你也可以挑更大的整數並使用計算機)。
  2. 將這個數乘以 3。
  3. 然後加上 6。
  4. 把得到的數字再乘以 3。
  5. 如果你願意的話,把這個數字再乘以 2。
  6. 將這個數字的所有位數相加,如果是個位數,就停止運算。
  7. 如果是二位數,那麼將兩個位數再次相加。
  8. 專心想著你的答案。

直覺告訴我你正在想的數字是 9,對不對?(如果不是的話,你或許該回過頭驗算一下。)

是什麼讓 9 這個數字如此神奇?我們會在本章看到它的一些神奇特性,然後我們甚至會考慮有另一個世界的存在,在那裡 12 和3 的功能相等而且完全合理!

觀察 9 的倍數

9 的第一個神奇特性可以從它的倍數中看出來:

9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144⋯⋯

這些數目有什麼共通點?

如果你將每個數字各自的位數相加,似乎每次都會得到 9。

讓我們挑其中幾個來試試看:18 的各個位數之和是 1 + 8 = 9;27 是 2 + 7 = 9;144 則是 1 + 4 + 4 = 9。但是慢著,這裡有一個例外:99 的位數和是 18,不過 18 本身仍是 9 的倍數。所以我們得到下面這個重要結論,這件事你可能在小學就學過了,而我們稍後也會在這一章中解釋:

如果一個數字是 9 的倍數,那麼它的各個位數之和也必定是 9 的倍數(反之亦然)。

舉例來說,123,456,789 的位數和是 45(9 的倍數),所以這個數就是 9 的倍數。反過來說,314,159 的位數和是 23(非 9 的倍數),所以這個數就不是 9 的倍數。

整數的強大性質

讓我們用這個規則來了解前面的那個魔術戲法,並仔細檢驗其中的代數。你先想一個數字,我們稱之為N。乘上三倍之後你會得到 3N,在下一步變成 3N + 6。將這個數字再乘上三倍則是 3(3N + 6)= 9N + 18, 也就是 9(N + 2)。如果你決定要再乘上 2, 就會得到 18N + 36 = 9(2N+4);但不管有沒有乘上 2,你最後的答案都會是9 乘上一個整數,所以最後一定會得到 9 的倍數。(編按:這就是整數的強大性質之一,任何一個 a 倍數乘上任意整數,仍然還是 a 的倍數)

當你計算這個數字的各個位數之和,你一定會再度得到一個 9 的倍數(可能是 9 或 18 或 27 或 36),而且這些數目的各個位數之和必定為 9。

還有另一個我也很喜歡用的魔術戲法,它是前面那個魔術的變形。找一個有計算機的人,請他從下列四位數中挑出一個:

3141 或 2718 或 2358 或 9999

這些數字分別是 π(詳見第八章)的前四位數、e(詳見第十章)的前四位數、連續幾個費氏數(詳見第五章),以及四位數的最大值。

請他將所選的四位數乘上任何一個三位數,結果會是一個你不可能會知道的六位數或七位數。接下來請他在腦海中圈出答案中的任一位數,但不要是 0(因為它已經像是個圓圈了!),然後要他以任意順序將所有沒圈起來的數字唸出來,並且專心想著那個剩下的數字。你只要稍加注意,就可以成功地揭開答案了。

又是 9!

所以說祕密是什麼呢?請注意,能選擇的這四個數字都是 9 的倍數。

既然是從一個 9 的倍數開始,那麼乘上一個整數之後結果仍然會是 9 的倍數,因此它的位數和也一定會是 9 的倍數。隨著數字被逐一唸出,你只要將它們統統相加即可,被藏起來的那一個數字在加上之後能使總和變成 9 的倍數。舉例來說,假設他唸出 5、0、2、2、6 和 1,這些數字的總和是 16,那麼被藏起來的數字一定是 2,因為加上之後能得到最接近的 9 的倍數,也就是18;如果唸出來的數字是1、1、2、3、5、8,總和為 20,那麼隱藏的數字一定是 7,這樣才能得到 27;假設你將唸出的數字相加得到 18,他藏起來的是哪個數字?由於我們告訴過他不要圈選 0,所以缺少的數字一定是9。

謎底揭曉

但為什麼一個 9 的倍數其位數和永遠是 9 的倍數呢?讓我們來看看下面這個例子,當 3456 以 10 的次方項表示時,看起來如下式

3456 = (3 × 1000) + (4 × 100) + (5 × 10) + 6

= 3(999 + 1) + 4(99 + 1) + 5(9 + 1) + 6

= 3(999) + 4(99) + 5(9) + 3 + 4 + 5 + 6

= (9 的倍數)+ 18

= (9 的倍數)

運用同樣的邏輯,如果一個數字的位數和是 9 的倍數,則此數本身一定也是 9 的倍數(反之亦然:任何一個 9 的倍數其位數和一定是 9 的倍數)。

編按:任何一個整數,都可以寫成 9 的倍數+各個位數數字的和,如同上式第四行,因此只要各個位數數字的和是 9 的倍數,整個數字就會是 9 的倍數。

——本文摘自《數學大觀念:全面理解從數字到微積分的12大觀念》,2023 年 3 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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強大的三角測量學!讓我們先回顧簡單的三角邊比——《數學大觀念》
貓頭鷹出版社_96
・2023/05/07 ・1623字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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三角學能讓我們解出一些無法用古典幾何學處理的幾何題目,舉例來說,考慮下面這個問題:

僅用一個量角器和一個袖珍計算機,測出附近某座山的高度。

對於這個問題,我們將提出五種不同解法。實際上,前三種解法幾乎連一丁點數學都沒用上!

方法一(費力解法)

爬上山頂,將你的計算機往下丟(這可能需要用上相當大的力氣),然後測出計算機撞到地面所需的時間(或聆聽下方背包客的尖叫聲)。如果總共花費了 t 秒,且忽略空氣阻力和終端速度帶來的影響,那麼標準的物理學方程式會指出這座山大約高 16t2 英尺。

這個方法的缺點是空氣阻力和終端速度的影響可能相當大,所以你的計算會變得不精確,而且要找回這台計算機也不太可能了。除此之外,這個方法需要用到的計時器可能就在你的計算機上。要說優點的話,則是這個方法並不需要用到量角器。

方法二(輕鬆解法)

找一位友善的保育巡查員,然後用你的嶄新量角器跟他交換山峰的高度這項情報。如果你找不到任何保育巡查員,那就看看附近有沒有一位親切的男士,他一身漂亮的古銅色肌膚表示他可能花了很多時間待在戶外,因而可能對你這個問題的答案相當清楚。

這個方法的優點是你有可能會交到新朋友,而且不需要犧牲你的計算機。此外,如果你對這位深膚色男士的回答心存懷疑,你還是可以親自爬上這座山,然後採用第一個方法找出答案。這個方法的缺點是你可能會失去你的量角器,還被冠上賄賂的罪名。

方法三(聰明解法)

在嘗試方法一和方法二之前,先試著找出一個告示牌,上面標有這座山的高度。這麼做的好處是你不需要犧牲任何一項裝備。 ☺

當然,如果這三種方法都不合你意,那麼我們就必須訴諸於數學的解法,也就是本章的主題。

研究三角形可以做什麼?

「三角學」(trigonometry)在字面上就是三角測量的意思,這個詞的字根源自希臘文「trigon」和「metria」。接下來我們先從分析一些經典的三角形開始。

等腰直角三角形

等腰直角三角形包含一個 90º 角,它的另外兩個角必定相同,所以兩者都是 45º(因為三角形的內角和為180º),這樣的三角形我們稱之為 45−45−90 三角形。如果兩個直角邊的長度都是1,那麼根據畢氏定理,斜邊長一定是 。請注意,任何等腰直角三角形的邊長比例都是 ,如下圖所示。

在一個 45−45−90 三角形中,邊長的比例是 。圖/數學大觀念

30− 60− 90 三角形

在一個等邊三角形中,每個邊長都相同,而且每個角的大小都是 60º。如果我們將一個等邊三角形分成全等的兩半,如下圖所示,就會得到兩個其內角分別是 30º、60º 和 90º 的直角三角形。如果這個等邊三角形的邊長為 2,那麼內含的兩個直角三角形的斜邊長就會是 2,而較短的直角邊長為 1。根據畢氏定理,較長的直角邊長會是。因此,所有 30− 60− 90 三角形的比例都會是 (也可以學學我,用 1、2、 這個簡單的順序來記憶)。特別是如果斜邊長為 1,則另外兩個邊長分別是 以及

在一個 30− 60− 90 三角形中,邊長的比例是 。圖/數學大觀念

——本文摘自《數學大觀念:全面理解從數字到微積分的12大觀念》,2023 年 3 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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