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令人著迷的孤獨質數──《數學大觀念》

貓頭鷹出版社_96
・2017/05/01 ・5374字 ・閱讀時間約 11 分鐘 ・SR值 496 ・六年級

  • 【科科愛看書】無論何時,只要想到數學就一個頭兩個大?那你肯定還沒看過《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》!此書從簡單加減到高深微積分,用嶄新的視角連結密碼般的數字和真實人生,循序漸進去探索數學的規律和其中令人讚嘆的美好。讓我們一起將數學砍掉重練,邁向數學偉大的航道吧!

質數?合數?傻傻分不清楚

每一個正整數都能表示若干個 2 的次方之和,而且這個表示法是唯一的。在某種意義上,你可以說 2 的各個次方就像是磚塊,在加法的過程中逐漸砌成正數。在本文中,我們會看到質數也扮演著類似的角色,但這次是利用乘法:每一個正數都可以用唯一的一組質數乘積表示。然而,2 的次方很容易就能找出來,而且沒有什麼數學上的驚喜;反之質數卻棘手得多,而且我們對質數還有很多不了解的地方。

質數是恰好有兩個正因數的正整數,這兩個正因數就是 1 和該數本身。下面列出最初的幾個質數:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、⋯

1 這個數字並不被當作質數,因為它只有一個因數,也就是 1。(其實 1 之所以不被認為是質數還有一個更重要的原因,這點我們很快就會提到。)

請注意,2 是質數中唯一的偶數,有些人可能會因此說它是所有質數中最怪的!

2 是質數中唯一的偶數,有些人可能會因此說它是所有質數中最奇怪的!圖/Hiné Mizushima @Flickr

擁有三個或更多因數的正整數稱作合數,因為這些數字可由其他更小的因數合成。合數依序有:4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30、⋯。舉例來說,4 這個數字剛好有三個因數:1、2 和 4。6 則有四個因數:1、2、3 和 6。

請注意,1 也不是合數,數學家將 1 這個數字稱作單位,它是所有整數的因數。

每一個合數都可以表示為若干個質數的乘積。要將 120 分解至只剩下質數,我們可能會寫先下 120=6×20,而 6 和 20 雖然都是合數,但它們都可以被分解成質數,也就是 6=2×3 以及 20=2×2×5。因此,120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 233151

有趣的是,無論我們一開始用什麼方式分解此數,最後得到的質因數分解都是一樣的。這就是唯一分解定理,也稱作算術基本定理,它聲稱每個大於 1 的數字都有一組唯一的質因數分解法。

順帶一提,1 不算是質數的真正原因是:如果我們說他是一個質數,這個定理就無法成立。舉例來說,12 可以分解成2×2×3,但也可以說是 1×1×2×2×3,這樣的話,質因數分解就不會是唯一的了。

如果 1 是質數,那麼唯一分解定理就不能成立了。圖/Hiné Mizushima @Flickr

愛它,就要知道如何分解它

一旦你知道如何分解一個數字,其實就已經相當了解這個數字了。當我還小的時候,我最喜歡的數字是 9,但隨著我漸漸長大,我喜歡的數字開始變大,甚至更複雜。(比方說,π = 3.14159 …, φ = 1.618 …,e = 2.71828 …,還有,i,這個數字沒有辦法用小數表示)在我開始對無理數進行實驗之前,有一陣子我最喜歡的數字是 2520,因為在那些可以「被一到十都整除」的數目中,這是最小的一個。2520 的質因數分解如下:2520 = 23325171

一旦你知道某數質因數分解的結果,你就可以立刻確定該數有多少個正因數。舉例來說,2520 的因數一定會是 2a3b5c7d,其中 a 可以是 0、1、2 或 3(四種選擇),b 可以是 0、1 或 2(三種選擇),c 可以是 0 或 1(兩種選擇),d 可以是 0 或 1(兩種選擇)。因此藉由乘法規則,2520 總共有 4×3×2×2=48 個正因數。

算術基本定理的證明利用了下列關於質數的事實(任何一本數論教科書都會在第一章證明這點):

若 p 是一個質數,且 p 能整除兩個或更多個數字的乘積,那麼在組成這個乘積的各個數字中,p 肯定是其中至少一項的因數。

舉例來說:999,999=333×3003 是 11 的倍數,所以 11 一定能整除 333 或 3003。(事實上,3003=11×273。)這個特性對合數來說就不是每次都能成立了,比方說 60=6×10 是 4 的倍數,但是 4 並無法整除 6 或是 10。

要證明唯一的分解定理,我們先反過來假設有些數字質因數分解的結果不只一組。如果 N 是擁有兩組不同的質因數分解的數字中最小的那一個,表示為:p1p2…pr = N = q1q2…qs

其中所有的 pi 和 qj 項都是質數。因為 N 一定是質數 p1 的倍數,所以 p1 一定是其中一個 qj 項的因數。為了讓標記簡單一些,我們就說 p1 整除 q1 好了。因此,由於 q1 是質數,所以我們一定會得到 q1=p1。所以如果我們將上述等式都除以 p1,就會得到:P2…Pr=N/P1=q2…ps

但現在 N/P1 質因數分解也有兩個不同的結果了,這跟我們之前假設的「N是這種數目中的最小的一個」有所牴觸。

要是在火星,一切將不同

順帶一提,在某些數系中,並非所有數都有唯一的因數分解法。

舉例來說,在火星上,由於所有的火星人都有兩個頭,所以他們在生活中只會用偶數:2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、……

在火星人的數系中,像 6 或 10 這樣的數目會被視為質數,因為在因數分解後,這些數目無法由更小的若干個偶數組成。在這個系統中,質數和合數單純地交替出現,每一個 4 的倍數都是合數(因為 4k=2×2k),而其他的所有偶數(像是 6、10、14、18 等等)都是質數,因為這些數不能被分解成兩個更小的偶數。

讓我們來想想 180 這個數目:6×30 = 180 = 10×18

在火星人的數系中,180 可以被分解成兩種不同的質因數組合,所以在這顆星球的數系中,質因數分解的結果並非獨一無二。

圖/《數學大觀念

質數會不會消失?

1 到 100 之間恰好有 25 個質數,下一百個數中有 21 個質數,再下一百個數中則有 16 個質數。隨著數字愈來愈大,質數也愈來愈稀有。(但並沒有遵循任何可預測的方式,比如說三百到四百之間有 16 個質數,但四百到五百之間的質數有 17 個。)到了一百萬和一百萬零一百之間的時候,就只有 6 個質數了。質數會愈來愈稀有是很合理的,因為一個大樹底下的數字非常多,所以含有因數的可能性也更高。

我們可以證明一串不含任何質數的 100 個相連數字的確存在,甚至有些完全沒有出現質數的相連數字長達 1000 或 100,0000 個(看你想要多長都可以)。為了說服你接受這個事實,接下來我要立刻給你看 99 個相連的合數(雖然這並非由我首創)。研究一下這 99 個相連的數字:100! + 2, 100! + 3, 100! + 4, . . . , 100! + 100

由於 100!=100×99×98×…×3×2×1,所以這個數一定能被 2 到 100 之間的所有數字整除。接下來想想 100!+53 這樣的數字,由於 53 能整除 100!,所以必定也能整除 100!+53。這個論述可以證明凡是 2 ≤ k ≤ 100,則 100!+k 一定會是 k  的倍數,所以這一定會是合數。

請注意,我們的論述並沒有提到 100!+1 是否為質數,但我們也可以證明這一點。有一個美麗的定理叫做威爾遜定理,它說若且唯若 n 是一個質數,則 (n− 1)!+1 是 n 的倍數。

用幾個較小的數目來實驗看看:1!+1=2 是 2 的倍數;2!+1=3 是 3 的倍數;3!+1=7「不是」4 的倍數;4!+1=25 是 5 的倍數;5!+1=121「不是」6 的倍數;6!+1=721 是 7 的倍數;以此類推。由於 101 是質數,而沃里斯定理表示 100!+1 會是 101 的倍數,所以該數就是合數。因此 100! 到 100!+100 包含了 101 個相連的合數。

連續 101 個相連的合數!圖/Tom Simpson @Flickr

因為在極大的數字中質數會變得愈來愈稀少,所以大家自然會好奇是不是在某一數之後就完全不會有質數了。不過就如同歐幾里德在兩千年前告訴我們的,這並不會發生。但可不要就這麼接受他說的話了,好好享受自己證明這點的樂趣吧。

定理:質數有無限多個。

證明:反過來假設質數的數量有上限,那麼一定有一個最大的質數,這裡我們用 P 來表示。現在來看看 P!+1 這個數字,由於 P! 能夠被 2 到 P 之間的所有數字整除,就表示這些數字中沒有一個能整除 P!+1,所以 P!+1 一定有一個大於 P 的質因數,而這跟原本假設的「P是最大的質數」有所牴觸。

雖然我們永遠不會找到最大的質數,但這並沒有阻止數學家和電算科學家繼續尋找更大的質數。在我撰寫這本書的當下,目前已知的最大質數有 17,425,170 位數。光是要寫下這個數字就要花掉比本書多上大約一百倍的紙張,不過,我們也可以只寫成一行:257,885,161 − 1

要得知 2n−1 或 2n+1 是不是質數,我們有個非常管用的方式,這是為什麼此數可以用如此簡單的方式表達出來。

到底是不是質數?費馬為你驗真身

偉大的數學家費馬曾經證明:如果 p 是奇質數,那麼 2p−1−1肯定是 p 的倍數。

用最小的幾個奇質數試試看吧:對質數 3、5、7、11 來說,我們能看到 22−1=3 是 3 的倍數;24−1=15 是 5 的倍數;26−1=63 是 7 的倍數;且 210−1=1023 是 11 的倍數。

至於合數,顯然當 n 是偶數的時候,2n-1−1 一定是奇數,所以此數不可能是 n 的倍數。接著拿最小的幾個奇合數來試試看:9、15、21,我們會看到 28−1=255 不是 9 的倍數;214−1=16,383 不是 15 的倍數;220−1=1,048,575 也不是 21 的倍數(甚至不是 3 的倍數)。

因此根據費馬定理,如果有一個很大的數目 N,使得 2N-1−1 不是 N 的倍數,那麼我們也可以百分之百確定 N 不是質數,就算不知道 N 的因數為何也無妨!

然而費馬定理的逆論述並不正確,因為的確有某些合數(稱做擬質數)表現得像質數一樣。最小的例子是 341=11×31,具有 2340−1 為 341 的倍數這個特性。雖然已經有人證明擬質數的存在非常稀有,但是仍然有無限多個,好在有方法可以排除它們。

令人著迷的完美數字

質數能運用在許多地方,尤其是電算科學。質數是幾乎所有加密演算法的核心,包括為了能在網路上安全地作金融交易而產生的「公開金鑰密碼系統」。這些演算法多數都是基於一個事實:對我們來說能迅速判斷出某數是否為質數,但截至目前為止,並無法迅速地完成某個大數的因數分解。

舉例來說,如果我隨機相乘兩個 1000 位數的質數並得到一個 2000 位數的答案,任何人或是電腦(除非某天有人打造出了一台量子電腦)能算出原來那兩個質數的機率都微乎其微。基於我們沒有能力分解大數而產生出來的這些密碼(像是 RSA 加密演算法),一般相信是相當安全的。

世人已經為質數著迷了數千年,古希臘人曾說,當一個數字等同於該數所有真因數(除了該數本身以外的各個因數)之和的時候,它就是一個完美的數字(正式名稱為「完全數」)。舉例來說,6 是一個完全數,因為它的真因數 1、2 和 3 的總和是 6。

6 是一個完全數,因為它的真因數 1、2 和 3 的總和是 6!圖/Robin @Flickr

下一個完全數是 28,它的真因數 1、2、4、7 和 14 總和為 28。再接下去的兩個完全數是 496 和 8128,這有任何規律嗎?讓我們看看這些數字質因數分解的結果:

6 = 2× 3
28 = 4 × 7
496 = 16 × 31
8128 = 64 × 127

你看出其中的規律了嗎?第一個數都是 2 的次方,第二個數都是第一數的兩倍再減 1 的結果,而且是個質數。(這就是為什麼上述等式中沒有 8×15 或是 32×63,因為 15 和 63 都不是質數。)我們可以將這個規律歸納成下面這個定理:

定理:若 2n−1 是一個質數,則 2n-1×(2n−1) 就是一個完全數。

證明:令 p=2n−1 為質數,而我們的目標是要證明2n-1p 是完全數。

2n-1p 的真因數為何?如果排除因數 p,剩下的因數就是簡單的 1、2、4、8、…、2n-1,其總和就是 2n-1=p。其他的真因數(不包括2n-1p)則包括因數 p,所以這些因數之和就是 p(1+2+4+8+…+2n−2)=p(2n−1−1)。因此,真因數的總和會是 p + p(2n-1−1) = p(1 + (2n-1−1)) = 2n-1p 正是待證的結果。

偉大的數學家歐拉(1707 ∼ 1783)證明了所有的完全數都遵循這個形式。在我撰寫這本書的當下,已經被找出的完全數總共有四十八個,而且全部都是偶數。

關於質數,仍有許多神秘未知

有任何完全數是奇數嗎?就目前為止,沒有人知道這個問題的答案。唯一知道的是如果有一個完全數是奇數,那麼這個數目一定超過三百位數,但目前也沒有人能證明它們並不存在。

有許多能夠簡單陳述的未解之謎都跟質數有關係,我們已經說明過目前無法得知是否有無限多個費氏數質數。(已經有人證明出費氏數裡面只有兩個完全平方(1 和 144),也只有兩個完全立方(1 和 8)。)

另外一個未解之謎稱作哥德巴赫猜想,它的猜測是所有大於二的偶數都是兩個質數之和。

同樣地,沒有人能夠證明這個猜想,不過有人證明出如果反例的確存在,那麼這個數字至少會有十九位數。(最近有個類似的問題已經有所突破,2013 年,賀歐夫各特(Harald Helfgott)證明了每一個大於七的奇數都可寫成頂多三個奇質數的和。)

最後,所謂的孿生質數是任意兩個相差 2 的質數。孿生質數的前幾個例子是 3 和 5、5 和 7、11 和 13、17 和 19、29 和 31。

你能看出來為什麼 3、5 和 7 是唯一的「三質數組」嗎? 雖然已經證實( 因為古斯塔夫(Gustav Dirichlet)一個定理中的特例)世上有無限多個結尾是 1 的質數(或者結尾是 3、7 或 9),是否有無限多個孿生質數這個問題依然還沒有答案。

不管怎麼樣,正整數就是有趣啦!

讓我們用一個有點可疑的證明來結束這一章,但我希望你好歹還是會同意這個論述。

主張:所有的正整數都很有趣!

證明:你一定會同意前幾個正整數都非常有趣,舉例來說,1 是第一個數字,2 是第一個偶數,3 是第一個奇數,4 既是 2+2 又是 2×2 等等。現在反過來假設並不是所有的數字都很有趣,那就必定會有第一個不有趣的數,我們稱之為 N。但光是這一點就讓 N 變得很有趣!所以不有趣的數字根本不存在。

太有趣啦~~~圖/GIPHY

數學大觀念》書封

 

 

 

 

本文摘自《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》,貓頭鷹出版

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貓頭鷹自 1992 年創立,初期以單卷式主題工具書為出版重心,逐步成為各類知識的展演舞台,尤其著力於科學科技、歷史人文與整理台灣物種等非虛構主題。以下分四項簡介:一、引介國際知名經典作品如西蒙.德.波娃《第二性》(法文譯家邱瑞鑾全文翻譯)、達爾文傳世經典《物種源始》、國際科技趨勢大師KK凱文.凱利《科技想要什麼》《必然》與《釋控》、法國史學大師巴森《從黎明到衰頹》、瑞典漢學家林西莉《漢字的故事》等。二、開發優秀中文創作品如腦科學家謝伯讓《大腦簡史》、羅一鈞《心之谷》、張隆志組織新生代未來史家撰寫《跨越世紀的信號》大系、婦運先驅顧燕翎《女性主義經典選讀》、翁佳音暨曹銘宗合著《吃的台灣史》等。三、也售出版權及翻譯稿至全世界。四、同時長期投入資源整理台灣物種,並以圖鑑形式陸續出版,如《台灣原生植物全圖鑑》計八卷九巨冊、《台灣蛇類圖鑑》、《台灣行道樹圖鑑》等,叫好又叫座。冀望讀者在愉悅中閱讀並感受知識的美好是貓頭鷹永續經營的宗旨。

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【成語科學】運籌帷幄:古人不用筆算數學?一隻小竹棍居然可以開三次方根、解方程式!
張之傑_96
・2023/07/28 ・1261字 ・閱讀時間約 2 分鐘

劉邦(漢高祖)打敗項羽,取得天下,建立漢朝。一天舉行盛大宴會,他問群臣:「我為什麼會勝?項羽為什麼會敗?」群臣都說劉邦善於用人,項羽恰恰相反。劉邦點頭稱是,司馬遷在《史記‧高祖本紀》記下劉邦說的一段話

夫運籌帷幄之中,決勝於千里之外,吾不如子房。

帷幄,指營帳子房,是張良的字籌,指算籌,是古時的運算工具。這段話的意思是說,張良在營帳中運用算籌計算,就能決勝千里之外,這方面我(劉邦)不如張良。因此,這個成語的原意是在營帳中策劃謀略,後來泛指謀劃或指揮。讓我們造兩個句吧。

要不是孔明運籌帷幄,劉備哪有三分天下的機會!

在里長的運籌帷幄下,為社區更新取得有利的條件。

不用筆,那用什麼?

成語的出典說了,句子也造了,接下去就要談談這個成語的科學意義。我們現在演算數學,都是用筆在紙上運算,也就是筆算。古人呢?古人從來不用筆算,而是使用工具運算。元代以前使用算籌,元代以後使用算盤

算盤一直使用到 1980 年代,小朋友家裡可能還有。至於算籌,只有少數博物館裡才能看到。

國立自然科學博物館內藏的漢朝骨製算籌複製品。圖/wikipedia

其實算籌只是一根根小竹棍,外形和筷子差不多。小朋友千萬不要看輕這些小竹棍,中國古代的數學曾經輝煌一時,就是用這些小竹棍運算出來的。

驚人的運算能力 曾經輝煌一時的數學成就

算盤被木框框住,計算能力受到限制。凡是算盤能算的,算籌一定能算。反過來,算籌所能算的,算盤就不見得勝任。算盤主要是生意人用的,算籌可作各種運算,數學家喜歡用它。中國的數學宋代發展到顛峰,元代以後不進反退,到了明代已沒人懂得宋代的數學了。

算籌平時放在算袋裡,繫在腰上,運算時取出,在席子上或桌子上擺弄。除了加減乘除,還能開平方、開立方,甚至解高次方程等高中才學得到的數學!關於算袋,有個小故事,傳說秦皇島東巡時,把算袋扔到海裡,變成了烏賊,所以烏賊又稱算袋魚。

十四世紀朱世傑《四元玉鑒》中的「古法七乘方圖」,紀錄宋代展出的「楊輝三角形」,就是我們現在所說的「巴斯卡三角形」。圖中一根根長條物就是當時用來計算的「算籌」。楊輝三角形的產生也顯見宋代數學已經發展出高次多項式的乘法。圖/wikipedia

數學家用算籌運算時,有時擺弄得極快,不要說外行人,連內行人的眼睛幾乎都跟不上,所以古人用「運籌如飛」來形容。因此,用算籌運算,運算過程不會留下記錄,一陣擺弄之後,最後得出答案。這對一般才質的人來說,學起來的確有點困難。

張之傑_96
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張之傑,字百器,出入文理,著述多樣,其中以科普和科學史較為人知。

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任何整數裡都藏著的神秘數字:數字 9 可以創造出什麼樣的神奇火花?——《數學大觀念》
貓頭鷹出版社_96
・2023/05/08 ・1957字 ・閱讀時間約 4 分鐘

小時候,我最喜歡 9 這個數字了,因為它似乎蘊含許多神奇的特性。我想給你看一個例子,請照著下列充滿魔力的數學指示:

  1. 想一個在 1 到 10 之間的數(如果不滿意,你也可以挑更大的整數並使用計算機)。
  2. 將這個數乘以 3。
  3. 然後加上 6。
  4. 把得到的數字再乘以 3。
  5. 如果你願意的話,把這個數字再乘以 2。
  6. 將這個數字的所有位數相加,如果是個位數,就停止運算。
  7. 如果是二位數,那麼將兩個位數再次相加。
  8. 專心想著你的答案。

直覺告訴我你正在想的數字是 9,對不對?(如果不是的話,你或許該回過頭驗算一下。)

是什麼讓 9 這個數字如此神奇?我們會在本章看到它的一些神奇特性,然後我們甚至會考慮有另一個世界的存在,在那裡 12 和3 的功能相等而且完全合理!

觀察 9 的倍數

9 的第一個神奇特性可以從它的倍數中看出來:

9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144⋯⋯

這些數目有什麼共通點?

如果你將每個數字各自的位數相加,似乎每次都會得到 9。

讓我們挑其中幾個來試試看:18 的各個位數之和是 1 + 8 = 9;27 是 2 + 7 = 9;144 則是 1 + 4 + 4 = 9。但是慢著,這裡有一個例外:99 的位數和是 18,不過 18 本身仍是 9 的倍數。所以我們得到下面這個重要結論,這件事你可能在小學就學過了,而我們稍後也會在這一章中解釋:

如果一個數字是 9 的倍數,那麼它的各個位數之和也必定是 9 的倍數(反之亦然)。

舉例來說,123,456,789 的位數和是 45(9 的倍數),所以這個數就是 9 的倍數。反過來說,314,159 的位數和是 23(非 9 的倍數),所以這個數就不是 9 的倍數。

整數的強大性質

讓我們用這個規則來了解前面的那個魔術戲法,並仔細檢驗其中的代數。你先想一個數字,我們稱之為N。乘上三倍之後你會得到 3N,在下一步變成 3N + 6。將這個數字再乘上三倍則是 3(3N + 6)= 9N + 18, 也就是 9(N + 2)。如果你決定要再乘上 2, 就會得到 18N + 36 = 9(2N+4);但不管有沒有乘上 2,你最後的答案都會是9 乘上一個整數,所以最後一定會得到 9 的倍數。(編按:這就是整數的強大性質之一,任何一個 a 倍數乘上任意整數,仍然還是 a 的倍數)

當你計算這個數字的各個位數之和,你一定會再度得到一個 9 的倍數(可能是 9 或 18 或 27 或 36),而且這些數目的各個位數之和必定為 9。

還有另一個我也很喜歡用的魔術戲法,它是前面那個魔術的變形。找一個有計算機的人,請他從下列四位數中挑出一個:

3141 或 2718 或 2358 或 9999

這些數字分別是 π(詳見第八章)的前四位數、e(詳見第十章)的前四位數、連續幾個費氏數(詳見第五章),以及四位數的最大值。

請他將所選的四位數乘上任何一個三位數,結果會是一個你不可能會知道的六位數或七位數。接下來請他在腦海中圈出答案中的任一位數,但不要是 0(因為它已經像是個圓圈了!),然後要他以任意順序將所有沒圈起來的數字唸出來,並且專心想著那個剩下的數字。你只要稍加注意,就可以成功地揭開答案了。

又是 9!

所以說祕密是什麼呢?請注意,能選擇的這四個數字都是 9 的倍數。

既然是從一個 9 的倍數開始,那麼乘上一個整數之後結果仍然會是 9 的倍數,因此它的位數和也一定會是 9 的倍數。隨著數字被逐一唸出,你只要將它們統統相加即可,被藏起來的那一個數字在加上之後能使總和變成 9 的倍數。舉例來說,假設他唸出 5、0、2、2、6 和 1,這些數字的總和是 16,那麼被藏起來的數字一定是 2,因為加上之後能得到最接近的 9 的倍數,也就是18;如果唸出來的數字是1、1、2、3、5、8,總和為 20,那麼隱藏的數字一定是 7,這樣才能得到 27;假設你將唸出的數字相加得到 18,他藏起來的是哪個數字?由於我們告訴過他不要圈選 0,所以缺少的數字一定是9。

謎底揭曉

但為什麼一個 9 的倍數其位數和永遠是 9 的倍數呢?讓我們來看看下面這個例子,當 3456 以 10 的次方項表示時,看起來如下式

3456 = (3 × 1000) + (4 × 100) + (5 × 10) + 6

= 3(999 + 1) + 4(99 + 1) + 5(9 + 1) + 6

= 3(999) + 4(99) + 5(9) + 3 + 4 + 5 + 6

= (9 的倍數)+ 18

= (9 的倍數)

運用同樣的邏輯,如果一個數字的位數和是 9 的倍數,則此數本身一定也是 9 的倍數(反之亦然:任何一個 9 的倍數其位數和一定是 9 的倍數)。

編按:任何一個整數,都可以寫成 9 的倍數+各個位數數字的和,如同上式第四行,因此只要各個位數數字的和是 9 的倍數,整個數字就會是 9 的倍數。

——本文摘自《數學大觀念:全面理解從數字到微積分的12大觀念》,2023 年 3 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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貓頭鷹自 1992 年創立,初期以單卷式主題工具書為出版重心,逐步成為各類知識的展演舞台,尤其著力於科學科技、歷史人文與整理台灣物種等非虛構主題。以下分四項簡介:一、引介國際知名經典作品如西蒙.德.波娃《第二性》(法文譯家邱瑞鑾全文翻譯)、達爾文傳世經典《物種源始》、國際科技趨勢大師KK凱文.凱利《科技想要什麼》《必然》與《釋控》、法國史學大師巴森《從黎明到衰頹》、瑞典漢學家林西莉《漢字的故事》等。二、開發優秀中文創作品如腦科學家謝伯讓《大腦簡史》、羅一鈞《心之谷》、張隆志組織新生代未來史家撰寫《跨越世紀的信號》大系、婦運先驅顧燕翎《女性主義經典選讀》、翁佳音暨曹銘宗合著《吃的台灣史》等。三、也售出版權及翻譯稿至全世界。四、同時長期投入資源整理台灣物種,並以圖鑑形式陸續出版,如《台灣原生植物全圖鑑》計八卷九巨冊、《台灣蛇類圖鑑》、《台灣行道樹圖鑑》等,叫好又叫座。冀望讀者在愉悅中閱讀並感受知識的美好是貓頭鷹永續經營的宗旨。

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強大的三角測量學!讓我們先回顧簡單的三角邊比——《數學大觀念》
貓頭鷹出版社_96
・2023/05/07 ・1623字 ・閱讀時間約 3 分鐘

三角學能讓我們解出一些無法用古典幾何學處理的幾何題目,舉例來說,考慮下面這個問題:

僅用一個量角器和一個袖珍計算機,測出附近某座山的高度。

對於這個問題,我們將提出五種不同解法。實際上,前三種解法幾乎連一丁點數學都沒用上!

方法一(費力解法)

爬上山頂,將你的計算機往下丟(這可能需要用上相當大的力氣),然後測出計算機撞到地面所需的時間(或聆聽下方背包客的尖叫聲)。如果總共花費了 t 秒,且忽略空氣阻力和終端速度帶來的影響,那麼標準的物理學方程式會指出這座山大約高 16t2 英尺。

這個方法的缺點是空氣阻力和終端速度的影響可能相當大,所以你的計算會變得不精確,而且要找回這台計算機也不太可能了。除此之外,這個方法需要用到的計時器可能就在你的計算機上。要說優點的話,則是這個方法並不需要用到量角器。

方法二(輕鬆解法)

找一位友善的保育巡查員,然後用你的嶄新量角器跟他交換山峰的高度這項情報。如果你找不到任何保育巡查員,那就看看附近有沒有一位親切的男士,他一身漂亮的古銅色肌膚表示他可能花了很多時間待在戶外,因而可能對你這個問題的答案相當清楚。

這個方法的優點是你有可能會交到新朋友,而且不需要犧牲你的計算機。此外,如果你對這位深膚色男士的回答心存懷疑,你還是可以親自爬上這座山,然後採用第一個方法找出答案。這個方法的缺點是你可能會失去你的量角器,還被冠上賄賂的罪名。

方法三(聰明解法)

在嘗試方法一和方法二之前,先試著找出一個告示牌,上面標有這座山的高度。這麼做的好處是你不需要犧牲任何一項裝備。 ☺

當然,如果這三種方法都不合你意,那麼我們就必須訴諸於數學的解法,也就是本章的主題。

研究三角形可以做什麼?

「三角學」(trigonometry)在字面上就是三角測量的意思,這個詞的字根源自希臘文「trigon」和「metria」。接下來我們先從分析一些經典的三角形開始。

等腰直角三角形

等腰直角三角形包含一個 90º 角,它的另外兩個角必定相同,所以兩者都是 45º(因為三角形的內角和為180º),這樣的三角形我們稱之為 45−45−90 三角形。如果兩個直角邊的長度都是1,那麼根據畢氏定理,斜邊長一定是 。請注意,任何等腰直角三角形的邊長比例都是 ,如下圖所示。

在一個 45−45−90 三角形中,邊長的比例是 。圖/數學大觀念

30− 60− 90 三角形

在一個等邊三角形中,每個邊長都相同,而且每個角的大小都是 60º。如果我們將一個等邊三角形分成全等的兩半,如下圖所示,就會得到兩個其內角分別是 30º、60º 和 90º 的直角三角形。如果這個等邊三角形的邊長為 2,那麼內含的兩個直角三角形的斜邊長就會是 2,而較短的直角邊長為 1。根據畢氏定理,較長的直角邊長會是。因此,所有 30− 60− 90 三角形的比例都會是 (也可以學學我,用 1、2、 這個簡單的順序來記憶)。特別是如果斜邊長為 1,則另外兩個邊長分別是 以及

在一個 30− 60− 90 三角形中,邊長的比例是 。圖/數學大觀念

——本文摘自《數學大觀念:全面理解從數字到微積分的12大觀念》,2023 年 3 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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