令人著迷的孤獨質數──《數學大觀念》

本文與 BRITA 合作，泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎？

如果你回到兩百年前，試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水，可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐，氣味刺鼻，甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水，被戲稱為「流動的污水」，當時的人們雖然知道水不乾淨，但卻無力改變，導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

幸運的是，現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物，但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰，哪些技術真正有效？

濾水技術：從霍亂危機到高效濾芯

19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展，面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊，甚至未經處理的地下水，導致傳染病肆虐。

1854 年，英國醫生約翰·斯諾（John Snow）透過流行病學調查，發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關，這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度，促使公衛政策改革，加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初，英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒，成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率，這一技術迅速普及，成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾，尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後，惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年，後藤新平出任民政長官，他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設，對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題，他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓（William Kinnimond Burton） 來台，規劃現代化的供水設施。在雙方合作下，台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年，全台已有 16 座現代水廠，有效改善公共衛生，為台灣城市化奠定關鍵基礎。

進入 20 世紀，人們已經可以喝到看起來乾淨的水，但問題真的解決了嗎？ 科學家如今發現，水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物，甚至微量的內分泌干擾物，這些看不見、嚐不出的隱形污染，正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此，濾水技術迎來了一波科技革新，活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透（RO）等技術相繼問世，各有其專長：

• 活性碳吸附：去除氯氣、異味與部分有機污染物

• 離子交換樹脂：軟化水質，去除鈣鎂離子，減少水垢

• 微濾技術、逆滲透（RO）技術：攔截細菌與部分微生物，過濾重金屬與污染物等

這些技術相互搭配，能夠大幅提升飲水安全，然而，無論技術如何進步，濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯，決定了水質能否真正被淨化，而現代濾水器的競爭，正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是，最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能？

濾芯的壽命與更換頻率：濾水效能的關鍵時刻濾芯，雖然是濾水器中看不見的內部構件，卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例，其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂，能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質，並過濾鉛、銅等重金屬，同時軟化水質，提升口感。

然而，隨著市場需求的增長，非原廠濾芯也悄然湧現，這不僅影響濾水效果，更可能帶來健康風險。據消費者反映，同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯，顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全，建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯，避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙，正面則可看到 BRITA 商標，以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣，並且沒有拉環設計，底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節，才能確保濾芯發揮最佳過濾效果，讓每一口水都能保證潔淨安全。

不過，即便是正品濾芯，其效能也非永久不變。隨著使用時間增加，濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞，導致過濾效果減弱，濾水速度也可能變慢。而且，濾芯在拆封後便接觸到空氣，潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯，不僅會影響過濾效能，還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質，形成「過濾器悖論」（Filter Paradox）：本應淨化水質的裝置，反而成為污染源。為此，BRITA 建議每四週更換一次濾芯，以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題，BRITA 推出了三大智慧提醒機制，確保濾芯不會因過期使用而影響水質：

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈：即時監測濾芯狀況，顯示剩餘效能，讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒：掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間，自動提醒何時該更換，減少遺漏。

3. LINE 官方帳號自動通知：透過 LINE 推送更換提醒，確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天，濾芯已不僅僅是過濾裝置，更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備，成為了健康生活的關鍵。

濾水技術：不僅是進步，更是守護未來

人類對潔淨飲用水的追求，從未停止。19世紀，隨著城市化與工業化發展，水污染問題加劇並引發霍亂等疾病，促使濾水技術迅速發展。20世紀，氯消毒技術普及，進一步保障了水質安全。隨著科技進步，現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術，去除水中的污染物，讓每一口水更加潔淨與安全。

今天，消費者不再單純依賴公共供水系統，而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如，BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求，從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題，去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%，並通過 SGS 檢測，通過國家標準水質檢測「可生飲」，讓消費者能安心直飲。

然而，隨著環境污染問題的加劇，真正的挑戰在於如何減少水污染，並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具，更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備，它象徵著人類與自然的對話，提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利，更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源，且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

一、前言

選後的立法院三黨不過半，但民眾黨有八席不分區立委，足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟，勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是：民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票，屈居第三，但因其獲得部分藍、綠選民的支持，在選民偏好順序組態的基礎上，它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位，將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」？

這次總統大選，誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題，更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制，多數決選制英文叫 first-past-the-post（FPTP），簡單來講就是票多的贏，票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後，賴蕭配會贏已經沒有懸念，但這只是選制定規之下的結果，換了另一個選制，同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想：選制是人為的，而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制；既定的選制推出了一位總統，並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪，台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

如果在「三跤㧣」選舉之下，選情的激盪從候選人的得票多少看不出來，那要從哪裡看？政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK，看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在，如果不存在，那代表有 A 與 B 配對 A 勝，B 與 C 配對 B 勝，C 與 A 配對 C 勝的 A＞B＞C＞A 的情形。這種情形，一般叫做「循環多數」（cyclical majorities），是 18 世紀法國學者孔多塞（Nicolas de Condorcet）首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

另一方面，如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人，這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」（Condorcet winner），而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」（Condorcet loser）。三角嘟的選舉若無循環多數，則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家，然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人，而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家，那與循環多數一樣，意涵選後政治將不會穩定。

那麼，台灣這次總統大選，有沒有孔多塞贏家？如果有，是多數決選制之下當選的賴清德嗎？我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波（1 月 11 日至 12 日），也是選前最後民調的估計，得到的結果令人驚訝：得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家，而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此，那白色力量將會持續地激盪台灣政治！

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計，侯友宜可能是孔多塞贏家，而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果，顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生，而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動，還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確，但短期內的改變，很可能反映了選情的激盪，甚至可能反映了循環多數的存在。

三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調，總樣本 N=1001 位受訪者中，如果當時投票，會支持賴清德的受訪者共 355 人，佔 35.4%；支持侯友宜的受訪者共 247 人，佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人，佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統，也絕對不會投給他的候選人」，在會投票給三組候選人的 802 位支持者中，一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖：

根據這個交叉表，我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序，然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下，候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是：

• 柯文哲 PK 賴清德：311 > 261（54.4% v. 45.6%）
• 柯文哲 PK 侯友宜：287 > 285（50.2% v. 49.8%）
• 侯友宜 PK 賴清德：293 > 279（51.2% v. 48.8%）

所以柯文哲是孔多塞贏家，賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差（4.1%），除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外，其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中，三位候選人的得票率分別是：賴清德 40%，侯友宜 33%，柯文哲 27%，與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中，柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制，孔多塞輸家賴清德當選。

不過以上的分析有一個問題：各陣營的支持者中，有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統，也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者，其「無反應率」（nonresponse rate）高達 34.5%。相對而言，侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人？一個假設是因為藍、白性質相近，對許多綠營選民而言，其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說，藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人，因此指認較無困難。無論如何，把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」（missing value）而棄置不用總不是很恰當的做法，在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下，把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人，也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果，得到

• 柯文哲 PK 賴清德：389 > 413（48.5% v. 51.5%）
• 柯文哲 PK 侯友宜：396 > 406（49.4% v. 50.6%）
• 侯友宜 PK 賴清德：376 > 426（46.9% v. 53.1%）

此時賴清德是孔多塞贏家，而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中，三位候選人的得票率分別是：賴清德 44%，侯友宜 31%，柯文哲 25%。雖然依多數決選制，孔多塞贏家賴清德當選，但賴的得票率超過實際選舉結果（40%）。用無實證的假設來填補遺失值，反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強，補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例，分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果，得到

• 柯文哲 PK 賴清德：409 > 393（51.0% v. 49.0%）
• 柯文哲 PK 侯友宜：407 > 395（50.8% v. 49.2%）
• 侯友宜 PK 賴清德：417 > 385（52.0% v. 48.0%）

此時柯文哲又是孔多塞贏家，而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802，三位候選人的得票率分別是：賴清德 44%，侯友宜 31%，柯文哲 25%，與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄，看似最不可取。然而縮小的樣本裡，三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值，但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度，我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何，在缺乏完全資訊的情況下，我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家，而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性，我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年，多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定，值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家，是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置，讓柯文哲與賴清德 PK 時，能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的，當他與侯友宜 PK 時，他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠，他也能夠勝出。反過來看，當賴清德與侯友宜 PK 時，除非他的基本盤夠大，否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中，賴清德得 40%，侯友宜得 33%，柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德（52.5%）遠遠超過討厭侯友宜（23.7%），賴雖然基本盤較大，能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小，卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家，賴清德之所以成為孔多塞輸家，都是這些因素的數學結果。

資料來源

• 《美麗島電子報》追蹤民調第109波（1月11日至12日）

雖然很少有學生小學畢業後還不懂乘法表，但有很多人確實不會算，如果一個人開車的速度是每小時 56 公里，開了 4 小時之後，他就開了 224 公里。要是每公克花生賣 40 美分，而 1 袋花生賣 2.2 美元，那麼，這袋花生裡就有 5.5 公克花生。假如全世界人口中有 1/4 是中國人，其餘的 1/5 是印度人，那麼，印度人在全世界的人口中就占了 3/20，或說是 15％。當然，要理解這些問題，並不像學會算 35×4＝140、（2.2）/（0.4）＝5.5、1/5×（1–1/4）＝3/20＝0.15＝15％ 這麼簡單。對很多小學生來說，這不是自然而然就會的東西，要靠做很多很實用、或是純屬想像的問題，才能進一步學會。

至於估計，學校裡除了教一些四捨五入之外，通常也沒有別的了。四捨五入和合理的估計與真實人生大有關係，但課堂上很少串起這樣的連結。學校不會帶著小學生估計學校砌一面牆要用掉多少塊磚、班上跑最快的人速度多快、班上同學爸爸是禿頭的比例多高、一個人的頭圍與身高之比是多少、要堆出一座高度和帝國大廈等高的塔需要幾枚 5 美分硬幣，還有他們的教室能否容納這些 5 美分硬幣。

幾乎也沒人教歸納推理，也不會用猜測相關性質和規則的角度，來研究數學現象。在小學數學課裡談到非形式邏輯（informal logic）的機率，就跟講到冰島傳說一樣高。當然，也不會有人提到難題、遊戲和謎語。我相信，這是因為很多時候，聰明的 10 歲小孩輕輕鬆鬆就能打敗老師。

數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書，也在《科學美國人》撰寫專欄，而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物（前提是有人指定他們去讀的話）。此外，數學家喬治．波利亞（George Polya）的《怎樣解題》（How to Solve It）和《數學與合情判讀》（Mathematics and Plausible Reasoning），或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書，是瑪瑞琳．伯恩斯（Marilyn Burns）所寫的《我恨數學》（The I Hate Mathematics! Book），書裡有很多啟發性的提示，帶領讀者解題與發想各種奇思異想，是小學數學課本裡罕見的內容。

有太多教科書仍列出太多人名和術語，就算有說明解析，也很少。比方說，教科書上會說加法是一種結合律運算（associative operation），因為（a + b）+ c＝a +（b + c）。但很少人會提到非結合律運算，因此，充其量來說，結合律運算的定義是畫蛇添足。不管是結合律或非結合律，你知道了這些資訊之後要怎麼應用？書上還會介紹到其他術語，但除了用粗體字印在書頁中間的小框框裡，看起來很了不起之外，也沒什麼值得提的理由。這些術語滿足了很多人認為，知識就好比一門普通植物學，每種學問都可以在體系中，找到自己的類別和位置。相比之下，把數學當成有用的工具、思維方式或是獲得樂趣的途徑，在多數小學教育課綱中都是很陌生的概念（即使教科書內容不錯也一樣）。

或許有人會認為，在小學階段，可以用電腦軟體，來幫助學生掌握基本的算數原理及相關應用（應用題、估計等等）。可惜的是，目前可用的程式通常是從教科書上擷取無趣的例行練習，轉化成電腦螢幕版本而已。我不知道有任何軟體可用整合、一致且有效的方法，來教算術與解題應用。

小學階段的數學教學品質普遍不佳，最終必會有人怪罪於老師能力不足，而且對數學沒什麼興趣、或不懂欣賞數學。我認為，這當中有一部分又要歸咎於大專院校的師資培養課程中，很少或根本不強調數學。以我自己的教學經驗來說，我教過的學生中，表現最差的是中學生，而不是大學主修數學的學生。準小學老師的數學背景也很糟，很多時候甚至根本沒有相關的數學教學經歷。

而每所小學聘用一、兩位數學專才，在學校裡每天分別到不同班級輔導（或教授）數學，或許可以解決部分問題。有時我認為，如果大學數學教授和小學老師每年可以交換個幾星期，會是個好方法。同樣的，把主修數學的大學生和研究生交到小學老師手裡，不會造成傷害（事實上，後者或許能從前者身上學到一些東西）。而三、四、五年級的小學生則可以在完全適任的老師教導下，接觸到數學謎題與遊戲，將可大大獲益。

稍微打個岔，謎題與數學之間很有關係，而且相關性會一直延續到大學與研究階段的數學。當然，把謎題換成幽默也通。我在《數學與幽默》（Mathematics and Humor）書中試著說明，數學和幽默都是某種益智遊戲，與猜謎、解題、遊戲和悖論多有共通之處。

數學和幽默都是把概念組合、拆開再拼回來，然後從中得到樂趣。慣用的手法包括並列、歸納、迭代和倒向（比方說「aixelsyd」就是把「dyslexia」﹝閱讀障礙﹞的字序倒過來）。那麼，如果我放寬這個條件，但緊縮另一個條件會怎樣？某一個領域的概念（像是綁辮子），和另一個看來完全不同領域的概念（如某些幾何圖形的對稱性）有什麼共通點？當然，即便不是數盲，可能也不熟悉數學這個面向，因為你必須要先具備一定程度的數學概念，才可以拿來耍弄。其他像獨創性、不協調感以及精簡的表達，對於數學和幽默來說也都同樣重要。

可能有人說過，因為所受訓練之故，數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義，但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同，因此很好笑。比方說，哪種運動比賽時要蓋臉？答案是，冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊（按：原文「Which two sports have face-offs」，「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」，而這也是冰上曲棍球常用的術語，意指「爭奪球權」）。他們也很沉溺於歸謬法（reductio ad absurdum），或設定極端前提條件然後做邏輯演練，以及各式各樣的字組遊戲。

如果可以透過小學、中學或大學階段的正式數學教育，或是非正式的數學科普書籍，傳達數學有趣的面向。我認為，數盲就不會像現在這麼普遍。

——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》，2023 年 11 月，大牌出版，未經同意請勿轉載。

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質數？合數？傻傻分不清楚

每一個正整數都能表示若干個 2 的次方之和，而且這個表示法是唯一的。在某種意義上，你可以說 2 的各個次方就像是磚塊，在加法的過程中逐漸砌成正數。在本文中，我們會看到質數也扮演著類似的角色，但這次是利用乘法：每一個正數都可以用唯一的一組質數乘積表示。然而，2 的次方很容易就能找出來，而且沒有什麼數學上的驚喜；反之質數卻棘手得多，而且我們對質數還有很多不了解的地方。

質數是恰好有兩個正因數的正整數，這兩個正因數就是 1 和該數本身。下面列出最初的幾個質數：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、⋯

1 這個數字並不被當作質數，因為它只有一個因數，也就是 1。（其實 1 之所以不被認為是質數還有一個更重要的原因，這點我們很快就會提到。）

請注意，2 是質數中唯一的偶數，有些人可能會因此說它是所有質數中最奇怪的！

擁有三個或更多因數的正整數稱作合數，因為這些數字可由其他更小的因數合成。合數依序有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25、26、27、28、30、⋯。舉例來說，4 這個數字剛好有三個因數：1、2 和 4。6 則有四個因數：1、2、3 和 6。

請注意，1 也不是合數，數學家將 1 這個數字稱作單位，它是所有整數的因數。

每一個合數都可以表示為若干個質數的乘積。要將 120 分解至只剩下質數，我們可能會寫先下 120=6×20，而 6 和 20 雖然都是合數，但它們都可以被分解成質數，也就是 6=2×3 以及 20=2×2×5。因此，120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³3¹5¹

有趣的是，無論我們一開始用什麼方式分解此數，最後得到的質因數分解都是一樣的。這就是唯一分解定理，也稱作算術基本定理，它聲稱每個大於 1 的數字都有一組唯一的質因數分解法。

順帶一提，1 不算是質數的真正原因是：如果我們說他是一個質數，這個定理就無法成立。舉例來說，12 可以分解成2×2×3，但也可以說是 1×1×2×2×3，這樣的話，質因數分解就不會是唯一的了。

愛它，就要知道如何分解它

一旦你知道如何分解一個數字，其實就已經相當了解這個數字了。當我還小的時候，我最喜歡的數字是 9，但隨著我漸漸長大，我喜歡的數字開始變大，甚至更複雜。（比方說，π = 3.14159 …， φ = 1.618 …，e = 2.71828 …，還有，i，這個數字沒有辦法用小數表示）在我開始對無理數進行實驗之前，有一陣子我最喜歡的數字是 2520，因為在那些可以「被一到十都整除」的數目中，這是最小的一個。2520 的質因數分解如下：2520 = 2³3²5¹7¹

一旦你知道某數質因數分解的結果，你就可以立刻確定該數有多少個正因數。舉例來說，2520 的因數一定會是 2a3b5c7d，其中 a 可以是 0、1、2 或 3（四種選擇），b 可以是 0、1 或 2（三種選擇），c 可以是 0 或 1（兩種選擇），d 可以是 0 或 1（兩種選擇）。因此藉由乘法規則，2520 總共有 4×3×2×2=48 個正因數。

算術基本定理的證明利用了下列關於質數的事實（任何一本數論教科書都會在第一章證明這點）：

若 p 是一個質數，且 p 能整除兩個或更多個數字的乘積，那麼在組成這個乘積的各個數字中，p 肯定是其中至少一項的因數。

舉例來說：999,999=333×3003 是 11 的倍數，所以 11 一定能整除 333 或 3003。（事實上，3003=11×273。）這個特性對合數來說就不是每次都能成立了，比方說 60=6×10 是 4 的倍數，但是 4 並無法整除 6 或是 10。

要證明唯一的分解定理，我們先反過來假設有些數字質因數分解的結果不只一組。如果 N 是擁有兩組不同的質因數分解的數字中最小的那一個，表示為：p1p2…pr = N = q1q2…qs

其中所有的 pi 和 qj 項都是質數。因為 N 一定是質數 p1 的倍數，所以 p1 一定是其中一個 qj 項的因數。為了讓標記簡單一些，我們就說 p1 整除 q1 好了。因此，由於 q1 是質數，所以我們一定會得到 q1=p1。所以如果我們將上述等式都除以 p1，就會得到：P2…Pr=N/P1=q2…ps

但現在 N/P1 質因數分解也有兩個不同的結果了，這跟我們之前假設的「N是這種數目中的最小的一個」有所牴觸。

要是在火星，一切將不同

順帶一提，在某些數系中，並非所有數都有唯一的因數分解法。

舉例來說，在火星上，由於所有的火星人都有兩個頭，所以他們在生活中只會用偶數：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、……

在火星人的數系中，像 6 或 10 這樣的數目會被視為質數，因為在因數分解後，這些數目無法由更小的若干個偶數組成。在這個系統中，質數和合數單純地交替出現，每一個 4 的倍數都是合數（因為 4k=2×2k），而其他的所有偶數（像是 6、10、14、18 等等）都是質數，因為這些數不能被分解成兩個更小的偶數。

讓我們來想想 180 這個數目：6×30 ＝ 180 ＝ 10×18

在火星人的數系中，180 可以被分解成兩種不同的質因數組合，所以在這顆星球的數系中，質因數分解的結果並非獨一無二。

質數會不會消失？

1 到 100 之間恰好有 25 個質數，下一百個數中有 21 個質數，再下一百個數中則有 16 個質數。隨著數字愈來愈大，質數也愈來愈稀有。（但並沒有遵循任何可預測的方式，比如說三百到四百之間有 16 個質數，但四百到五百之間的質數有 17 個。）到了一百萬和一百萬零一百之間的時候，就只有 6 個質數了。質數會愈來愈稀有是很合理的，因為一個大樹底下的數字非常多，所以含有因數的可能性也更高。

我們可以證明一串不含任何質數的 100 個相連數字的確存在，甚至有些完全沒有出現質數的相連數字長達 1000 或 100,0000 個（看你想要多長都可以）。為了說服你接受這個事實，接下來我要立刻給你看 99 個相連的合數（雖然這並非由我首創）。研究一下這 99 個相連的數字：100! + 2, 100! + 3, 100! + 4, . . . , 100! + 100

由於 100!=100×99×98×…×3×2×1，所以這個數一定能被 2 到 100 之間的所有數字整除。接下來想想 100!+53 這樣的數字，由於 53 能整除 100!，所以必定也能整除 100!+53。這個論述可以證明凡是 2 ≤ k ≤ 100，則 100!+k 一定會是 k  的倍數，所以這一定會是合數。

請注意，我們的論述並沒有提到 100!+1 是否為質數，但我們也可以證明這一點。有一個美麗的定理叫做威爾遜定理，它說若且唯若 n 是一個質數，則 (n− 1)!+1 是 n 的倍數。

用幾個較小的數目來實驗看看：1!+1=2 是 2 的倍數；2!+1=3 是 3 的倍數；3!+1=7「不是」4 的倍數；4!+1=25 是 5 的倍數；5!+1=121「不是」6 的倍數；6!+1=721 是 7 的倍數；以此類推。由於 101 是質數，而沃里斯定理表示 100!+1 會是 101 的倍數，所以該數就是合數。因此 100! 到 100!+100 包含了 101 個相連的合數。

因為在極大的數字中質數會變得愈來愈稀少，所以大家自然會好奇是不是在某一數之後就完全不會有質數了。不過就如同歐幾里德在兩千年前告訴我們的，這並不會發生。但可不要就這麼接受他說的話了，好好享受自己證明這點的樂趣吧。

定理：質數有無限多個。

證明：反過來假設質數的數量有上限，那麼一定有一個最大的質數，這裡我們用 P 來表示。現在來看看 P!+1 這個數字，由於 P! 能夠被 2 到 P 之間的所有數字整除，就表示這些數字中沒有一個能整除 P!+1，所以 P!+1 一定有一個大於 P 的質因數，而這跟原本假設的「P是最大的質數」有所牴觸。

雖然我們永遠不會找到最大的質數，但這並沒有阻止數學家和電算科學家繼續尋找更大的質數。在我撰寫這本書的當下，目前已知的最大質數有 17,425,170 位數。光是要寫下這個數字就要花掉比本書多上大約一百倍的紙張，不過，我們也可以只寫成一行：2^57,885,161 − 1

要得知 2ⁿ−1 或 2ⁿ+1 是不是質數，我們有個非常管用的方式，這是為什麼此數可以用如此簡單的方式表達出來。

到底是不是質數？費馬為你驗真身

偉大的數學家費馬曾經證明：如果 p 是奇質數，那麼 2^p−1−1肯定是 p 的倍數。

用最小的幾個奇質數試試看吧：對質數 3、5、7、11 來說，我們能看到 2²−1=3 是 3 的倍數；2⁴−1=15 是 5 的倍數；2⁶−1=63 是 7 的倍數；且 2¹⁰−1=1023 是 11 的倍數。

至於合數，顯然當 n 是偶數的時候，2^n-1−1 一定是奇數，所以此數不可能是 n 的倍數。接著拿最小的幾個奇合數來試試看：9、15、21，我們會看到 2⁸−1=255 不是 9 的倍數；2¹⁴−1=16,383 不是 15 的倍數；2²⁰−1=1,048,575 也不是 21 的倍數（甚至不是 3 的倍數）。

因此根據費馬定理，如果有一個很大的數目 N，使得 2^N-1−1 不是 N 的倍數，那麼我們也可以百分之百確定 N 不是質數，就算不知道 N 的因數為何也無妨！

然而費馬定理的逆論述並不正確，因為的確有某些合數（稱做擬質數）表現得像質數一樣。最小的例子是 341=11×31，具有 2³⁴⁰−1 為 341 的倍數這個特性。雖然已經有人證明擬質數的存在非常稀有，但是仍然有無限多個，好在有方法可以排除它們。

令人著迷的完美數字

質數能運用在許多地方，尤其是電算科學。質數是幾乎所有加密演算法的核心，包括為了能在網路上安全地作金融交易而產生的「公開金鑰密碼系統」。這些演算法多數都是基於一個事實：對我們來說能迅速判斷出某數是否為質數，但截至目前為止，並無法迅速地完成某個大數的因數分解。

舉例來說，如果我隨機相乘兩個 1000 位數的質數並得到一個 2000 位數的答案，任何人或是電腦（除非某天有人打造出了一台量子電腦）能算出原來那兩個質數的機率都微乎其微。基於我們沒有能力分解大數而產生出來的這些密碼（像是 RSA 加密演算法），一般相信是相當安全的。

世人已經為質數著迷了數千年，古希臘人曾說，當一個數字等同於該數所有真因數（除了該數本身以外的各個因數）之和的時候，它就是一個完美的數字（正式名稱為「完全數」）。舉例來說，6 是一個完全數，因為它的真因數 1、2 和 3 的總和是 6。

下一個完全數是 28，它的真因數 1、2、4、7 和 14 總和為 28。再接下去的兩個完全數是 496 和 8128，這有任何規律嗎？讓我們看看這些數字質因數分解的結果：

6 = 2× 3
28 = 4 × 7
496 = 16 × 31
8128 = 64 × 127

你看出其中的規律了嗎？第一個數都是 2 的次方，第二個數都是第一數的兩倍再減 1 的結果，而且是個質數。（這就是為什麼上述等式中沒有 8×15 或是 32×63，因為 15 和 63 都不是質數。）我們可以將這個規律歸納成下面這個定理：

定理：若 2ⁿ−1 是一個質數，則 2ⁿ-1×(2ⁿ−1) 就是一個完全數。

證明：令 p=2ⁿ−1 為質數，而我們的目標是要證明2^n-1p 是完全數。

2ⁿ-1p 的真因數為何？如果排除因數 p，剩下的因數就是簡單的 1、2、4、8、…、2^n-1，其總和就是 2^n-1=p。其他的真因數（不包括2^n-1p）則包括因數 p，所以這些因數之和就是 p(1+2+4+8+…+2n−2)=p(2n−1−1)。因此，真因數的總和會是 p + p(2^n-1−1) = p(1 + (2^n-1−1)) = 2^n-1p 正是待證的結果。

偉大的數學家歐拉（1707 ∼ 1783）證明了所有的完全數都遵循這個形式。在我撰寫這本書的當下，已經被找出的完全數總共有四十八個，而且全部都是偶數。

關於質數，仍有許多神秘未知

有任何完全數是奇數嗎？就目前為止，沒有人知道這個問題的答案。唯一知道的是如果有一個完全數是奇數，那麼這個數目一定超過三百位數，但目前也沒有人能證明它們並不存在。

有許多能夠簡單陳述的未解之謎都跟質數有關係，我們已經說明過目前無法得知是否有無限多個費氏數質數。（已經有人證明出費氏數裡面只有兩個完全平方（1 和 144），也只有兩個完全立方（1 和 8）。）

另外一個未解之謎稱作哥德巴赫猜想，它的猜測是所有大於二的偶數都是兩個質數之和。

同樣地，沒有人能夠證明這個猜想，不過有人證明出如果反例的確存在，那麼這個數字至少會有十九位數。（最近有個類似的問題已經有所突破，2013 年，賀歐夫各特（Harald Helfgott）證明了每一個大於七的奇數都可寫成頂多三個奇質數的和。）

最後，所謂的孿生質數是任意兩個相差 2 的質數。孿生質數的前幾個例子是 3 和 5、5 和 7、11 和 13、17 和 19、29 和 31。

你能看出來為什麼 3、5 和 7 是唯一的「三質數組」嗎？ 雖然已經證實（ 因為古斯塔夫（Gustav Dirichlet）一個定理中的特例）世上有無限多個結尾是 1 的質數（或者結尾是 3、7 或 9），是否有無限多個孿生質數這個問題依然還沒有答案。

不管怎麼樣，正整數就是有趣啦！

讓我們用一個有點可疑的證明來結束這一章，但我希望你好歹還是會同意這個論述。

主張：所有的正整數都很有趣！

證明：你一定會同意前幾個正整數都非常有趣，舉例來說，1 是第一個數字，2 是第一個偶數，3 是第一個奇數，4 既是 2+2 又是 2×2 等等。現在反過來假設並不是所有的數字都很有趣，那就必定會有第一個不有趣的數，我們稱之為 N。但光是這一點就讓 N 變得很有趣！所以不有趣的數字根本不存在。

本文摘自《數學大觀念：從數字到微積分，全面理解數學的 12 大觀念》，貓頭鷹出版。