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跟《數學大觀念》的作者聊聊吧!讓班傑明教授告訴你:數學教育該何去何從?

Rock Sun
・2017/08/05 ・4067字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 467 ・五年級

國中的時候我們學過代數 xy;高中學過三角函數 sin,cosine;大學因人而異我們有微積分、統計……等。這些很多人都曾經學過,卻又好陌生的數學觀念,到底為何而教?

亞瑟.班傑明教授(Arthur Benjamin)source:TED Conference

做為一個科系本應與數學合作密切,現在卻貌合神離的 R 編,在禮拜六一大早爬了起來、打開 Skype,等著跨太平洋與亞瑟.班傑明教授(Arthur Benjamin)談話,因為我想知道:從一個打破傳統觀念的教育者角度,我們(台灣、美國、或者全世界)的數學教育到底能夠有什麼不一樣。

事實證明,對數學不感興趣,或是夢想被數學摧毀,不只是在台灣出現的問題。

  • 此訪問發生在 5/13 號禮拜六清晨,由 R 編、Y 編與數感實驗室共同創辦人賴以威與遠在太平洋另一端的《數學大觀念》作者亞瑟.班傑明教授線上對談,討論教授眼中的數學教育以及數學的美妙。(以下訪問紀錄穿插當時以威和 R 編的小問題,和一些 OS。)

數學的美不在制式練習,而是千變萬化的計算方法

(在一陣尷尬的自我介紹、呆滯、和結巴之後──)

Q:你是怎樣喜歡上數學的?

班傑明教授:老天~我覺得我好像從小就喜歡上數學了。我的父母發現我很喜歡數字謎題之類的遊戲(你們有多少人會這麼說呢?),然後這很自然的就成為我的人生,但我從來不覺得我有多特別。而真正喜歡上數學這件事,我覺得跟擁有一個好老師和正確的態度非常重要。

數學是非常精確的一門學問,絕大部分的問題只會有一個答案,對某些人而言這正和他的胃口,但對另一些人而言這又非常的痛苦。數學練習需要一個非常巧妙的平衡,剛剛好讓學生們熟悉這些技巧,又不會多到讓他們感到厭煩、進而不享受。

我覺得這是全世界都遭遇到的問題,也就是讓數學具有挑戰性和趣味、但又不要過於重複和難以理解,最後流於乏味的練習。

以威:在台灣我們蠻習慣讓學生每天練習數學,有時候甚至補習到晚上。(班傑明教授曾在台北美國學校擔任過 1 個月的研究教職人員(scholar in residence),所以我猜可能對台灣的補教文化時有所聞。)

班傑明教授:我知道有一些數學能力測驗讓家長和學生趨之若鶩,但我個人認為那對學習數學並不好。你學會了快速計算,但你還是看不到數學的美麗,到最後你真的會喜歡這門學問嗎?

我最喜歡數學的一點,是即使知道只有一個答案,你仍有很多方法可以得出它,並用各種不同的方式解決一個問題。對我而言這樣的殊途同歸、最後找到同一個答案非常具有成就感,一直到今天我都覺得這是一件非常美麗的事。

亞瑟.班傑明教授。圖/hpbs.com

別跟計算機搶工作,數學的優雅超乎你想像!

Q:擅長數學,對你的日常生活有帶來什麼便利性嗎?

班傑明教授:我腦海中立刻有兩件事,一是我們每天還是在做運算,所以很順手地做出數學估計是非常有用的一件事。二是機率和統計

我們每天都會計算風險,過馬路、開車、接電話……等等,我熱愛機率和統計,前者非常的有趣、後者則是實用,尤其是在這個數據唾手可得的時代,可以藉由這些技巧運用資料的人將會非常搶手

以威:我看過你的 TED 演講,你說如果想要改變數學教育,可以從機率的教學開始。

班傑明教授:是的,我覺得目前我們太注重在微積分上面了,至少在美國我們過去 100 年來都是這樣,我覺得我們需要更多、更好的老師在機率和統計上面,但這還只是一個看法而已。

以威:那麼幾何學和其他領域呢?

班傑明教授:這麼說吧,幾何學和微積分是了解自然萬物定律的基礎,其中微積分可以想像是語言,而代數則是根本的根本。但是日常生活中你不會用上這些東西,除非你是工程師或經濟學家;而幾何是訓練邏輯思考的利器,和音樂、詩詞對我們腦袋的影響很類似,而數學也辦得到,從幾何學我們可以衍生出的想像空間、靈感比代數和微積分多很多。

這些東西就像古典音樂、藝術一樣,比起實用,他們更加美妙。學生們可以靠實用性來啟發,但加上一點優雅,學生更能有所回應,他們對於單純的迅速計算這些代數問題比較興致缺缺,但這卻是我們現在測驗和獎懲的依據。

以威:我很同意,像我創立數感實驗室之後,會帶學生們去研究畫作中的比例等等之類的事情。

班傑明教授:嗯~我覺得在未來,我們的技術先驅、工程師、思想家、發明家應該是那些了解邏輯、並知道科學如何運作,而非能做出快速運算的人,電腦可以取代這些運算功能,幹嘛跟它們搶飯碗。

  • 班傑明教授於 2009 年的演講

來點數學小遊戲,讓數學學習更有趣

Q:什麼樣的教學方式能夠讓學生更注重在實際運用、而非快速運算上?例如我們在物理、化學上有實驗課程,數學能有一樣的東西嗎?

班傑明教授:我很喜歡一個數學小把戲~首先,請從 1~10 之間挑一個數字,然後將它乘以 2,然後再加上 10,現在我們有了一個全新的數字;現在把它除 2,然後減掉一開始你選的數字……

我想你現在所想的數字一定是 5 對吧!

這是代數的魔力。我在書中有提到很多類似的數學小魔術,主要就是要讓學生感到「挖賽!你怎麼辦到的?」再來讓他們知道這背後的原理,他們感興趣之後,我們再來開始課程。

再來大家都喜歡遊戲,尤其是牽扯到機率的遊戲(爐 X 戰記??),當我們更清楚背後的數學之後,我們也就更加拿手。

我很喜歡一個桌遊叫做雙陸棋(back gammom)這是一個數學可以 carry 你的遊戲(非原文翻譯,但我覺得非常接近這個概念了),它起源於很早以前的中東,但一直到近年才在數學界盛行,目前在這款遊戲中,電腦已經完全超越人類了,我們現在都在向電腦學習套路。

雙陸棋。source:wikimedia

學生或許會問:「這我們什麼時候會用到?」,我覺得這是一個相當合情合理的問題,但是 「你在考試和未來的某一天就會用到」這種回答並不好,這也不是最啟發學生去學習的方法。幾乎每一個我傳授的數學學問、技巧,都有實際的問題和情境可以讓學生感興趣,反之,如果找不到任何例子的話,我就會自問說這東西到底值不值得教。

以威:那你覺得我們需要一套專門訓練數學老師的系統課程嗎?

班傑明教授:這或許是個好主意。在美國我們並不注重這類訓練,最好的學生又通常不會選擇成為老師,而是律師、精算師、或是教授……(大家都差不多嘛)。我覺得其他國家,例如新加坡,非常注重老師的價值。如果你能有一位好的老師,那麼訓練就沒有太大的意義。

Q:開派對的時候,有什麼好玩的數學小遊戲嗎?

班傑明教授:我很喜歡玩一個小把戲,就是給我你的出生年月日,然後我可以立刻告訴你那天是星期幾。

班傑明教授在不到一秒內回答我的生日是星期幾的時候……。圖/imgflip

怎麼辦到的?比起知道背後的原理(此遊戲的詳細原理出現在《數學大觀念》p.94,長約 2 頁,這裡就不多花篇幅介紹了,也可以 google 得到),我更想要讓大家知道其實數學是很神奇的一件事。

R 編:那教授怎麼看《決戰 21點》之類的電影呢?它能有幫助嗎?

班傑明教授:學生很容易被勝利的概率吸引,誰不想要知道自己有多少機會成功?去了解背後的數學是非常重要的一件事,就算他們知道長遠來看是穩輸不贏。這類東西在運動上和投資上都非常吃香,要最大化你的勝率,最後都會回到計算上。

R 編:是啊~像現在計算師、數據師在體育等領域越來越盛行了。

班傑明教授:數學與資訊科技是絕配,也可以訓練大腦,但我不是說大家都要去當數學家,而是我們更應該了解數學,了解如何看世界運作的另一面。

老師!問題在行銷

Q:如果我們想要成為數學專才,我們應該要培養哪些能力?

班傑明教授:我覺得最重要的是讓自己的專業看起來很有趣。是什麼東西讓人喜歡上資訊工程、生物、物理呢?每一個領域都有自己推廣自己的方法,但數學相較之下就少了一些,而數學家並不一定都樂意與眾人對談,因為有時候他們的想法太深入或仔細了,我們需要去找到一個方法去溝通,讓大眾能夠欣賞這個領域,但我們現在反而是訓練太深,讓大家害怕了。

以威:如果未來有數學傳播系之類的東西,教授覺得呢?

班傑明教授:那這會是個很棒的事,現在教學研究人員的價值建立在他們的研究、論文上,對著小眾展示並獲得認同,如果我們能夠把「如何傳播你的知識 」也納入考量的話會是一件很好的事情。

R編:另外我想請問教授,我最近看到美國似乎有更改數學教學流程的新聞,而台灣類似的事也時有所聞,請問你有心中最好的數學教學順序嗎?

班傑明教授:我覺得最重要的問題是:我們該追尋最佳的課綱還是最佳的老師。如果你有一個好老師,我覺得不管他們教什麼、按什麼順序教都沒有差別,只要他們能比課綱帶給學生更多的興趣。

數學很好玩!圖/KeywordSuggest.org

教授最後一題的答案有點讓我出乎預料,因為它談的不是什麼數學或人生硬實力,而是「溝通」,講商業一點就是「行銷」,這是個我們發展數學教育到現在,可能從沒想過的一件事。

這個時候,美國時間已是晚上了,而教授另外有事,所以我們結束了這次訪問,台灣的 3 人各自回到被窩裡繼續自己的生活。

綜觀整串訪問,班傑明教授也沒有說過誰對誰錯,教育的發展必有它的目的,但是時代在變,或許我們也該改變。能夠熟悉數學運算的方法還是練習,但未來的我們在計算微分方程式或是驗證統計結果的時候,我們腦海裡浮現的是痛苦厭煩,還是看得到這背後的趣味呢?

source:Ryan Somma
文章難易度
Rock Sun
64 篇文章 ・ 760 位粉絲
前泛科學的實習編輯,曾經就讀環境工程系,勉強說專長是啥大概是水汙染領域,但我現在會說沒有專長(笑)。也對太空科學和科普教育有很大的興趣,陰陽錯差下在泛科學越寫越多空想科學類的文章。多次在思考自己到底喜歡什麼,最後回到了原點:我喜歡科學,喜歡科學帶給人們的驚喜和歡樂。 "我們只想盡我們所能找出答案,勤奮、細心、且有條理,那就是科學精神。 不只有穿實驗室外袍的人能玩科學,只要是想用心了解這個世界的人,都能玩科學" - 流言終結者

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考試好煩!你知道考試原來的作用是什麼嗎?——專訪中研院近代史研究所徐兆安助研究員
研之有物│中央研究院_96
・2023/09/16 ・4800字 ・閱讀時間約 10 分鐘

本文轉載自中央研究院「研之有物」,為「中研院廣告」

  • 採訪撰文|李芊
  • 責任編輯|田偲妤
  • 美術設計|蔡宛潔

考試制度是怎麼從科舉變成今天這個樣子的?

我們從小到大經歷過無數次考試,但你是否有想過,這個影響我們求學與就業的重要制度是因何而起?究竟考試制度背後隱藏哪些驚人內幕?中央研究院「研之有物」專訪院內近代史研究所徐兆安助研究員,帶我們回到清末民初的教育現場,探索政府與教育界如何應用考試,挽救岌岌可危的新式教育制度,雙方又如何相互制衡與合作,讓考試及學校成為管控社會秩序的利器。

升大學分科測驗成績出爐,路過補習班紅榜,你是否想過考試的目的?
圖|研之有物

對於在臺灣準備升高中的九年級學生、準備升大學的高三生來說,也許一年的劃分就是以冬季與夏季的升學考試為依據。在競爭激烈的職場中,優秀學歷成為社會新鮮人的最佳利器,但想謀得好學歷就必須力拚考試高分,讓考試成為跨世代臺灣人共同的記憶。

儘管持續有教改團體針對考試的內容、形式、公平性等提出改革建議,但數十年來,眾多考生與家長依然接受了升學考試制度,投入大量時間、精力備考,更不惜砸重金搶補教名師課程。

我們的一生經歷過大大小小的考試,卻不一定清楚這些考試制度當初成立的目的。

事實上,在民國初年,新式教育剛施行的 1920、1930 年代,曾經考試除了用來測驗學生,更被用來監督學校的辦學成效。

專長明清及近代思想史、制度史的中研院近代史研究所徐兆安助研究員,深入探討 1905 年科舉廢除後的新式教育制度,訴說一段政府與學校透過考試相互制衡與合作的詭譎歷史。

中研院近代史研究所徐兆安助研究員
圖|研之有物

要怎麼讓社會接受新式學校的文憑?來考個試吧!

在談現代考試制度之前,讓我們先回到清末科舉存廢的關鍵時刻。

1900 至 1901 年八國聯軍攻佔北京,科舉考場「貢院」遭到破壞,當時受科舉宰制的教育與選才方式已成眾矢之的,該將有限的國家資源拿來修復貢院,還是發展新式教育制度,在 1905 年成為各方人馬的爭論焦點。在這次辯論中,廢除科舉最終定案,新式教育制度成為肩負國家教育大業的主要系統。

然而,科舉與新式教育的不同目的與學習過程,卻帶來新的價值觀混亂。

首先,在科舉制度下,為了一舉成名而寒窗苦讀者,不需在私塾或書院待滿固定年限,大半時間是靠自學通過層層考試關卡。但是,接受新式教育的學生必須依序就讀小學、中學、大學等學校,一級一級往上累積學歷,且每個學歷都有固定的修業年限。

1928 年的新式教育學制,每個學歷都有學齡與修業年限規範。
圖|研之有物

身處當代教育環境的我們已經很習慣循序漸進的學習制度,但清末民初的人們卻一時難以適應。新式學校不像傳統書院會發學習津貼給學生,還要收取相對高額的學雜費。畢業後還要面臨社會對學校文憑的不信任,一時難以成為求職的有效助力。

許多學生一開始受政府鼓吹而進入學校就讀,卻經常未完成修業年限即離開校園,「教育破產」很快成為政府與社會各界的共識,而學校便成為被究責的單位。

廢除科舉後的十多年間,各界的討論開始聚焦於該如何監督學校、管制學生。到了 1920 年代,政府與教育界推出了各種校外考試的實驗方案。這些方案大同小異,都預設考試可以成為規範學校、解決「教育破產」的重要手段。

是什麼讓考試成為評鑑辦學效率的方法?——「以簡馭繁」的法家精神

支持考試論的學者以史學家呂思勉、厚黑學作者李宗吾為首,面對民國初年的教育破產危機,他們為何都倡議由國家透過集體考試來監督學校呢?

一方面,用監察態度面對學校起因於對教育界的不信任,這可追溯至廢除科舉後的教育改革過程並不公開透明。新式教育的推行牽涉政府官員、半官方與非官方代表,包含辦學人員、民間教育會、教科書出版商等,他們彼此拉扯出錯綜複雜的利害關係、形成勢力龐大的教育界。

李、呂二人身涉教育事務,看到學校各種圖利卻未自我要求的行為,因而認為一個審核學校的機制勢在必行。

李、呂二人更主張,考試制度還能讓教育過程更有彈性,學生只要通過考試即可證明自己的實力。因此,學生可以選擇私塾或新式學校等不同的學習方式,不需受到學校修業年限的硬性規範。而且不同學習機構並存還可強化競爭力,促使學校為了招生而更積極辦學。

另一方面,對當時的國民政府來說,在國家資源有限的情況下,國家只需負擔統一大考即可由上而下監督學校,提醒學校要維持該有的教學品質。這樣秉持法家「以簡馭繁」精神的手段,使考試制度最終受到執政當局的採用

「我不要考試啦!」學生的反彈與思想控制的開始

1932 年政府正式頒布《中小學學生畢業會考暫行規程》,卻受到各地師生的反抗。對於參加會考的學生來說,會考對取得學歷、升學和職涯發展都沒有明顯好處。

首先,單就畢業資格來說,不參加會考也能在修業期滿後獲得學歷,一旦參加會考卻成績不及格,反倒會被留級。再來,許多大學並不以通過會考作為入學資格。最後,除非想要成為公務員或任職國營機構,畢業生沒有會考成績也可直接應聘私人單位。整體看來,不參加會考才是比較聰明的選擇。

面對反抗考試的學生,一意推行會考制度的國民政府,採用相當直接的手段回應:以武力逼迫學生就範。

臺灣在 1970 年代出了一位拒絕聯考的小子,時間回到 1930 年代的中國,不願考試的可不只一、二位學生。1932 年,山東濟南高中學生因反對會考而與校方展開對峙,最終在教育廳長出動軍警武力鎮壓後落幕,卻造成大批學生受傷、被勒令退學。

1919 年 5 月 4 日,天安門廣場聚集北京 13 家大學逾 3 千名學生。五四運動開啟近代學生運動浪潮,卻也讓各政權擔心學生會動搖社會秩序,進而應用學校與考試制度加以管制。
圖|Wikimedia

隔年 1933 年,政府再根據實施情況及各方意見修改規程,最大的改變是取消小學畢業會考,轉而針對初級和高級中學制定《中學畢業會考規程》、《中學畢業會考委員會規程》。針對中學施行會考的原因之一是,當局認為小學生還年幼,不像中學生會發起學運,至此,會考除了監督學校以外,更加上了控制學生思想行為的功能。

學校各自為政,會考制度名存實亡

至於考試論支持者最重視的「以考試監督並制衡學校」卻反而沒有達成。預設的中央化考試制度、標準化知識內容,實際執行時卻面臨經費與人力嚴重不足的困境。真正負責考試業務的單位並非中央政府,而是非官方、地方仕紳聯合形成的教育會,或者資源多寡不一的各地省政府。

地方資源的多寡深刻影響考試的舉行。例如,大規模考試為了防堵作弊,通常不讓考生在原校就考,但在不可能另撥經費建造考場的情況下,仍舊得仰賴學校提供大量考場。如果一個地方沒有足夠的學校,學生往往就在原校就考,在熟悉的環境享受主場優勢,甚至發生老師協助作弊等醜聞。

此外,照理來說,各校的考生名單應該由中央政府統一管理,但無力建立管理機制的政府只好交由學校來處理報考業務。有些學校因而私下篩選成績好的學生參加考試。

不久,隨著 1937 年抗日戰爭的全面爆發,各省行政資源逐漸耗竭、多地交通中斷、學生四散,集中考試變得難以辦理,改以「抽考」部分學生作為學校整體畢業標準指標,甚至讓學校自行辦理會考,政府僅派代表監臨。

自此,會考可說名存實亡。雖曾短暫於 1957 年在臺灣復辦,將國文、史地、三民主義的會考成績與聯考合併計算,試圖鼓勵學生重視中華民族主義的相關知識。但會考與聯考的標準無法整合,在各方反對之下,僅一年時間便告終,結束近 20 年的政府與學校角力之爭。

會考的考試科目包含:黨義(公民)、國文、算學、物理、化學、生物、歷史、地理、外國語。其中「黨義」後改稱「三民主義」,主要教授孫中山提出之民族、民權、民生思想,以及國民黨反共抗俄理念。圖為 1951 年南投縣立初級中學課堂,黑板上寫著「奉行三民主義,擁護反共抗俄」。
圖|Wikimedia

為了什麼而考?不同治理方法中有不同目的

徐兆安出生於英國殖民時代末期的香港,身處的教育制度仍然相對寬鬆,通常上午 8 點半上課、下午 4 點即放學,在升學上並未經歷臺灣式的考試高壓。來臺求學與就業的過程中,他逐漸體會臺灣教育與升學考試之間緊密的關係,印象最深刻的是補習班門口榜單滿掛的盛況!

如今在臺灣結婚生子的徐兆安,開始想像女兒長大後必經的升學考試歷程,研究近代中國考試制度,有助了解臺灣過去 70 多年的考試發展脈絡,讓他更認識臺灣親友的生長背景。

徐兆安出生於英國殖民時代末期的香港,在升學上未經歷臺灣式的考試高壓。研究近代中國考試制度,有助了解臺灣過去 70 多年的考試發展脈絡。
圖|研之有物

徐兆安想深入探討的是:「廢了科舉以後,為什麼我們現在還這麼相信考試?中間發生什麼事?作為一個歷史學家,我覺得現有的解釋還不完整,跳過很多具體的事件。」

我們需要了解細節,以避免誤解的延續。今日我們在臺灣所共同面對的升學體制,並不是直接延續自科舉的產物。對歷史的誤解,會讓我們無法確切把握教育問題的病源。

事實上,在科舉與現代考試之間還有一段歷史需要填補。校外中央化考試的立意不僅是監督學校的辦學成效,更隱含執政者對學生的高度不信任。尤其在五四運動後,一連串的學運讓學生被視為動搖社會秩序者,因而以考試制衡學校、也間接淘汰反抗的學生。

國民政府遷臺後,1949 年起在臺灣實施長達 38 年又 56 天的戒嚴令,也連帶改變過去制衡學校與淘汰學生的作法,轉而讓學校成為吸納大批學生、管控社會秩序的幫手。考試的目的之一遂變成把學生依照分數高低分發至不同學校予以教導

在臺灣戒嚴時期,學校成為吸納大批學生、管控社會秩序的幫手。考試的目的之一遂變成把學生依照分數高低分發至不同學校予以教導。
圖|iStock

目前徐兆安正著手進行科舉與近代考試制度的研究出版計畫,他認為近代史的研究難題在於材料「既多又少」。所謂「多」是指,各種出版與轉引的材料往往多到難以處理。所謂「少」則是指,特定材料宛如試金石,讓研究者理解眾多一般材料背後的真正意義,但這些關鍵材料卻相當稀少,且分散在兩岸以至歐美的各個機構中。

徐兆安生動比喻自己的研究過程:「就像跳探戈一樣,周旋在多與少之間,這是近代史學者比古代史學者更困難的地方。」

即使困難重重,近代史學者仍持續蒐集並解讀每筆文獻,修正對過往事件的刻板印象,讓歷史盡可能以貼近事實的方式呈現,我們因而能更明白自己承續的故事和當下的處境。

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研之有物│中央研究院_96
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研之有物,取諧音自「言之有物」,出處為《周易·家人》:「君子以言有物而行有恆」。探索具體研究案例、直擊研究員生活,成為串聯您與中研院的橋梁,通往博大精深的知識世界。 網頁:研之有物 臉書:研之有物@Facebook

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【成語科學】運籌帷幄:古人不用筆算數學?一隻小竹棍居然可以開三次方根、解方程式!
張之傑_96
・2023/07/28 ・1261字 ・閱讀時間約 2 分鐘

劉邦(漢高祖)打敗項羽,取得天下,建立漢朝。一天舉行盛大宴會,他問群臣:「我為什麼會勝?項羽為什麼會敗?」群臣都說劉邦善於用人,項羽恰恰相反。劉邦點頭稱是,司馬遷在《史記‧高祖本紀》記下劉邦說的一段話

夫運籌帷幄之中,決勝於千里之外,吾不如子房。

帷幄,指營帳子房,是張良的字籌,指算籌,是古時的運算工具。這段話的意思是說,張良在營帳中運用算籌計算,就能決勝千里之外,這方面我(劉邦)不如張良。因此,這個成語的原意是在營帳中策劃謀略,後來泛指謀劃或指揮。讓我們造兩個句吧。

要不是孔明運籌帷幄,劉備哪有三分天下的機會!

在里長的運籌帷幄下,為社區更新取得有利的條件。

不用筆,那用什麼?

成語的出典說了,句子也造了,接下去就要談談這個成語的科學意義。我們現在演算數學,都是用筆在紙上運算,也就是筆算。古人呢?古人從來不用筆算,而是使用工具運算。元代以前使用算籌,元代以後使用算盤

算盤一直使用到 1980 年代,小朋友家裡可能還有。至於算籌,只有少數博物館裡才能看到。

國立自然科學博物館內藏的漢朝骨製算籌複製品。圖/wikipedia

其實算籌只是一根根小竹棍,外形和筷子差不多。小朋友千萬不要看輕這些小竹棍,中國古代的數學曾經輝煌一時,就是用這些小竹棍運算出來的。

驚人的運算能力 曾經輝煌一時的數學成就

算盤被木框框住,計算能力受到限制。凡是算盤能算的,算籌一定能算。反過來,算籌所能算的,算盤就不見得勝任。算盤主要是生意人用的,算籌可作各種運算,數學家喜歡用它。中國的數學宋代發展到顛峰,元代以後不進反退,到了明代已沒人懂得宋代的數學了。

算籌平時放在算袋裡,繫在腰上,運算時取出,在席子上或桌子上擺弄。除了加減乘除,還能開平方、開立方,甚至解高次方程等高中才學得到的數學!關於算袋,有個小故事,傳說秦皇島東巡時,把算袋扔到海裡,變成了烏賊,所以烏賊又稱算袋魚。

十四世紀朱世傑《四元玉鑒》中的「古法七乘方圖」,紀錄宋代展出的「楊輝三角形」,就是我們現在所說的「巴斯卡三角形」。圖中一根根長條物就是當時用來計算的「算籌」。楊輝三角形的產生也顯見宋代數學已經發展出高次多項式的乘法。圖/wikipedia

數學家用算籌運算時,有時擺弄得極快,不要說外行人,連內行人的眼睛幾乎都跟不上,所以古人用「運籌如飛」來形容。因此,用算籌運算,運算過程不會留下記錄,一陣擺弄之後,最後得出答案。這對一般才質的人來說,學起來的確有點困難。

張之傑_96
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張之傑,字百器,出入文理,著述多樣,其中以科普和科學史較為人知。

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任何整數裡都藏著的神秘數字:數字 9 可以創造出什麼樣的神奇火花?——《數學大觀念》
貓頭鷹出版社_96
・2023/05/08 ・1957字 ・閱讀時間約 4 分鐘

小時候,我最喜歡 9 這個數字了,因為它似乎蘊含許多神奇的特性。我想給你看一個例子,請照著下列充滿魔力的數學指示:

  1. 想一個在 1 到 10 之間的數(如果不滿意,你也可以挑更大的整數並使用計算機)。
  2. 將這個數乘以 3。
  3. 然後加上 6。
  4. 把得到的數字再乘以 3。
  5. 如果你願意的話,把這個數字再乘以 2。
  6. 將這個數字的所有位數相加,如果是個位數,就停止運算。
  7. 如果是二位數,那麼將兩個位數再次相加。
  8. 專心想著你的答案。

直覺告訴我你正在想的數字是 9,對不對?(如果不是的話,你或許該回過頭驗算一下。)

是什麼讓 9 這個數字如此神奇?我們會在本章看到它的一些神奇特性,然後我們甚至會考慮有另一個世界的存在,在那裡 12 和3 的功能相等而且完全合理!

觀察 9 的倍數

9 的第一個神奇特性可以從它的倍數中看出來:

9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144⋯⋯

這些數目有什麼共通點?

如果你將每個數字各自的位數相加,似乎每次都會得到 9。

讓我們挑其中幾個來試試看:18 的各個位數之和是 1 + 8 = 9;27 是 2 + 7 = 9;144 則是 1 + 4 + 4 = 9。但是慢著,這裡有一個例外:99 的位數和是 18,不過 18 本身仍是 9 的倍數。所以我們得到下面這個重要結論,這件事你可能在小學就學過了,而我們稍後也會在這一章中解釋:

如果一個數字是 9 的倍數,那麼它的各個位數之和也必定是 9 的倍數(反之亦然)。

舉例來說,123,456,789 的位數和是 45(9 的倍數),所以這個數就是 9 的倍數。反過來說,314,159 的位數和是 23(非 9 的倍數),所以這個數就不是 9 的倍數。

整數的強大性質

讓我們用這個規則來了解前面的那個魔術戲法,並仔細檢驗其中的代數。你先想一個數字,我們稱之為N。乘上三倍之後你會得到 3N,在下一步變成 3N + 6。將這個數字再乘上三倍則是 3(3N + 6)= 9N + 18, 也就是 9(N + 2)。如果你決定要再乘上 2, 就會得到 18N + 36 = 9(2N+4);但不管有沒有乘上 2,你最後的答案都會是9 乘上一個整數,所以最後一定會得到 9 的倍數。(編按:這就是整數的強大性質之一,任何一個 a 倍數乘上任意整數,仍然還是 a 的倍數)

當你計算這個數字的各個位數之和,你一定會再度得到一個 9 的倍數(可能是 9 或 18 或 27 或 36),而且這些數目的各個位數之和必定為 9。

還有另一個我也很喜歡用的魔術戲法,它是前面那個魔術的變形。找一個有計算機的人,請他從下列四位數中挑出一個:

3141 或 2718 或 2358 或 9999

這些數字分別是 π(詳見第八章)的前四位數、e(詳見第十章)的前四位數、連續幾個費氏數(詳見第五章),以及四位數的最大值。

請他將所選的四位數乘上任何一個三位數,結果會是一個你不可能會知道的六位數或七位數。接下來請他在腦海中圈出答案中的任一位數,但不要是 0(因為它已經像是個圓圈了!),然後要他以任意順序將所有沒圈起來的數字唸出來,並且專心想著那個剩下的數字。你只要稍加注意,就可以成功地揭開答案了。

又是 9!

所以說祕密是什麼呢?請注意,能選擇的這四個數字都是 9 的倍數。

既然是從一個 9 的倍數開始,那麼乘上一個整數之後結果仍然會是 9 的倍數,因此它的位數和也一定會是 9 的倍數。隨著數字被逐一唸出,你只要將它們統統相加即可,被藏起來的那一個數字在加上之後能使總和變成 9 的倍數。舉例來說,假設他唸出 5、0、2、2、6 和 1,這些數字的總和是 16,那麼被藏起來的數字一定是 2,因為加上之後能得到最接近的 9 的倍數,也就是18;如果唸出來的數字是1、1、2、3、5、8,總和為 20,那麼隱藏的數字一定是 7,這樣才能得到 27;假設你將唸出的數字相加得到 18,他藏起來的是哪個數字?由於我們告訴過他不要圈選 0,所以缺少的數字一定是9。

謎底揭曉

但為什麼一個 9 的倍數其位數和永遠是 9 的倍數呢?讓我們來看看下面這個例子,當 3456 以 10 的次方項表示時,看起來如下式

3456 = (3 × 1000) + (4 × 100) + (5 × 10) + 6

= 3(999 + 1) + 4(99 + 1) + 5(9 + 1) + 6

= 3(999) + 4(99) + 5(9) + 3 + 4 + 5 + 6

= (9 的倍數)+ 18

= (9 的倍數)

運用同樣的邏輯,如果一個數字的位數和是 9 的倍數,則此數本身一定也是 9 的倍數(反之亦然:任何一個 9 的倍數其位數和一定是 9 的倍數)。

編按:任何一個整數,都可以寫成 9 的倍數+各個位數數字的和,如同上式第四行,因此只要各個位數數字的和是 9 的倍數,整個數字就會是 9 的倍數。

——本文摘自《數學大觀念:全面理解從數字到微積分的12大觀念》,2023 年 3 月,貓頭鷹出版,未經同意請勿轉載。

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貓頭鷹出版社_96
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