任何整數裡都藏著的神秘數字：數字 9 可以創造出什麼樣的神奇火花？——《數學大觀念》

三角學能讓我們解出一些無法用古典幾何學處理的幾何題目，舉例來說，考慮下面這個問題：

僅用一個量角器和一個袖珍計算機，測出附近某座山的高度。

對於這個問題，我們將提出五種不同解法。實際上，前三種解法幾乎連一丁點數學都沒用上！

方法一（費力解法）

爬上山頂，將你的計算機往下丟（這可能需要用上相當大的力氣），然後測出計算機撞到地面所需的時間（或聆聽下方背包客的尖叫聲）。如果總共花費了 t 秒，且忽略空氣阻力和終端速度帶來的影響，那麼標準的物理學方程式會指出這座山大約高 16t² 英尺。

這個方法的缺點是空氣阻力和終端速度的影響可能相當大，所以你的計算會變得不精確，而且要找回這台計算機也不太可能了。除此之外，這個方法需要用到的計時器可能就在你的計算機上。要說優點的話，則是這個方法並不需要用到量角器。

方法二（輕鬆解法）

找一位友善的保育巡查員，然後用你的嶄新量角器跟他交換山峰的高度這項情報。如果你找不到任何保育巡查員，那就看看附近有沒有一位親切的男士，他一身漂亮的古銅色肌膚表示他可能花了很多時間待在戶外，因而可能對你這個問題的答案相當清楚。

這個方法的優點是你有可能會交到新朋友，而且不需要犧牲你的計算機。此外，如果你對這位深膚色男士的回答心存懷疑，你還是可以親自爬上這座山，然後採用第一個方法找出答案。這個方法的缺點是你可能會失去你的量角器，還被冠上賄賂的罪名。

方法三（聰明解法）

在嘗試方法一和方法二之前，先試著找出一個告示牌，上面標有這座山的高度。這麼做的好處是你不需要犧牲任何一項裝備。 ☺

當然，如果這三種方法都不合你意，那麼我們就必須訴諸於數學的解法，也就是本章的主題。

研究三角形可以做什麼？

「三角學」（trigonometry）在字面上就是三角測量的意思，這個詞的字根源自希臘文「trigon」和「metria」。接下來我們先從分析一些經典的三角形開始。

等腰直角三角形

等腰直角三角形包含一個 90º 角，它的另外兩個角必定相同，所以兩者都是 45º（因為三角形的內角和為180º），這樣的三角形我們稱之為 45−45−90 三角形。如果兩個直角邊的長度都是1，那麼根據畢氏定理，斜邊長一定是 。請注意，任何等腰直角三角形的邊長比例都是 ，如下圖所示。

30− 60− 90 三角形

在一個等邊三角形中，每個邊長都相同，而且每個角的大小都是 60º。如果我們將一個等邊三角形分成全等的兩半，如下圖所示，就會得到兩個其內角分別是 30º、60º 和 90º 的直角三角形。如果這個等邊三角形的邊長為 2，那麼內含的兩個直角三角形的斜邊長就會是 2，而較短的直角邊長為 1。根據畢氏定理，較長的直角邊長會是。因此，所有 30− 60− 90 三角形的比例都會是 （也可以學學我，用 1、2、 這個簡單的順序來記憶）。特別是如果斜邊長為 1，則另外兩個邊長分別是 以及 。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

研究數學時，有一點非常有趣，那就是你可以證明一件事情千真萬確毋庸置疑，這也正是讓數學和其他科學有所不同的原因。

在其他的科學中，我們會因為一些法則符合現實世界的情況而接受它們，但是如果新的證據出現了，這些法則是可以被反駁或是修改的。然而在數學中，一旦某個理論被證實，它就是永遠真實不變的。舉例來說，歐幾里德在兩千年前證明出「質數有無限多個」，我們便無法再說什麼或做什麼來反駁這個理論的真實性。

科技來來去去，但是定理亙古不變。正如一位偉大的數學家哈代所說

數學家其實就像畫家或詩人，大家都在創造規律，但如果數學家創造出來的規律更永恆不朽，那是因為背後是由理念所建構而成。

對我來說，證明出一個新的數學定理似乎就是讓學術地位不朽的最佳途徑。

不存在的事也可以證明

數學不僅能證明某事絕對正確，也能用來證明某事絕無可能。

有時候，人們會說：「你無法證明不存在的事情不存在。」我想這大概就是說你無法證明世界上並沒有紫色的牛，因為可能哪天突然就會出現一隻。

但是在數學中，不存在是可以被證明的。舉例來說，不論你多麼努力嘗試，永遠都不可能找到相加會變成一個奇數的兩個偶數，也不可能找到一個最大的質數。

在你第一次（甚或第二或第三次）遇上這些證明時可能會覺得有點嚇人，所以絕對需要一點時間來適應。不過一旦掌握到了訣竅，你在閱讀和寫出這些證明的時候都會變得相當有趣。好的證明就像一個講得很精采的笑話或是故事，會讓你對結局非常滿意。

被遮住的淺色方格

跟你說說我第一次證明某事不可能的經驗。當我還小的時候，很喜歡各種遊戲和謎題。有天，一位朋友拿了一個遊戲裡的謎題來挑戰我，想當然我很感興趣啦。他出示一個八乘八的空白棋盤，然後拿出了 32 張一乘二大小的骨牌。

他問：「你能用這32 張骨牌將這個棋盤鋪滿嗎？」我說：「那當然，只要每一排放上四張骨牌就行了，就像這樣。」

「非常好，」他說，「現在假設我將左上角和右下角的正方形移開了，」他在這兩個方格中各放一枚硬幣，這樣我就不能使用了。「現在你能夠用 31 張骨牌鋪滿剩下的 62 個方格嗎？」

「或許可以，」我說。

但無論我怎麼嘗試，就是無法達成，我開始思考這是否根本就不可行。

「如果你認為這不可行，你能夠證明這一點嗎？」我的朋友這麼問。但如果我沒有將無數失敗的可能都試過一遍，又怎麼能證明這是不可能的呢？

他隨後提出建議：「看看棋盤上的顏色。」顏色？顏色跟這一切有什麼關聯？但是接下來我看到了。既然兩個被移走的方格都是淺色的，那麼棋盤上剩下的是三十二個深色方格和三十個淺色方格。但因為每一張骨牌都會剛剛好涵蓋一個淺色方格和一個深色方格，所以三十一張骨牌就不可能鋪滿這樣的棋盤。這真是太酷了！

悄悄話

如果你喜歡上述最後一個證明，那我相信你也會欣賞下面這一個。電玩遊戲「俄羅斯方塊」中有七種不同形狀，有時候我們稱之為 I、J、L、O、Z、T 和 S。

這七個形狀可以排成一個四乘七的長方形嗎？

每一個形狀都剛好占據四個方格，所以我們自然會猜想，這七個形狀或許可以拼成一個四乘七的長方形（拼湊的過程中，我們可以翻轉或是旋轉這些形狀），但事實上這是一個不可能的任務。你要怎麼證明這是不可能的呢？讓我們將這個長方形上色，使其含有十四個淺色方格和十四個深色方格，如下圖所示。

請注意，除了 T 這個形狀以外，每一個形狀不論放在棋盤的哪一個位置，都一定涵蓋兩個淺色方格和兩個深色方格。但是 T 涵蓋的範圍是三個某一種顏色的方格和一個另一種顏色的方格。於是，不論其他六個方塊放在哪裡，它們一定蓋住正好十二個淺色方格和十二個深色方格，剩下來給 T 的是兩個淺色方格和兩個深色方格，也就是這個要求不可能達成。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

國中的時候我們學過代數 xy；高中學過三角函數 sin，cosine；大學因人而異我們有微積分、統計……等。這些很多人都曾經學過，卻又好陌生的數學觀念，到底為何而教？

做為一個科系本應與數學合作密切，現在卻貌合神離的 R 編，在禮拜六一大早爬了起來、打開 Skype，等著跨太平洋與亞瑟．班傑明教授（Arthur Benjamin）談話，因為我想知道：從一個打破傳統觀念的教育者角度，我們（台灣、美國、或者全世界）的數學教育到底能夠有什麼不一樣。

事實證明，對數學不感興趣，或是夢想被數學摧毀，不只是在台灣出現的問題。

• 此訪問發生在 5/13 號禮拜六清晨，由 R 編、Y 編與數感實驗室共同創辦人賴以威與遠在太平洋另一端的《數學大觀念》作者亞瑟．班傑明教授線上對談，討論教授眼中的數學教育以及數學的美妙。（以下訪問紀錄穿插當時以威和 R 編的小問題，和一些 OS。）

數學的美不在制式練習，而是千變萬化的計算方法

（在一陣尷尬的自我介紹、呆滯、和結巴之後──）

Q：你是怎樣喜歡上數學的？

班傑明教授：老天～我覺得我好像從小就喜歡上數學了。我的父母發現我很喜歡數字謎題之類的遊戲（你們有多少人會這麼說呢？），然後這很自然的就成為我的人生，但我從來不覺得我有多特別。而真正喜歡上數學這件事，我覺得跟擁有一個好老師和正確的態度非常重要。

數學是非常精確的一門學問，絕大部分的問題只會有一個答案，對某些人而言這正和他的胃口，但對另一些人而言這又非常的痛苦。數學練習需要一個非常巧妙的平衡，剛剛好讓學生們熟悉這些技巧，又不會多到讓他們感到厭煩、進而不享受。

我覺得這是全世界都遭遇到的問題，也就是讓數學具有挑戰性和趣味、但又不要過於重複和難以理解，最後流於乏味的練習。

以威：在台灣我們蠻習慣讓學生每天練習數學，有時候甚至補習到晚上。（班傑明教授曾在台北美國學校擔任過 1 個月的研究教職人員（scholar in residence），所以我猜可能對台灣的補教文化時有所聞。）

班傑明教授：我知道有一些數學能力測驗讓家長和學生趨之若鶩，但我個人認為那對學習數學並不好。你學會了快速計算，但你還是看不到數學的美麗，到最後你真的會喜歡這門學問嗎？

我最喜歡數學的一點，是即使知道只有一個答案，你仍有很多方法可以得出它，並用各種不同的方式解決一個問題。對我而言這樣的殊途同歸、最後找到同一個答案非常具有成就感，一直到今天我都覺得這是一件非常美麗的事。

別跟計算機搶工作，數學的優雅超乎你想像！

Q：擅長數學，對你的日常生活有帶來什麼便利性嗎？

班傑明教授：我腦海中立刻有兩件事，一是我們每天還是在做運算，所以很順手地做出數學估計是非常有用的一件事。二是機率和統計。

我們每天都會計算風險，過馬路、開車、接電話……等等，我熱愛機率和統計，前者非常的有趣、後者則是實用，尤其是在這個數據唾手可得的時代，可以藉由這些技巧運用資料的人將會非常搶手。

以威：我看過你的 TED 演講，你說如果想要改變數學教育，可以從機率的教學開始。

班傑明教授：是的，我覺得目前我們太注重在微積分上面了，至少在美國我們過去 100 年來都是這樣，我覺得我們需要更多、更好的老師在機率和統計上面，但這還只是一個看法而已。

以威：那麼幾何學和其他領域呢？

班傑明教授：這麼說吧，幾何學和微積分是了解自然萬物定律的基礎，其中微積分可以想像是語言，而代數則是根本的根本。但是日常生活中你不會用上這些東西，除非你是工程師或經濟學家；而幾何是訓練邏輯思考的利器，和音樂、詩詞對我們腦袋的影響很類似，而數學也辦得到，從幾何學我們可以衍生出的想像空間、靈感比代數和微積分多很多。

這些東西就像古典音樂、藝術一樣，比起實用，他們更加美妙。學生們可以靠實用性來啟發，但加上一點優雅，學生更能有所回應，他們對於單純的迅速計算這些代數問題比較興致缺缺，但這卻是我們現在測驗和獎懲的依據。

以威：我很同意，像我創立數感實驗室之後，會帶學生們去研究畫作中的比例等等之類的事情。

班傑明教授：嗯～我覺得在未來，我們的技術先驅、工程師、思想家、發明家應該是那些了解邏輯、並知道科學如何運作，而非能做出快速運算的人，電腦可以取代這些運算功能，幹嘛跟它們搶飯碗。

• 班傑明教授於 2009 年的演講

來點數學小遊戲，讓數學學習更有趣

Q：什麼樣的教學方式能夠讓學生更注重在實際運用、而非快速運算上？例如我們在物理、化學上有實驗課程，數學能有一樣的東西嗎？

班傑明教授：我很喜歡一個數學小把戲～首先，請從 1~10 之間挑一個數字，然後將它乘以 2，然後再加上 10，現在我們有了一個全新的數字；現在把它除 2，然後減掉一開始你選的數字……

我想你現在所想的數字一定是 5 對吧！

這是代數的魔力。我在書中有提到很多類似的數學小魔術，主要就是要讓學生感到「挖賽！你怎麼辦到的？」再來讓他們知道這背後的原理，他們感興趣之後，我們再來開始課程。

再來大家都喜歡遊戲，尤其是牽扯到機率的遊戲（爐 X 戰記？？），當我們更清楚背後的數學之後，我們也就更加拿手。

我很喜歡一個桌遊叫做雙陸棋（back gammom），這是一個數學可以 carry 你的遊戲（非原文翻譯，但我覺得非常接近這個概念了），它起源於很早以前的中東，但一直到近年才在數學界盛行，目前在這款遊戲中，電腦已經完全超越人類了，我們現在都在向電腦學習套路。

學生或許會問：「這我們什麼時候會用到？」，我覺得這是一個相當合情合理的問題，但是 「你在考試和未來的某一天就會用到」這種回答並不好，這也不是最啟發學生去學習的方法。幾乎每一個我傳授的數學學問、技巧，都有實際的問題和情境可以讓學生感興趣，反之，如果找不到任何例子的話，我就會自問說這東西到底值不值得教。

以威：那你覺得我們需要一套專門訓練數學老師的系統課程嗎？

班傑明教授：這或許是個好主意。在美國我們並不注重這類訓練，最好的學生又通常不會選擇成為老師，而是律師、精算師、或是教授……（大家都差不多嘛）。我覺得其他國家，例如新加坡，非常注重老師的價值。如果你能有一位好的老師，那麼訓練就沒有太大的意義。

Q：開派對的時候，有什麼好玩的數學小遊戲嗎？

班傑明教授：我很喜歡玩一個小把戲，就是給我你的出生年月日，然後我可以立刻告訴你那天是星期幾。

怎麼辦到的？比起知道背後的原理（此遊戲的詳細原理出現在《數學大觀念》p.94，長約 2 頁，這裡就不多花篇幅介紹了，也可以 google 得到），我更想要讓大家知道其實數學是很神奇的一件事。

R 編：那教授怎麼看《決戰 21點》之類的電影呢？它能有幫助嗎？

班傑明教授：學生很容易被勝利的概率吸引，誰不想要知道自己有多少機會成功？去了解背後的數學是非常重要的一件事，就算他們知道長遠來看是穩輸不贏。這類東西在運動上和投資上都非常吃香，要最大化你的勝率，最後都會回到計算上。

R 編：是啊～像現在計算師、數據師在體育等領域越來越盛行了。

班傑明教授：數學與資訊科技是絕配，也可以訓練大腦，但我不是說大家都要去當數學家，而是我們更應該了解數學，了解如何看世界運作的另一面。

老師！問題在行銷

Q：如果我們想要成為數學專才，我們應該要培養哪些能力？

班傑明教授：我覺得最重要的是讓自己的專業看起來很有趣。是什麼東西讓人喜歡上資訊工程、生物、物理呢？每一個領域都有自己推廣自己的方法，但數學相較之下就少了一些，而數學家並不一定都樂意與眾人對談，因為有時候他們的想法太深入或仔細了，我們需要去找到一個方法去溝通，讓大眾能夠欣賞這個領域，但我們現在反而是訓練太深，讓大家害怕了。

以威：如果未來有數學傳播系之類的東西，教授覺得呢？

班傑明教授：那這會是個很棒的事，現在教學研究人員的價值建立在他們的研究、論文上，對著小眾展示並獲得認同，如果我們能夠把「如何傳播你的知識 」也納入考量的話會是一件很好的事情。

R編：另外我想請問教授，我最近看到美國似乎有更改數學教學流程的新聞，而台灣類似的事也時有所聞，請問你有心中最好的數學教學順序嗎？

班傑明教授：我覺得最重要的問題是：我們該追尋最佳的課綱還是最佳的老師。如果你有一個好老師，我覺得不管他們教什麼、按什麼順序教都沒有差別，只要他們能比課綱帶給學生更多的興趣。

教授最後一題的答案有點讓我出乎預料，因為它談的不是什麼數學或人生硬實力，而是「溝通」，講商業一點就是「行銷」，這是個我們發展數學教育到現在，可能從沒想過的一件事。

這個時候，美國時間已是晚上了，而教授另外有事，所以我們結束了這次訪問，台灣的 3 人各自回到被窩裡繼續自己的生活。

綜觀整串訪問，班傑明教授也沒有說過誰對誰錯，教育的發展必有它的目的，但是時代在變，或許我們也該改變。能夠熟悉數學運算的方法還是練習，但未來的我們在計算微分方程式或是驗證統計結果的時候，我們腦海裡浮現的是痛苦厭煩，還是看得到這背後的趣味呢？