任何整數裡都藏著的神秘數字：數字 9 可以創造出什麼樣的神奇火花？——《數學大觀念》

本文與 美商德州博藝社科技 HEART 合作，泛科學企劃執行。

提到台灣令人焦慮的交通，多數人會想到都市裡的壅塞車潮，但真正致命的「塞車」，其實正悄悄發生在我們體內的動脈之中。

這場無聲的危機，主角是被稱為「壞膽固醇」的低密度脂蛋白（ Low-Density Lipoprotein，簡稱 LDL ）。它原本是血液中運送膽固醇的貨車角色，但當 LDL 顆粒數量失控，卻會開始在血管壁上「違規堆積」，讓「生命幹道」的血管日益狹窄，進而引發心肌梗塞或腦中風等嚴重後果。

科學家們還發現一個令人困惑的現象：即使 LDL 數值「看起來很漂亮」，心血管疾病卻依然找上門來！這究竟是怎麼一回事？沿用數十年的健康標準是否早已不敷使用？

膽固醇的「好壞」之分：一場體內的攻防戰

膽固醇是否越少越好？答案是否定的。事實上，我們體內攜帶膽固醇的脂蛋白主要分為兩種：高密度脂蛋白（High-Density Lipoprotein，簡稱 HDL）和低密度脂蛋白（ LDL ）。

想像一下您的血管是一條高速公路。HDL 就像是「清潔車隊」，負責將壞膽固醇（ LDL ）運來的多餘油脂垃圾清走。而 LDL 則像是在血管裡亂丟垃圾的「破壞者」。如果您的 HDL 清潔車隊數量太少，清不過來，垃圾便會堆積如山，最終導致血管堵塞，甚至引發心臟病或中風。

因此，過去數十年來，醫生建議男性 HDL 數值至少應達到 40 mg/dL，女性則需更高，達到 50 mg/dL（ mg/dL 是健檢報告上的標準單位，代表每 100 毫升血液中膽固醇的毫克數）。女性的標準較嚴格，是因為更年期後]pacg心血管保護力會大幅下降，需要更多的「清道夫」來維持血管健康。

相對地，LDL 則建議控制在 130 mg/dL 以下，以減緩垃圾堆積的速度。總膽固醇的理想數值則應控制在 200 mg/dL 以內。這些看似枯燥的數字，實則反映了體內一場血管清潔隊與垃圾山之間的攻防戰。

那麼，為何同為脂蛋白，HDL 被稱為「好」的，而 LDL 卻是「壞」的呢？這並非簡單的貼標籤。我們吃下肚或肝臟製造的脂肪，會透過血液運送到全身，這些在血液中流動的脂肪即為「血脂」，主要成分包含三酸甘油酯和膽固醇。三酸甘油酯是身體儲存能量的重要形式，而膽固醇更是細胞膜、荷爾蒙、維生素D和膽汁不可或缺的原料。

這些血脂對身體運作至關重要，本身並非有害物質。然而，由於脂質是油溶性的，無法直接在血液裡自由流動。因此，在血管或淋巴管裡，脂質需要跟「載脂蛋白」這種特殊的蛋白質結合，變成可以親近水的「脂蛋白」，才能順利在全身循環運輸。

肝臟是生產這些「運輸用蛋白質」的主要工廠，製造出多種蛋白質來運載脂肪。其中，低密度脂蛋白載運大量膽固醇，將其精準送往各組織器官。這也是為什麼低密度脂蛋白膽固醇的縮寫是 LDL-C (全稱是 Low-Density Lipoprotein Cholesterol )。

當血液中 LDL-C 過高時，部分 LDL 可能會被「氧化」變質。這些變質或過量的 LDL 容易在血管壁上引發一連串發炎反應，最終形成粥狀硬化斑塊，導致血管阻塞。因此，LDL-C 被冠上「壞膽固醇」的稱號，因為它與心腦血管疾病的風險密切相關。

高密度脂蛋白（HDL） 則恰好相反。其組成近半為蛋白質，膽固醇比例較少，因此有許多「空位」可供載運。HDL-C 就像血管裡的「清道夫」，負責清除血管壁上多餘的膽固醇，並將其運回肝臟代謝處理。正因為如此，HDL-C 被視為「好膽固醇」。

過去數十年來，醫學界主流觀點認為 LDL-C 越低越好。許多降血脂藥物，如史他汀類（Statins）以及近年發展的 PCSK9 抑制劑，其主要目標皆是降低血液中的 LDL-C 濃度。

然而，科學家們在臨床上發現，儘管許多人的 LDL-C 數值控制得很好，甚至很低，卻仍舊發生中風或心肌梗塞！難道我們對膽固醇的認知，一開始就抓錯了重點？

傳統判讀失準？LDL-C 達標仍難逃心血管危機

早在 2009 年，美國心臟協會與加州大學洛杉磯分校（UCLA）進行了一項大型的回溯性研究。研究團隊分析了 2000 年至 2006 年間，全美超過 13 萬名心臟病住院患者的數據，並記錄了他們入院時的血脂數值。

結果發現，在那些沒有心血管疾病或糖尿病史的患者中，竟有高達 72.1% 的人，其入院時的 LDL-C 數值低於當時建議的 130 mg/dL「安全標準」！即使對於已有心臟病史的患者，也有半數人的 LDL-C 數值低於 100 mg/dL。

這項研究明確指出，依照當時的指引標準，絕大多數首次心臟病發作的患者，其 LDL-C 數值其實都在「可接受範圍」內。這意味著，單純依賴 LDL-C 數值，並無法有效預防心臟病發作。

科學家們為此感到相當棘手。傳統僅檢測 LDL-C 總量的方式，可能就像只計算路上有多少貨車，卻沒有注意到有些貨車的「駕駛行為」其實非常危險一樣，沒辦法完全揪出真正的問題根源！因此，科學家們決定進一步深入檢視這些「駕駛」，找出誰才是真正的麻煩製造者。

LDL 家族的「頭號戰犯」：L5 型低密度脂蛋白

為了精準揪出 LDL 裡，誰才是最危險的分子，科學家們投入大量心力。他們發現，LDL 這個「壞膽固醇」家族並非均質，其成員有大小、密度之分，甚至帶有不同的電荷，如同各式型號的貨車與脾性各異的「駕駛」。

早在 1979 年，已有科學家提出某些帶有較強「負電性」的 LDL 分子可能與動脈粥狀硬化有關。這些帶負電的 LDL 就像特別容易「黏」在血管壁上的頑固污漬。

台灣留美科學家陳珠璜教授、楊朝諭教授及其團隊在這方面取得突破性的貢獻。他們利用一種叫做「陰離子交換層析法」的精密技術，像是用一個特殊的「電荷篩子」，依照 LDL 粒子所帶負電荷的多寡，成功將 LDL 分離成 L1 到 L5 五個主要的亞群。其中 L1 帶負電荷最少，相對溫和；而 L5 則帶有最多負電荷，電負性最強，最容易在血管中暴衝的「路怒症駕駛」。

2003 年，陳教授團隊首次從心肌梗塞患者血液中，分離並確認了 L5 的存在。他們後續多年的研究進一步證實，在急性心肌梗塞或糖尿病等高風險族群的血液中，L5 的濃度會顯著升高。

L5 的蛋白質結構很不一樣，不僅天生帶有超強負電性，還可能與其他不同的蛋白質結合，或經過「醣基化」修飾，就像在自己外面額外裝上了一些醣類分子。這些特殊的結構和性質，使 L5 成為血管中的「頭號戰犯」。

當 L5 出現時，它並非僅僅路過，而是會直接「搞破壞」：首先，L5 會直接損傷內皮細胞，讓細胞凋亡，甚至讓血管壁的通透性增加，如同在血管壁上鑿洞。接著，L5 會刺激血管壁產生發炎反應。血管壁受傷、發炎後，血液中的免疫細胞便會前來「救災」。

然而，這些免疫細胞在吞噬過多包括 L5 在內的壞東西後，會堆積在血管壁上，逐漸形成硬化斑塊，使血管日益狹窄，這便是我們常聽到的「動脈粥狀硬化」。若這些不穩定的斑塊破裂，可能引發急性血栓，直接堵死血管！若發生在供應心臟血液的冠狀動脈，就會造成心肌梗塞；若發生在腦部血管，則會導致腦中風。

L5：心血管風險評估新指標

現在，我們已明確指出 L5 才是 LDL 家族中真正的「破壞之王」。因此，是時候調整我們對膽固醇數值的看法了。現在，除了關注 LDL-C 的「總量」，我們更應該留意血液中 L5 佔所有 LDL 的「百分比」，即 L5%。

陳珠璜教授也將這項 L5 檢測觀念，從世界知名的德州心臟中心帶回台灣，並創辦了美商德州博藝社科技（HEART）。HEART 在台灣研發出嶄新科技，並在美國、歐盟、英國、加拿大、台灣取得專利許可，日本也正在申請中，希望能讓更多台灣民眾受惠於這項更精準的檢測服務。

一般來說，如果您的 L5% 數值小於 2%，通常代表心血管風險較低。但若 L5% 大於 5%，您就屬於高風險族群，建議進一步進行影像學檢查。特別是當 L5% 大於 8% 時，務必提高警覺，這可能預示著心血管疾病即將發作，或已在悄悄進展中。

對於已有心肌梗塞或中風病史的患者，定期監測 L5% 更是評估疾病復發風險的重要指標。此外，糖尿病、高血壓、高血脂、代謝症候群，以及長期吸菸者，L5% 檢測也能提供額外且有價值的風險評估參考。

隨著醫療科技逐步邁向「精準醫療」的時代，無論是癌症還是心血管疾病的防治，都不再只是單純依賴傳統的身高、體重等指標，而是進一步透過更精密的生物標記，例如特定的蛋白質或代謝物，來更準確地捕捉疾病發生前的徵兆。

您是否曾檢測過 L5% 數值，或是對這項新興的健康指標感到好奇呢？

三角學能讓我們解出一些無法用古典幾何學處理的幾何題目，舉例來說，考慮下面這個問題：

僅用一個量角器和一個袖珍計算機，測出附近某座山的高度。

對於這個問題，我們將提出五種不同解法。實際上，前三種解法幾乎連一丁點數學都沒用上！

方法一（費力解法）

爬上山頂，將你的計算機往下丟（這可能需要用上相當大的力氣），然後測出計算機撞到地面所需的時間（或聆聽下方背包客的尖叫聲）。如果總共花費了 t 秒，且忽略空氣阻力和終端速度帶來的影響，那麼標準的物理學方程式會指出這座山大約高 16t² 英尺。

這個方法的缺點是空氣阻力和終端速度的影響可能相當大，所以你的計算會變得不精確，而且要找回這台計算機也不太可能了。除此之外，這個方法需要用到的計時器可能就在你的計算機上。要說優點的話，則是這個方法並不需要用到量角器。

方法二（輕鬆解法）

找一位友善的保育巡查員，然後用你的嶄新量角器跟他交換山峰的高度這項情報。如果你找不到任何保育巡查員，那就看看附近有沒有一位親切的男士，他一身漂亮的古銅色肌膚表示他可能花了很多時間待在戶外，因而可能對你這個問題的答案相當清楚。

這個方法的優點是你有可能會交到新朋友，而且不需要犧牲你的計算機。此外，如果你對這位深膚色男士的回答心存懷疑，你還是可以親自爬上這座山，然後採用第一個方法找出答案。這個方法的缺點是你可能會失去你的量角器，還被冠上賄賂的罪名。

方法三（聰明解法）

在嘗試方法一和方法二之前，先試著找出一個告示牌，上面標有這座山的高度。這麼做的好處是你不需要犧牲任何一項裝備。 ☺

當然，如果這三種方法都不合你意，那麼我們就必須訴諸於數學的解法，也就是本章的主題。

研究三角形可以做什麼？

「三角學」（trigonometry）在字面上就是三角測量的意思，這個詞的字根源自希臘文「trigon」和「metria」。接下來我們先從分析一些經典的三角形開始。

等腰直角三角形

等腰直角三角形包含一個 90º 角，它的另外兩個角必定相同，所以兩者都是 45º（因為三角形的內角和為180º），這樣的三角形我們稱之為 45−45−90 三角形。如果兩個直角邊的長度都是1，那麼根據畢氏定理，斜邊長一定是 。請注意，任何等腰直角三角形的邊長比例都是 ，如下圖所示。

30− 60− 90 三角形

在一個等邊三角形中，每個邊長都相同，而且每個角的大小都是 60º。如果我們將一個等邊三角形分成全等的兩半，如下圖所示，就會得到兩個其內角分別是 30º、60º 和 90º 的直角三角形。如果這個等邊三角形的邊長為 2，那麼內含的兩個直角三角形的斜邊長就會是 2，而較短的直角邊長為 1。根據畢氏定理，較長的直角邊長會是。因此，所有 30− 60− 90 三角形的比例都會是 （也可以學學我，用 1、2、 這個簡單的順序來記憶）。特別是如果斜邊長為 1，則另外兩個邊長分別是 以及 。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

研究數學時，有一點非常有趣，那就是你可以證明一件事情千真萬確毋庸置疑，這也正是讓數學和其他科學有所不同的原因。

在其他的科學中，我們會因為一些法則符合現實世界的情況而接受它們，但是如果新的證據出現了，這些法則是可以被反駁或是修改的。然而在數學中，一旦某個理論被證實，它就是永遠真實不變的。舉例來說，歐幾里德在兩千年前證明出「質數有無限多個」，我們便無法再說什麼或做什麼來反駁這個理論的真實性。

科技來來去去，但是定理亙古不變。正如一位偉大的數學家哈代所說

數學家其實就像畫家或詩人，大家都在創造規律，但如果數學家創造出來的規律更永恆不朽，那是因為背後是由理念所建構而成。

對我來說，證明出一個新的數學定理似乎就是讓學術地位不朽的最佳途徑。

不存在的事也可以證明

數學不僅能證明某事絕對正確，也能用來證明某事絕無可能。

有時候，人們會說：「你無法證明不存在的事情不存在。」我想這大概就是說你無法證明世界上並沒有紫色的牛，因為可能哪天突然就會出現一隻。

但是在數學中，不存在是可以被證明的。舉例來說，不論你多麼努力嘗試，永遠都不可能找到相加會變成一個奇數的兩個偶數，也不可能找到一個最大的質數。

在你第一次（甚或第二或第三次）遇上這些證明時可能會覺得有點嚇人，所以絕對需要一點時間來適應。不過一旦掌握到了訣竅，你在閱讀和寫出這些證明的時候都會變得相當有趣。好的證明就像一個講得很精采的笑話或是故事，會讓你對結局非常滿意。

被遮住的淺色方格

跟你說說我第一次證明某事不可能的經驗。當我還小的時候，很喜歡各種遊戲和謎題。有天，一位朋友拿了一個遊戲裡的謎題來挑戰我，想當然我很感興趣啦。他出示一個八乘八的空白棋盤，然後拿出了 32 張一乘二大小的骨牌。

他問：「你能用這32 張骨牌將這個棋盤鋪滿嗎？」我說：「那當然，只要每一排放上四張骨牌就行了，就像這樣。」

「非常好，」他說，「現在假設我將左上角和右下角的正方形移開了，」他在這兩個方格中各放一枚硬幣，這樣我就不能使用了。「現在你能夠用 31 張骨牌鋪滿剩下的 62 個方格嗎？」

「或許可以，」我說。

但無論我怎麼嘗試，就是無法達成，我開始思考這是否根本就不可行。

「如果你認為這不可行，你能夠證明這一點嗎？」我的朋友這麼問。但如果我沒有將無數失敗的可能都試過一遍，又怎麼能證明這是不可能的呢？

他隨後提出建議：「看看棋盤上的顏色。」顏色？顏色跟這一切有什麼關聯？但是接下來我看到了。既然兩個被移走的方格都是淺色的，那麼棋盤上剩下的是三十二個深色方格和三十個淺色方格。但因為每一張骨牌都會剛剛好涵蓋一個淺色方格和一個深色方格，所以三十一張骨牌就不可能鋪滿這樣的棋盤。這真是太酷了！

悄悄話

如果你喜歡上述最後一個證明，那我相信你也會欣賞下面這一個。電玩遊戲「俄羅斯方塊」中有七種不同形狀，有時候我們稱之為 I、J、L、O、Z、T 和 S。

這七個形狀可以排成一個四乘七的長方形嗎？

每一個形狀都剛好占據四個方格，所以我們自然會猜想，這七個形狀或許可以拼成一個四乘七的長方形（拼湊的過程中，我們可以翻轉或是旋轉這些形狀），但事實上這是一個不可能的任務。你要怎麼證明這是不可能的呢？讓我們將這個長方形上色，使其含有十四個淺色方格和十四個深色方格，如下圖所示。

請注意，除了 T 這個形狀以外，每一個形狀不論放在棋盤的哪一個位置，都一定涵蓋兩個淺色方格和兩個深色方格。但是 T 涵蓋的範圍是三個某一種顏色的方格和一個另一種顏色的方格。於是，不論其他六個方塊放在哪裡，它們一定蓋住正好十二個淺色方格和十二個深色方格，剩下來給 T 的是兩個淺色方格和兩個深色方格，也就是這個要求不可能達成。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。