強大的三角測量學！讓我們先回顧簡單的三角邊比——《數學大觀念》

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

小時候，我最喜歡 9 這個數字了，因為它似乎蘊含許多神奇的特性。我想給你看一個例子，請照著下列充滿魔力的數學指示：

1. 想一個在 1 到 10 之間的數（如果不滿意，你也可以挑更大的整數並使用計算機）。
2. 將這個數乘以 3。
3. 然後加上 6。
4. 把得到的數字再乘以 3。
5. 如果你願意的話，把這個數字再乘以 2。
6. 將這個數字的所有位數相加，如果是個位數，就停止運算。
7. 如果是二位數，那麼將兩個位數再次相加。
8. 專心想著你的答案。

直覺告訴我你正在想的數字是 9，對不對？（如果不是的話，你或許該回過頭驗算一下。）

是什麼讓 9 這個數字如此神奇？我們會在本章看到它的一些神奇特性，然後我們甚至會考慮有另一個世界的存在，在那裡 12 和3 的功能相等而且完全合理！

觀察 9 的倍數

9 的第一個神奇特性可以從它的倍數中看出來：

9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144⋯⋯

這些數目有什麼共通點？

如果你將每個數字各自的位數相加，似乎每次都會得到 9。

讓我們挑其中幾個來試試看：18 的各個位數之和是 1 + 8 = 9；27 是 2 + 7 = 9；144 則是 1 + 4 + 4 = 9。但是慢著，這裡有一個例外：99 的位數和是 18，不過 18 本身仍是 9 的倍數。所以我們得到下面這個重要結論，這件事你可能在小學就學過了，而我們稍後也會在這一章中解釋：

如果一個數字是 9 的倍數，那麼它的各個位數之和也必定是 9 的倍數（反之亦然）。

舉例來說，123,456,789 的位數和是 45（9 的倍數），所以這個數就是 9 的倍數。反過來說，314,159 的位數和是 23（非 9 的倍數），所以這個數就不是 9 的倍數。

整數的強大性質

讓我們用這個規則來了解前面的那個魔術戲法，並仔細檢驗其中的代數。你先想一個數字，我們稱之為N。乘上三倍之後你會得到 3N，在下一步變成 3N + 6。將這個數字再乘上三倍則是 3（3N + 6）= 9N + 18， 也就是 9（N + 2）。如果你決定要再乘上 2， 就會得到 18N + 36 = 9（2N+4）；但不管有沒有乘上 2，你最後的答案都會是9 乘上一個整數，所以最後一定會得到 9 的倍數。（編按：這就是整數的強大性質之一，任何一個 a 倍數乘上任意整數，仍然還是 a 的倍數）

當你計算這個數字的各個位數之和，你一定會再度得到一個 9 的倍數（可能是 9 或 18 或 27 或 36），而且這些數目的各個位數之和必定為 9。

還有另一個我也很喜歡用的魔術戲法，它是前面那個魔術的變形。找一個有計算機的人，請他從下列四位數中挑出一個：

3141 或 2718 或 2358 或 9999

這些數字分別是 π（詳見第八章）的前四位數、e（詳見第十章）的前四位數、連續幾個費氏數（詳見第五章），以及四位數的最大值。

請他將所選的四位數乘上任何一個三位數，結果會是一個你不可能會知道的六位數或七位數。接下來請他在腦海中圈出答案中的任一位數，但不要是 0（因為它已經像是個圓圈了！），然後要他以任意順序將所有沒圈起來的數字唸出來，並且專心想著那個剩下的數字。你只要稍加注意，就可以成功地揭開答案了。

又是 9！

所以說祕密是什麼呢？請注意，能選擇的這四個數字都是 9 的倍數。

既然是從一個 9 的倍數開始，那麼乘上一個整數之後結果仍然會是 9 的倍數，因此它的位數和也一定會是 9 的倍數。隨著數字被逐一唸出，你只要將它們統統相加即可，被藏起來的那一個數字在加上之後能使總和變成 9 的倍數。舉例來說，假設他唸出 5、0、2、2、6 和 1，這些數字的總和是 16，那麼被藏起來的數字一定是 2，因為加上之後能得到最接近的 9 的倍數，也就是18；如果唸出來的數字是1、1、2、3、5、8，總和為 20，那麼隱藏的數字一定是 7，這樣才能得到 27；假設你將唸出的數字相加得到 18，他藏起來的是哪個數字？由於我們告訴過他不要圈選 0，所以缺少的數字一定是9。

謎底揭曉

但為什麼一個 9 的倍數其位數和永遠是 9 的倍數呢？讓我們來看看下面這個例子，當 3456 以 10 的次方項表示時，看起來如下式

3456 = (3 × 1000) + (4 × 100) + (5 × 10) + 6

= 3(999 + 1) + 4(99 + 1) + 5(9 + 1) + 6

= 3(999) + 4(99) + 5(9) + 3 + 4 + 5 + 6

= （9 的倍數）+ 18

= （9 的倍數）

運用同樣的邏輯，如果一個數字的位數和是 9 的倍數，則此數本身一定也是 9 的倍數（反之亦然：任何一個 9 的倍數其位數和一定是 9 的倍數）。

編按：任何一個整數，都可以寫成 9 的倍數＋各個位數數字的和，如同上式第四行，因此只要各個位數數字的和是 9 的倍數，整個數字就會是 9 的倍數。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

三角學能讓我們解出一些無法用古典幾何學處理的幾何題目，舉例來說，考慮下面這個問題：

僅用一個量角器和一個袖珍計算機，測出附近某座山的高度。

對於這個問題，我們將提出五種不同解法。實際上，前三種解法幾乎連一丁點數學都沒用上！

方法一（費力解法）

爬上山頂，將你的計算機往下丟（這可能需要用上相當大的力氣），然後測出計算機撞到地面所需的時間（或聆聽下方背包客的尖叫聲）。如果總共花費了 t 秒，且忽略空氣阻力和終端速度帶來的影響，那麼標準的物理學方程式會指出這座山大約高 16t² 英尺。

這個方法的缺點是空氣阻力和終端速度的影響可能相當大，所以你的計算會變得不精確，而且要找回這台計算機也不太可能了。除此之外，這個方法需要用到的計時器可能就在你的計算機上。要說優點的話，則是這個方法並不需要用到量角器。

方法二（輕鬆解法）

找一位友善的保育巡查員，然後用你的嶄新量角器跟他交換山峰的高度這項情報。如果你找不到任何保育巡查員，那就看看附近有沒有一位親切的男士，他一身漂亮的古銅色肌膚表示他可能花了很多時間待在戶外，因而可能對你這個問題的答案相當清楚。

這個方法的優點是你有可能會交到新朋友，而且不需要犧牲你的計算機。此外，如果你對這位深膚色男士的回答心存懷疑，你還是可以親自爬上這座山，然後採用第一個方法找出答案。這個方法的缺點是你可能會失去你的量角器，還被冠上賄賂的罪名。

方法三（聰明解法）

在嘗試方法一和方法二之前，先試著找出一個告示牌，上面標有這座山的高度。這麼做的好處是你不需要犧牲任何一項裝備。 ☺

當然，如果這三種方法都不合你意，那麼我們就必須訴諸於數學的解法，也就是本章的主題。

研究三角形可以做什麼？

「三角學」（trigonometry）在字面上就是三角測量的意思，這個詞的字根源自希臘文「trigon」和「metria」。接下來我們先從分析一些經典的三角形開始。

等腰直角三角形

等腰直角三角形包含一個 90º 角，它的另外兩個角必定相同，所以兩者都是 45º（因為三角形的內角和為180º），這樣的三角形我們稱之為 45−45−90 三角形。如果兩個直角邊的長度都是1，那麼根據畢氏定理，斜邊長一定是 。請注意，任何等腰直角三角形的邊長比例都是 ，如下圖所示。

30− 60− 90 三角形

在一個等邊三角形中，每個邊長都相同，而且每個角的大小都是 60º。如果我們將一個等邊三角形分成全等的兩半，如下圖所示，就會得到兩個其內角分別是 30º、60º 和 90º 的直角三角形。如果這個等邊三角形的邊長為 2，那麼內含的兩個直角三角形的斜邊長就會是 2，而較短的直角邊長為 1。根據畢氏定理，較長的直角邊長會是。因此，所有 30− 60− 90 三角形的比例都會是 （也可以學學我，用 1、2、 這個簡單的順序來記憶）。特別是如果斜邊長為 1，則另外兩個邊長分別是 以及 。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

研究數學時，有一點非常有趣，那就是你可以證明一件事情千真萬確毋庸置疑，這也正是讓數學和其他科學有所不同的原因。

在其他的科學中，我們會因為一些法則符合現實世界的情況而接受它們，但是如果新的證據出現了，這些法則是可以被反駁或是修改的。然而在數學中，一旦某個理論被證實，它就是永遠真實不變的。舉例來說，歐幾里德在兩千年前證明出「質數有無限多個」，我們便無法再說什麼或做什麼來反駁這個理論的真實性。

科技來來去去，但是定理亙古不變。正如一位偉大的數學家哈代所說

數學家其實就像畫家或詩人，大家都在創造規律，但如果數學家創造出來的規律更永恆不朽，那是因為背後是由理念所建構而成。

對我來說，證明出一個新的數學定理似乎就是讓學術地位不朽的最佳途徑。

不存在的事也可以證明

數學不僅能證明某事絕對正確，也能用來證明某事絕無可能。

有時候，人們會說：「你無法證明不存在的事情不存在。」我想這大概就是說你無法證明世界上並沒有紫色的牛，因為可能哪天突然就會出現一隻。

但是在數學中，不存在是可以被證明的。舉例來說，不論你多麼努力嘗試，永遠都不可能找到相加會變成一個奇數的兩個偶數，也不可能找到一個最大的質數。

在你第一次（甚或第二或第三次）遇上這些證明時可能會覺得有點嚇人，所以絕對需要一點時間來適應。不過一旦掌握到了訣竅，你在閱讀和寫出這些證明的時候都會變得相當有趣。好的證明就像一個講得很精采的笑話或是故事，會讓你對結局非常滿意。

被遮住的淺色方格

跟你說說我第一次證明某事不可能的經驗。當我還小的時候，很喜歡各種遊戲和謎題。有天，一位朋友拿了一個遊戲裡的謎題來挑戰我，想當然我很感興趣啦。他出示一個八乘八的空白棋盤，然後拿出了 32 張一乘二大小的骨牌。

他問：「你能用這32 張骨牌將這個棋盤鋪滿嗎？」我說：「那當然，只要每一排放上四張骨牌就行了，就像這樣。」

「非常好，」他說，「現在假設我將左上角和右下角的正方形移開了，」他在這兩個方格中各放一枚硬幣，這樣我就不能使用了。「現在你能夠用 31 張骨牌鋪滿剩下的 62 個方格嗎？」

「或許可以，」我說。

但無論我怎麼嘗試，就是無法達成，我開始思考這是否根本就不可行。

「如果你認為這不可行，你能夠證明這一點嗎？」我的朋友這麼問。但如果我沒有將無數失敗的可能都試過一遍，又怎麼能證明這是不可能的呢？

他隨後提出建議：「看看棋盤上的顏色。」顏色？顏色跟這一切有什麼關聯？但是接下來我看到了。既然兩個被移走的方格都是淺色的，那麼棋盤上剩下的是三十二個深色方格和三十個淺色方格。但因為每一張骨牌都會剛剛好涵蓋一個淺色方格和一個深色方格，所以三十一張骨牌就不可能鋪滿這樣的棋盤。這真是太酷了！

悄悄話

如果你喜歡上述最後一個證明，那我相信你也會欣賞下面這一個。電玩遊戲「俄羅斯方塊」中有七種不同形狀，有時候我們稱之為 I、J、L、O、Z、T 和 S。

這七個形狀可以排成一個四乘七的長方形嗎？

每一個形狀都剛好占據四個方格，所以我們自然會猜想，這七個形狀或許可以拼成一個四乘七的長方形（拼湊的過程中，我們可以翻轉或是旋轉這些形狀），但事實上這是一個不可能的任務。你要怎麼證明這是不可能的呢？讓我們將這個長方形上色，使其含有十四個淺色方格和十四個深色方格，如下圖所示。

請注意，除了 T 這個形狀以外，每一個形狀不論放在棋盤的哪一個位置，都一定涵蓋兩個淺色方格和兩個深色方格。但是 T 涵蓋的範圍是三個某一種顏色的方格和一個另一種顏色的方格。於是，不論其他六個方塊放在哪裡，它們一定蓋住正好十二個淺色方格和十二個深色方格，剩下來給 T 的是兩個淺色方格和兩個深色方格，也就是這個要求不可能達成。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

三角學能讓我們解出一些無法用古典幾何學處理的幾何題目，舉例來說，考慮下面這個問題：

僅用一個量角器和一個袖珍計算機，測出附近某座山的高度。

對於這個問題，我們將提出五種不同解法。實際上，前三種解法幾乎連一丁點數學都沒用上！

方法一（費力解法）

爬上山頂，將你的計算機往下丟（這可能需要用上相當大的力氣），然後測出計算機撞到地面所需的時間（或聆聽下方背包客的尖叫聲）。如果總共花費了 t 秒，且忽略空氣阻力和終端速度帶來的影響，那麼標準的物理學方程式會指出這座山大約高 16t² 英尺。

這個方法的缺點是空氣阻力和終端速度的影響可能相當大，所以你的計算會變得不精確，而且要找回這台計算機也不太可能了。除此之外，這個方法需要用到的計時器可能就在你的計算機上。要說優點的話，則是這個方法並不需要用到量角器。

方法二（輕鬆解法）

找一位友善的保育巡查員，然後用你的嶄新量角器跟他交換山峰的高度這項情報。如果你找不到任何保育巡查員，那就看看附近有沒有一位親切的男士，他一身漂亮的古銅色肌膚表示他可能花了很多時間待在戶外，因而可能對你這個問題的答案相當清楚。

這個方法的優點是你有可能會交到新朋友，而且不需要犧牲你的計算機。此外，如果你對這位深膚色男士的回答心存懷疑，你還是可以親自爬上這座山，然後採用第一個方法找出答案。這個方法的缺點是你可能會失去你的量角器，還被冠上賄賂的罪名。

方法三（聰明解法）

在嘗試方法一和方法二之前，先試著找出一個告示牌，上面標有這座山的高度。這麼做的好處是你不需要犧牲任何一項裝備。 ☺

當然，如果這三種方法都不合你意，那麼我們就必須訴諸於數學的解法，也就是本章的主題。

研究三角形可以做什麼？

「三角學」（trigonometry）在字面上就是三角測量的意思，這個詞的字根源自希臘文「trigon」和「metria」。接下來我們先從分析一些經典的三角形開始。

等腰直角三角形

等腰直角三角形包含一個 90º 角，它的另外兩個角必定相同，所以兩者都是 45º（因為三角形的內角和為180º），這樣的三角形我們稱之為 45−45−90 三角形。如果兩個直角邊的長度都是1，那麼根據畢氏定理，斜邊長一定是 。請注意，任何等腰直角三角形的邊長比例都是 ，如下圖所示。

30− 60− 90 三角形

在一個等邊三角形中，每個邊長都相同，而且每個角的大小都是 60º。如果我們將一個等邊三角形分成全等的兩半，如下圖所示，就會得到兩個其內角分別是 30º、60º 和 90º 的直角三角形。如果這個等邊三角形的邊長為 2，那麼內含的兩個直角三角形的斜邊長就會是 2，而較短的直角邊長為 1。根據畢氏定理，較長的直角邊長會是。因此，所有 30− 60− 90 三角形的比例都會是 （也可以學學我，用 1、2、 這個簡單的順序來記憶）。特別是如果斜邊長為 1，則另外兩個邊長分別是 以及 。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。