強大的三角測量學！讓我們先回顧簡單的三角邊比——《數學大觀念》

本文與 威力暘電子 合作，泛科學企劃執行。

想像一下，當你每天啟動汽車時，啟動的不再只是一台車，而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機，後果會有多嚴重？方向盤可能瞬間失靈，安全氣囊無法啟動，整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情，而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天，我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟，汽車的「大腦」—電子控制單元（ECU），是如何從單一功能，暴增至上百個獨立系統？而全球頂尖的工程師們，又為何正傾盡全力，試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化？

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代，當時的汽車工程師們面臨一項重要任務：如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力？「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現，關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間：火星塞的點火時機，也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內，這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一！引擎效率就能提升整整一成！這不僅意味著車子開起來更順暢，還能直接省下一成的油耗。那麼，要如何跨過這道門檻？答案就是：「電腦」的加入！

工程師們引入了「微控制器」（Microcontroller），你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法，在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內，精準計算出最佳的點火角度，並立刻執行。

從此，引擎的性能表現大躍進，油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元（ECU）的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」（Engine Control Unit）。

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功，在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像：「這 ECU 這麼好用，其他地方是不是也能用？」於是，ECU 的應用範圍不再僅限於點火，燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車，甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而，問題來了：這麼多「小電腦」，它們之間該如何有效溝通？

為了解決這個問題，1986 年，德國的博世（Bosch）公司推出了一項劃時代的發明：控制器區域網路（CAN Bus）。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上，就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是，CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如，煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息，絕對能搶先通過，避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題，但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線，並連接各種感測器和致動器。結果就是，一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里，總重量更高達 50 到 60 公斤，等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面，大量的 ECU 與錯綜複雜的線路，也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束，簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障，無疑讓人一個頭兩個大。

汽車電子革命：從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代，汽車電子架構迎來一場大改革，「分區架構（Zonal Architecture）」搭配「中央高效能運算（HPC）」逐漸成為主流。簡單來說，這就像在車內建立「地方政府＋中央政府」的管理系統。

可以想像，整輛車被劃分為幾個大型區域，像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙，就像數個「大都會」。每個區域控制單元（ZCU）就像「市政府」，負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合，並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理，就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台（HPC）擔任，統籌負責更複雜的運算任務，例如先進駕駛輔助系統（ADAS）所需的環境感知、物體辨識，或是車載娛樂系統、導航功能，甚至是未來自動駕駛的決策，通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中， 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子，便精準地切入了這個趨勢，致力於開發整合 ECU 與區域控制器（Domain Controller）功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢，威力暘提供的解決方案，就像是將好幾個「分區管理員」的職責，甚至一部分「超級大腦」的功能，都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力，可同時支援 ADAS 與車載娛樂，還能兼容多種通訊協定，大幅簡化車內網路架構。如此一來，車廠在追求輕量化和高效率的同時，也能顧及穩定性與安全性。

萬無一失的「汽車大腦」：威力暘的四大策略

然而，「做出來」與「做好」之間，還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯？具體來說，威力暘電子憑藉以下四大策略，築起其產品的可靠性與安全性：

1. AUTOSAR ： 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層（RTE）和基礎軟體層（BSW）。就像在玩「樂高積木」，ECU 開發者能靈活組合模組，專注在核心功能開發，從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
   
2. V-Model 開發流程：這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般，左側從上而下逐步執行，右側則由下而上層層檢驗，確保每個階段的安全要求都確實落實。
   
3. 基於模型的設計 MBD（Model-Based Design）： 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具，把整個 ECU 要控制的系統(如煞車)，用數學模型搭建起來，然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前，就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷，，並驗證安全機制是否有效。
   
4. Automotive SPICE (ASPICE) ： ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」，它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性，而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」，也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化，並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作，其能否正常運作，自然被視為最優先項目。為此，威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準：ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統（特別是 ECU）的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」，從概念、設計、測試到生產和報廢，都詳細規範了每個安全要求和驗證方法，唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略，威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準，才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而，ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡，「大腦」變得更集中、更強大後，汽車產業又迎來了新一波革命：「軟體定義汽車」（Software-Defined Vehicle, SDV）。

軟體定義汽車 SDV：你的愛車也能「升級」！

未來的汽車，會越來越像你手中的智慧型手機。過去，車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」，想升級？多半只能換車。但在軟體定義汽車（SDV）時代，汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」，能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA（Over-the-Air）技術，車廠能像推送 App 更新一樣，遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過，這種美好願景也將帶來全新的挑戰：資安風險。當汽車連上網路，就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭，輕則個資外洩，重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV，業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略，確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程，到安全認證，這些努力，讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新，也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力，威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota，以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈，更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴，以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈，並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產，驗證其流程與品質。

毫無疑問，未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷，交由電腦判斷，比交由人類駕駛還要安全的那一天，離我們不遠了。而人類的角色，將從操作者轉為監督者，負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全，人類甘願當一個「最弱兵器」，其實也不錯！

小時候，我最喜歡 9 這個數字了，因為它似乎蘊含許多神奇的特性。我想給你看一個例子，請照著下列充滿魔力的數學指示：

1. 想一個在 1 到 10 之間的數（如果不滿意，你也可以挑更大的整數並使用計算機）。
2. 將這個數乘以 3。
3. 然後加上 6。
4. 把得到的數字再乘以 3。
5. 如果你願意的話，把這個數字再乘以 2。
6. 將這個數字的所有位數相加，如果是個位數，就停止運算。
7. 如果是二位數，那麼將兩個位數再次相加。
8. 專心想著你的答案。

直覺告訴我你正在想的數字是 9，對不對？（如果不是的話，你或許該回過頭驗算一下。）

是什麼讓 9 這個數字如此神奇？我們會在本章看到它的一些神奇特性，然後我們甚至會考慮有另一個世界的存在，在那裡 12 和3 的功能相等而且完全合理！

觀察 9 的倍數

9 的第一個神奇特性可以從它的倍數中看出來：

9、18、27、36、45、54、63、72、81、90、99、108、117、126、135、144⋯⋯

這些數目有什麼共通點？

如果你將每個數字各自的位數相加，似乎每次都會得到 9。

讓我們挑其中幾個來試試看：18 的各個位數之和是 1 + 8 = 9；27 是 2 + 7 = 9；144 則是 1 + 4 + 4 = 9。但是慢著，這裡有一個例外：99 的位數和是 18，不過 18 本身仍是 9 的倍數。所以我們得到下面這個重要結論，這件事你可能在小學就學過了，而我們稍後也會在這一章中解釋：

如果一個數字是 9 的倍數，那麼它的各個位數之和也必定是 9 的倍數（反之亦然）。

舉例來說，123,456,789 的位數和是 45（9 的倍數），所以這個數就是 9 的倍數。反過來說，314,159 的位數和是 23（非 9 的倍數），所以這個數就不是 9 的倍數。

整數的強大性質

讓我們用這個規則來了解前面的那個魔術戲法，並仔細檢驗其中的代數。你先想一個數字，我們稱之為N。乘上三倍之後你會得到 3N，在下一步變成 3N + 6。將這個數字再乘上三倍則是 3（3N + 6）= 9N + 18， 也就是 9（N + 2）。如果你決定要再乘上 2， 就會得到 18N + 36 = 9（2N+4）；但不管有沒有乘上 2，你最後的答案都會是9 乘上一個整數，所以最後一定會得到 9 的倍數。（編按：這就是整數的強大性質之一，任何一個 a 倍數乘上任意整數，仍然還是 a 的倍數）

當你計算這個數字的各個位數之和，你一定會再度得到一個 9 的倍數（可能是 9 或 18 或 27 或 36），而且這些數目的各個位數之和必定為 9。

還有另一個我也很喜歡用的魔術戲法，它是前面那個魔術的變形。找一個有計算機的人，請他從下列四位數中挑出一個：

3141 或 2718 或 2358 或 9999

這些數字分別是 π（詳見第八章）的前四位數、e（詳見第十章）的前四位數、連續幾個費氏數（詳見第五章），以及四位數的最大值。

請他將所選的四位數乘上任何一個三位數，結果會是一個你不可能會知道的六位數或七位數。接下來請他在腦海中圈出答案中的任一位數，但不要是 0（因為它已經像是個圓圈了！），然後要他以任意順序將所有沒圈起來的數字唸出來，並且專心想著那個剩下的數字。你只要稍加注意，就可以成功地揭開答案了。

又是 9！

所以說祕密是什麼呢？請注意，能選擇的這四個數字都是 9 的倍數。

既然是從一個 9 的倍數開始，那麼乘上一個整數之後結果仍然會是 9 的倍數，因此它的位數和也一定會是 9 的倍數。隨著數字被逐一唸出，你只要將它們統統相加即可，被藏起來的那一個數字在加上之後能使總和變成 9 的倍數。舉例來說，假設他唸出 5、0、2、2、6 和 1，這些數字的總和是 16，那麼被藏起來的數字一定是 2，因為加上之後能得到最接近的 9 的倍數，也就是18；如果唸出來的數字是1、1、2、3、5、8，總和為 20，那麼隱藏的數字一定是 7，這樣才能得到 27；假設你將唸出的數字相加得到 18，他藏起來的是哪個數字？由於我們告訴過他不要圈選 0，所以缺少的數字一定是9。

謎底揭曉

但為什麼一個 9 的倍數其位數和永遠是 9 的倍數呢？讓我們來看看下面這個例子，當 3456 以 10 的次方項表示時，看起來如下式

3456 = (3 × 1000) + (4 × 100) + (5 × 10) + 6

= 3(999 + 1) + 4(99 + 1) + 5(9 + 1) + 6

= 3(999) + 4(99) + 5(9) + 3 + 4 + 5 + 6

= （9 的倍數）+ 18

= （9 的倍數）

運用同樣的邏輯，如果一個數字的位數和是 9 的倍數，則此數本身一定也是 9 的倍數（反之亦然：任何一個 9 的倍數其位數和一定是 9 的倍數）。

編按：任何一個整數，都可以寫成 9 的倍數＋各個位數數字的和，如同上式第四行，因此只要各個位數數字的和是 9 的倍數，整個數字就會是 9 的倍數。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。

研究數學時，有一點非常有趣，那就是你可以證明一件事情千真萬確毋庸置疑，這也正是讓數學和其他科學有所不同的原因。

在其他的科學中，我們會因為一些法則符合現實世界的情況而接受它們，但是如果新的證據出現了，這些法則是可以被反駁或是修改的。然而在數學中，一旦某個理論被證實，它就是永遠真實不變的。舉例來說，歐幾里德在兩千年前證明出「質數有無限多個」，我們便無法再說什麼或做什麼來反駁這個理論的真實性。

科技來來去去，但是定理亙古不變。正如一位偉大的數學家哈代所說

數學家其實就像畫家或詩人，大家都在創造規律，但如果數學家創造出來的規律更永恆不朽，那是因為背後是由理念所建構而成。

對我來說，證明出一個新的數學定理似乎就是讓學術地位不朽的最佳途徑。

不存在的事也可以證明

數學不僅能證明某事絕對正確，也能用來證明某事絕無可能。

有時候，人們會說：「你無法證明不存在的事情不存在。」我想這大概就是說你無法證明世界上並沒有紫色的牛，因為可能哪天突然就會出現一隻。

但是在數學中，不存在是可以被證明的。舉例來說，不論你多麼努力嘗試，永遠都不可能找到相加會變成一個奇數的兩個偶數，也不可能找到一個最大的質數。

在你第一次（甚或第二或第三次）遇上這些證明時可能會覺得有點嚇人，所以絕對需要一點時間來適應。不過一旦掌握到了訣竅，你在閱讀和寫出這些證明的時候都會變得相當有趣。好的證明就像一個講得很精采的笑話或是故事，會讓你對結局非常滿意。

被遮住的淺色方格

跟你說說我第一次證明某事不可能的經驗。當我還小的時候，很喜歡各種遊戲和謎題。有天，一位朋友拿了一個遊戲裡的謎題來挑戰我，想當然我很感興趣啦。他出示一個八乘八的空白棋盤，然後拿出了 32 張一乘二大小的骨牌。

他問：「你能用這32 張骨牌將這個棋盤鋪滿嗎？」我說：「那當然，只要每一排放上四張骨牌就行了，就像這樣。」

「非常好，」他說，「現在假設我將左上角和右下角的正方形移開了，」他在這兩個方格中各放一枚硬幣，這樣我就不能使用了。「現在你能夠用 31 張骨牌鋪滿剩下的 62 個方格嗎？」

「或許可以，」我說。

但無論我怎麼嘗試，就是無法達成，我開始思考這是否根本就不可行。

「如果你認為這不可行，你能夠證明這一點嗎？」我的朋友這麼問。但如果我沒有將無數失敗的可能都試過一遍，又怎麼能證明這是不可能的呢？

他隨後提出建議：「看看棋盤上的顏色。」顏色？顏色跟這一切有什麼關聯？但是接下來我看到了。既然兩個被移走的方格都是淺色的，那麼棋盤上剩下的是三十二個深色方格和三十個淺色方格。但因為每一張骨牌都會剛剛好涵蓋一個淺色方格和一個深色方格，所以三十一張骨牌就不可能鋪滿這樣的棋盤。這真是太酷了！

悄悄話

如果你喜歡上述最後一個證明，那我相信你也會欣賞下面這一個。電玩遊戲「俄羅斯方塊」中有七種不同形狀，有時候我們稱之為 I、J、L、O、Z、T 和 S。

這七個形狀可以排成一個四乘七的長方形嗎？

每一個形狀都剛好占據四個方格，所以我們自然會猜想，這七個形狀或許可以拼成一個四乘七的長方形（拼湊的過程中，我們可以翻轉或是旋轉這些形狀），但事實上這是一個不可能的任務。你要怎麼證明這是不可能的呢？讓我們將這個長方形上色，使其含有十四個淺色方格和十四個深色方格，如下圖所示。

請注意，除了 T 這個形狀以外，每一個形狀不論放在棋盤的哪一個位置，都一定涵蓋兩個淺色方格和兩個深色方格。但是 T 涵蓋的範圍是三個某一種顏色的方格和一個另一種顏色的方格。於是，不論其他六個方塊放在哪裡，它們一定蓋住正好十二個淺色方格和十二個深色方格，剩下來給 T 的是兩個淺色方格和兩個深色方格，也就是這個要求不可能達成。

——本文摘自《數學大觀念：全面理解從數字到微積分的12大觀念》，2023 年 3 月，貓頭鷹出版，未經同意請勿轉載。