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數學魔術之道——《數學大觀念》推薦序

貓頭鷹出版社_96
・2017/05/09 ・2282字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 499 ・六年級

  • 文/賴以威|師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人

有一種符合本書主題的二分法:討厭數學的人跟喜歡數學的人。

前者埋怨:

「數學跟現實脫節。」

後者部分同意這話,他們會說:

「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」

請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面:你拿起筆在紙上算數學,簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了,你的手穿過紙張,整個人往紙裡墜,你進入了數學的另一個世界。

圖/Pixapopz @ Pixabay

不需要畫五芒星的魔法陣(我忍住不跟你聊裡面的黃金比例),不需要任何繁瑣的祭祀儀式,只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子,你就能自由進出數學的世界。

受到工程背景的影響,我在分享數學有趣之處時,常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票,  500 大卡的手搖飲料,還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看,他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒,常去廟裡拜拜擲筊,一方面在現實世界裡乞求天神保佑,一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返,你很容易看到許多有趣的現象,複雜的問題脫下外皮,被解構成一條條式子;全然不相關的幾件事,在數學世界裡都是一個模樣,這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。

擲茭問事和計算機率有時候只是同一件事情在不同世界裡的體現而已。圖/行天宮官網

班傑明教授在本書中提供了另一個角度,他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」,不需要來來回回,光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎,讚嘆連連了。請繼續想像,你在數學世界跟團旅行,來到著名景點歐拉公式,導遊難掩興奮之情地說:

「e、i、π、0、1,五個重要又看似毫無關係的數字,竟然被巧妙地整合在一起!」

覺得不夠神奇嗎?可能是符號帶來的隔閡,讓我們換成近似的數字--

〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0

這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字,搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數,組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷,展現數學大自然的神功鬼斧。

數學世界裡的歐拉公式,就如同現實世界裡的大峽谷,都是大自然的鬼斧神工之作。圖/KeYang @ Pixabay

讚嘆完大峽谷之美,我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解,不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌:亞瑟.班傑明。

書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁,百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城,把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到,但多年後回想,這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似:盯著一個奇形怪狀的幾何圖形,我覺得不可能算出它的面積,但同時我又清楚知道,下一頁翻過來就是印好的解答。

魔術是很精密的機制,能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密,它的本意是補充人類的直覺(有些人可能會說「是為了打擊人的信心」,但我想那是「數學考試」,而不是「數學」本身),讓我們能精準地達成某些事情,簡化某些過程。了解到這點後,你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處,換個角度,數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師:吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師,都擅長結合數學與魔術,有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚,他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術,這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣,背後的原理更有價值。

比方說,有一兩個魔術是速算,比起掌握速算技巧,更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」,進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」,裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽,一些人心算,一些人按計算機,看誰算得快。小朋友覺得很無聊,比賽彷彿不需要開始就知道勝負。

2+2+2+2+2

1+2+3+7+8+9

題目一打出來,心算的小朋友開心得不得了,一秒內就大喊出答案,按計算機的小朋友很鬱悶,他們也知道答案,偏偏被要求得按下每個數字、符號,怎麼都跟不上心算的速度。

一樣的數字相加,可以用乘法

找到和為 10 的兩組數字

這是深植在每個人心中的速算訣竅,或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加,運用題目裡數字的這兩個規律,就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律,化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子,只要告訴他一個日期(年月日),他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版,背後的原理都是一樣,找出規律。

能洞察規律的人,便能得到他人無法得到的資訊,以更快的方式得到資訊,或是,成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。

  • 註:《巡者系列》是俄國經典魔幻小說,幽界是指超凡人才能進入的,與現實世界平行並存的空間。

 

 

 

本文摘自《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》,貓頭鷹出版

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貓頭鷹自 1992 年創立,初期以單卷式主題工具書為出版重心,逐步成為各類知識的展演舞台,尤其著力於科學科技、歷史人文與整理台灣物種等非虛構主題。以下分四項簡介:一、引介國際知名經典作品如西蒙.德.波娃《第二性》(法文譯家邱瑞鑾全文翻譯)、達爾文傳世經典《物種源始》、國際科技趨勢大師KK凱文.凱利《科技想要什麼》《必然》與《釋控》、法國史學大師巴森《從黎明到衰頹》、瑞典漢學家林西莉《漢字的故事》等。二、開發優秀中文創作品如腦科學家謝伯讓《大腦簡史》、羅一鈞《心之谷》、張隆志組織新生代未來史家撰寫《跨越世紀的信號》大系、婦運先驅顧燕翎《女性主義經典選讀》、翁佳音暨曹銘宗合著《吃的台灣史》等。三、也售出版權及翻譯稿至全世界。四、同時長期投入資源整理台灣物種,並以圖鑑形式陸續出版,如《台灣原生植物全圖鑑》計八卷九巨冊、《台灣蛇類圖鑑》、《台灣行道樹圖鑑》等,叫好又叫座。冀望讀者在愉悅中閱讀並感受知識的美好是貓頭鷹永續經營的宗旨。

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電影《全面啟動》初階真實版:「互動式做夢」
胡中行_96
・2023/03/09 ・3874字 ・閱讀時間約 8 分鐘

「我們正在做夢?」「妳其實是在進行中的工作坊睡覺,這是共享夢境的第一課。保持冷靜。」[1]電影《全面啟動》(Inception)於夢裡互動的概念,被美、德、法和荷蘭的科學家,以非常初階的形式實現。2021 年 4 月《當代生物學》(Current Biology)期刊的論文,稱之為「互動式做夢」(interactive dreaming)。[2]

電影《全面啟動》的預告片說:「在夢裡,我們覺得真實;醒來後,才明白事有蹊蹺。」圖/Inception (2010) on IMDB

清醒夢

一個人睡醒後,描述的夢境記憶,多半相當殘破。要是做夢時,能與科學家雙向對談,勢必有利研究。然而,人們易於接受夢裡的經歷,鮮少在當下檢視批判,根本沉迷其中。[2]就像電影預告片所言:「在夢裡,我們覺得真實;醒來後,才明白事有蹊蹺。」[1]唯獨於睡眠的快速動眼期(rapid eye movement sleep),某些人會有罕見的清醒夢(lucid dreams),意識到自己正在夢境之中。這種情形似乎提供了科學家即時訪談的契機。無奈清醒夢一般為自然發生,時機難以掌控。[2]倘若能將任何夢境,轉換為清醒夢,那就方便得多。

電影《全面啟動》的主角靠陀螺是否持續旋轉,分別夢境和現實。圖/Inception (2010) on IMDB

標的清醒再活化

電影畫面上,陀螺不合理地無止盡旋轉,主角提醒他的雇主:「這個世界不是真的。」[1]陀螺是否會停止並倒下,為《全面啟動》中判定虛實的經典線索。換句話說,也是由做普通的夢,轉變為做清醒夢的關鍵。臨床試驗中,進行標的清醒再活化(targeted lucidity reactivation)時,這類線索就是聲音光線等感官刺激。受試者先認識設定來代表清醒的線索,並於即將入睡前加強此連結;睡著且進入快速動眼期後,科學家再次給出的線索,會暗示正在做夢的受試者保持清醒。[2]

就拿此研究裡,美國組的流程為例:首先,科學家設定短促輕柔(650 ms;40-45 dB),音調漸升(400、600和800 Hz)的「嗶、嗶、嗶」三個音,作為線索。訓練受試者將之與清醒的狀態連結。再告訴他們這個線索會出現在睡覺時,以促成清醒夢。接下來的 15 分鐘內,反覆播放 15 次。前 4 次搭配語音指示:「當你聽到線索,你就會清醒。專注於你的思考,並注意心思的流向…(停頓)現在觀察你的身體、知覺和感受…(停頓)觀察你的呼吸…(停頓)維持清醒,保有批判的意識,注意此經驗在哪方面與你平常清醒時不同。」[2]

受試者通常會在 15 次「嗶、嗶、嗶」結束前睡著。科學家一旦偵測到他們進入快速動眼期,就會以 30 秒為間隔,再度重複播放。當受試者以事前約定好的眼球運動,通知外界他正在做清醒夢,或是在 10 次「嗶、嗶、嗶」後,仍然毫無動靜,互動測試便開始進行。[2][註]

互動式做夢

美、德、法和荷蘭的科學家,總共招募了 36 名志願者。他們涵蓋下列 3 種類型:[2]

  1. 數名具清醒夢經驗的人[2]
  2. 幾個雖無經驗,但訓練後能做清醒夢的健康人士[2]
  3. 白天睡眠過多,容易突然進入快速動眼期,又常做清醒夢的猝睡症(亦稱「嗜睡症」;narcolepsy)患者1名。[2]

他們在做夢時答覆提問;醒來後立即報告夢境與感受。期刊論文中,列舉了下面幾個例子。[2]

互動式做夢示意圖。圖/參考資料 2,Figure 1(CC BY 4.0)

美國組:計算

曾有過 2 次清醒夢的 19 歲美國受試者,在 90 分鐘的白天睡眠過程中,回答簡單的計算問題。首先,他以 3 次連續的眼球左右運動,表達自己進入了清醒夢。於是,科學家就問他「8 減掉 6」等於多少。約莫 3 秒內,他做了 2 次上述的眼球運動。科學家馬上又重複問題,他也再度用相同的方式,給予正確答案。[2]

醒來之後,這名美國男子分享其經歷:「本來是夜間,於一處停車場。…然後是白晝,我在電玩裡。…我想,好,大概是在做夢。接著很怪…我失去對全身肌肉的控制。有一陣血流洶湧的浪濤聲,朝我的耳朵襲來。」此外,他依稀記得當時的題目與答案。[2]

美國組:右下的 2 個小橙框,圈出快速動眼期(REM)作答時,眼電圖(EOG)的波動。圖/參考資料 2,Figure 2(CC BY 4.0)

德國組:計算

在德國,也有曾做過清醒夢的受試者。這名 35 歲的男子,在夜間睡眠的快速動眼期,以眼球運動表示自己進入了清醒夢。科學家就用 LED 燈改變房間的光線,來發出摩斯密碼。那串訊號的意思是「4 減去 0」,事前受過訓練的男子,則以 4 次左右交替的眼球運動答覆。看起來是答對了,但是他醒來後說,以為題目是「4 加上 0」。[2]

德國男子覺得夢裡的場景,可能是物理治療診所。四周無人,只有架子、櫥櫃和醫師的座椅。當診間的燈光忽明忽滅,他「意識到閃爍的訊號來自外面」,便運動眼球作答。之後,男子尋找發光工具,弄到一只碗。裏頭盛滿的水,竟像魚缸燈管般發出明滅光芒。他知道,又是訊號。偏偏無法判讀,還不小心在解碼時把碗摔破。[2]
  
他離開診間,看室外有無發光工具,卻在抬頭時見到雲彩變化多端:黃澄澄的陽光,灑在淺灰的烏雲上。亮度多元,飄移迅速。他明知是計算題的訊號,卻再度錯失解碼的時機。[2]

德國組:小橙框圈出快速動眼期(REM)作答時,眼電圖(EOG)的波動。圖/參考資料2,Figure 3(CC BY 4.0)

荷蘭組:計算

26 歲的荷蘭受試者,因為記得夢中的細節,並正確回答「1 加上 2」等於「3」,而感到自豪。可惜她在 134 分鐘晨眠的清醒夢起始點,沒有通知科學家,所以儘管 5 題對了 2 題,數據並未允予採計。[2]

「我必須記得事情」,她在夢裡這麼想著,並聽到科學家的聲音。「我坐進車裡…」,那些題目「感覺像是某種車上的廣播」。[2]

荷蘭組:小橙框圈出快速動眼期(REM)作答時,眼電圖(EOG)的波動。圖/參考資料2,Figure 5(CC BY 4.0)

法國組:是非題

法國組招募到 1 名 20 歲的猝睡症患者,他於 16 歲確診,每天平均做 4 次清醒夢。論文形容他「做清醒夢的能力卓越」,能輕易控制夢境。在 20 分鐘白天小睡的第 1 分鐘,他就火速進入快速動眼期,並且於 5 分鐘後開始做清醒夢。科學家問是非題,請他收縮臉部肌肉作答:顴肌(zygomatic muscle)代表「是」;而皺眉肌corrugator muscle)則為「非」。[2]

收縮臉部肌肉:(藍)顴肌代表「是」;而(紅)皺眉肌則為「非」。圖/參考資料2,Figure S6(CC BY 4.0)

「我聽到你的聲音,你簡直像上帝。」猝睡症患者回憶夢裡的派對上,出現猶如電影旁白,來自外面的幾個問題,例如:愛不愛吃巧克力;是否唸生物學;還有會不會講西班牙語。「最後一題我不確定,因為我的西班牙語不流利…終究我決定答『否』,然後回到派對裡去。」[2]

法國組:小紫框圈出快速動眼期(REM),針對「是否看足球賽」,用皺眉肌(corrugator muscle),回答「否」的肌電圖(EMG)波動。圖/參考資料2,Figure 4(CC BY 4.0)

法國組:觸覺

這名法國的猝睡症患者,還有參與觸覺等其他測試。他在清醒夢的過程中,以收縮皺眉肌的次數,來表達自己的手被科學家輕觸了幾下。其答案有時正確,有時錯誤,還有的模稜兩可。[2]

法國組:小框框圈出用皺眉肌(corrugator muscle),做正確(綠)、錯誤(橙),以及模糊(藍)答案時,肌電圖(EMG)的波動。圖/參考資料 2,Figure S4(CC BY 4.0)

雖然沒有全部答對,但能有此成績,說來也頗不簡單。畢竟他當時正在清醒夢中打怪,並且對自己「能一心這麼多用」,感到吃驚。[2]

互動式做夢的成功率

「這或許可行。」《全面啟動》裡,討論任務計劃時,不意外地下一句台詞就是:「或許?我們需要比『或許』更肯定。」[1]在此研究中,四個國家的團隊,總共做了 57 場互動式做夢的嘗試:26% 的場次裡,受試者依照指示,告知科學家自己進入了清醒夢;而這些成功案例中的 47%,至少答對 1 個題目。整個臨床試驗的答題正確率,僅約 18.4%;多數則是連反應也沒有,其比例高達 60.1%。[2]

目前互動式做夢,仍有一些技術侷限,比方說:外界的提問在夢裡走樣;夢境描述依然仰賴事後回顧;受試者在清醒夢與沉睡的狀態間擺盪;或是標的清醒再活化的聲光,把人叫醒等。不過無論如何,科學家已經得知提問的聲音,如何在夢中呈現:有些像天外之音;有的則會合理化地融入夢境。而且研究結果不僅證實做夢者與外界互動的可能,更展現睡夢中的認知能力。有別於以往,只能在人醒著的各種狀態下試驗;將來科學家應該有機會,比較包含清醒夢在內,不同清醒程度的認知表現,甚至影響夢境內容,來治療心靈創傷或增強學習效果。[2]

  

備註

美國與荷蘭兩組,皆採取標的清醒再活化,但細節稍有差異;法國的猝睡症患者天賦異稟,無須借助外力;而德國組則是睡著後被叫醒,然後又回去睡覺,並在之間做自我暗示的夢境辨識等練習。[2]

參考資料

  1. Inception (2010) – Quotes’. IMDB. (Accessed on 15 FEB 2023)
  2. Konkoly KR, Appel K, Chabani E, et al. (2021) ‘Real-time dialogue between experimenters and dreamers during REM sleep’. Current Biology, 31 (7): 1417-1427, e6.
胡中行_96
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曾任澳洲臨床試驗研究護理師,以及臺、澳劇場工作者。 西澳大學護理碩士、國立台北藝術大學戲劇學士(主修編劇)。邀稿請洽臉書「荒誕遊牧」,謝謝。

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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假藥也能治療?安慰劑效應的原因:「不」隨機化實驗!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/03 ・1932字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • 作者:墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯:

  • 用隨機化的方法將受試者分組,所分出的各組在實施處理之前,應該各方面都類似。
  • 之所以用「比較」的設計,是要確保除了實驗上的處理外,其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
  • 因此,反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組,以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中,醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組,指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差,不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組,會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近,例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說,隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多,即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

實驗組與對照組除主要測量變數外,其餘條件必需盡可能相似。圖/envatoelements

新藥研究上不隨機分組帶來的後果:安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式,潛藏變數會有什麼影響呢?安慰劑效應就是潛藏變數,只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療,所以有些組別是在流感季節治療,有些則不是,那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

在比較實驗設計中,我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應,他們會接受相同的治療,全部的組別會在相同的時間接受相同的治療,所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你,醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢,應該不會讓你驚訝,因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用,他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用,但是後來有人起疑,進行了隨機化比較實驗後,卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了,這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋,經過適當的比較實驗研究過的療法,以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比,而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果,納入研究的 56 種療法當中,用歷史對照組來比較時,有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後,只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比,醫師的判斷仍過於樂觀。

過去醫學史上常出現新藥實際沒療效,只能充當安慰劑效果的情況。圖/envatoelements

目前來說,法律已有規定,新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置,比如手術,就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」(以歷史對照組來比較)這個關鍵字,可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置,所做的研究。

對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣,隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時,有可能運氣不好,抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣,隨機指派受試者時,也可能運氣不好,把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道,如果抽選很大的隨機樣本,樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理,如果我們用很多受試者,加上利用隨機指派方式分組,也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多,表示實驗處理組的機遇變異會比較小,因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」,同為「統計實驗設計」的基本原則。

實驗設計的原則
統計實驗設計的基本原則如下:
1. 要控制潛在變數對反應的影響,最簡單的方法是同時比較至少兩個處理。
2. 隨機化:用非人為的隨機方法指派受試者到不同的實驗處理組。
3. 每一組的受試者要夠多,以減低實驗結果中的機遇變異。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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