- 文/賴以威|師大電機系助理教授、數感實驗室共同創辦人
有一種符合本書主題的二分法:討厭數學的人跟喜歡數學的人。
前者埋怨:
「數學跟現實脫節。」
後者部分同意這話,他們會說:
「數學是獨立於現實世界的另一個世界。」
請帶點魔幻的色彩來想像以下的畫面:你拿起筆在紙上算數學,簡單的 1+1 或微分方程都可以。然後奇妙的事發生了,你的手穿過紙張,整個人往紙裡墜,你進入了數學的另一個世界。
不需要畫五芒星的魔法陣(我忍住不跟你聊裡面的黃金比例),不需要任何繁瑣的祭祀儀式,只要一張紙、一支筆跟任何一道數學式子,你就能自由進出數學的世界。
受到工程背景的影響,我在分享數學有趣之處時,常常著眼在數學世界與現實世界的連結。現實世界有 500 元鈔票, 500 大卡的手搖飲料,還有台灣搖滾天王伍佰。但從數學世界裡看,他們都是變成了純粹的數字 500。我是個虔誠的信徒,常去廟裡拜拜擲筊,一方面在現實世界裡乞求天神保佑,一方面在數學世界裡和機率之神祈禱。兩個世界之間往返,你很容易看到許多有趣的現象,複雜的問題脫下外皮,被解構成一條條式子;全然不相關的幾件事,在數學世界裡都是一個模樣,這樣的視角媲美從《巡者系列》的幽界裡窺視人界 [註]。
班傑明教授在本書中提供了另一個角度,他直接讓我們探索「數學世界本身的趣味」,不需要來來回回,光是只有數字與幾何圖形的數學世界就夠我們玩得不亦樂乎,讚嘆連連了。請繼續想像,你在數學世界跟團旅行,來到著名景點歐拉公式,導遊難掩興奮之情地說:
「e、i、π、0、1,五個重要又看似毫無關係的數字,竟然被巧妙地整合在一起!」
覺得不夠神奇嗎?可能是符號帶來的隔閡,讓我們換成近似的數字--
〖(2.72)〗^(√(-1)×3.14)+1≈0
這樣或許更有感覺吧。無窮無盡的數字大海中找出來的兩個無理數字,搭配根號 -1 這個被國中小數學課本禁止的虛數,組合起來再 +1 竟然很趨近於0。這是數學世界的大峽谷,展現數學大自然的神功鬼斧。
讚嘆完大峽谷之美,我們都會想去告示牌或上網查查它的成因。理當來說你也會想了解歐拉公式背後的原因。導遊風趣地講解,不時穿插其他有趣的知識。你注意到他胸口的名牌:亞瑟.班傑明。
書名《數學魔術之道》把兩個我很喜歡的名詞放在一起。小時候我曾摸著牆壁,百思不得其解為什麼有人可以穿越比這道牆厚上好幾倍的萬里長城,把人身體切一半又復原。雖然當下沒聯想到,但多年後回想,這樣的困擾其實跟面對一道數學難題很相似:盯著一個奇形怪狀的幾何圖形,我覺得不可能算出它的面積,但同時我又清楚知道,下一頁翻過來就是印好的解答。
魔術是很精密的機制,能欺騙人類的直覺。數學同樣很精密,它的本意是補充人類的直覺(有些人可能會說「是為了打擊人的信心」,但我想那是「數學考試」,而不是「數學」本身),讓我們能精準地達成某些事情,簡化某些過程。了解到這點後,你會發現數學跟魔術之間有驚人的相似之處,換個角度,數學就能從惱人的題目變成有趣的魔術。國內也有幾位優秀的數學魔術師:吳如皓、莊惟棟、林壽福幾位老師,都擅長結合數學與魔術,有機會一定要看看他們的表演。班傑明教授更是箇中翹楚,他曾在 TED 上表演過幾個數學魔術,這回他將數學魔術的訣竅放在書裡。魔術很有趣,背後的原理更有價值。
比方說,有一兩個魔術是速算,比起掌握速算技巧,更重要的是了解「為什麼這些技巧有用」,進而思考「該怎麼設計這樣的技巧」。我和我的團隊老師常舉辦給國小學生的「數學實驗課」,裡面恰好也有介紹速算。我們讓小朋友比賽,一些人心算,一些人按計算機,看誰算得快。小朋友覺得很無聊,比賽彷彿不需要開始就知道勝負。
2+2+2+2+2
1+2+3+7+8+9
題目一打出來,心算的小朋友開心得不得了,一秒內就大喊出答案,按計算機的小朋友很鬱悶,他們也知道答案,偏偏被要求得按下每個數字、符號,怎麼都跟不上心算的速度。
一樣的數字相加,可以用乘法
找到和為 10 的兩組數字
這是深植在每個人心中的速算訣竅,或是用另一個詞來說——規律。比起一個個數字相加,運用題目裡數字的這兩個規律,就能大幅縮短計算時間。數學的本質是發掘規律,化繁為簡。班傑明教授舉了一個很精彩的例子,只要告訴他一個日期(年月日),他就能立刻回答你是星期幾。這只是我們題目的進階再進階版,背後的原理都是一樣,找出規律。
能洞察規律的人,便能得到他人無法得到的資訊,以更快的方式得到資訊,或是,成為一位數學魔術師。這才是數學的真正意義。
- 註:《巡者系列》是俄國經典魔幻小說,幽界是指超凡人才能進入的,與現實世界平行並存的空間。
本文摘自《數學大觀念:從數字到微積分,全面理解數學的 12 大觀念》,貓頭鷹出版。