希爾伯特旅館悖論（西元1925年）

2013/01/30 |

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希爾伯特（David Hilbert，西元1862年~西元1943年）

在某個有五百間客房的旅館中，每個房間都有旅客入住；在下午時分抵達旅館的你被告知已經沒有多餘的客房，正當你打算無助地離開時，希爾伯特旅館悖論（the paradox of Hilbert’s Grand Hotel）登場了。想像一下這間旅館有著無數間客房，同樣每一間也都住了旅客；儘管旅館已經客滿了，櫃台還是可以挪出一間客房給你。這怎麼可能呢？更奇妙的是，就算同一天有數不清的旅客為了參加研討會而下榻同一間旅館，櫃台同樣可以滿足所有人的要求安排房間，藉此機會海削一票！

德國數學家希爾伯特在西元1920年代提出這個悖論，藉以描述無限這個概念不可思議的特質。讓我們來看看你究竟是如何住進希爾伯特的大旅館。當你隻身一人抵達客滿的旅館時，櫃台將原本住在一號房的客人挪到二號房、把原本住在二號房的客人挪到三號房⋯⋯以此類推，所以現在一號房就成為你的專屬客房了。而為了安排陸續抵達且無法盡數的旅客，櫃台就把已經入住的旅客通通移到偶數號的房間（原一號房改成二號房，原二號房成四號房，原三號房改成六號房⋯⋯），再把這些晚到的旅客通通安排進所有空出來的奇數號碼房。

康托爾的超限數（Cantor’s Transfinite number）理論可以用來解釋希爾伯特旅館悖論，亦即儘管在一間正常的旅館中，奇數號碼的房間數一定小於旅館的全部客房數，但是在一間有著無數客房的旅館中，奇數房的「數量」可不見得小於旅館全部客房的「數量」（數學家使用「基數」這個詞彙比較這些以無限客房為元素所組成的集合大小）。

摘自《數學之書》，由時報出版。