0

0
0

文字

分享

0
0
0

希爾伯特旅館悖論(西元1925年)

時報出版_96
・2013/01/30 ・677字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 490 ・五年級

國小高年級科普文,素養閱讀就從今天就開始!!

希爾伯特(David Hilbert,西元1862年~西元1943年)

在某個有五百間客房的旅館中,每個房間都有旅客入住;在下午時分抵達旅館的你被告知已經沒有多餘的客房,正當你打算無助地離開時,希爾伯特旅館悖論(the paradox of Hilbert’s Grand Hotel)登場了。想像一下這間旅館有著無數間客房,同樣每一間也都住了旅客;儘管旅館已經客滿了,櫃台還是可以挪出一間客房給你。這怎麼可能呢?更奇妙的是,就算同一天有數不清的旅客為了參加研討會而下榻同一間旅館,櫃台同樣可以滿足所有人的要求安排房間,藉此機會海削一票!

德國數學家希爾伯特在西元1920年代提出這個悖論,藉以描述無限這個概念不可思議的特質。讓我們來看看你究竟是如何住進希爾伯特的大旅館。當你隻身一人抵達客滿的旅館時,櫃台將原本住在一號房的客人挪到二號房、把原本住在二號房的客人挪到三號房⋯⋯以此類推,所以現在一號房就成為你的專屬客房了。而為了安排陸續抵達且無法盡數的旅客,櫃台就把已經入住的旅客通通移到偶數號的房間(原一號房改成二號房,原二號房成四號房,原三號房改成六號房⋯⋯),再把這些晚到的旅客通通安排進所有空出來的奇數號碼房。

康托爾的超限數(Cantor’s Transfinite number)理論可以用來解釋希爾伯特旅館悖論,亦即儘管在一間正常的旅館中,奇數號碼的房間數一定小於旅館的全部客房數,但是在一間有著無數客房的旅館中,奇數房的「數量」可不見得小於旅館全部客房的「數量」(數學家使用「基數」這個詞彙比較這些以無限客房為元素所組成的集合大小)。

摘自《數學之書》,由時報出版

文章難易度
時報出版_96
148 篇文章 ・ 27 位粉絲
出版品包括文學、人文社科、商業、生活、科普、漫畫、趨勢、心理勵志等,活躍於書市中,累積出版品五千多種,獲得國內外專家讀者、各種獎項的肯定,打造出無數的暢銷傳奇及和重量級作者,在台灣引爆一波波的閱讀議題及風潮。

0

1
0

文字

分享

0
1
0
邏輯駭客!霍金成功寄出穿越時空的邀請函,為何沒人赴約?
劉馨香_96
・2019/01/08 ・1540字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 528 ・七年級

史蒂芬·霍金 (Stephen Hawking) 是全球知名的理論物理學家、宇宙學家,在近代物理學上做出許多重大貢獻。

他曾預測黑洞會發出輻射(現稱霍金輻射)、提出了結合廣義相對論和量子力學的宇宙論等等,其講述宇宙、空間與時間本質的科普著作《時間簡史》更是暢銷多年。

縱使身體因為漸凍症而愈來愈不方便,霍金的內心仍是自由奔放的,大膽思索著宇宙奧秘、翱翔於無盡空間。

史蒂芬·霍金 (Stephen Hawking) 是全球知名的理論物理學家、宇宙學家。
圖/wikipedia

霍金舉辦派對竟無一人赴約?

對於時間旅行概念感到癡迷的他,有一回為了驗證時間旅行的可能性,更是決定直接邀請時間旅行者來場特別的約會,事先做好一切準備,就等著時間旅者上門。

霍金仔細地寫好:「誠摯地邀請您參加時空旅行者派對」的戰帖邀請函,除了基本的時間、地點資訊,甚至連準確的經緯度都一併附上,就是要讓時空旅者沒有迷路的藉口。

然而,要怎麼把邀請函送到時間旅行者手上呢?答案其實很簡單:不要送就對了!

這封邀請函,霍金按著不表,打算等派對結束後直接昭告天下、讓它流傳百世,如此一來就不會有現在的人跑來湊熱鬧,未來的人們也都能看到了。

2009 年 6 月 28 日中午 12 點,原定的派對時間到了。霍金在劍橋大學的岡維爾與凱斯學院舉辦盛大派對,桌上擺滿了美食和一杯杯斟好的香檳,柱子也綁上一簇簇的紅、白、藍色氣球,看起來歡樂又溫馨。然而,時間滴答滴答過去了,等了又等、等了又等,最後卻一個人都沒有來。

霍金心裡苦,霍金不說。圖/泛科動畫截圖

就這樣,派對結束了,只是從頭到尾都只有霍金一人。(年度最邊緣蓋章認證)看來,未來人即便看到了邀請函,也沒有能力穿越時空來參加派對呀!(絕對不是不喜歡霍金)

時空旅行沒有想像中容易!時空旅行的悖論

其實,霍金對時空旅行已經有一套看法了。他認為我們頂多前往未來,但不可能回到過去

自從愛因斯坦提出相對論,我們知道了物質的質量愈大或速度愈快,時間流動的速度就會愈慢。所以只要將太空船靠近一個超大質量黑洞,或者以接近光速的速度來旅行,那麼船上的人可能才過了一年,地球上的人們卻已經過了十年,這時太空船再回到地球,相當於他們前往了十年後的未來。

至於要回到過去,科幻作家最喜歡使用「蟲洞」假說,指的是將兩個不同地點之間連結起來的時空隧道,然而蟲洞比分子、原子還細小,即使真的掌握到一個蟲洞,也不可能讓你全身穿過,還得放大個數億倍並保持蟲洞的穩定才行,實在難以執行。

許多科幻作家喜歡使用「蟲洞」假說作為時空旅行的實現方法。圖/flickr

然而,回到過去最關鍵的問題在於:會產生悖論。

最簡單的例子就是:你回到了過去殺了你自己,那麼你在被殺當下就死了,又是誰穿越時空殺了你呢?這樣因果錯亂、邏輯不通的情況,宇宙會陷入混亂啊啊啊!

此外,一旦蟲洞擴張,就可以讓輻射進入,引發「回授」現象,也就是來自未來時空的輻射通過蟲洞增加了過去時空的輻射,到了未來就又有更多輻射通過蟲洞增加過去的輻射,如此循環往復、正向回饋,蟲洞就爆掉啦!碰!

霍金雖然也想要回到過去看看瑪麗蓮夢露、拜訪伽利略,然而經過科學性的思考便知道這是不可能的。唉,這麼可惜的事情不能只有我知道,辦個時空旅行派對讓大家一起認清現實吧(邪笑)。

想知道各種神祕的時空悖論是怎麼回事?快來看看這部影片吧:

參考資料:

劉馨香_96
5 篇文章 ・ 0 位粉絲
生科系畢業,喜歡腦、神經與心智。

0

4
0

文字

分享

0
4
0
顛覆世界的「電腦」是怎麼誕生的呢?
寫點科普,請給指教
・2017/05/18 ・5537字 ・閱讀時間約 11 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

二十世紀是人類史上科學技術進展最快的世紀。短短的 100 年間,湧現了大量對世界產生重大的影響的科學發現和技術突破,包括電視、飛機、抗生素、基因科學、量子力學……。

但若要評選一項滲透至人們日常生活的所有角落、改變人類生活型態最劇烈的科技發明,則非電腦莫屬。

第一次工業革命是機械與工廠、第二次工業革命是電力、第三次工業革命乃由電腦發明所激起的資訊時代。有著「第四次工業革命」之稱的人工智慧,我們已在深度學習簡史中有所探討。但追本究源,人工智慧所奠基的電腦(計算機)科學,又是怎麼來的?

今天就讓我們來思考一個有趣的問題:電腦是怎麼來的?

ENIAC:情人節誕生的奇蹟

普遍認為最早的通用電腦,是美國賓州大學的莫奇來 (Mauchly)和他的學生埃克特 (Eckert)在 1946 年 2 月 14 日情人節當天所發表的「ENIAC」 。(情人節剛過不久但別再討論單身魯了,人家可是在情人節顛覆世界呢 XD)

ENIAC 計算機在進行每一次運算之前,都須根據運算要求、把不同的元件用人工插接線路的方式連接在一起。將輸入裝置和輸出裝置設好後,才進行通電……啪!一聲,電腦噠噠噠的開始運作。

但現在可能正用電腦看這篇文章的你,好像不需要在開機前把電線插來插去才能使用?

因為這個電路沒有儲存程式的功能。最早的計算機器僅內涵固定用途的程式,比如一台「計算機器」僅有固定的數學計算程式,除此之外便無其他,無論是文書處理或玩遊戲都不行。若想要改變這台機器的程式,你必須更改線路、結構甚至重新設計機器。

馮.紐曼結構與現代電腦

1945 年 6 月,是現代電腦科學的里程碑。著名的美籍猶太裔數學家馮.紐曼 (John von Neumann) 與多位學者聯名發表了一篇長達 101 頁的報告,其中包括大膽捨棄了十進制、改以二進制運算取代,同時將電腦明確分成五個部分組成(包括:記憶體、控制單元、算術邏輯單元、輸入 / 輸出裝置等),並描述了這五個部分的功能和相互關係,為電腦的邏輯結構設計奠定了基礎。

事實上,EDVAC 報告中最核心的概念即是「可儲存程式的電腦 (Stored Program Computer) 」。如果是一台能儲存程式的電腦,只要一開始先將「文書程式」與「遊戲程式」都載入記憶體中,再告訴電腦去記憶體的哪一個位置開始執行就可以完成,在不需更動硬體的情況下就能讓電腦變得更加有彈性。

1951 年,美國軍方透過馮.紐曼的協助,斥資五十萬美元打造了計算機「EDVAC」。相較於十進位、又須人工插接電路的 ENIAC,可以說 EDVAC 是第一台現代意義的通用計算機,直至今的現代電腦皆仍採用馮.紐曼架構。

在我們介紹馮.紐曼其人其事、與現代電腦的運作原理前,先讓我們重看一次標題所提出的問題:「電腦是怎麼來的?」為什麼馮.紐曼能夠造出這樣的一台電腦?

不少人把馮.紐曼當作是電腦科學的奠基人,有人甚至稱他為「電腦之父」。然而他本人並不接受這個稱號。

馮.紐曼認為他的研究成果是受到了英國數學家圖靈 (Alan Turing) 所啟發,他僅僅是發揚光大圖靈的原始概念。這台「可儲存程式電腦」真正的意義,其實就是通用圖靈機。馮.紐曼將這個概念的創始人公正無私地還予圖靈。

圖靈:可計算理論與圖靈機

好吧這麼來看,如果我們想要瞭解「電腦是怎麼來的?」,勢必得再先去瞭解圖靈這位同樣有著「電腦科學之父」與「人工智慧之父」之稱的偉大學者,與其圖靈機 (Turing Machine) 的理論了。

1934 年,年僅 22 歲的圖靈從劍橋大學畢業、到美國普林斯頓大學攻讀博士學位。二戰爆發後,圖靈在 1939 年被英國皇家海軍招聘,協助軍方成功破譯德國的密碼系統 Enigma,讓英國軍方對德國的軍事計劃瞭如指掌。圖靈小組的傑出工作,更使得盟軍提前至少兩年戰勝納粹。

--上述是電影《模仿遊戲》的史料。對於圖靈生平有興趣的讀者,可以參考這部向圖靈致敬的電影。 (只是嚴防許多出錯的史實)

除了作為一位傑出的密碼學家,在電影沒詳述的部分中,圖靈在電腦科學上的貢獻更是難以抹滅。

1936 年,24 歲的圖靈發表了一篇論文《論可計算數及其在判定問題上的應用》(On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem)。在這篇極富開創性的論文中,圖靈提出了「圖靈機」(Turing Machine) 概念。

「圖靈機」不是一台具體的機器,而是一種運算模型,可製造一種十分簡單但運算能力極強的機械裝置,用來計算所有能想像得到的可計算函數。

圖靈機是闡明現代電腦原理的開山之作,奠定了整個電腦科學的理論基礎。如果說馮紐曼是實際打造出一台現代電腦的電腦之父,其所依據的理論基礎即源自於圖靈機。

但,什麼叫可計算?為什麼圖靈會探討這個問題?實際上,上述關於圖靈論文與圖靈機的介紹,更明確的說法應是:圖靈在 1936 年發布的論文中,對於「哥德爾不完備定理」重新做了論述。相較於哥德爾在證明其不完備定理時、採用的通用算術形式系統,圖靈使用了叫做「圖靈機」的簡單裝置作為代替。

咦,我們這邊又多提到一個人了?!哥德爾……?

哥德爾不完備定理

哥德爾 (Gödel) 被譽為自亞里士多德以來、歷史上最偉大的邏輯學家之一。毫不誇張地說,正是哥德爾使數理邏輯與哲學界發生了極大的革命。

愛因斯坦曾說:我之所以還到研究院來,只是為了與哥德爾一起走路回家。

1931 年,19 歲的圖靈進入劍橋大學就讀;但這一年,同時成了撼動數學界的里程碑——奧地利數學家哥德爾提出不完備定理,證明不存在既完備又一致的數學體系,粉碎了無數位數學家追求聖杯的野心。

人類總是渴求著確定的知識,也稱為真理——藉由純數理論與邏輯證明,數學家不斷尋找著真理的可確定性。

哥德爾當年的發現,簡單來說是:「並非所有為真者,皆可循一邏輯演繹過程而得知」。再更直白點就是:「真理的範圍、比我們所能證明的範圍還大。」

數學家乃藉由公理(不證自明、理所當然為真的命題)進行一連串的推理、最後得出數學定理;基本上是活在一個以邏輯演繹為本質的世界。今天突然有人成功證明了:有些數學命題,我們既沒辦法證明它為真,也沒辦法證明它為假……,可想而知,這對於數學界無非是一項沈重的打擊!

五年後的圖靈之所以提出「圖靈機」計算模型,即是以計算機的形式重新演繹了哥德爾的不完備定理,同時補充了判定問題--是否存在一個程式,能判斷:我們任意輸入的一個程式,是否能在有限的時間內結束步驟?或者會陷入無窮迴圈?(當我們對電腦下兩個指令:【往左後往右】與【往右後往左】,電腦就會陷入無窮的迴圈)

哥德爾的發現,引起了當時重要數學家如希爾伯特與馮.紐曼(還記得這個人嗎? 這位計算機之父早年是希爾伯特的助手)等人的重視。到後來不但啟發了後續眾多數學家、哲學家:若無法使用邏輯演繹完全瞭解宇宙,該何以為繼?更激起圖靈創造出了電腦科學在理論上的濫觴。

但是,為什麼哥德爾會探討這樣的問題呢?因為有人下了戰帖!

誰?就是上上句我們提到的大數學家希爾伯特!

希爾伯特的 23 個問題

希爾伯特 (David Hilbert) 是二十世紀初期德國最偉大的數學家之一。

在世紀之交的 1900 年、一場巴黎國際數學家大會的演講當中,希爾伯特根據 19 世紀的研究成果和發展趨勢,以卓越的洞察力提出了 23 個當時尚未被解開的困難數學問題,並鼓舞年輕數學家積極攻克:

「在我們中間,常常聽到這樣的呼聲:這裡有一個數學問題,去找出它的答案!你能通過純思維找到它,因為在數學中沒有不可知。」(希爾伯特大大按曰:只要解出來就能名留青史噢!)

這就是著名的希爾伯特的 23 個問題。

希爾伯特的 23 個問題對 20 世紀的數學研究起了積極的作用,不但超乎希爾伯特的預期,更未曾預料到從其中衍生而出的電腦科學、將會對世界產生無比重大的影響。

而哥德爾之所以提出不完備定理,想解答的正是這 23 個問題中的第二個問題:算術公理系統的無矛盾性。簡單來說,希爾伯特希望能以一個完美的形式系統,成功證明所有的真理、同時找出所有矛盾的陳述。

在這個問題上,希爾伯特原先堅定地表示:「沒有人能將我們逐出康托爾的樂園。」不僅僅是第二個問題,希爾伯特在 23 個問題中所提出(顯然最在意)的第一個問題連續統假設,也是康托爾的研究中所面臨問題。

康托爾……?請放心,這會是本篇文章中所出現的最後一位人名了。

無限多的危機:康托爾集合論

到目前為止,我們已經使用了許多強烈的形容詞,包括:電腦科學之父、偉大的邏輯學家、數學家……。但在這些學者的研究基礎上,我們不能不提現代數學的奠基者——集合論之父康托爾 (Cantor) 。

令集合 A = {1, 2, 3, 4, 5 },B = {1, 3, 5, 7, 9}
則 1, 3, 5 同時為集合 A 和 B 的元素,且 A 集合和 B 集合的大小相等。

康托爾可以說是數學史上最富有想像力的數學家之一,其所開創的集合論則可以說是人類最偉大發明之一--當年康托爾面臨的,正是數學界幾百年幾千年的疑懼:「無限」。

1-1+1-1+1… = 0, 1 還是 1/2? 0.99999….. = 1?還是 <1?

無限有多大?正整數、整數 (正整數 / 負整數 / 0)、實數(有理數 / 無理數) ……等數系的數量相同嗎?

Z+: ∞ (正整數有無限多個), Z-: ∞ (負整數有無限多個), Z: ∞ (整數有無限多個)。
因此: ∞ = 2∞+1 (所有整數個數 = 正整數個數+負整數個數 + 一個 0), 移項得: -∞ = 1,
故: ∞ = -1 …?!

為了處理「無限」這個長久得不到解決的難題,康托爾在 19 世紀下半葉創立了「集合」理論,證明了各個數系雖然是都是無限多,還是有數量上的差別:

| 正整數 | = | 整數 | = | 有理數 | < | 無理數 | = | 實數 | = | 複數 |

無限多的正整數數量 = 無限多的整數數量 = 無限多的有理數數量 < 無限多的無理數數量 = 無限多的實數數量 = 無限多的複數數量

然而集合論實在太過創新、對於無限的解釋也背離了傳統,剛開始時康托爾受到了嚴厲的譴責與撻伐。

但隨後,許多年輕的數學家開始意識到集合論非常的有用--基於自然數 (正整數)與集合論,當時一切的數學成果都可以成功被推證出來。

1900 年在國際數學家大會上,法國數學家龐加萊興高采烈地宣稱:「藉助集合論,我們可以建造起整個數學大廈。」1925 年,希爾伯特也提出了「希爾伯特旅館悖論」來應和康托爾的理論。

然而康托爾集合論仍然面臨了許多問題。首先是連續統假設--我們已知:

| 正整數 | = | 整數 | = | 有理數 | < | 無理數 | = | 實數 | = | 複數 |
那麼還有沒有一個數系,介於此二者間呢?

始終證明不出問題、又受到世人無數攻訐的康托爾,晚年發了瘋、死在精神病院中。

但除此之外,集合論還有一個問題是羅素悖論:「這句話是假的。」讀者只要稍加推論就會發現:如果這句話是真的,那麼這句話是假的會成立……?!如果這句話是假的,那這句話就是真的……?! 這個命題就矛盾了。

羅素悖論應用在集合論的問題即是:如果我們創造一個集合 A,裡面收集了所有不包含在自己這個集合的集合:A = {x|x∉x}。若是 A∈A 成立,則 A 是 A 的集合、使得 A∉A。但若 A∉A,則符合命題,使得 A∈A。

好不容易我們在集合論的基礎上構築起了數學大廈,結果發現集合論也是不完美的。究竟能不能找到一個完備的系統,從上面建築起整個數學的基礎呢?

這樣的系統是否存在呢?希爾伯特除了在 23 個問題中的第一個問題提出「連續統假設」,身為康托爾堅定的擁護者(腦粉),也在第二個問題中提了這樣的難題。

這也接續到我們先前的介紹:再後來哥德爾成功證明了不完備定理、解決了 23 個問題中的第二個問題,到圖靈用「圖靈機」的概念更加簡單明瞭的重新演繹一次哥德爾不完備定理,最後馮.紐曼基於通用圖靈機的概念、建出了第一台具備現代電腦架構雛形的電腦。

哇!「電腦是怎麼來的」居然爬梳出這麼多的問題?

哲學:不懈探究真理的精神

若要探究下去,你知道:康托爾、希爾伯特、哥德爾、馮.紐曼…等人都是德國人嗎(哥德爾和馮.紐曼皆為奧匈帝國人)?19 世紀的德國究竟是一個什麼樣的時代,造就了如此多的數學大家?

事實上,你知道這些數學家同時還有著哲學家的頭銜嗎?更進一步來說,19 世紀知名德國哲學家,尚包括了:黑格爾、叔本華、馬克思、尼采、康德… 毫無疑問地,當時的德國可說是歐洲最具代表性的哲學重鎮。

哲學反映了人類對真理的追求,體現人類的智能與認知極限。因而數學的發展不只是解一些生活問題,而成為一種學問、一種探求真理的道路與哲學手段。

哲學在西方文化中扮演了非常重要的角色,也是現代科學會出現在歐洲的重要原因。至於西方哲學追求真理的精神,又是起源於何時何處呢?這又要回溯到希臘時期,比如亞里斯多德的三段式證法或畢達哥拉斯學派……。

觀察過往,出現像上述「無限有多大」這樣的數學危機,在人類史上也不是第一次發生了:負數的英文為--Negative Number、無理數--Irrational Number、虛數--Imaginary Number。否定的 (Negative)、不合理的 (Irrational)、想像的 (Imaginary)……。

從這些詞彙中可以看出在探究真理的過程中,人類總是不斷遭遇思想上的困難,卻又能在突破後、成功踏上嶄新的道路。 今天我們思考了一個問題:「電腦是怎麼來的?」,並從中衍生出了更多值得探索的問題:

.數學是邏輯、也是哲學?
.歷史上其他的數學危機有哪些、又是如何被解決的?
.希臘亞里斯多德時代至一戰前的德國,哲學是如何百花齊放?
.無限有多大?
.悲劇性的數學家康托爾為什麼偉大?
.希爾伯特的 23 個問題?
.我們能造出一台判別真理的機器嗎?
.哥德爾不完備定理是什麼?圖靈機呢?
.計算機的電路是怎麼計算和記憶的?

沒有了探求宇宙真理的精神,或許工業革命就不會出現在歐洲了? 人類也不會有科技發展、或者今日的生活。

少年啊,你渴望真理嗎?

後續幾篇,我們會繼續用深入淺出的方式一一來討論這些問題,歡迎一起加入這樣的思考訓練吧!


本文轉載自寫點科普,請給指教。 《電腦是怎麼來的?(思考訓練)》,歡迎贊助和訂閱Lynn的網站喔。

寫點科普,請給指教
2 篇文章 ・ 3 位粉絲
我是Lynn,【寫點科普,請給指教】是一個針對各產業現況進行科普的寫作計畫, 期望能用淺顯易懂的文字,讓讀者瞭解各產業領域的運行規則,以培養思考與觀察力的敏銳。

0

0
0

文字

分享

0
0
0
愛因斯坦與廣義相對論的誕生--《科學月刊》
科學月刊_96
・2015/11/02 ・5262字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 559 ・八年級

作者:
聶斯特/中央大學物理系與天文所退休教授
陳江梅/中央大學物理系教授

一世紀前,偉大的物理學家愛因斯坦(Albert Einstein, 1879~1955)完成了廣義相對論,透過時空的彎曲來描述重力交互作用,這個理論毫無疑問的是物理學中最激動人心的智慧結晶。愛因斯坦在物理學上做出了許多劃時代的貢獻,例如在1905 年,年輕的他就獨立地完成了許多開創性的成果,其中有關光電效應的論文,是開啟量子物理大門的關鍵性工作,他也因此獲得1921 年諾貝爾物理獎的桂冠。然而,對一般大眾來說,愛因斯坦最著名的研究成果就是相對論,他在1905 年完成了狹義相對論,討論等速運動系統的物理特性,其中光速不變性的假設所推論出來的「時間膨脹」、「長度收縮」等奇特效應,是理論物理中令人非常著迷的現象。十年之後,愛因斯坦更將其理論推廣至加速的系統,建構出描述重力作用的廣義相對論。

學生時期的愛因斯坦

愛因斯坦在大學時期是一個相當古怪的學生,常常翹課,成績也並不突出,最後勉強達到畢業門檻,而他大部分的時間致力於獨立研究物理學中最前沿的問題。至於考試,愛因斯坦則依賴於他的同學格羅斯曼(Marcel Grossmann, 1878~1936)所做的筆記。因為愛因斯坦經常缺課,再加上似乎不夠尊重師長的態度,使得他在授課老師心中留下不良的印象。他的物理學教授韋伯(Heinrich Friedrich Weber, 1843~1912) 曾經責備他說:「你是一個很聰明的孩子,愛因斯坦,非常聰明的孩子,但是你有一個很大的缺點,就是永遠聽不進去別人對你說的任何事情。」他的數學教授閔可夫斯基(Hermann Minkowski, 1864~1909)則曾經稱他為「懶狗」。許多年後,當被問到關於愛因斯坦發表的狹義相對論時,閔可夫斯基的評論是「我真的不敢相信他能夠做到。」

SuvEinsten
愛因斯坦所就讀的蘇黎世聯邦理工學院。 Source: Shepard4711

廣義相對論的基礎

廣義相對論所討論的,是自然界中的重力,也稱為萬有引力,是人類最熟知的作用力。牛頓(Isaac Newton, 1642~1727)首先理解到,萬有引力不單單只是造成地球上萬物會向下掉落的原因,也是天體中星球運行的作用力來源。他寫下了質量如何產生重力的萬有引力公式,再加上他所提出的物體運動必須服從的三大運動定律,構成了牛頓力學的體系,主導我們對物理的認知達數百年。直到愛因斯坦發表相對論後,物理世界才又往前跨出了重要的一步。

廣義相對論的理論基礎,起源於一個稱為「等效原理」的基本概念——當一個人在自由墜落的時候,他感受不到自己的重量。自由墜落是一個加速的運動狀態,而物體的重量則是重力作用的結果,因此,等效原理說明了這兩個物理現象間有一定的關聯性。這個想法給愛因斯坦很深的啟發,引導他建立了一個革命性重力理論的方向。根據愛因斯坦的說法,等效原理的靈感出現在1907 年,是他一輩子中感到最快樂的想法。

根據狹義相對論,物理學家已經理解到在牛頓力學體系中的一維時間和三維空間不再是各自獨立的,勞侖茲(Hendrik Lorentz, 1853~1928)給出了兩個相對等速運動的觀測者間,他們測量到的時間和長度的轉換關係,也就是說,時間和空間必須被看成一體,形成一個稱為「時空」的概念。

一個完整的重力理論包含兩個部分:第一,需要知道物質如何產生重力場,在牛頓的理論就是萬有引力方程式;第二,重力場是如何作用在物體上,因而改變物體的運動狀態,在牛頓的理論中就是第二運動定律。在廣義相對論彎曲時空的架構下,重力如何作用在物體的部分相對上較容易理解,即物體在彎曲時空中走最短路徑,而最短路徑在數學上可由測地線方程式算出。因此,廣義相對論的建構中最核心的問題,就是推導出物質如何彎曲時空的重力場方程式。

1927
1927 年10 月所召開的第五次索爾維會議,主題為「電子與光子」,並齊聚了當時最頂尖的物理學家,包括正中間的愛因斯坦、居里夫人(第一排左三)、勞侖茲(第一排左四)、包立(Wolfgang Pauli,第三排右四)與海森堡(Werner Heisenberg,第三排右三)等人。 Source: I Harsten

困擾愛因斯坦的難題

儘管愛因斯坦對於建立新的重力理論的物理直覺是清晰而深刻,但是要將他的想法具體的實踐出來,需要一個全新的數學架構。討論彎曲時空結構的數學工具「微分幾何」,便成了廣義相對論所需要的數學平台。但是很不幸的,愛因斯坦一開始並不十分熟悉微分幾何,以致於遲遲無法建構出具有一致性的理論。他再次向格羅斯曼尋求幫助,他拜託老同學說:「格羅斯曼,你一定要幫幫我,否則我會瘋了。」

愛因斯坦開始和格羅斯曼合作,埋首於廣義相對論的建構,經過了一段時間的努力之後,愛因斯坦和格羅斯曼終於在1913年發表了著名的「綱要(Entwurf)」論文,這篇論文分為物理與數學兩部分,分別由愛因斯坦和格羅斯曼撰寫。然而,他們兩人在這篇論文中都犯下了錯誤,而這些錯誤全是起源於對彎曲時空的數學沒有能夠全盤掌握。這個新的數學領域,雖然大數學家黎曼(Bernhard Riemann, 1826~1866)早在1854 年就曾發表他在彎曲空間幾何的研究成果,但對愛因斯坦和格羅斯曼這樣的新手來說,他們只能透過可獲得的文獻,對彎曲空間的數學工具有粗略的理解,但是,他們尚未完全了解彎曲時空的數學公式之真正意涵和在他們新的重力理論當中所扮演的角色。

廣義相對論的誕生

廣義相對論的誕生,也就是推導出正確的重力場方程式的日子,發生在1915年的11 月,那一個月份,愛因斯坦在4 日、11 日、18 日和25 日分別發表了有關廣義相對論的論文,從考慮比較簡單的特殊系統再推廣到一般情形,逐步改進結果,而正確的重力場方程式則是出現在25 日的論文之中。

大數學家希爾伯特(David Hilbert,1862~1943)有關重力場方程式的論文也是在這個時間點完成,所以一直都有到底是誰先得到重力場方程式的爭論。愛因斯坦首次提出正確的重力場方程是在1915 年11 月25 日,但就在5 天之前,希爾伯特在德國哥廷根大學的一個報告中介紹了他對廣義相對論的研究成果。希爾伯特的研究主要目的是考慮重力與電磁力的整合模型,他從作用量出發,利用變分原理,進而分析理論的數學性質。

helbert
大數學家希爾伯特。 Source: Open Logic

誰先發現重力場方程式?

愛因斯坦和希爾伯特論文發表的時間十分接近,導致了誰先孰後的爭議:發現重力場方程式應歸功於愛因斯坦還是希爾伯特?有些物理學家和科學史家認為希爾伯特首先發現重力場方程式,而愛因斯坦則是在幾天之後獨立地發現了它。

希爾伯特參與廣義相對論的研究起始於1915 年6 月,那年夏天,愛因斯坦訪問了哥廷根大學,並發表了一系列演講介紹他的重力理論。他和希爾伯特對理論中的問題進行深入的討論。在接下來的幾個月,希爾伯特深入研究關於愛因斯坦的理論,他很快就找到了一個優雅的數學處理方法。他寫信告訴愛因斯坦他的研究成果,而愛因斯坦則要了希爾伯特的筆記與計算的副本。

goben
哥廷根大學一景(1961 年攝)。 Source: Roger W

從愛因斯坦的回信來看,他顯然在11 月18 日前收到了這些筆記副本。但是,沒有證據可以判斷希爾伯特給愛因斯坦的筆記中是否已有愛因斯坦方程式,如果有,那麼愛因斯坦就是在自己提出這個方程式前就已經知道結果。另一種說法是,明確的重力場方程式事實上並沒有出現在希爾伯特給愛因斯坦的筆記副本裡,甚至也沒有在他11 月20日的報告中,希爾伯特是在稍後的論文校對過程時,才將愛因斯坦方程式加入到他的論文當中。

這個兩種看法在1997 年哥廷根大學的圖書館公布了有關希爾伯特在12 月6 日所做的論文校對相關文件後,更添加神祕色彩。希爾伯特的校對版論文內容和最後正式發表的版本是有些不同,最特別的是,在校對版文件中可能是包含愛因斯坦方程式的半頁手稿被人撕走了。這種狀況使得真相更加撲朔迷離,陰謀論的說法層出不窮:難道是愛因斯坦的支持者摧毀證明方程式存在的證據?抑或是希爾伯特的支持者想要掩蓋方程式不存在的事實?

無論真相為何,愛因斯坦和希爾伯特對廣義相對論的建立,都扮演著極其關鍵的角色,愛因斯坦的物理圖像清晰,動機明確,雖然所需的數學基礎和一些疑惑困擾了他許多年,但終究達到目的。希爾伯特經由愛因斯坦的介紹開始重力的研究,他的數學知識雄厚,利用作用量和變分的方法,為重力場方程式的推導開闢出一個在數學上非常簡潔的方法。他們倆人之間在1915 年的相互交流與討論,肯定對彼此的研究產生正面的影響。誰先推導出重力場方程的爭議,一開始在兩人的內心,也確實曾經激起短暫時期的不愉快情緒。然而,在他們往後的頻繁交流過程中,幾乎看不出這爭議對他們的友好關係產生任何嫌隙,或許他們終究認為,這件事並不是個值得浪費時間和友誼的議題。

光路徑偏折

歷史上,牛頓最先提出光線受重力的影響,它所行進的路徑會產生偏折的可能性,在此之後,許多物理學家也都曾經做過光線路徑偏折的具體計算。回到1911 年,愛因斯坦在尚未建構出完整的廣義相對論之前,就曾經基於等效原理和他早先的理論版本,預言光線在經過太陽時會受到它的重力作用影響,而產生0.87 秒角的偏折。

對於光線經過太陽會產生偏折的觀測,在廣義相對論誕生前就已經在嘗試進行。觀測的對象是恆星所發出的光線,因為太陽光太強烈,所以可行的觀測只能在日蝕發生時進行。在1914 年7 月底,德國天文學家弗洛因德里希(Erwin Finlay-Freundlich, 1885~1964)與兩位同伴總共攜帶三組相機前去克里米亞,為將發生在8 月21 日的日蝕觀測做準備。很不幸地,德國在8 月1 日的正式宣戰開啟了第一次世界大戰,俄羅斯也出兵參與戰爭。因此,俄羅斯政府拘留了弗洛因德里希,並且沒收了他的設備,也使得這次的觀測計畫被迫中止。愛因斯坦曾經抱怨說:「決定我的科研奮鬥中最重要的結果,將不會在我的有生之年看到。」事實上,當時另一組美國的觀測隊伍並沒有受到發生戰爭的影響,可惜日蝕當天的天氣並不好,是一個不適合拍攝的陰天,因此美國隊伍的觀測過程也並不順利。

幸運的愛因斯坦

這次觀測的延遲對於愛因斯坦來說應該是一個幸運事件,因為直到1914 年,他對光線路徑偏折的計算並沒有考慮到空間彎曲所造成的效應,預測值為0.87 秒角,而這個預測值是不正確的。一年之後,愛因斯坦理解到空間彎曲的部分和時間彎曲的效應是一樣大,他修正預測值增加到1.74 秒角,是原始結果的兩倍大,而這才是正確的數值。如果在1914 年8 月弗洛因德里希成功地完成了對光線彎曲的測量,那麼他的觀測結果就會不符合愛因斯坦所做的預言,那麼愛因斯坦將會發現自己處在一個相當尷尬的位置上。

對於支持廣義相對論最關鍵的觀測結果,是英國天文物理學家愛丁頓(Arthur Stanley Eddington, 1882~1944)所領導的團隊在1919 年完成的。愛丁頓是廣義相對論在英國首要的支持者,他曾用英語寫了許多文章來介紹並推展廣義相對論。和愛因斯坦一樣,愛丁頓在當時是少數和平主義的熱衷支持者。第一次世界大戰期間,英國實行了徵兵政策,而愛丁頓寧可被判刑也不願意入伍服役參與戰爭,經過了一番的努力,他以日蝕觀測在科學研究的重要性,成功地說服仲裁庭給予他一年的免除兵役豁免權,讓他可以領導1919 年的日蝕觀測團隊。幸運地,這場戰爭在愛丁頓豁免時效過期前的1918 年底就結束了。

eitindon
英國天文物理學家愛丁頓。 Source: Smithsonian Institution

在戰爭結束後的1919 年, 共有兩個團隊對當年5 月29 日發生的日蝕進行觀測,格林威治天文臺的克羅梅林(Andrew Crommelin, 1865~1939)所帶領的觀測團隊到巴西,而愛丁頓則領隊到非洲。這次的觀測進行得很順利,而觀測資料分析的結果符合了愛因斯坦廣義相對論的預測。

觀測的結果於1919 年11 月6 日在英國皇家哲學學會和皇家天文學會的倫敦聯合會議上向全世界公佈,天文學家戴森(Frank Watson Dyson, 1868~1939)總結說:「經過仔細研究拍攝的底片,我正式宣布,結果證實了愛因斯坦的預言。一個非常明確的結果顯示了光線的偏折,符合愛因斯坦重力理論的推論。」就在第一次世界大戰結束一周年的前夕,德國科學家愛因斯坦延續了英國科學家牛頓的光環,正式地將萬有引力理論推廣至廣義相對論。這消息也迅速地傳播到世界的每個角落,各地的報紙,都大肆報導這個科學史上劃時代的里程碑,而愛因斯坦也因此迅速地提升至世界名人的地位。

suneat
愛丁頓於1919 年所拍攝之日蝕照片。(Public Domain)

廣義相對論已經誕生一世紀,從它延伸出的許多有趣課題,例如黑洞、宇宙學、重力波、重力透鏡等,幫助我們更深入地理解自然界的奧祕。然而,直到現在,還有許多尚未解決的問題,期待有更多的愛因斯坦來尋找答案。無論如何,就像音樂和美術一樣,能一窺自然界運行的「美」,無疑是一個激動人心的感受。

1234〈本文選自《科學月刊》2015年8月號〉

延伸閱讀:
來自深空的交響詩—重力波
時間起源與量子重力

什麼?!你還不知道《科學月刊》,我們46歲囉!
入不惑之年還是可以
當個科青

科學月刊_96
229 篇文章 ・ 2127 位粉絲
非營利性質的《科學月刊》創刊於1970年,自創刊以來始終致力於科學普及工作;我們相信,提供一份正確而完整的科學知識,就是回饋給讀者最好的品質保證。