- 作者：陳曦、蘇禹安 / 台北市立大同高級中學
「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽／高中組專題報導類佳作之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。
上高中後，搭乘捷運成為日常生活的一部分，某月初進站時發現悠遊卡多了一百多元， 剛開始以為自己記錯卡片的餘額。但到了下個月初又多了一筆錢，所以去加值卡機查詢儲值紀錄，發現原來是捷運卡的回饋金。
查了台北捷運公司官網資料，現金回饋比例是由上個月累計搭乘次數根據下圖（圖一）的對應方式決定，而回饋金為累積搭乘金額再乘上現金回饋比例，在每個月初會回饋到捷運乘客的悠遊卡。
某個月的月底，放學搭捷運回家，進站時我發現這個月恰好乘坐捷運 50 次，差一次就可以在下個月拿到 30% 的現金回饋比例，於是我在途中先出站，再進站搭乘捷運。果不其然，下個月的回饋金就是上個月搭乘金額的三成。
因此我好奇，如果不考慮進出站與等車的時間成本，單純以花費考量，
「把單趟車程分段搭乘來累加搭乘次數，以此獲得更多的現金回饋比例，如此一來我是否能省下搭乘的花費？」
哪些分段方式可以省下通車費用、哪些則不行呢？於是，我們開始了以下研究。
捷運地圖如下圖（圖二），事實上可以分段搭乘的路線不勝枚舉，我們無法一條一條去計算比較哪些路線分段搭乘比較划算。關於如何分段搭乘比較省錢，我們會從「（問題一）拆成幾段搭乘？」、「（問題二）每月搭乘幾次？」、「（問題三）乘坐多少里程數？」等三方面去討論，再利用所學的不等式運算，找出分段搭乘比較省錢的方法，以此判斷哪些路線可以分段搭乘。
首先，我們先探討分段搭乘的票價至少會貴出多少錢？
上圖（圖三）是台北捷運公司官網公告的捷運車票計價方式，是根據起／終點的行車距離計算票價，我們將乘車距離對應的票價整理在下表（表一）。
若今天我們出門需乘坐 24 公里的車程，則票價為 55 元，如果分成兩段 12 公里乘坐的話，票價就變成 35+35=70 元，所以分段搭乘貴了15 元。然而，也可以拆成 5+19 公里來乘坐，則此費用變為 20+45=65 元，僅貴了 10 元。
所以，各個階段的票價，會因為分段搭乘的方式不同而有不同的費用。事實上，我們經過各種拆法的嘗試，在 55 元的票價之下，拆兩段的總票價至少會多出 10 元。上表（表一）是我們整理出來各個票價之下，分拆成兩段與三段搭乘時，要多支付的最小差價以及其分段乘坐的方法。從此表我們可以得出：
- 分成兩段搭乘的話，票價至少要多花 10 元。
- 分成三段搭乘的話，票價至少要多花 20 元。
接下來，將比較分兩段／三段搭乘的現金回饋比例與單趟搭乘的現金回饋比例之間的差異。
根據捷運公司公佈的搭乘次數回饋金比例資料（圖一），我們整理出單趟搭乘與分段搭乘的比較表格，如下表所示：（表二）為拆三段搭乘的比較；（表三）為兩段搭乘的比較。
由下表二、三可知，當每月搭乘次數為 17~20 次時，分拆成三段搭乘與單趟搭乘的現金回饋比例差距最多，高達 20%；而當每月搭乘次數為 26~30 次時，分拆成兩段搭乘與單趟搭乘的現金回饋比例差距最多，最多到 15%。
根據（表二）的結果，我們先討論第一個問題：「在搭捷運時，拆成幾段搭乘可以節省車費？」
假設我們這個月份以 A 票價搭乘 X 次，所累計的現金回饋比例為 α%，則我們可以算出本月的回饋金為 αAX 元，扣除回饋金，本月實際花費為未分段搭乘的花費 = (1 − α)AX 元
若將 X 次的搭乘，每次都分拆成三段來乘坐，每段票價分別為 B、C、D 元，則累計搭乘次數增加為 3X 次，所累計的回饋金比例為 β%，因此本月的回饋金為 β(B + C + D) 元，而且本月實際花費即為分三段搭乘的花費 = (1 − β)(B + C + D)X 元
我們把「未分段搭乘的花費」減去「分三段搭的花費」即是分三段搭乘可省下的錢，然後再除以搭乘次數 X 得：(1 − α)A − (1 − β)(B + C + D) 元，即是「平均每一趟乘搭乘可以省下的花費」。
因為拆三段搭乘票價會至少貴 20 元，即 B + C + D ≥ 20 + A，因此
(1−α)A − (1−β)(B+C+D) ≤ (1−α)A − (1−β)(20+A) = A(β − α) − 20 + 20β
因為票費 A 最多 65 元，回饋金的差 (β-α) 最多為 20%，拆三段的回饋金比例 β 最多為 30%， 所以分三段搭乘平均每趟可省下的錢不會超過下式：
(1 − α)A − (1 − β)(B + C + D) ≤ 65 × 0.2 − 20 + 20 × 0.3 = −1 < 0
可發現分三段省下的金額是負數，即是不管如何拆三段搭乘都不划算。而拆四段以上搭乘的話，每趟會增加更多票價，所以會更加不划算。因此，我們得到第一個小結論，
結論一：「若分成三段以上搭乘，則總花費一定比不分段搭乘的花費更多。」
因為拆三段以上搭乘一定不划算之下，我們考慮是否可以拆兩段乘搭。如同前段的分析， 將 X 次的搭乘，每次都分拆成兩段來搭乘，每段的票價分別為 B、C 元，則累計搭乘次數增加為 2X 次，所累計的回饋金比例為 β%，因此本月的回饋金為 β(B + C) 元，而且本月實際花費即為分兩段搭乘的花費 = (1 − β)(B + C)X 元
把「未分段的花費」減去「分兩段的花費」後再除以搭乘次數 X 可得，分兩段乘坐之下， 平均每一趟乘搭乘可以省下的花費為 (1 − α)A − (1 − β)(B + C) 元
我們先考慮，如果分兩段搭乘的票價會比原來多 15 元以上的情況，即是B + C ≥ 15 + A，則上式可以整理成：
(1 − α)A − (1 − β)(B + C) ≤ (1 − α)A − (1 − β)(15 + A) ≤ A(β − α) − 15 + 15β
同理，因為票價 A ≤ 65 元，回饋金的差 (β-α) ≤ 15%，拆兩段的回饋金比例 β≤30%，所以，如果拆兩段的票價貴 15 元以上的話，兩段搭乘平均每趟可省下的錢不會超過下式：
(1 − α)A − (1 − β)(B + C) ≤ 65 × 0.15 − 15 + 15 × 0.3 = −0.75 < 0
因此，在此情況下，分兩段搭乘也不會划算。所以，我們的第二個小結論：
結論二：「若分兩段搭乘的票價比原本貴 15 元以上，則分段搭乘一定不划算。」
我們的第二個問題：「若分段搭乘，每個月要乘坐幾次才能節省車費？」
根據（表一）所示，拆兩段搭乘票價至少貴 10 元，由上述結論可知，若分段搭乘能夠省下交通費用的路線，則必須選擇拆兩段的票價只貴 10 元的路線，即是 B + C = 10 + A。因此，平均每一趟乘搭乘可以省下的花費，可以改寫成
(1 − α)A − (1 − β)(B + C) = (1 − α)A − (1 − β)(10 + A) = A(β − α) − 10 + 10β
因為票價A ≤ 65元，回饋金的差 (β-α) ≤15%，若回饋金的差 (β-α) 在 10% 以內的話，則拆兩段搭乘平均每趟可省下的錢不會超過下式：
A(β − α) − 10 + 10β ≤ 65 × 0.1 − 10 + 10 × 0.3 = −0.5 < 0
因此如（表三）所示，每月乘坐太少或太多次都讓回饋金的差 (β-α) ≤10%，則拆兩段搭乘不會省下車票花費。唯有在回饋金的差 (β-α) 在最高的 15% 時，也就是每月乘坐次數在 26 次到 30 次之間，拆兩段搭乘的方式才能節省費用。所以，我們的第三個小結論：
結論三：「若拆兩段搭乘的花費能比較少，則每月乘坐次數需介於 26 到 30 次之間。」
最後，我們要討論：「至少乘坐多遠的距離，拆兩段搭乘才能節省費用？」
因為每個月乘坐次數是介於 26 次到 30 次之間，所以單趟搭乘的現金回饋比例為 15%(α=0.15)；而拆成兩段搭乘的次數增加為 52 次到 60 次之間，所以回饋比例為 30%(β=0.3)。 由（結論二）可知，拆兩段的路線必須是只能比單趟搭乘多 10 元票價 (B + C = 10 + A)，因此平均每一趟乘搭乘可以省下的花費可以表示如下：
(1 − α)A − (1 − β)(B + C)元 = 0.15A − 7 元
如果分段搭乘的方式可以省下費用，則上式要大於零，
0.15A − 7 > 0 → A > 46.6666 …
因此，若拆兩段搭乘能省下費用，則單趟乘坐的票價A要超過 46 元，即是票價 A 為 50、55、 60、65 元。所以，若從里程數來看，我們的第四個小結論：
結論四：「搭乘超過 20 公里的路線，拆成兩段乘坐，才能省下費用。」
因此「什麼路線可以分段搭乘呢？」總結上述討論的四個小結論如下：
- 若分成三段以上搭乘，則總花費一定比不分段搭乘的花費更多。
- 若分成兩段搭乘的票價比原本貴 15 元以上，則分段搭乘一定不划算。
- 若拆成兩段搭乘的花費能比原花費少，則每月乘坐次數須介於 26-30 次之間。
- 搭乘超過 20 公里的路線，拆成兩段乘坐，才能省下費用。
當每個月搭乘次數為 26 到 30 次時，我們歸納出下面此種路線，拆成兩段乘坐可以省下費用：
「該路線票價大於或等於 50 元，並且拆兩段總票價只會多 10 元。」
因此，我們考慮每個月乘坐 30 次，即可算出不同票之下，分段搭乘最多可以省下多少錢，見下表（表四）。所以，在不考慮時間成本下，我們推論出，分段搭乘的方法最多能省下 82.5 元。雖然省下的金額不多，但是推論的過程中，我們發現到有些路線分段搭乘確實比較划算。
最後，根據我們的研究所找到路線選擇的條件，整理出下表這些符合條件的路線以及分段方式，並分成兩種方式呈現。（表五）為淡水信義線範圍內之路線、（表六）是以淡水為目的站之路線，由於數量龐大未能全部列出。不過，下次乘坐捷運時，如果起終點符合上述的條件，不妨試試拆兩段乘坐看看，或許可以幫你在下月獲得更多的回饋金。
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