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「捷」出的一拆,搭捷運也能這樣省?!|2021 數感盃|高中專題|優選

數感實驗室_96
・2021/12/25 ・4357字 ・閱讀時間約 9 分鐘

  • 作者:陳曦、蘇禹安 / 台北市立大同高級中學

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2021 數感盃青少年寫作競賽/高中組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

圖/Subscriptshoe9, CC BY-SA 4.0

上高中後,搭乘捷運成為日常生活的一部分,某月初進站時發現悠遊卡多了一百多元, 剛開始以為自己記錯卡片的餘額。但到了下個月初又多了一筆錢,所以去加值卡機查詢儲值紀錄,發現原來是捷運卡的回饋金。 

查了台北捷運公司官網資料,現金回饋比例是由上個月累計搭乘次數根據下圖(圖一)的對應方式決定,而回饋金為累積搭乘金額再乘上現金回饋比例,在每個月初會回饋到捷運乘客的悠遊卡。

(圖一)捷運回饋金規則。圖/台北捷運官網

某個月的月底,放學搭捷運回家,進站時我發現這個月恰好乘坐捷運 50 次,差一次就可以在下個月拿到 30% 的現金回饋比例,於是我在途中先出站,再進站搭乘捷運。果不其然,下個月的回饋金就是上個月搭乘金額的三成。 

因此我好奇,如果不考慮進出站與等車的時間成本,單純以花費考量,

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把單趟車程分段搭乘來累加搭乘次數,以此獲得更多的現金回饋比例,如此一來我是否能省下搭乘的花費?

哪些分段方式可以省下通車費用、哪些則不行呢?於是,我們開始了以下研究。

捷運地圖如下圖(圖二),事實上可以分段搭乘的路線不勝枚舉,我們無法一條一條去計算比較哪些路線分段搭乘比較划算。關於如何分段搭乘比較省錢,我們會從「(問題一)拆成幾段搭乘?」、「(問題二)每月搭乘幾次?」、「(問題三)乘坐多少里程數?」等三方面去討論,再利用所學的不等式運算,找出分段搭乘比較省錢的方法,以此判斷哪些路線可以分段搭乘。 

首先,我們先探討分段搭乘的票價至少會貴出多少錢? 

(圖二)台北捷運路線圖。圖/台北捷運官網
台北捷運系統票價表。圖/台北捷運官網

上圖(圖三)是台北捷運公司官網公告的捷運車票計價方式,是根據起/終點的行車距離計算票價,我們將乘車距離對應的票價整理在下表(表一)。 

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若今天我們出門需乘坐 24 公里的車程,則票價為 55 元,如果分成兩段 12 公里乘坐的話,票價就變成 35+35=70 元,所以分段搭乘貴了15 元。然而,也可以拆成 5+19 公里來乘坐,則此費用變為 20+45=65 元,僅貴了 10 元。 

所以,各個階段的票價,會因為分段搭乘的方式不同而有不同的費用。事實上,我們經過各種拆法的嘗試,在 55 元的票價之下,拆兩段的總票價至少會多出 10 元。上表(表一)是我們整理出來各個票價之下,分拆成兩段與三段搭乘時,要多支付的最小差價以及其分段乘坐的方法。從此表我們可以得出:

  1. 分成兩段搭乘的話,票價至少要多花 10 元。  
  2. 分成三段搭乘的話,票價至少要多花 20 元。

接下來,將比較分兩段/三段搭乘的現金回饋比例與單趟搭乘的現金回饋比例之間的差異。 

根據捷運公司公佈的搭乘次數回饋金比例資料(圖一),我們整理出單趟搭乘與分段搭乘的比較表格,如下表所示:(表二)為拆三段搭乘的比較;(表三)為兩段搭乘的比較。

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由下表二、三可知,當每月搭乘次數為 17~20 次時,分拆成三段搭乘與單趟搭乘的現金回饋比例差距最多,高達 20%;而當每月搭乘次數為 26~30 次時,分拆成兩段搭乘與單趟搭乘的現金回饋比例差距最多,最多到 15%。 

根據(表二)的結果,我們先討論第一個問題:「在搭捷運時,拆成幾段搭乘可以節省車費?」 

假設我們這個月份以 A 票價搭乘 X 次,所累計的現金回饋比例為 α%,則我們可以算出本月的回饋金為 αAX 元,扣除回饋金,本月實際花費為未分段搭乘的花費 = (1 − α)AX 元 

若將 X 次的搭乘,每次都分拆成三段來乘坐,每段票價分別為 B、C、D 元,則累計搭乘次數增加為 3X 次,所累計的回饋金比例為 β%,因此本月的回饋金為 β(B + C + D) 元,而且本月實際花費即為分三段搭乘的花費 = (1 − β)(B + C + D)X 元

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我們把「未分段搭乘的花費」減去「分三段搭的花費」即是分三段搭乘可省下的錢,然後再除以搭乘次數 X 得:(1 − α)A − (1 − β)(B + C + D) 元,即是「平均每一趟乘搭乘可以省下的花費」。

因為拆三段搭乘票價會至少貴 20 元,即 B + C + D ≥ 20 + A,因此 

(1−α)A − (1−β)(B+C+D) ≤ (1−α)A − (1−β)(20+A) = A(β − α) − 20 + 20β

因為票費 A 最多 65 元,回饋金的差 (β-α) 最多為 20%,拆三段的回饋金比例 β 最多為 30%, 所以分三段搭乘平均每趟可省下的錢不會超過下式: 

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(1 − α)A − (1 − β)(B + C + D) ≤ 65 × 0.2 − 20 + 20 × 0.3 = −1 < 0

可發現分三段省下的金額是負數,即是不管如何拆三段搭乘都不划算。而拆四段以上搭乘的話,每趟會增加更多票價,所以會更加不划算。因此,我們得到第一個小結論, 

結論一:「若分成三段以上搭乘,則總花費一定比不分段搭乘的花費更多。」  

因為拆三段以上搭乘一定不划算之下,我們考慮是否可以拆兩段乘搭。如同前段的分析, 將 X 次的搭乘,每次都分拆成兩段來搭乘,每段的票價分別為 B、C 元,則累計搭乘次數增加為 2X 次,所累計的回饋金比例為 β%,因此本月的回饋金為 β(B + C) 元,而且本月實際花費即為分兩段搭乘的花費 = (1 − β)(B + C)X 元 

把「未分段的花費」減去「分兩段的花費」後再除以搭乘次數 X 可得,分兩段乘坐之下, 平均每一趟乘搭乘可以省下的花費為 (1 − α)A − (1 − β)(B + C) 元 

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我們先考慮,如果分兩段搭乘的票價會比原來多 15 元以上的情況,即是B + C ≥ 15 + A,則上式可以整理成:

(1 − α)A − (1 − β)(B + C) ≤ (1 − α)A − (1 − β)(15 + A) ≤ A(β − α) − 15 + 15β

同理,因為票價 A ≤ 65 元,回饋金的差 (β-α) ≤ 15%,拆兩段的回饋金比例 β≤30%,所以,如果拆兩段的票價貴 15 元以上的話,兩段搭乘平均每趟可省下的錢不會超過下式:

(1 − α)A − (1 − β)(B + C) ≤ 65 × 0.15 − 15 + 15 × 0.3 = −0.75 < 0 

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因此,在此情況下,分兩段搭乘也不會划算。所以,我們的第二個小結論:

結論二:「若分兩段搭乘的票價比原本貴 15 元以上,則分段搭乘一定不划算。」 

我們的第二個問題:「若分段搭乘,每個月要乘坐幾次才能節省車費?」 

根據(表一)所示,拆兩段搭乘票價至少貴 10 元,由上述結論可知,若分段搭乘能夠省下交通費用的路線,則必須選擇拆兩段的票價只貴 10 元的路線,即是 B + C = 10 + A。因此,平均每一趟乘搭乘可以省下的花費,可以改寫成 

(1 − α)A − (1 − β)(B + C) = (1 − α)A − (1 − β)(10 + A) = A(β − α) − 10 + 10β

因為票價A ≤ 65元,回饋金的差 (β-α) ≤15%,若回饋金的差 (β-α) 在 10% 以內的話,則拆兩段搭乘平均每趟可省下的錢不會超過下式: 

A(β − α) − 10 + 10β ≤ 65 × 0.1 − 10 + 10 × 0.3 = −0.5 < 0 

因此如(表三)所示,每月乘坐太少或太多次都讓回饋金的差 (β-α) ≤10%,則拆兩段搭乘不會省下車票花費。唯有在回饋金的差 (β-α) 在最高的 15% 時,也就是每月乘坐次數在 26 次到 30 次之間,拆兩段搭乘的方式才能節省費用。所以,我們的第三個小結論:

結論三:「若拆兩段搭乘的花費能比較少,則每月乘坐次數需介於 26 到 30 次之間。」 

最後,我們要討論:「至少乘坐多遠的距離,拆兩段搭乘才能節省費用?」 

因為每個月乘坐次數是介於 26 次到 30 次之間,所以單趟搭乘的現金回饋比例為 15%(α=0.15);而拆成兩段搭乘的次數增加為 52 次到 60 次之間,所以回饋比例為 30%(β=0.3)。 由(結論二)可知,拆兩段的路線必須是只能比單趟搭乘多 10 元票價 (B + C = 10 + A),因此平均每一趟乘搭乘可以省下的花費可以表示如下: 

(1 − α)A − (1 − β)(B + C)元 = 0.15A − 7 元 

如果分段搭乘的方式可以省下費用,則上式要大於零, 

0.15A − 7 > 0 → A > 46.6666 … 

因此,若拆兩段搭乘能省下費用,則單趟乘坐的票價A要超過 46 元,即是票價 A 為 50、55、 60、65 元。所以,若從里程數來看,我們的第四個小結論: 

結論四:「搭乘超過 20 公里的路線,拆成兩段乘坐,才能省下費用。」  

因此「什麼路線可以分段搭乘呢?」總結上述討論的四個小結論如下:

  1. 若分成三段以上搭乘,則總花費一定比不分段搭乘的花費更多。
  2. 若分成兩段搭乘的票價比原本貴 15 元以上,則分段搭乘一定不划算。
  3. 若拆成兩段搭乘的花費能比原花費少,則每月乘坐次數須介於 26-30 次之間。
  4. 搭乘超過 20 公里的路線,拆成兩段乘坐,才能省下費用。

當每個月搭乘次數為 26 到 30 次時,我們歸納出下面此種路線,拆成兩段乘坐可以省下費用: 

「該路線票價大於或等於 50 元,並且拆兩段總票價只會多 10 元。」

因此,我們考慮每個月乘坐 30 次,即可算出不同票之下,分段搭乘最多可以省下多少錢,見下表(表四)。所以,在不考慮時間成本下,我們推論出,分段搭乘的方法最多能省下 82.5 元。雖然省下的金額不多,但是推論的過程中,我們發現到有些路線分段搭乘確實比較划算。

最後,根據我們的研究所找到路線選擇的條件,整理出下表這些符合條件的路線以及分段方式,並分成兩種方式呈現。(表五)為淡水信義線範圍內之路線、(表六)是以淡水為目的站之路線,由於數量龐大未能全部列出。不過,下次乘坐捷運時,如果起終點符合上述的條件,不妨試試拆兩段乘坐看看,或許可以幫你在下月獲得更多的回饋金。 

資料來源

  1. 票價查詢:台北大眾捷運股份有限公司-票價查詢 
  2. 票價查詢:工具邦-台北捷運路線圖 
  3. 回饋金資料:台北大眾捷運股份有限公司-常客優惠方案 
  4. 捷運路網圖:台北大眾捷運股份有限公司-路網圖 
文章難易度
數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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一卡在手便利無窮,悠遊卡的設計原理——《我們的生活比你想的還物理》
商周出版_96
・2022/12/05 ・2482字 ・閱讀時間約 5 分鐘

時事話題

NEWS|在課堂介紹電磁波概念時,有位同學佳琦舉手提問筆者:「老師,用悠遊卡刷進捷運站非常方便,那個背後的原理和電磁波有關嗎?」另一位同學婕妤回答:「應該是悠遊卡會發出電磁波,傳遞訊息到門閘的感應器吧?」

悠遊卡如今早已融入臺灣大都會的生活中,不論是捷運、超商、購物或搭乘公車,悠遊卡在手,便利許多。然而,悠遊卡內並無電池,也不需要插入讀卡機,為何能夠溝通而傳遞資訊呢?

刷悠遊卡進出捷運站,其背後原理和電磁波有關嗎?圖/Pixabay

為何沒裝電池的悠遊卡可以產生電流?

悠遊卡系統主要是應用法拉第電磁感應定律來辨識與傳遞資訊,此與無接觸感應技術有關,該技術稱為「無線射頻辨識系統」(radio frequency identification,RFID)。完整的一套無線射頻辨識系統,是由讀卡機(reader)、電子標籤(tag)和應用程式資料庫電腦系統部分所組成。

運作過程先由讀卡機發射一特定頻率的無線電波能量給電子標籤,藉此驅動標籤內建電路,輸送內部的身分代碼,以開啟溝通之路。

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若以法拉第電磁感應的物理概念解釋,讀卡機產生變動磁場, 同步提供電子標籤變動磁場,驅動電子標籤產生感應電流,也就是讓悠遊卡內部迴路產生感應電流,並讓電子標籤發送身分代碼訊息給讀卡機,也即驅動內部晶片能夠發送訊號,讀卡機依序接收資訊、解讀此身分代碼,再透過應用程式資料庫系統讀取悠遊卡內的晶片資料,完整達成溝通與解讀任務。

電子標籤發送身分代碼訊息給讀卡機,即驅動內部晶片發送訊號。圖/維基百科

每一張悠遊卡都有獨立的電子標籤,當卡片靠近悠遊卡標誌的磁場感應範圍內,即可透過電磁感應的原理,驅使電子標籤內的線圈產生感應電流,此電流供應電子標籤傳送資訊至讀卡機,以解讀晶片資料。

或許讀者會好奇,沒有電池的悠遊卡怎麼產生電流呢?這個問題也需要以法拉第電磁感應定律說明。

依法拉第電磁感應定律,悠遊卡的線圈迴路會因為磁場強弱的變化,以及通過的面積區域角度變化而產生類似電池驅動電流功能的「感應電動勢」,或稱為感應電壓。此感應電壓大小與線圈匝數及每匝線圈中磁場隨時間的變化率有關。匝數愈多,磁場變化率愈大,悠遊卡迴路中的感應電壓愈大,產生的感應電流就愈大。

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當卡片靠近標誌的磁場感應範圍內,即透過電磁感應產生感應電流。圖/《我們的生活比你想的還物理

因此,悠遊卡雖然沒有內建電池,但可以透過電磁波的應用,採用無線射頻辨識系統,在運作時,讀卡機持續發出電磁波,當卡片接近時,其內部線圈產生感應電動勢,再進一步驅動感應電流。此感應電流讓卡片內的晶片發出電磁波,回傳必要的資訊給讀卡機,完成感應過閘的流程。

以臺北、臺中和高雄的悠遊卡來說,採用的是無線射頻辨識系統模式,屬於比較低頻率的電磁波,卡片必須距離讀卡機約 14 公分內,才能讀取卡片的晶片資料。因此若將悠遊卡裝在比較厚的皮夾或兩張磁卡疊在一起,可能無法第一時間完成讀卡,而形成「卡片無法讀取」的「卡卡」現象,建議單純使用悠遊卡過閘,較能順暢通過閘門。

其他如進出家門的感應磁扣、停車場的票卡、信用卡感應支付、國道收費系統 ETC 等,皆是應用無線射頻辨識系統 RFID 的技術,只不過國道收費系統 ETC 的感應器的感應距離約需 60 公尺內,才能順利讀取通過車輛的相關資訊。

台灣高速公路的電子道路收費系統(electronic toll collection, ETC)。圖/維基百科

物理小教室

  • 手機行動支付的物理學原理

手機支付的運作原理也是基於 RFID 發展而出的近場通訊(near-field communication,NFC) 技術。目前近場通訊技術採用頻率為 13.56 MHz 的電磁波,以 106 kbit/s、212 kbit/s 或 424 kbit/s 這 3 種速率傳輸資料,bit 翻譯為位元,是電腦資料的最小單位。

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利用手機支付時,須靠近刷卡機約 4 公分距離內,此時可藉由電磁波傳遞相關資訊,完成付款手續。近場通訊技術不只有用在手機支付, 也可運用傳輸文字、照片、音樂檔案,是目前手機常見的內建功能。

  • 電磁感應的進階說明

電動勢(electromotive force, emf)可以驅動導體內的電荷移動, 產生電流。電池因為內部材料的屬性,會在正負極產生固定的電位差或電壓。電動勢是電池正負極間的電位差,也常稱為電壓,其國際單位制(SI)單位為伏特(V)。

導體內的電流與電壓成正比,假設導線的電阻及電池的內電阻都可略去不計,電路中流動的電流是電壓與電阻相除後的數值。可知電池的電動勢,可以驅動迴路上的電流,讓燈泡發光發熱。

然而,一個未接電源的迴路導線圈,可不可能產生電流?可以。若是通過迴路導線圈的磁場變化或磁通量改變,也會產生感應電流,這是發電機的原理,也是物理學家法拉第和冷次的電磁感應概念。

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電磁爐和捷運列車的磁煞車也是運用電磁感應的概念。電磁爐內部的主要構造是由絕緣體包覆的導線環繞的線圈,當交流電通過線圈時, 電磁爐表面就會產生隨時間改變的磁場,這個磁場的變化會同時在鍋子底面產生應電流,再透過電流熱效應加熱鍋子,也加熱食物。

——本文摘自《我們的生活比你想的還物理》,2022 年 11 月,商周出版,未經同意請勿轉載。

商周出版_96
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第一輛 MIT 的「捷運」——淡海輕軌「行武者號」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2021/08/19 ・2199字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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本文由 交通部鐵道局 委託,泛科學企劃執行。

2018 年底,淡海輕軌完工通車,目前已經通車的路段有從紅樹林站到崁頂站的山線,以及從濱海沙崙站到漁人碼頭站的藍海線一期路段,沿途各站有櫻花大道、知名古蹟和電影商城,成為一日輕旅行程不可錯過的選擇。而藍海線二期將會從漁人碼頭站延伸接回淡水站,結合捷運淡水信義線連接到紅樹林站,形成環狀路網,未來也在規劃從崁頂延伸至北海岸的三芝線。

但你知道嗎?淡海輕軌所使用的車輛,可是臺灣自製的!「行武者號」由台灣車輛公司和德國福伊特公司跨國合作,從設計、製造到測試,全車在臺灣完成,突破過去捷運車輛都是向國外購買,技術長期被外商壟斷的困境,成為臺灣捷運「國車國造」的首例。

圖/郭令鈞攝

融入當地特色之設計與節能效果

淡海輕軌「行武者號」在外觀上以海為意象採流線型設計,水藍色的車身彩繪代表淡水河清流,而白色象徵水面映射的日光。

由於淡水氣候變化大,夏天常有 30-35 度高溫,冬天最低溫可達 5 度,且地形位於迎風面,梅雨季、颱風都帶來豐沛雨量。為了因應淡水溫差大且濕度高的特性,「行武者號」列車材質使用不鏽鋼與耐候鋼打造。

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圖/郭令鈞攝

比較不同於一般所熟知的大眾交通工具,列車到站後會自動開門,淡海輕軌的車輛到站後需要旅客手動開門。這樣的設計是考量在不會每站都有乘客上下車的狀況下,除了能避免冬天冷風灌入車廂造成車內乘客不舒適外,在平時更能節省許多不必要的能源消耗,達到節能減碳的效果。[註1]

車輛零組件國產化並兼顧安全品質

淡海輕軌在車輛設計上完整導入 3D 設計與分析模擬,可自主產出系統模組 3D 繪圖、機械與電氣施工圖,並進行結構應力、結構疲勞強度、結構撞擊等模擬分析,大幅強化在地設計與驗證能力。

國內輕軌車輛國產化比例,從淡海輕軌的 21.5%,提升到目前興建中安坑輕軌的 42%,項目包括車體製造與組裝、車頂、外牆、車頭、內裝板與地板、轉向架框、車內空調、客室座椅、玻璃、車上照明、漆料、電纜、CCTV 等。其中車輛完全符合歐盟 EN 45545 防火規範,車端碰撞抗壓縮力具備 500 kN(輕軌一般為 200~400 kN),車頭與內裝板採用非金屬複合材料,安全設計納入列車自動防護系統(ATP)及電子式後視鏡,均為國內輕軌首次採用;而車輛設計納入臺灣地區人因資料,所有車門與車窗均為緊急逃生出口,車上照明全面採用 LED 燈具,更是國內鐵道車輛首例。

而淡海輕軌的車輛與零組件供應商,大多都符合 UNIFE(歐洲軌道工業協會)所制定 IRIS(國際軌道工業標準)品質管理認證,以確保車輛各子系統之高品質,並進行合作及技術轉移,協助國內建立自主的鐵道車輛工業與零組件供應鏈。

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未來展望

目前除了營運中的淡水輕軌,未來還有安坑、八里、淡海二期、五股泰山、基隆、桃園及新竹等地的捷運及輕軌計畫,除了為日常通勤或是假日輕旅行增添更多可能性,也因為這些計畫將製造上百組車輛,是不容忽視的國產經濟能量,將可作為產業界進一步掌握關鍵核心技術,達成並突破車輛國產化 50% 的重要契機。

因此,交通部鐵道局已自 2021 年起透過產業發展補助計畫來逐步推動關鍵系統國產化研發,包含車輛之集電弓、車門、轉向架、牽引系統、列車監控系統、車體設計、儲能電力管理系統、超級電容,以及號誌系統、轉轍器與自動列車防撞系統等項,將國產化技術領域從目前偏重在車體結構材料、零件與服務性設備,拓展到與行車運轉及安全維生有關之核心系統,以提升臺灣鐵道工業的競爭力。此外,交通部更借鏡先進國家經驗成立「鐵道技術研究及驗證中心」,藉由國家級鐵道技術專責機構,帶動國內鐵道產業研發與檢測驗證技術能量,產品符合安全品質標準並與國際接軌。

圖/交通部鐵道局

藉由政府創造市場需求與提供資源,讓民間廠商藉機推動製造業的轉型與突破,建立自主鐵道車輛工業的完整生態鏈。「國車國造」的計畫,將培養更多鐵道專業人才,將技術根留臺灣,也能有效降低建置、營運及維修成本,對經濟發展及創造就業帶來正面幫助。

藉由政府創造市場需求與提供資源,讓民間廠商藉機推動製造業的轉型與突破,建立自主鐵道車輛工業的完整生態鏈。「國車國造」的計畫,將培養更多鐵道專業人才,將技術根留臺灣,也能有效降低建置、營運及維修成本,對經濟發展及創造就業帶來正面幫助。

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在家悶了很久,解封後想來一場櫻花古蹟之旅?那就來規劃一場淡海輕軌輕旅行吧!

註解

註1. 由於疫情影響,為減少非必要的接觸,目前淡海輕軌全線改為列車長統一開門( 2021 年 5 月

參考文獻:

  1. 新北市淡海輕軌列車國產製造:由政府起頭,帶領臺灣軌道產業升級進化
  2. 淡海輕軌BIM技術應用與設計施工整合特色
  3. 淡海輕軌綠山線上路北臺灣第一條| 生活| 重點新聞
  4. 鐵道產業- 產業政策- 鐵道科技產業政策
  5. 交通部鐵道局-鐵道產業國產化
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
196 篇文章 ・ 302 位粉絲
充滿能量的泛科學品牌合作帳號!相關行銷合作請洽:contact@pansci.asia

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《 捷運可以這樣ㄗㄨㄛˋ 》——2019數感盃/高中職組專題報導類佳作
數感實驗室_96
・2019/05/24 ・3144字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 533 ・七年級

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數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:王姿蘋/景美女中。

捷運。圖/Flickr

教官:「王小明同學,你怎麼老是遲到呢?罰你放學留下來刷廁所!」

小明:「教官,我真的不是故意的,我遲到是有原因的。我已經早十分鐘到捷運站了,卻遲遲上不了車,大家都急著上班上學,每個人看到車門開的瞬間都像猛虎出閘般蜂湧上車,而我又特別瘦弱,根本擠不上車!不如我來分析一篇關於『捷運可以這樣ㄗㄨㄛˋ』的報導給教官聽。」

「嗶嗶嗶!車門即將關閉,請遠離車門。」這樣的台詞在北市的通勤族耳裡再熟悉不過了。在尖峰的上下班時間,常常因為擠不上列車而必須等待下一班。以學生上下學的狀況為例,上學時在捷運車廂最常聽到的是:「不好意思,我快遲到了,可以再往裡面走一點嗎?」不過,當列車開走時,卻發現大部分的乘客都集中在中間車廂,而頭尾車廂的乘客寥寥無幾。 如此貼切的生活經驗,在你我的生活中已習以為常,這樣的情況是否有改變的可能呢?

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在不考慮中間車廂距離捷運出口較近的因素,且先考慮初發車的車內無乘客的狀態下(即首站),則每節車廂的乘客密度是否能夠趨近平均值呢?以下分為兩點討論:唯一出入口以及為二出入口的情形。以列車車廂相互不連接的文湖線系統來做討論。文湖線的每班列車共四節車廂,而每節車廂同一側各有兩扇車門,如示意圖所示:

討論一:出入口唯一,且位於列車正中間

假設出口到車門的距離皆可用直線分割,且每位乘客走到同側各個車門的機率相等,試算首站有 128 位(註一)乘客在同班列車的各節車廂乘客分配,如圖所示:

設首站上車乘客有 a=128 人,則乘客進站後遇到的第一次選擇:往左走或往右走,理想的乘客分布比例為 ⅟2 a 人選擇往左走, ⅟2 a 人選擇往右走。接著繼續直行, ⅟2 a 人遇到 B2(或C1)車門做第二次選擇:進入車門或繼續直行,理想的乘客分布比例為 ⅟2 × ⅟2 a 人選擇進B2(或C1)車門, ⅟2 × ⅟2 a 人選擇繼續直行。以此類推,則 A 車廂的乘客總數為 128× ⅟16 +128× ⅟16 =16人;B 車廂的人數為 128× ⅟8 +128× ⅟4 = 48 人;C 車廂的乘客總數與 B 車廂同為 48 人;D 車廂的乘客總數與 A 車廂同為 16 人。

若每一站下車的乘客數都是各節車廂乘客數的一半,且上車 的乘客數不變,每站同為 128 人(即 A 車廂在第二站下車的乘客為 8 人,上車 16 人),如果這樣計算,平均到了第五站,B、C 兩車廂的乘客數剛好達捷運文湖線每節車廂之上限乘客數 93 人(註二),而 A 車廂及 D 車廂卻只有 41 人,這樣懸殊的比例並不符合經濟效益。如下表所示:

就討論一的捷運出入口設計,我有一個想法想提供給北捷參考:請每站的站務人員安排乘客進入較少乘客的車廂。假設不改變首站的乘客分布比例,從第二站開始,讓 128 位欲上車的乘客皆只能選擇 A 或 D 兩車廂進入,此時各節車廂的理想乘客數分布如下表所示:

接著請第三站的站務人員引導欲上車的 128 乘客選擇進入 B、C 兩車廂;第四站的乘客只能選擇 A 或 D 兩車廂進入⋯⋯交錯車廂上車,以此類推。則各站之各節車廂的理想乘客數分布如下表所示:

如此一來,不但可以減少上下車人潮擠在一起的窘況,也可以讓列車載客量發揮到最大效能,更能避免乘客上不了車的情況發生。

小明:「教官!還有第二個分析,不要睡著囉!」

教官:「這麼有趣的生活數學,我怎麼會睡著呢!」

討論二:出入口唯二,且兩個出入口分別在列車 A、B 車廂中間與 C、D 車廂中間

假設出口到車門的距離皆可用直線分割,且每位乘客走到同側各個車門的機率相等,試算首站同樣有 128 位乘客在同班列車的各節車廂乘客分配,如圖所示:

設首站上車乘客有 a =128 人,則乘客進站前遇到的第一次選擇:由第一入口進站或由第二入口進站,理想的乘客分布比例為 ⅟2 a 人選擇由第一入口進站,⅟2 a 人選擇由第二入口進站。

進站後,由第一入口進站的 ⅟2 a 位乘客要做第二次選擇:往左走或往右走,理想的乘客分布 比例為 ⅟2 × ⅟2 a 人選擇往左走, ⅟2 × ⅟2 a 人選擇往右走。接著繼續直行, ⅟2 × ⅟2 a 人遇到 A2(或 B1)車門做第三次選擇:進入車門或繼續直行,理想的乘客分布比例為 ⅟2 × ⅟2 × ⅟2 a 人選擇進 A2(或 B1)車門, ⅟2 × ⅟2 × ⅟2 a 人選擇繼續直行,以此類推其他車門。由第二入口進入的乘客同也。則A車廂的乘客總數為 128 × ⅟8 + 128 × ⅟8 + 128 × ⅟128  + 128 × ⅟128 =34人;B車廂的人數為128 × ⅟8+ 128 × ⅟16 + 128 × ⅟64 + 128 × ⅟32 =30 人;C 車廂的乘客總數與 B 車廂同為 30 人;D 車廂的乘客總數與 A 車廂同為 34 人。

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若每一站下車的乘客數都是各節車廂乘客數的一半,且上車的乘客數不變,每站同為 128 人(即 A 車廂在第二站下車的乘客為 17 人,上車 34 人),如果照這樣計算,無論哪一站四節車廂的乘客數皆不會超過捷運文湖線每節車廂之上限乘客數,且每節車廂的乘客數差異不大。另外還有一個驚奇的發現——第六站以後的站別,車廂乘客數將達一穩定值,即進出車廂的人數達平衡,不再改變。如下表所示:

上述的兩個討論皆只是就機率方面進行討論,實際做法還是需要視當天的乘車狀況,而有相對應的方法應變之。比較討論(一)和討論(二)的內容,或許愈多出入口對人們的通勤生活會更加便利,不過,就當今的文湖線系統而言,要多建設幾個出入口通往月臺可能是困難重重的計畫,何況有些月臺還需要經過天橋才能抵達。若能透過簡單的物聯網設計,將資訊技術應用在人們的生活中,或許,以後就不必花時間去探究捷運壅擠的應對措施,也可以減少苦惱上學遲到的問題了!建議北捷可以在車廂內裝設偵測車內人數的相關儀器,再透過物聯網將前一站偵測到的各車廂人數,傳達到下一站的候車月台,例如:綠燈表示車廂內較空曠, 紅燈則反之,利用智慧生活的概念,讓乘客方便掌握車內乘客數,好判斷哪一個車廂較容易 上車。如圖所示:

教官:「如此精采的報導,教官受益良多!好吧,你今天就不處罰你了!」

小明:「耶!謝謝教官!」提醒同學們下次遲到時記得準備一篇專題報導分析你遲到的理由喔!別忘了還可以投稿數感盃喔!

  • 註(一):由網路上的數據得知,文湖線的首站南港展覽館站與動物園站 2019 年 1 月份的進站 人數分別約為 32259 人次與 7740 人次,並查詢每日的總發車班次,尖峰時間和離峰時間班距會有所不同,經計算得知文湖線每日共發車約 290 班次。選擇進站人次較多的南港展覽館站 計算每班列車的平均載客量,得每班次約載客 107 人次。不過考量尖峰時間,搭乘的人次可 能會比平均值多一些,故取 128 人為估算值。(資料來源:臺北大眾捷運股份有限公司——旅運量
  • 註(二):文湖線捷運龐巴迪列車車廂最高承載人數為93人。(資料來源:台北捷運車輛簡介
  • 註(三):因為第一出入口與第二出入口在計算乘客選擇車門的機率時具有對稱性,故在此只說明第一出入口的機率分配。

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