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《 捷運可以這樣ㄗㄨㄛˋ 》——2019數感盃/高中職組專題報導類佳作

數感實驗室_96
・2019/05/24 ・3144字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 533 ・七年級

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:王姿蘋/景美女中。
捷運。圖/Flickr

教官:「王小明同學,你怎麼老是遲到呢?罰你放學留下來刷廁所!」

小明:「教官,我真的不是故意的,我遲到是有原因的。我已經早十分鐘到捷運站了,卻遲遲上不了車,大家都急著上班上學,每個人看到車門開的瞬間都像猛虎出閘般蜂湧上車,而我又特別瘦弱,根本擠不上車!不如我來分析一篇關於『捷運可以這樣ㄗㄨㄛˋ』的報導給教官聽。」

「嗶嗶嗶!車門即將關閉,請遠離車門。」這樣的台詞在北市的通勤族耳裡再熟悉不過了。在尖峰的上下班時間,常常因為擠不上列車而必須等待下一班。以學生上下學的狀況為例,上學時在捷運車廂最常聽到的是:「不好意思,我快遲到了,可以再往裡面走一點嗎?」不過,當列車開走時,卻發現大部分的乘客都集中在中間車廂,而頭尾車廂的乘客寥寥無幾。 如此貼切的生活經驗,在你我的生活中已習以為常,這樣的情況是否有改變的可能呢?

在不考慮中間車廂距離捷運出口較近的因素,且先考慮初發車的車內無乘客的狀態下(即首站),則每節車廂的乘客密度是否能夠趨近平均值呢?以下分為兩點討論:唯一出入口以及為二出入口的情形。以列車車廂相互不連接的文湖線系統來做討論。文湖線的每班列車共四節車廂,而每節車廂同一側各有兩扇車門,如示意圖所示:

討論一:出入口唯一,且位於列車正中間

假設出口到車門的距離皆可用直線分割,且每位乘客走到同側各個車門的機率相等,試算首站有 128 位(註一)乘客在同班列車的各節車廂乘客分配,如圖所示:

設首站上車乘客有 a=128 人,則乘客進站後遇到的第一次選擇:往左走或往右走,理想的乘客分布比例為 ⅟2 a 人選擇往左走, ⅟2 a 人選擇往右走。接著繼續直行, ⅟2 a 人遇到 B2(或C1)車門做第二次選擇:進入車門或繼續直行,理想的乘客分布比例為 ⅟2 × ⅟2 a 人選擇進B2(或C1)車門, ⅟2 × ⅟2 a 人選擇繼續直行。以此類推,則 A 車廂的乘客總數為 128× ⅟16 +128× ⅟16 =16人;B 車廂的人數為 128× ⅟8 +128× ⅟4 = 48 人;C 車廂的乘客總數與 B 車廂同為 48 人;D 車廂的乘客總數與 A 車廂同為 16 人。

若每一站下車的乘客數都是各節車廂乘客數的一半,且上車 的乘客數不變,每站同為 128 人(即 A 車廂在第二站下車的乘客為 8 人,上車 16 人),如果這樣計算,平均到了第五站,B、C 兩車廂的乘客數剛好達捷運文湖線每節車廂之上限乘客數 93 人(註二),而 A 車廂及 D 車廂卻只有 41 人,這樣懸殊的比例並不符合經濟效益。如下表所示:

就討論一的捷運出入口設計,我有一個想法想提供給北捷參考:請每站的站務人員安排乘客進入較少乘客的車廂。假設不改變首站的乘客分布比例,從第二站開始,讓 128 位欲上車的乘客皆只能選擇 A 或 D 兩車廂進入,此時各節車廂的理想乘客數分布如下表所示:

接著請第三站的站務人員引導欲上車的 128 乘客選擇進入 B、C 兩車廂;第四站的乘客只能選擇 A 或 D 兩車廂進入⋯⋯交錯車廂上車,以此類推。則各站之各節車廂的理想乘客數分布如下表所示:

如此一來,不但可以減少上下車人潮擠在一起的窘況,也可以讓列車載客量發揮到最大效能,更能避免乘客上不了車的情況發生。

小明:「教官!還有第二個分析,不要睡著囉!」

教官:「這麼有趣的生活數學,我怎麼會睡著呢!」

討論二:出入口唯二,且兩個出入口分別在列車 A、B 車廂中間與 C、D 車廂中間

假設出口到車門的距離皆可用直線分割,且每位乘客走到同側各個車門的機率相等,試算首站同樣有 128 位乘客在同班列車的各節車廂乘客分配,如圖所示:

設首站上車乘客有 a =128 人,則乘客進站前遇到的第一次選擇:由第一入口進站或由第二入口進站,理想的乘客分布比例為 ⅟2 a 人選擇由第一入口進站,⅟2 a 人選擇由第二入口進站。

進站後,由第一入口進站的 ⅟2 a 位乘客要做第二次選擇:往左走或往右走,理想的乘客分布 比例為 ⅟2 × ⅟2 a 人選擇往左走, ⅟2 × ⅟2 a 人選擇往右走。接著繼續直行, ⅟2 × ⅟2 a 人遇到 A2(或 B1)車門做第三次選擇:進入車門或繼續直行,理想的乘客分布比例為 ⅟2 × ⅟2 × ⅟2 a 人選擇進 A2(或 B1)車門, ⅟2 × ⅟2 × ⅟2 a 人選擇繼續直行,以此類推其他車門。由第二入口進入的乘客同也。則A車廂的乘客總數為 128 × ⅟8 + 128 × ⅟8 + 128 × ⅟128  + 128 × ⅟128 =34人;B車廂的人數為128 × ⅟8+ 128 × ⅟16 + 128 × ⅟64 + 128 × ⅟32 =30 人;C 車廂的乘客總數與 B 車廂同為 30 人;D 車廂的乘客總數與 A 車廂同為 34 人。

若每一站下車的乘客數都是各節車廂乘客數的一半,且上車的乘客數不變,每站同為 128 人(即 A 車廂在第二站下車的乘客為 17 人,上車 34 人),如果照這樣計算,無論哪一站四節車廂的乘客數皆不會超過捷運文湖線每節車廂之上限乘客數,且每節車廂的乘客數差異不大。另外還有一個驚奇的發現——第六站以後的站別,車廂乘客數將達一穩定值,即進出車廂的人數達平衡,不再改變。如下表所示:

上述的兩個討論皆只是就機率方面進行討論,實際做法還是需要視當天的乘車狀況,而有相對應的方法應變之。比較討論(一)和討論(二)的內容,或許愈多出入口對人們的通勤生活會更加便利,不過,就當今的文湖線系統而言,要多建設幾個出入口通往月臺可能是困難重重的計畫,何況有些月臺還需要經過天橋才能抵達。若能透過簡單的物聯網設計,將資訊技術應用在人們的生活中,或許,以後就不必花時間去探究捷運壅擠的應對措施,也可以減少苦惱上學遲到的問題了!建議北捷可以在車廂內裝設偵測車內人數的相關儀器,再透過物聯網將前一站偵測到的各車廂人數,傳達到下一站的候車月台,例如:綠燈表示車廂內較空曠, 紅燈則反之,利用智慧生活的概念,讓乘客方便掌握車內乘客數,好判斷哪一個車廂較容易 上車。如圖所示:

教官:「如此精采的報導,教官受益良多!好吧,你今天就不處罰你了!」

小明:「耶!謝謝教官!」提醒同學們下次遲到時記得準備一篇專題報導分析你遲到的理由喔!別忘了還可以投稿數感盃喔!

  • 註(一):由網路上的數據得知,文湖線的首站南港展覽館站與動物園站 2019 年 1 月份的進站 人數分別約為 32259 人次與 7740 人次,並查詢每日的總發車班次,尖峰時間和離峰時間班距會有所不同,經計算得知文湖線每日共發車約 290 班次。選擇進站人次較多的南港展覽館站 計算每班列車的平均載客量,得每班次約載客 107 人次。不過考量尖峰時間,搭乘的人次可 能會比平均值多一些,故取 128 人為估算值。(資料來源:臺北大眾捷運股份有限公司——旅運量
  • 註(二):文湖線捷運龐巴迪列車車廂最高承載人數為93人。(資料來源:台北捷運車輛簡介
  • 註(三):因為第一出入口與第二出入口在計算乘客選擇車門的機率時具有對稱性,故在此只說明第一出入口的機率分配。

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容,歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網粉絲頁喔。

文章難易度
數感實驗室_96
46 篇文章 ・ 18 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/


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從數學、邏輯到審美,演算法的極限是何處?——《再.創世》專題

再・創世 Cybernetic_96
・2021/09/27 ・5256字 ・閱讀時間約 10 分鐘
  • 作者/魏澤人|陽明交通大學 智慧計算與科技研究所

在一般印象中,”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響,理工與人文,在普遍認知中是二元對立的。而數學,是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中,各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰,也許還隱隱約約帶有一絲美的影子,但冷冰冰的數學公式,在許多人的求學經驗中,與美根本就是互斥的概念。

但是,懂數學的人都知道,數學是美的。甚至可以說,美是數學中不可或缺的部分。

圖/Pexels

著名的英國數學家哈代(Godfrey Harold Hardy)說:”數學家的創造形式,與畫家及詩人一樣,必須是美的: 將概念(就像顏色及詞語)以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件,醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”(A Mathematician’s Apology),在數學圈外有一定的名氣,前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因,是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解,法國最偉大的數學家之一龐加萊(Henri Poincare)說:”研究自然不是因為有用,而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素(Bertrand Russell)、艾狄胥(Paul Erdos)也留下不少關於數學與美的金句。

數學的美,不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗,只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家,但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員,她曾演出過白宮風雲(The West Wing),也曾在 NCIS、宅男行不行(The Big Bang Theory)及追愛總動員(How I Met Your Mother)中客串。但真正讓她出名的,是 80 末、90 初的影集兩小無猜(The Wonder Years),故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程,而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮,兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講, McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始,她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

Danica McKellar ,攝於2018。圖/WIKIPEDIA

演員什麼會與數學扯上關係呢?其實她大學就是學數學的,而且學得很好,在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此,大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文,其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年,她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ,頗受好評也很暢銷,之後也接續出版了許多書。她表示,她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」,用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外,她也參與影集 Project Mc2 的演出。 這部影節的目標是向全球的青少女們證明,科學、科技、STEAM(Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics)是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性,但很多情境下,美或者美化這些詞,常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝(與素顏對比)、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀,真正美之極致,往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限,平庸普通還是多數,不然,也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中,美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了,因為這句話如果成立,那在數學,也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

但問題是,數學家們感受到的美感是否真的是美?定理與證明真的可以用美或不美來形容呢?還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢?

2019 年時,英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”,其中的研究證據,支持一般人可能也跟數學家一樣,能感受到數學論證的美感。在其研究中發現,人們對數學的「美感」,就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似,有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判,跟與音樂、畫作美感一樣,和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的:「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說:「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家,對抽象代數有極大的貢獻,巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質,此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼,以紀念 Noether 的貢獻。此外,她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

Noether 與兄弟們的合照。圖/WIKIPEDIA

除了主觀上對於美的感受外,數學與藝術之間,也有很多直接的關聯性。以音樂來說,音律就與數學上的對數(也就是大家所認識的 \(\log\))有關。人類發展音律有很長的歷史,因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道,和弦時,不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店,聽到鐵鎚打鐵的聲音,覺得很悅耳,他走入店裡,發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6,其中 9 是 6 與 12 的算術平均,8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證,得到的結論是,弦長為一些簡單有理數比的時候,會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律,也反映出中國及歐洲在計算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題,因為很容易可以發現,\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友,可以繼續深入了解一下背後的學問。

另一個大家也觀察到的現象是,數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性,特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中,應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是,這個相關性會不會與能力本身無關呢?比方顯而易見,學科能力與學習音樂的條件,都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因,如種族、收入、教育背景,就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚,兩者的關聯性不但沒有消失,而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生,在盡可能排除其他因素的干擾下,他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

音樂與數學能力被證實有很高的相關性。圖/Pixabay

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜,”因為排除所有的相關影響並不容易,可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論,但這個結果讓他思考了很多,”微觀技術來說,可能在音樂中的音準、音程、節拍,可能語言認知的基礎相關,而巨觀技術上的調式與調性,可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外,還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士(Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一,費爾茲獎得主)發表的論文指出,經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部,發現數學家在評斷數學式子美感時,動用到眼額皮質外側的 A1 區域,與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯,因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比,繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說,美與數學並不是感性與理性的對立,而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說:”美即是真,真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”,而數學以及其背後的邏輯,就是人類對於”真”的具像。

評斷數學式子美感或觀察其他美感事物時,數學家大腦活耀的區域相同。圖/Pexels

可以說在知識份子階層中,數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確,像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點,人工智慧是否能創造藝術作品這個問題,至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作,可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說,就是許多線性映射與激活函數的合成函數,藉由梯度下降法,收斂到的穩定數學解。既然數學即美,那由數學建構的人工智慧,能產生美的事物,也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本,設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講,就是給電腦看一些李白的詩,希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂,希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術,已經能讓人工智慧能藉由學習,”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型,其名稱取自於同名的電影(全面啟動),當時主要是在圖片辨識任務上,取得很好的成果。2015 年時, Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型,讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後,Leon Gatys 等人用類似的方法,設計一套演算法,能將畫家的畫風轉移到照片上,典型的例子是將風景、建築照片,轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究,一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作,拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時, Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路(Generative Adversarial Network),是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究,現在的深度學習模型,在一些領域中,已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型,能生出幾可亂真的人臉。現在,在手機上,能使用 APP,將你的照片轉成迪士尼的畫風。

讓生成模型想像生氣的亞洲人老醫生(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

2021 年時, OpenAI 釋出了 CLIP 模型,這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制,來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說,如果你畫了一張畫,或者拿到一張照片,你可以利用文字”更有喜感一點,更有亞洲風味一點”,來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中,大家試出了許多像”咒語”般的技巧,比方有個著名的 “unreal engine trick”,就是當你在控制產生圖片的句子中,加入 “unreal engine” 這個詞(unreal engine 是一個遊戲引擎),常常會讓產生品質更高的圖片。 乍看之下有點不明所以,但仔細一想,因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片,往往是強調其遊戲高畫質,久而久之, CLIP 看到這個詞,很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外,人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品,特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3,已經能在用戶給出簡單的指示後,產生非常複雜的文字作品,除了詩、笑話、故事外,甚至連食譜、程式碼都可以。

讓生成模型想像亞洲的小甜甜布蘭妮(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

但這些,真的算是人工智慧的創作嗎?

在 2018 年時,由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy,以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的?這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”,以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\(\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right]\) 這個數學式子,這個式子是生成對抗網路使用的目標函數,也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是,生成這幅圖片的程式碼,是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人(如 AICAN)認為這個連創作都算不上。

人工智慧的創作《 Edmond de Belamy 》。圖/WIKIPEDIA

所以,這幅畫到底是誰的創作?物理學家海森堡曾說,即使在沒有足夠證據的支持下,”當自然引導我們得到極簡與美的數學式時”,”我們會不由自主的感受到,這就是自然真相被揭露的一角”。也許,真正創作者不是人工智慧,也不是人類,我們只是自然的一部分,有幸釋放了,並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。

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再・創世 Cybernetic_96
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由策展人沈伯丞籌畫之藝術計畫《再・創世 Cybernetic》,嘗試從演化控制學的理論基礎上,探討仿生學、人工智慧、嵌合體與賽伯格以及環境控制學等新知識技術所構成的未來生命圖像。
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