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終於抽到 SSR 微中子啦!人類首見太陽稀有核反應的直接證據

科學大抖宅_96
・2020/12/15 ・3518字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 593 ・九年級

就在 2020 年 11 月 25 日,知名期刊《自然》(Nature)刊登了一篇別具意義的論文:義大利格蘭薩索國立實驗室(Laboratori Nazionali del Gran Sasso)的研究團隊Borexino Collaboration首度偵測到,來自太陽核融合過程中碳氮氧循環(carbon–nitrogen–oxygen cycle,CNO cycle)的微中子。

碳氮氧循環是在 1930 年代末期,由德國物理學家魏茨澤克(Carl von Weizsäcker,1912–2007)和德國、美國雙重國籍的猶太裔物理學家貝特(Hans Bethe,1906–2005)分別提出的概念。恆星在誕生初期,主要成分為氫,藉著兩種不同類型的核反應,將氫融合成氦並產生能量――碳氮氧循環即為其中之一。

恆星在進行核融合反應的時候,會產生無以計數的電中性微小粒子――稱為微中子(neutrino);雖然人們於 1968 年就已測得太陽釋放出的微中子,但直到五十多年後的現在,來自碳氮氧循環的微中子才終於有了觀測證據――這不但是微中子實驗的重大突破,也帶來深遠的影響。

格蘭薩索國立實驗室地表部分的俯瞰照。圖/Wikipedia

恆星的氫融合(Hydrogen fusion)

1920 年代初,人們對太陽如何發光、發熱毫無所悉;當時,知名天文學家愛丁頓(Arthur Stanley Eddington,1882–1944)提議,恆星可能是利用氫,核融合為氦,來產生能量。只不過,因為核反應相關理論還在發展當中,背後原理付之闕如,愛丁頓的假說尚未能有證據支持。

到了 1930 年代後半,伴隨核子物理的飛快進展,時任美國康乃爾大學(Cornell University)教授的貝特,發表了一系列共三篇論文,總結當時幾乎所有已知的核子物理知識――被戲稱為「貝特聖經」(Bethe’s Bible)。作為美國頂尖的理論物理學家之一,貝特受到其他學者針對太陽的研究成果啟發,又接續撰寫了兩篇論文,主題分別就是現今所知,氫核融合為氦的兩種核反應類型:一為質子–質子連鎖反應(proton–proton chain reaction,又稱質子–質子鏈反應),二為碳氮氧循環――也因為在「核反應理論的貢獻,尤其是關於恆星產生能量的發現」,貝特獨得1967年諾貝爾物理學獎。

漢斯‧貝特。圖/Wikipedia

太陽的主要反應——質子–質子連鎖反應

在貝特之後,科學家針對兩種類型的核反應,進行了更多的研究與補充;如今我們知道,恆星在形成初期主要由氫構成,其核心的高溫、高壓,促使氫進行核融合反應成為氦,連帶產生能量;在質量約莫等於太陽、或更小的恆星上,極大部分產出能量都來自質子–質子連鎖反應。

在質子–質子連鎖反應的第一階段,兩個氫原子核(即質子)融合成一個氘原子核(氫的同位素,由一個質子和一個中子組成),加上正電子和微中子――現實上這極難發生:太陽核心的每個質子,平均要等 90 億年才能夠藉由量子效應,成功和另一個質子融合,只是因為太陽的質子數目極多,所以此核融合反應才得以穩定進行;也幸虧這個反應相當困難,太陽才不至於一下子就耗盡了所有的氫。

緊接著,新形成的氘原子核會再和一個質子融合,產生氦的同位素氦-3 以及光子。最終,氦-3 會經由幾種不同的途徑(鋰、鈹、硼三種元素會在此過程中產生,又被消耗掉),成為氦-4,也就是最常見的氦原子核――而恆星的溫度與組成就會決定這些反應途徑的發生比例。

大型恆星主要反應——碳氮氧循環

除了質子–質子連鎖反應之外,還有另一種管道可以將氫融合成氦,稱為碳氮氧循環。除了貝特之外,1930 年代末於威廉大帝物理研究所(Kaiser Wilhelm Institute für Physik)擔任研究員的魏茨澤克,也對碳氮氧循環作出重要貢獻。

卡爾‧馮‧魏茨澤克。圖/Wikipedia

碳氮氧循環跟質子–質子連鎖反應一樣,能夠藉由多重的核融合途徑將氫融合為氦;只不過,碳氮氧循環需要利用恆星內部既有的碳、氮、氧元素(有時也牽涉到氟和氖)在中間做催化,其於核反應之中消耗,讓氫融合為氦,然後重生――整個淨反應不會牽涉到碳、氮、氧元素的增減。

碳氮氧循環和質子–質子連鎖反應的開始,以及兩者產出的能量,由恆星的核心溫度決定。相較於只要約絕對溫標 800 萬 K,就足以讓質子–質子連鎖反應持續發生,碳氮氧循環要到 1500 萬 K,反應才能夠不斷循環下去。以太陽為例,其核心溫度約 1570 萬 K,僅比 1500 萬 K 高一點,估計只有 1.7% 的氦-4 核融合產物來自碳氮氧循環。在質量為太陽 1.3 倍以上的恆星,碳氮氧循環才會是主要的能量來源。

恆星產出的能量(縱軸),和其溫度(橫軸)的關係圖。太陽核心差不多剛好就在碳氮氧循環(藍線)開始得以進行的溫度。圖中的綠線代表質子–質子連鎖反應,最右的紅色線條則稱為三氦核過程(Triple-alpha process),目前太陽的溫度不足以進行,也非屬氫融合。圖/Wikipedia

在太陽觀測到碳氮氧循環的微中子!

不管是質子–質子連鎖反應還是碳氮氧循環,都會產生大量微中子。然而,因為牽涉到的中間過程不同,所以兩者產生的微中子,其流量和能量分布呈現相異的特徵――科學家便能據此,利用太陽產生的微中子,來得知太陽內部核融合反應的狀況。

為了避免宇宙射線的干擾,Borexino 實驗座落於義大利格蘭薩索山(Gran Sasso d’Italia)地底;偵測器主體由直徑4.25公尺的尼龍容器製成,裝滿了278公噸的液態閃爍體(liquid-scintillator);當太陽微中子通過閃爍體時,有機會和其中的電子作用並產生光子――排列在周圍的光電倍增管(photomultiplier tubes)陣列便能補捉到這些光子訊號。

雖然從太陽產生的微中子多不勝數――差不多每秒就有一千億個太陽微中子穿越你的拇指指甲,但它們很難和其他物質作用,可以幾乎毫無阻礙地穿過整個地球;平均來說,每一百公噸的閃爍體每天只能和數十個微中子成功發生反應,來自碳氮氧循環的微中子就又更少了。

Borexino 團隊早在 2018 年就已針對質子–質子連鎖反應產生的太陽微中子發表過詳細的研究報告;這一次,他們利用 2016 年 7 月到 2020 年 2 月,總共運轉了 1072 小時的實驗數據,成功確認來自碳氮氧循環的太陽微中子――這並不表示團隊只要把儀器設置好就沒事了:一方面他們必須將來自碳氮氧循環的微中子,與質子–質子連鎖反應的微中子區分開來;二方面,還必須排除偵測過程中可能的雜訊――閃爍體、容器、甚至外在環境都含有的微量放射性元素,以及沒有完全排除的宇宙射線,都可能會造成假訊號。經過多年的努力與研發,實驗團隊才成功將雜訊壓低,讓碳氮氧循環微中子的偵測成為可能。

實驗團隊的實驗數據:桃紅色實線代表觀測到的總微中子事例數目分布,紅色實線則代表來自碳氮氧循環的微中子事例。圖/參考文獻1

碳氮氧循環的微中子有助於理解太陽組成

本次實驗結果,不但肯定了魏茨澤克和貝特關於碳氮氧循環的研究,也確認了太陽核融合產生的能量,約有 1% 來自碳氮氧循環。因為碳氮氧循環的過程中,會使用到碳、氮和氧,以致這些元素在太陽核心的含量,會連帶影響到碳氮氧循環的反應速率、跟產生的微中子流量――所以,碳氮氧循環微中子還能拿來評估太陽內部碳、氮、氧元素的豐富程度。

以往,針對太陽金屬豐度(metallicity,比氦重的元素在天文學都稱為金屬)的研究,利用聲波在太陽上的傳遞現象(即日震學)所得到的結果,和標準太陽模型的預測一致;但是近來的光譜學測量,卻得到矛盾的結論。恆星的金屬豐度會影響光子在其內部傳遞的難易度,間接改變恆星的溫度、甚至演化過程――若能精確測量太陽的金屬豐度,將大幅提昇我們對太陽的認知。

儘管,現在對碳氮氧循環微中子的觀測結果,還不足以解決太陽金屬豐度的問題;但未來若能進一步提高實驗精確度,或許對此議題能夠有所發揮。另一方面,Borexino 團隊的成就,也讓我們對較重恆星產出能量的主要方式,即碳氮氧循環,擁有更全面性的理解――這無疑是微中子物理學的里程碑,也是實驗物理的階段性成就。

Borexino實驗中,裝了液態閃爍體的水槽。圖/參考文獻1

參考資料

  1. The Borexino Collaboration, “Experimental evidence of neutrinos produced in the CNO fusion cycle in the Sun”. Nature 587, 577–582 (2020).
  2. Maurizio Salaris and Santi Cassisi, “Evolution of stars and stellar populations”.  Hoboken, NJ, USA : J. Wiley (2005).
  3. Gabriel D. Orebi Gann, “Neutrino detection gets to the core of the Sun”. Nov. 25 (2020).
  4. Hamish Johnston, “Borexino spots solar neutrinos from elusive fusion cycle”. Physicsworld, Nov. 25 (2020).
  5. Stellar nucleosynthesis – Wikipedia
  6. Proton–proton chain reaction – Wikipedia
  7. CNO cycle – Wikipedia
  8. Hans Bethe – Wikipedia

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科學大抖宅_96
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在此先聲明,這是本名。小時動漫宅,長大科學宅,故稱大抖宅。物理系博士後研究員,大學兼任助理教授。人文社會議題鍵盤鄉民。人生格言:「我要成為阿宅王!」科普工作相關邀約請至 https://otakuphysics.blogspot.com/


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既是科學家,也是樂團鼓手!──專訪數學物理學家程之寧

研之有物│中央研究院_96
・2022/03/11 ・5978字 ・閱讀時間約 12 分鐘

本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位。

  • 採訪撰文|郭雅欣、簡克志
  • 美術設計|林洵安、蔡宛潔

在學術與搖滾的多重維度上行走

還記得美劇《The Big Bang Theory》嗎?劇中常常出現的物理名詞「弦論」,是描述物理世界基本結構的理論。中央研究院「研之有物」專訪院內數學研究所程之寧研究員,她正是研究弦論的科學家,也是熱愛音樂的搖滾樂團鼓手,這種跨領域身份並不衝突,兩邊都需要創造力與紀律。由於天生斜槓的性格,讓程之寧在數學和物理領域大展身手,透過數學的深入探討,她試圖將弦論更往前推進。最近程之寧更跨足到人工智慧領域,為學界提供理論物理上的貢獻。

中研院數學所程之寧研究員,主要研究 K3 曲面(特殊的四維空間)的弦論,她發現模函數和有限對稱群之間有 23 個新的數學關聯,稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。圖/研之有物

萬有理論和難以捉摸的「月光」

世界從那裡來呢?物理世界的本質是什麼呢?回答這樣的大哉問,一直是理論物理學家所追求的目標。從牛頓力學(日常應用)、廣義相對論(探討很重的物質)到量子力學(探討很小的物質),隨著物理學不斷發展,我們似乎一步步接近答案,但至今卻還未走到終點。

舉例來說,如果有個東西很重又很小,就像「黑洞」,或是大爆炸時的宇宙,我們要怎麼用數學描述?於是科學家試圖整合廣義相對論和量子力學,找出所謂的「萬有理論」(Theory of Everything)──能完全解釋物理世界基本結構的核心理論。

程之寧研究的「弦論」就企圖發展成這樣一個萬有理論。弦論一如其名的「玄妙」,它設定宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。

「人類一直以來的夢想之一就是,如果能用一句話解釋所有事情,那該有多麼美好。」中研院數學所研究員程之寧說道。

程之寧的研究牽涉到數學上的「月光猜想」(Moonshine)與弦論中 K3 曲面的連結。月光猜想是存在於模函數係數與特殊群之間的數學關聯,程之寧與其研究夥伴共發現了 23 個新的關連,並稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。

基於弦論的假設,我們的世界是十維的,除了人們在日常生活中可以感知到的 3+1 維(空間+時間),還有六維是因為尺寸太小而無法用肉眼觀察的,這些看不到的維度影響著物理世界,最終也產生了我們這個物理世界所需的各種條件與特性。

綜觀程之寧的研究,橫跨了物理與數學兩個領域,她笑稱自己「天生斜槓」。在學術上,程之寧原先喜歡文學,之後卻走上數理研究的道路;在音樂上,程之寧喜愛搖滾樂,至今仍在自己的樂團裡擔任鼓手。

她如何看待自己一路走來的各種轉折?游徜在數學與物理之間,她又對這兩個領域的連結有怎樣的體會?在與「研之有物」的訪談中,程之寧侃侃而談她的經歷、想法,以及對學術研究的熱忱所在。

在弦論的設定中,宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。圖/iStock
  • 請問您是如何對數學及物理產生興趣?從何時開始?

一開始考大學時,其實我想去念中文系(笑)。不過,因為我高中是選理組,而且只念了一兩年,對文科考試比較沒把握,加上對工程科系沒興趣,最後就選擇臺大物理系就讀。

後來發生兩個轉折,第一個是我很認真的去修了大學中文系的課,結果發現真的沒有想像中容易。第二個就是我發現物理系的課還蠻有趣的,像量子力學和相對論,讓我覺得還想再多學一點、多知道一點。

我開始覺得如果念完臺大物理系就停下來,好像有一種小說沒讀完的感覺,所以就想繼續讀碩士班。那時還沒有覺得自己會走上學術研究的路,單純抱著想把故事看完的想法。

  • 後來是如何接觸到弦論?弦論是如何引起您的興趣?

後來我去荷蘭念碩士,指導教授是諾貝爾物理獎得主 Gerard ’t Hooft。他其實蠻不認同弦論,但他對於如何處理量子力學與相對論很有興趣。

當時 ’t Hooft 教授在建議我碩士題目時就說:「你也知道我不太認為弦論是一條正確的道路,不過聽說弦論最近真的在量子重力這一塊有一些成果。不如妳去讀一讀,看看是不是真的有一些東西在那裡,也可以比較一下其他量子重力理論。」

在我很認真的比較各個量子重力理論之後,就變成弦論派了(笑)。’t Hooft 教授對此也保持開放態度,他有幾個不錯的博士生後來也變成弦論學家,之後我在 Erik Verlinde 的指導下念博士時,就完全以弦論為研究主題了。

  • 研究理論物理會影響您對現實世界的理解嗎?

蠻多人會問我說,妳學了量子力學,是不是就會比較了解這個世界不是非黑即白?或問我量子力學跟宗教是不是有關?可是我覺得我分得很開,我不會去做這樣的連結,我還是活在現實裡,走路時大部分都在專注於自己不要跌倒之類的。

如果真的要講,我蠻感激我們的存在,因為我所學的東西讓我知道這是沒有必然性的。我們能這樣以一種人形的很奇怪的生物的形式存在,然後在這樣一個環境過一輩子,是機率很低的事情,而且我還蠻開心我是當人,而不是奇怪的阿米巴蟲或外星生物!有些人會從這裡連結到宗教或轉世,但我不會,我就停在這裡。

  • 來談談您的研究,伴影月光猜想與 K3 曲面弦論之間是什麼關係?

弦論中有很多的可能性,我們可以挑選特定的四維,然後假設這四維空間是個 K3 曲面。例如說,我們可以把兩個甜甜圈乘起來,在上面做特殊的奇異點,來製造出一個 K3 曲面。這個曲面有一些很有趣的對稱性。從弦論的角度來講,我們可以透過這個過程,找出一個解釋為何有伴影月光猜想的框架。

「把維度乘起來」這個概念很難想像,但這在數學上是成立的。我舉例一個我們能想像的「乘起來」:如果有一個空間是一條線,另一個空間是一個圓,乘起來就變成一個圓柱形,從一個方向剖面可以切出圓,另一個方向則切出線。而在數學上,不管幾維,能不能在紙上畫的出來,都可以這樣操作。

程之寧向「研之有物」採訪團隊解釋「把維度乘起來」的概念。圖/研之有物
  • 如何透過計算,發現捉摸不定的「月光」?

有時候這看似湊巧,一個數學上的函數正好就是弦論某個問題的答案。但其實並不是真的那麼巧,弦論看起來很有彈性,好像什麼都可以解釋,但它其實有非常多結構及限制。

當我在計算一個弦論理論時,它的內部結構可能原本就具有某些特定的性質,然後我再去觀察數學中,有這樣性質的函數可能就只有一兩個,只要再初步算一下,就能知道哪一個是答案。弦論學家日常的計算常常是這樣的,所以這是巧合嗎?是也不是。

  • 您曾經發現 23 個新的伴影月光猜想,您對這類題目特別有興趣嗎?

我覺得數學有兩種,有些數學家喜歡系統性的事情,就像蓋房子一樣,在數學裡建造一個很美麗、非常有系統性的結構,可以把很多事情都放入這個結構來理解。

另一種比較少數的,就是喜歡獵奇,去收集分類奇奇怪怪的特殊東西,例如有這些性質的函數在哪裡?可能你算出來就是 5 個,你也不知道為什麼。月光猜想很明顯就屬於這一類。

兩種的樂趣感覺是不一樣的,我覺得應該都很棒,但我可能是屬於偏好獵奇的這種。

  • 您的研究連結了物理上的弦論與數學上的月光猜想,您怎麼看待這兩個知識體系的互動?

弦論是一個需要很多數學理論配合的物理理論,它是一個有點繁複的框架,我們什麼都要會一些,才能看懂這個理論。當你把許多不一樣的學門的知識加起來,有時候就會在某一個學門──例如幾何──有意想不到的收穫。

弦論在數學上也扮演探索與找尋新方向的角色,讓數學家有新的發現。雖然最後數學定理的證明還是得仰賴傳統數學方法,但在這二三十年間,我們一直從弦論身上找尋數學研究的新方向或有趣的猜想,看到了弦論與數學之間的互動。

數學家有兩種,一種人喜歡建立美麗又有系統性的結構,另一種人喜歡尋找和收集奇怪特殊的數學物件(比如函數),程之寧表示自己屬於後者。圖/研之有物
  • 剛才一開始提到,您高中只念了一兩年,是因為對學校沒有興趣嗎?

其實我一直都覺得上學很無聊。我小時候臺灣教育和現在很不一樣,一班 50 幾個人,老師必須盡量軍事化管理,大家最好都一模一樣,比較好管理。我和學校一直處於互相磨合的狀況,我自認已經努力配合學校,但學校一直覺得我在反抗,這可能是一個認知上的差別。

舉例來說,我小學的時候不想睡午覺,可是老師說大家都一定要睡午覺,不睡午覺的人要罰抄課文,所以我早上到學校時就會把已經抄好的課文交給老師。我覺得我這樣做是在配合老師的規定,可是以老師的立場會覺得我在反抗,學校教育中我遇到了很多類似的情況。

還有就是不喜歡高中的升學氛圍,同學和老師好像都只有一個活著的目標,就是「考大學」。我當時無法習慣升學氛圍,感覺好像活在平行宇宙一樣。

  • 高中休學後,您去唱片行工作,可否談談當時的想法?

我國中開始聽音樂,這是我除了看書之外的重要興趣,我也很快就喜歡上了搖滾樂。高中休學的時候,我唯一的謀生技能可能就是我對音樂的各類知識吧!所以我就去了唱片行,這是唯一一個我會做又有興趣的工作,還好那時候還有很多唱片行(笑)。

  • 對音樂的熱忱,讓您與朋友共組了樂團,並擔任鼓手。您是否比較過樂團生活和學術研究之間的異同之處?

有些人覺得我這樣很跳 tone,但我自己覺得還好。音樂和學術都是我發自內心覺得好玩的東西,兩者也有相同之處,例如它們都需要創造性,也都有需要了解的框架。數學需要嚴謹的證明,音樂演奏也需要遵循結構,例如不能掉拍。

音樂領域還有一點和數學類似──玩樂團的圈子也是以男性為主。我們樂團則是只有一個男生,其他都是女生,可能我真的天生對框架有點遲鈍,玩團之後才發現:「怎麼大家都是男生?」

程之寧表示,學術界仍有許多性別不平等問題未受重視。圖/研之有物
  • 也就是說,目前數學學術圈仍是男性主導,在研究路上,您有因為性別而感受到一些衝擊或眼光嗎?您怎麼面對?

有。那感覺很明顯,日復一日地要去面對,尤其是年紀還比較輕、還必須每一天去證明自己的能力的時候,特別有感。

我遇到時的反應就是,在心裡暗罵一句髒話,然後繼續做我要做的事。我不會想改變別人的想法,感覺那是浪費時間,就算環境給我的阻礙是這樣,我還是繼續去做該做的事。

可是有些事情沒那麼簡單,現在我也當過老師,有時候會看到年輕女生在學術界因為性別而被欺負,或遭到不公平待遇、甚至騷擾。

對此我感到心痛,覺得為何我們學術領域還是這樣的狀況?甚至為什麼性騷擾至今還是一個議題?可以確定的是,學術界許多性別不平等問題未受到重視。

  • 您現在已經有傑出的研究成果,還會因為性別而遭受質疑嗎?

我現在比較會遇到一個狀況反而是來自學生的質疑。我在荷蘭阿姆斯特丹大學教書時,有時候學生會因為我是女教授,而且我的外表在許多歐洲人眼中看起來就像小妹妹,所以比較容易去挑我的毛病。

在課堂上,下面坐的可能都是男學生,只有一兩個女學生,那個氣氛就會變得很奇怪。例如說偶爾會聽到學生評論我的身材或樣貌。

我有和其他一些在歐洲或美國的女性教授聊過這樣的問題,似乎不少人都有類似的不太愉快的經驗。感覺不是很好。

  • 看到您最近的研究和人工智慧(AI)有關,為何會想往這個方向發展?

我有兩個動機。一個就是我真的想深入了解人工智慧。我也可以像普羅大眾,看看 AI 下圍棋,讚嘆「哇!好厲害!」這樣就好,可是我覺得我一定可以真的去理解它,這可能就是數學家的自大吧!

另一方面,我知道對科學研究來說,未來 AI 將會是一個非常重要的工具。這是「在職訓練」的概念,我可能會用到這個新工具,或以後我可能會需要教這樣的課,因為學生是下一代的科學家。因為這些原因,我覺得我需要去訓練自己使用新的工具。在我的領域裡,也有一些有趣的、還沒被解答的科學問題,是 AI 有可能幫得上忙的,我看到了一些潛力。

  • 弦論和 AI 感覺差距很大,AI 也可以應用到弦論的研究嗎?

乍看之下,弦論的確比較抽象,也不像其他許多實驗會產生大量數據。但其實弦論有大量的可能性,我認為使用 AI 來在這些巨量的可能性當中搜尋特別有趣的理論,是一個有潛力能夠加深我們對弦論理解的新的研究方法。

而且 AI 的應用絕不僅限於巨量資料。如果是面對一些比較新的挑戰,在沒有現成的演算法可以用的情形之下,可以自己做出需要的功能嗎?這過程我覺得也非常很有趣,而且應該是會有成果的一條路。這種不是那麼顯而易見的事情,我覺得很有挑戰性,也蠻好玩的。

除了用 AI 來幫助物理跟數學的研究之外,我也試著物理研究當做靈感來源,找出新的 AI 的可能性,我覺得這也是一個很有趣的研究方向。我現在有和 AI 的學者合作,嘗試做出一些創新的演算法,真的還蠻有趣的。

  • AI 對您而言是全新的領域,您如何面對跨領域遇到的門檻?

一開始會覺得真的要去碰這個新的領域嗎?其實現在也還是偶爾會有這樣的懷疑。我在弦論領域可能已經是專家,但去了一個新的領域,我學得不會比二十歲的人快,要怎麼去跟人家競爭?是不是在浪費時間?

但也會想,與其想這麼多,不如先做再說。到目前為止我做了兩年多,感覺還蠻好的,我有學到東西,也有做出小小的貢獻。

其實我還蠻感激有這樣的學習機會。對我來說當科學家最大的好處就是,去搞懂一個新的東西就是工作的一部分。當科學家雖然蠻辛苦,但就結果論來說,我還蠻開心能當一位科學家!

延伸閱讀

  1. Moonshine Master Toys With String Theory | Quanta Magazine
  2. Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow | Quanta Magazine
  3. 林正洪教授演講 一 怪物與月光(Monster and Moonshine),《數學傳播》

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