會算「貝氏定理」的人生是彩色的！該如何利用它讓判斷更準確、生活更美好呢？

Dear Abby 是 1956 年開始發行、流傳甚廣的美國顧問專欄，起初的作者 Pauline Phillips 已在 2013 年過世，現由她女兒繼續以同名執筆經營。Dear Abby 經常為讀者提供諮商，為他們解決各種疑難雜症。下面這封讀者來函曾被列入統計學教科書裡，我也常用來作為基本統計學的教材。

「Dear Abby：

妳在專欄寫過女人懷胎266天。這是誰說的？我懷我的寶貝懷了 10 個月又 5 天 (310天)。這一點都不容置疑，因為我知道寶貝是哪天開始懷的。我老公在海軍服役，上次我們只見面一個鐘頭，而且之後就一直到生產前一天再見面，因此寶貝一定是在那個時候懷的。我不喝酒也沒亂劈腿，寶貝不可能不是老公的，請務必修正女人懷胎 266 天的說法，否則我的麻煩大了。

聖地牙哥讀者。」

我把這個材料給學生看，然後引用醫學知識，說受孕至生產時間呈常態分配，其平均數為 266 天、標準差為 16 天，要他們計算女人懷胎最少 310 天的機率，他們算出答案為 0.003 時，都發出會心的微笑。

現在我把這題目略改如下：

某貝氏統計學家與老婆婚姻生活一向平靜無波。某年元旦，兩人慶祝新年，決定生產報國，嗣後依然恢復平靜無波的生活。該年 11 月 7 日，老婆產下一女。

老公是一位統計學家，善於數算，老婆生產後，他推算如果此女確為從他所出，則老婆懷孕時間長達 310 天。根據醫學知識，一般婦女懷孕時間呈常態分配，其平均數為 266 天，標準差為 16 天。老公推算懷胎至少 310 天的機率是 0.003。

統計學家老公算出這個機率後，不禁眉頭一皺。他想：0.003是小機率事件，比統計推論的顯著水平0.05還小很多，怎麼就發生在自己家裡？此機率是由老婆受孕日期在 1 月 1 日的假設推算出來，因機率甚小，依「以否定後件來否定前件」（modus tollens）的命題邏輯，不能接受這個假設，然則難道自己戴綠帽了！當下咬牙切齒，拍桌大罵老婆。

不過老公畢竟有些學問，他再仔細一想：0.003 的機率雖然小，但若樣本夠大，這麼小的機率也會發生在很多人身上。以台灣每年大約有 20 萬新生兒來說，假設大多數為單胞胎自然生產，則每年約有 600 個媽媽懷孕時間會長達 310 天或更久。

大樂透每注中頭獎的機率 0.00000007 比 0.003 要小很多，而經常都有人中獎。相較之下，老婆中到 0.003 機率的大獎，也沒什麼好奇怪的啊。統計學家老公想到這裡，不禁笑開了嘴：這寶貝女兒，說不定還會給自己帶來財運呢。立馬到彩券行買了十張樂透。

第二天樂透開獎，十張全部槓龜，統計學家老公又懊惱起來了。他想：雖然說經常都有人中樂透，偏偏自己從來沒中過，連每期對幾十張統一發票都難得中到 200 元的小獎，哪有說這 0.003 機率的事件就輪到我？畢竟「個人中獎」和「有人中獎」是不同的事件，不能一概而論。那怎麼辦呢？究竟我該不該相信老婆？還是乾脆去查驗 DNA 算了？

貝氏統計學家老公靈光一閃，發現自己面臨的難題其實並沒有那麼簡單，而應該用貝式定理來推算。他這樣想：0.003 是在老婆未出軌的假設下計算的，因此它是一個條件機率：

Pr(產期≥11/7|受孕期=1/1)= 0.003

但對一個貝氏統計學家而言，更該問的問題其實是：既然小孩是在 11 月 7 日出生，那老婆未出軌的機率為何？換句話說，更重要的機率應該是上面那個機率的反機率：

Pr(受孕期=1/1|產期≥11/7)=？

這就是老婆未出軌的後驗機率。以貝氏統計學家的專長，老公知道要算這個後驗機率需要考慮兩個變數：

1. 老婆在 1 月 1 日之後，是否有出軌受孕的機會？假設真正的受孕期是 1 月 1 日之後的第X天。X=0 代表老婆沒出軌，受孕期真的是 1 月 1 日；X>0代表老婆在 1 月 1 日後出軌才受孕。
2. 自己一向對老婆有多少信心？依自己的主觀判斷，老婆未出軌，即 X=0 的機率有多少？假設 X=0 的機率為Y，X>0的機率為 1-Y，則 Y 越接近 1 信心越高，越接近0信心越低。Y是X=0的邊際機率，1-Y是X>0的邊際機率。這邊際機率也就是貝氏定理所謂的先驗機率。

另外，如果我們以D來代表懷孕時間，則不論受孕期X是哪天，小孩在11月7日出生時，D都等於310-X。我們以D<310-X代表產期在11月7日之前，D≥310-X代表產期在11月7日這天或這天之後。

D≥310-X 的機率顯然與X有關，我們用p(X)來代表此一條件機率：p(X)=Pr(D≥310-X|X)。因為懷孕時間呈常態分配：D~N(266,16²)，我們可以導出：

\(p\left ( X \right )= Pr\left ( D\geq 310- X|X \right )= \frac{1}{2}Erf\left ( \frac{44-X}{16 \sqrt{2}} \right )\)

這裡Erf()是誤差函數；當 X=0時，p(0)=0.003。考慮這些變數後，我們可以用下列矩陣來呈現這個貝氏定理問題：

關於貝氏定理的算法，請參考我寫的《會算「貝氏定理」的人生是彩色的！該如何利用它讓判斷更準確、生活更美好呢？》。老公要求的後驗機率是：Pr(受孕期=1/1|產期≥11/7)=Pr(X=0| D≥310-X)。

要求這個機率，首先必須把上表中「行」的條件機率轉化成聯合機率。這個只要記得「聯合機率等於條件機率乘以條件本身的邊際機率」的口訣就可算出如下：

算出聯合機率之後，再用「條件機率等於聯合機率除以條件本身的邊際機率」的口訣就可算出所要求的「列」的條件機率：

Pr(受孕期 =1/1 │產期≧11/7)\(=Pr\left ( X=0 | D\geq 310-X\right )\) \(= \frac{Y p(0)}{Y p(0)+(1-Y)p(X)}\)

把前面算出 p(0) 和 p(X) 套入上式之後，我們可以看到後驗機率 Pr(X=0|D≥310-X) 是X和Y的函數，為了更容易分析這函數，我們先把 Y值固定，再看它如何隨 X值變化。

首先，假設老公對老婆只有Y=0.5的信心，則後驗機率的函數圖形如下：

這個圖顯示如果老公本來就對老婆疑信參半，則當老婆在1月1日之後的一個半月之內有出軌的機會時，老公對老婆的信心會隨著X的增加而急速下降。當出軌的機會X 增加到預產期（1月1日後第 X+266 天）越接近 11 月 7 日時，X>0 顯得越「正常」而 X=0 顯得越「不正常」， 因此老公的信心會越低，疑心越重。特別是當老婆在二月 (X>30) 有出軌的機會時，那意謂著 11 月 7 日正是預產期的一個標準差（16天）之內，老公的信心會降至幾乎為0。

其次，如果老公平常對老婆有極高的信心，例如 Y=0.99，則後驗機率的圖形為

這圖顯示如果老公平常對老婆有充分的信心，則這信心隨著 X 的增加會下降得比較緩慢。即使到二月初才有出軌機會，也就是預產期開始接近 11 月 7 日時，老公對老婆仍然維持著 0.6 以上的信心。甚至當 X=44，即預產期恰恰為 11 月 7 日時，老公的信心仍在 0.37 的水平。

雖然信心不至於完全崩潰，但畢竟也會隨著 X 的增加而減小。老公算出貝氏後驗機率後應該了解，310 天是超乎尋常的懷孕時間，除非本來對老婆就有百分之百的信心，否則信心一定會下降的。雖說這只是「信者恆信，不信者恆不信」的貝氏詮釋，但在這個案例，信者卻必須要完全相信才能恆信，而不信者只要心中有點疑竇，終究會不信。

貝氏統計學者數算到這裡，長嘆了一口氣：「還是去查驗DNA吧！」

本文轉載自作者部落格，原文標題：數算日子的智慧：貝氏統計學家的婚姻難題

許多人說，現在科學這麼發達，為什麼天氣預報總是不準呢？

這裡涉及一個數學問題，稱為「條件機率」。

什麼是條件機率呢？例如我們要確定 6 月 15 日是不是下雨，根據往年資料，下雨的機率有 40% ，不下雨的機率為 60% ，這就稱為「機率」。如果在前一天，天氣預報說 6月15 日下雨，這就稱為「條件」， 在這種條件下， 6 月 15 日真正下雨的機率就稱為「條件概率」。

你哭著對我說，天氣預報裡都是騙人的

天氣預報根據一定的氣象參數推測是否會下雨，由於天氣捉摸不定，即便預報下雨，也有可能是晴天。假設天氣預報的準確率為 90% ，即在預報下雨的情況下，有 90% 的機率下雨，有 10% 的機率不下雨；同樣，在預報不下雨的情況下，有 10% 的機率下雨，有 90% 的機率不下雨。

這樣一來， 6 月 15 日的預報和天氣就有四種可能：預報下雨且真的下雨，預報不下雨但是下雨，預報下雨但是不下雨，預報不下雨且真的不下雨。

我們把四種情況列在下面的表格中，並計算相應的機率。

計算方法就是兩個機率的乘積。例如下雨機率為 40% ，下雨時預報下雨的機率為 90% ，因此預報下雨且下雨這種情況出現的機率為 36% 。同理，我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的機率為 6% ，二者之和為 42% ，這就是天氣預報下雨的機率。

在這 42% 的可能性中，真正下雨占 36% 的可能，比例為\( 36 \div 42=85.7 \)%，而不下雨的機率為 6% ，占 \( 6 \div 42=14.3 \) %。

也就是說，假設天氣預報的準確率為 90% ，預報下雨的條件下，真正下雨的機率只有 85.7% 。

我們會發現：

預報下雨時是否真的下雨，不光與預報的準確度有關，同時也與這個地區平時下雨的機率有關。

檢查報告說我中獎了，我就真的生病了嗎？

與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時，如果醫生發現異常，一般不會直接斷定生病了，而會建議到大醫院再檢查一次，雖然這兩次檢查可能完全相同。為什麼會這樣呢？

假設有一種重大疾病，患病人群占總人群的比例為\(\frac{1}{7000} \) 。也就是說， 隨機選取一個人，有\(\frac{1}{7000} \) 的機率患有這種疾病，有\(\frac{6999}{7000} \) 的機率沒有患這種疾病。

有一種先進的檢測方法，誤診率只有萬分之一，也就是說，患病的人有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為健康人，健康人也有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為患病。

我們要問：在一次檢查得到患病結果的前提下，這個人真正患病的機率有多大？

我們仿照剛才的計算方法，檢測出患病的總機率為：\(\frac{9999}{70000000}+\frac{6999}{70000000} \) \(=\frac{16998}{70000000}\)
而患病且檢測出患病的機率為：\(\frac{9999}{70000000}\)

所以在檢測患病的條件下，真正患病的機率為：\( \frac{9999}{70000000} \div  \frac{16998}{70000000}\) \(=\frac{9999}{16998}\) \( \approx 58.8 \)%

顯而易見，即便是萬分之一誤診的情況，一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。

那麼，兩次檢測都是患病的情況又如何呢？

大家要注意，在第一次檢測結果為患病的前提下，此人患病的機率已經不再是所有人群的 \(\frac{1}{7000}\) ，而變為自己的 58.8% ，健康的機率只有 41.2% 。

此處的機率就是條件機率，所以第二次檢測的表格變為：

在兩次檢測都是患病的條件下，此人真正患病的機率為：\(\frac{58.794}{58.794+0.004}\)\(=99.99 \) % 基本確診了。

日常生活超有感──貝式定理

對這個問題進行詳細討論的人是英國數學家貝葉斯。

貝葉斯指出：如果 A 和 B 是兩個相關的事件， A 有發生和不發生兩種可能， B 有 B₁ 、 B₂ 、……、 B_n 共 n 種可能。

那麼在 A 發生的前提下， Bi 發生的機率稱為：條件機率 \( P(B_i|A) \)

要計算這個機率，首先要計算在 Bi 發生的條件下 ，A 發生的機率，公式為：\( P(B_i)P(A|B_i) \)

然後，需要計算事件A發生的總機率：

方法是用每種Bi情況發生的機率與相應情況下A發生的機率相乘，再將乘積相加。
\( P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_2|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A_n|B_n) \)

最後，用上述兩個機率相除，完整的貝式定理公式就是：

貝式定理在社會學、統計學、醫學等領域，都發揮著巨大作用。

下次遇到天氣誤報、醫院誤診，不要完全怪氣象臺和醫院啦！有時候這是個數學問題。

——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》，2019 年 4 月，時報出版。

第二週早上，我（小昭）刻意選擇跟上週一樣的時間去可大可小吃早餐， 但沒遇到世杰跟他的數學講義。我有點失落，以為建立起來的默契， 看來只是自作多情。我要用貝式定理來算一下得扣世杰幾分。

一走進教室，同學們散落在後方的座位聊天、吃早餐、玩手機。世杰獨自坐在第一排津津有味地讀著講義。真的很喜歡數學呢，我看著他的模樣，剛剛的失落一掃而空。他看到我，不過可能是在思考數學吧，他又低下頭，一會兒才再抬頭跟我打招呼。

「早安！」
「你原來已經在教室了。我剛去吃早餐時還在想會不會遇到你。」
「遇……遇到我嗎？妳、妳說妳想像會遇到我嗎？！」世杰臉上露出驚訝的表情，我剛剛的話太積極嚇到他了嗎？
「哈，你幹嘛裝得那麼誇張，好好笑噢。」我趕快用開玩笑的語氣回答。

他挪開椅子上畫有數學符號的背包。

「我在想一個跟咖啡有關的數學。」在我坐下後他說。

我沒預期到才三句話就進入數學的話題，就像電影開場五分鐘就主角就跟壞人生死決鬥一樣讓人措手不及。我伸手抓口袋裡的手機，思考怎樣才能在不被發現的情況下跟欣妤求助。

「怎樣的數學呢？」
「假如早上妳泡了一杯熱咖啡，冰箱裡還有一杯冰牛奶，妳想在10分鐘後喝杯涼一點的咖啡。妳有兩個選擇，先把冰牛奶倒進咖啡裡，靜置 10 分鐘。或先放 10 分鐘後，再倒冰牛奶。妳會選哪一個？」

我鬆了口氣，還好他不是要我立刻解一道方程式。是非題至少有一半的答對機率。

「我選第二個，感覺比較冰。這跟數學有關嗎？」
「有噢，溫度是可以算出來的。」

世杰拿筆寫下數學式子，我看見了 y，y 右上方還有一撇。那是什麼意思？不小心畫到的嗎？

「小昭，妳幹嘛坐那麼前面啊？」欣妤的聲音從後方傳過來。太好了，我趕快起身離開。
「欣妤學姊！不好意思，下課你再解釋給我聽好嗎。」
「就說不要叫我學姊了。他誰啊，啊，世杰嗎？」欣妤壓低音量說，我點點頭。世杰禮貌地跟欣妤打招呼後，繼續看講義。我小聲地告訴欣妤剛剛的狀況，感謝她的及時出現，否則我就要出包了。

「右上方那撇是微分啦。咖啡溫度的數學，這我有印象。妳等我問大家。」
欣妤在群組裡連發了好幾則訊息，裡面有「咖啡」、「溫度」、「微分方程」、「混合」等字眼，每一個字我都看得懂，但串在一起就變得陌生。

「妳剛剛忽然離開，他會不會受傷啊。」欣妤看著螢幕打字邊說。
「好像有點沒禮貌……可是如果繼續坐著就穿幫了。」
「不然妳跟他說下午去咖啡廳做實驗，這樣就能順理成章地約會啦。放心，我會在那之前幫妳準備好需要知道的數學知識。」欣妤抬頭看我，兩眼發亮，一副比我還期待的模樣。

咖啡廳裡的數學實驗室

「兩杯熱咖啡，再給我一份冰牛奶。」世杰從櫃檯走回來。
「這間咖啡廳很棒哎。」我們坐在靠窗座位，旁邊放了個裝咖啡豆的大麻布袋，跟椅子差不多高。
「好復古的桌椅。」
「我猜不是復古，老闆當初開店時說不定還是挑最新款式的。」世杰調皮地踩了踩地板，發出嘎嘎聲響，和老闆娘磨豆的聲音，一起融合在店裡的爵士樂裡，賦予這間咖啡廳一種獨特、經年累月沉澱出的優雅氣氛。

「世杰老師的咖啡廳數學課要開始了嗎？」
「好，妳聽過牛頓冷卻定律嗎？」

我點點頭，心想欣妤真會猜題。她只聽到咖啡兩個字，就可以猜出世杰會用到哪些數學。聽說他們還有去問世杰的同學孝和，或許孝和也幫忙給了些建議。

「冷卻定律的意思是，我們點了一杯熱咖啡，從沖泡好的那一瞬間起，它的溫度就會開始下降，下降速度跟咖啡此刻的溫度與室溫差距有關……」世杰解釋起牛頓冷卻定律，我在三小時內第二次聽到這個理論， 但對它還是非常陌生。

「你們的咖啡來了，起士蛋糕是招待常客的。」
「老闆娘都認識你，好厲害噢。蛋糕真好吃。」我挖了一小塊送入嘴中，此刻我非常需要咖啡和糖分。
「我還滿喜歡吃他們的起士蛋糕。」世杰也挖了一塊蛋糕。我原本有些擔心他眼裡只有數學，其他都沒興趣，但現在看起來應該是我多慮了。他喜歡探索自己的興趣， 同時也願意廣泛接受其他事物，回去又多一項要列入貝式定理計算的項目了。

「我大概懂你說的，溫度變化能用斜率表示，變化又跟咖啡溫度和室溫差距有關，所以可以列出等式。然後……算出咖啡從泡好開始，每分鐘的溫度變化。只是，這樣跟牛奶先倒後倒有什麼關係呢？」

我一口氣背出群組裡的大家幫我整理好的台詞。「不用講太多， 讓他以為妳數學不錯就好。剩下來給他發揮吧。」離開前欣妤這樣告訴我。把數學當成國文在唸，這對我來說不是太陌生的一件事。

世杰把冰牛奶倒入其中一杯咖啡，在餐巾紙上寫下算式，

「有噢，當冰牛奶倒進熱咖啡，假設牛奶跟咖啡的比熱相同， 熱咖啡 200 克，90 度。牛奶 5 度，50 克。混合後的咖啡牛奶就是 73 度。」
「噢～」我湊近看式子，裝出一副很有興趣的模樣。
「可以嗎？各自的比例乘上各自的溫度。」世杰補充，我心虛地點點頭。

還好世杰沒察覺出來，此刻他是數學世界的導遊，用介紹知名景點的口吻，指著加牛奶的咖啡說：「所以囉，如果先倒冰牛奶，咖啡就會從 90 度下降成 73 度，之後的 10 分鐘再慢慢變涼。還記得我們剛剛說的，熱咖啡變涼的速度，取決於咖啡和環境的溫度差。比較涼的咖啡，降溫速度會比較慢。」他邊寫邊說。

假設咖啡一開始的溫度是 C，周遭環境溫度是 s，溫度隨著時間 t 的變化是：

k 是常數。現在多了溫度 m 的牛奶，混合後咖啡占整杯拿鐵的比例是 x，則先混合後靜置的狀況，降溫的變化可以寫成：

「中括號裡面的 xC-(1-x) m 就是我們剛剛算的 73 度，咖啡跟牛奶混合後的狀況。再利用微分方程，就可以解出來了。」

Napkin Math（餐巾紙上的數學），我總以為這是只有電影裡才發生的畫面。

「你學過微分方程了嗎？」我說出阿叉在群組裡的問題。
「下學期才要修。」
「那你怎麼會？」
「因為好像還滿有趣的，就稍微翻了一下。微分方程告訴我們， 混合後的拿鐵溫度 T₁ 隨時間 t 的變化：

「妳研究一下，我去拿另一杯冰牛奶。」

世杰起身走去吧台，我趕快把公式全部拍到群組裡，再補上一句：

這到底是什麼？
先倒牛奶再靜置降溫的公式。
不用懂整個公式，只要記得 x 跟 (1-x) 是混合的意思，e^-kt 就是放著降溫的過程。

阿叉跟商商回覆我。

我想起中午我們的確有討論過，x 是混合的比例，比方說 30% 的黑色跟 70% 的白色混合，就可以用 x 跟 (1-x) 來表示。e^-kt 則是像以前理化課學的半衰期，指數上頭有個 -t，表示隨著時間減少，而且不是線性遞減，是每隔一陣子少幾倍的那種指數遞減。

欣妤補了一句：括號裡面的先算，所以是先混合，再降溫。

從他們的口中，公式變得好像一幅畫，這邊是一個花瓶，那邊是另一扇窗戶。雖然細節我還是不懂，但至少稍微能理解這個式子了。耳邊傳來地板嘎嘎聲響，世杰捧著一杯冰牛奶走回來。

晚一點倒牛奶，咖啡比較涼

「冰牛奶來囉，我就省略計算過程，第二種狀況咖啡溫度 T₂(t)是：

中括號裡的是放涼一陣子後的黑咖啡溫度，然後用剛剛講的比例乘以各自的溫度，平均起來，就是先放涼，再加冰牛奶的狀況。」我看了看式子，有 e^-kt 的是靜置降溫，有 x 跟 (1-x) 的是混合，括號裡面的要先算，表示事先發生的事情。

「所以這個式子的確是先降溫，然後再混合。」我覺得有點開心，我竟然可以解釋這個式子哎。世杰點點頭，把冰牛奶倒進去第二杯咖啡，邊攪拌邊說：「妳有興趣的話可以試著推導看看，可以證明不管 t 是多少， 都可以得到 T₁(t)> T₂(t) *，證明的關鍵在於牛奶溫度 m 比室溫 s 要小。」

「嗯嗯不用了沒關係，我相信你是對的。」世杰把杯子推到我面前。
「妳現在喝喝看這兩杯，哪一杯比較涼。」
「這杯真的比較涼哎～你好厲害！」
「沒有啦。是微分方程厲害……」世杰露出不好意思的笑容。阿叉的建議果然很中肯。

*編按：算式結論原誤植為 T1(t)< T2(t)，已更正。(2019/3/12)

本文摘自《超展開數學約會：談個戀愛，關數學什麼事！？》，臉譜出版。