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《真的假不了,假的真不了──數據造假前請考慮『機率』》————2019數感盃/高中職組專題報導類佳作

數感實驗室_96
・2019/05/25 ・2600字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 553 ・八年級

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:陳宥諼、林昱佑/國立科學工業園區實驗高級中學
圖/flickr

最近在網路上看到了一則去年的新聞:一名在學術期刊等公共平台發表了高達 200 多篇論文的日本麻醉醫師──藤井善隆,被抓到長期偽造數據,並有高達 183 篇論文遭到撤稿,且數量仍持續增加。引起學界注意的投訴信中說道:「藤井的研究數據完美到難以置信。」

最早開始懷疑藤井數據造假的人之一,英國麻醉師 John Carlisle 觀察了藤井一百多批藥物實驗的數據,並計算了那些數據的隨機分佈,結果發現藤井的數據在統計分析下其實「發生機率極低」。也就是說,藤井的數據雖然看起來漂亮,但實際上卻是「不自然的」。

這使我們產生了興趣:我們所認定「正常」、「隨機」的數據,會不會只是我們主觀直覺思考時所產生的假象?然而事實上卻不符合真實機率?讓我們看一個簡單的例子:

假設老師出了一項作業,請學生每人投擲一枚公正硬幣1000次,並記下每一次的結果;但是,這項作業實在是太繁瑣了,學生們都想直接自己編數據交差了事──「反正,本來得到的結果就是『隨機』的啊!我只要在記錄表上隨便填上「正」或「反」就好了!」於是,大部分的人會編出類似這樣的數據「正反反正反正正反正反反反正……」看起來真的「很隨機」呢!

可是,收作業當天,老師卻一眼就找出了所有偷懶的同學(絕對不是因為有內鬼!)──「你們還太嫩了!實際去丟銅板要丟出這種結果,機率還真的不是一般的低啊……」老師一臉不屑的說。

「機率」?!終於有同學抓到關鍵字了。

其實,如果真的自己丟銅板的話,會發現可能出現這樣的結果:「……正反正正正正正正正正正正反正正正正……」怎麼連續這麼多的「正」啊!不過,如果反過來想,要是丟很多很多次,卻沒出現連續好幾個相同面朝上才奇怪呢!

什麼意思呢?以機率的角度來看──

假設丟一個公正銅板 n 次,求至少出現 1 組連續 y 個以上正面朝上的機率。

則機率 f(n)=(令擲出結果正面朝上為「+」、背面朝上為「-」;連續y個以上「+」為串列S)

1.若 0<=n<y

因為擲的次數不滿 y 次,所以就算全部擲出正面,也無法滿足條件。故,f(n) = 0

2.若 n=y

必須保證每一次都擲出正面,而每一次擲出正面的機率都是 1/2 ,所以:

f(n) = (1/2)^y

3.若  y<n<(2y+1)

最多只可能出現1組S,且要擲出S只有兩種方法:

(1) 在前 n-1 次就已經擲出 S (令機率=g(n)):如果前 n-1 次已經擲出 S,不管最後一次(第n次)擲出「+」或「-」,都不會影響結果。故

g(n) = f(n-1)

(2) 前 n-1 項未出現 S,擲出最後一項為「+」,和前面的「+」合併後恰形成一個S (令機率=h(n))

此即保證最後的至少 y 項皆擲出「+」(即  (i)第n-y+1項到第n項一定為「+」)。然而,若 S 的長度 >y (即第n-y, n-y-1, …項也為正),那麼在前 n-1 項時,就已經形成 S 了,機率就又回到 g(n)。所以,可以保證  (ii)此種方式的第n-y項絕對不為「+」。

另外,還須確保前n-y-1項未出現S:由於n< (2y+1),已經確定第n-y項為「-」的情況下,第1項到第n-y-1項最多只有2y(全部)-y(最後湊出的S)-1(為「-」的第n-y項)= (y-1) 項,就算全部擲出「+」也無法湊出 S (即  (iii)欲使該區間內未出現S的機率為100%)。

考慮(i)、(ii)與(iii),可求出機率為:

h(n) = (1/2)^(y+1)*100%

由 (1) 和 (2) 兩種方法可得出,y< n< (2y+1)時:

f(n) = g(n)+h(n) = f(n-1)+(1/2)^(y+1)

4.若 n>= (2y+1)

想要達成條件同樣有 2 種方法,且要注意可能出現 2 組以上的 S:

(1) 在前 n-1 項就已經出現 S (令機率為g(n))

同3.(1):如果在前n-1項就已經符合條件(即至少有一個S),那麼不管最後一項擲出「+」或「-」都不影響,故得:

g(n) = f(n-1)

(2) 前n-1項未出現S,擲出最後一項為「+」,和前面的「+」合併後恰形成一個S (令機率=h(n))

加上最後一次(第n次)的「+」恰形成一個S,即第 (n-y+1)項到第n項都必須保證為「+」,且第n-y項為「-」,  (i)此機率為(1/2)^(y+1)。同時,還要考慮第1項到第n-y-1項中不能出現S:由於n>= (2y+1),該區間是有可能存在另一個S的,因此要避免其的機率為  (ii) 1-f(n-y-1)。

綜合與(i)與(ii),得出:

h(n) = [1-f(n-y-1)] / [2^(y+1)]

故,若n>=(2y+1),則機率等於:

f(n) = g(n)+h(n) = f(n-1)+ [1-f(n-y-1)] / [2^(y+1)]

所以,由上述討論,可推出其遞迴關係式為:

回到銅板問題:若取 y=10,以程式執行計算後——當擲銅板次數 n=1421 時,

f(1421)=7, 255, 778, 711, 927, 407, 617, 380, 544, 769, 173, 867, 806, 169, 361, 486, 522, 866, 802, 980, 651, 539, 660, 838, 223, 377, 066, 752, 145, 420, 755, 231, 929, 187, 093, 761, 722, 303, 645, 267, 912, 580, 455, 689, 572, 071, 800, 452, 693, 464, 700, 240, 325, 620, 941, 411, 943, 308, 843, 940, 722, 468, 017, 918, 536, 598, 081, 098, 266, 744, 747, 888, 440, 887, 321, 884, 634, 359, 498, 815, 523, 739, 396, 906, 549, 246, 415, 109, 283, 793, 846, 209, 720, 465, 402, 081, 202, 745, 609, 492, 452, 509, 025, 795, 069, 716, 361, 505, 310, 397, 746, 161, 836, 302, 227, 941, 580, 885, 870, 210, 044, 773, 666, 072, 022, 038, 700, 421, 605, 273, 419, 973, 038, 879, 144, 857, 154, 157, 912, 879, 478, 392, 261  14, 5 06, 540, 244, 799, 649, 295, 363, 967, 385, 272, 259, 250, 661, 462, 164, 996, 145, 242, 670, 971, 396, 368, 427, 928, 550, 752, 333, 318, 302, 269, 391, 954, 931, 996, 110, 373, 344, 247, 437, 783, 405, 976, 812, 508, 208, 014, 387, 645, 084, 573, 461, 084, 331, 611, 962, 071, 030, 245, 089, 177, 219, 397, 347, 545, 783, 897, 084, 779, 561, 785, 928, 834, 057, 620, 352, 012, 602, 971, 900, 896, 382, 103, 058, 767, 619, 551, 583, 898, 875, 428, 087, 721, 830, 150, 897, 600, 890, 899, 165, 970, 697, 060, 836, 381, 274, 022, 825, 694, 219, 432, 474, 834, 063, 680, 015, 967, 772, 773, 093, 077, 100, 779, 252, 371, 658, 190, 278, 159, 625, 450, 473, 401, 620, 223, 010, 779, 161, 044, 426, 883, 596, 288

(這是一個分數,並且是精確數字,由此可見計算的繁雜度!)

總之,f(1421)≒0.5001729281748267≒50%。也就是說,當擲 1421 次銅板時,出現至少一組連續 10 個以上正面的機率就已經略超過 1/2。另外,當擲 3288 次時,機率會再近一步提升至 80%;甚至擲 9391 次,機率已經達到 99%。換句話說,假設擲 1 萬次,幾乎可以保證一定會看到至少一組連續 10 個以上的正面。

然而,一般人在編造數據時,很少會連續寫下很多個正面(或反面),因為直覺上要連續擲出那麼多次相同的結果機率應該很低。正是利用這點,所以,光憑「是否出現連續多次相同結果」這個事件,就足以初步判斷數據的真實性,更遑論除此之外,還有更多事件的真實發生機率也有待計算。想要得出符合真實機率的「完美」數據,與其絞盡腦汁、分析各種事件的機率(而且不太可能分析的完),倒不如穩扎穩打的完成,或許還快些。

再者,在學校偽造作業數據頂多受到老師的批評或輕微的懲罰;但出社會後,要面對的可能是正式的論文、一份財報、甚至是一份關乎人命的實驗報告!造假的後果除了損失聲譽、失去工作,更有可能因此遭受牢獄之災。與其耗費大量精力試圖求出「毫無破綻」的造假方法,卻還要冒著被拆穿的風險苟且偷生,還不如腳踏實地,安分地完成任務,才是正道!

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容,歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網粉絲頁喔。

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數感實驗室_96
60 篇文章 ・ 35 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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用這劑補好新冠預防保護力!免疫功能低下病患防疫新解方—長效型單株抗體適用於「免疫低下族群預防」及「高風險族群輕症治療」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/01/19 ・2882字 ・閱讀時間約 6 分鐘

本文由 台灣感染症醫學會 合作,泛科學企劃執行。

  • 審稿醫生/ 台灣感染症醫學會理事長 王復德

「好想飛出國~」這句話在長達近 3 年的「鎖國」後終於實現,然而隨著各國陸續解封、確診消息頻傳,讓民眾再度興起可能染疫的恐慌,特別是一群本身自體免疫力就比正常人差的病友。

全球約有 2% 的免疫功能低下病友,包括血癌、接受化放療、器官移植、接受免疫抑制劑治療、HIV 及先天性免疫不全的患者…等,由於自身免疫問題,即便施打新冠疫苗,所產生的抗體和保護力仍比一般人低。即使施打疫苗,這群病人一旦確診,因免疫力低難清除病毒,重症與死亡風險較高,加護病房 (ICU) 使用率是 1.5 倍,死亡率則是 2 倍。

進一步來看,部分免疫低下病患因服用免疫抑制劑,使得免疫功能與疫苗保護力下降,這些藥物包括高劑量類固醇、特定免疫抑制之生物製劑,或器官移植後預防免疫排斥的藥物。國外臨床研究顯示,部分病友打完疫苗後的抗體生成情況遠低於常人,以器官移植病患來說,僅有31%能產生抗體反應。

疫苗保護力較一般人低,靠「被動免疫」補充抗新冠保護力

為什麼免疫低下族群打疫苗無法產生足夠的抗體?主因為疫苗抗體產生的機轉,是仰賴身體正常免疫功能、自行激化主動產生抗體,這即為「主動免疫」,一般民眾接種新冠疫苗即屬於此。相比之下,免疫低下病患因自身免疫功能不足,難以經由疫苗主動激化免疫功能來保護自身,因此可採「被動免疫」方式,藉由外界輔助直接投以免疫低下病患抗體,給予保護力。

外力介入能達到「被動免疫」的有長效型單株抗體,可改善免疫低下病患因原有治療而無法接種疫苗,或接種疫苗後保護力較差的困境,有效降低確診後的重症風險,保護力可持續長達 6 個月。另須注意,單株抗體不可取代疫苗接種,完成單株抗體注射後仍需維持其他防疫措施。

長效型單株抗體緊急授權予免疫低下患者使用 有望降低感染與重症風險

2022 年美、法、英、澳及歐盟等多國緊急使用授權用於 COVID-19 免疫低下族群暴露前預防,台灣也在去年 9 月通過緊急授權,免疫低下患者專用的單株抗體,在接種疫苗以外多一層保護,能降低感染、重症與死亡風險。

從臨床數據來看,長效型單株抗體對免疫功能嚴重不足的族群,接種後六個月內可降低 83% 感染風險,效力與安全性已通過臨床試驗證實,證據也顯示該藥品針對 Omicron、BA.4、BA.5 等變異株具療效。

六大類人可公費施打 醫界呼籲民眾積極防禦

台灣提供對 COVID-19 疫苗接種反應不佳之免疫功能低下者以降低其染疫風險,根據 2022 年 11 月疾管署公布的最新領用方案,符合施打的條件包含:

一、成人或 ≥ 12 歲且體重 ≥ 40 公斤,且;
二、六個月內無感染 SARS-CoV-2,且;
三、一周內與 SARS-CoV-2 感染者無已知的接觸史,且;
四、且符合下列條件任一者:

(一)曾在一年內接受實體器官或血液幹細胞移植
(二)接受實體器官或血液幹細胞移植後任何時間有急性排斥現象
(三)曾在一年內接受 CAR-T 治療或 B 細胞清除治療 (B cell depletion therapy)
(四)具有效重大傷病卡之嚴重先天性免疫不全病患
(五)具有效重大傷病卡之血液腫瘤病患(淋巴肉瘤、何杰金氏、淋巴及組織其他惡性瘤、白血病)
(六)感染HIV且最近一次 CD4 < 200 cells/mm3 者 。

符合上述條件之病友,可主動諮詢醫師。多數病友施打後沒有特別的不適感,少數病友會有些微噁心或疲倦感,為即時處理發生率極低的過敏性休克或輸注反應,需於輸注時持續監測並於輸注後於醫療單位觀察至少 1 小時。

目前藥品存放醫療院所部分如下,完整名單請見公費COVID-19複合式單株抗體領用方案

  • 北部

台大醫院(含台大癌症醫院)、台北榮總、三軍總醫院、振興醫院、馬偕醫院、萬芳醫院、雙和醫院、和信治癌醫院、亞東醫院、台北慈濟醫院、耕莘醫院、陽明交通大學附設醫院、林口長庚醫院、新竹馬偕醫院

  • 中部

         大千醫院、中國醫藥大學附設醫院、台中榮總、彰化基督教醫療財團法人彰化基督教醫院

  • 南部/東部

台大雲林醫院、成功大學附設醫院、奇美醫院、高雄長庚醫院、高雄榮總、義大醫院、高雄醫學大學附設醫院、花蓮慈濟

除了預防 也可用於治療確診者

長效型單株抗體不但可以增加免疫低下者的保護力,還可以用來治療「具重症風險因子且不需用氧」的輕症病患。根據臨床數據顯示,只要在出現症狀後的 5 天內投藥,可有效降低近七成 (67%) 的住院或死亡風險;如果是3天內投藥,則可大幅減少到近九成 (88%) 的住院或死亡風險,所以把握黃金時間盡早治療是關鍵。

  • 新冠治療藥物比較表:
藥名Evusheld
長效型單株抗體
Molnupiravir
莫納皮拉韋
Paxlovid
帕克斯洛維德
Remdesivir
瑞德西韋
作用原理結合至病毒的棘蛋白受體結合區域,抑制病毒進入人體細胞干擾病毒的基因序列,導致複製錯亂突變蛋白酵素抑制劑,阻斷病毒繁殖抑制病毒複製所需之酵素的活性,從而抑制病毒增生
治療方式單次肌肉注射(施打後留觀1小時)口服5天口服5天靜脈注射3天
適用對象發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人(18歲以上)的輕症病患。發病7天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與孩童(年齡大於28天且體重3公斤以上)的輕症病患。
*Remdesivir用於重症之適用條件和使用天數有所不同
注意事項病毒變異株藥物交互作用孕婦哺乳禁用輸注反應

免疫低下病友需有更多重的防疫保護,除了戴口罩、保持社交距離、勤洗手、減少到公共場所等非藥物性防護措施外,按時接種COVID-19疫苗,仍是最具效益之傳染病預防介入措施。若有符合施打長效型單株抗體資格的病患,應主動諮詢醫師,經醫師評估用藥效益與施打必要性。

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你能想像棒球穿牆嗎?突破物理世界的常識:量子穿隧——《阿宅聯盟:量子危機》
未來親子學習平台
・2023/01/20 ・1226字 ・閱讀時間約 2 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

想像一個全壘打王,面對前方的來球,大棒一揮,球越過了全壘打牆,到了牆的另外一邊。

Home~~~Run!圖/GIPHY

但假如,那個全壘打牆變成了兩層樓高呢?也許,他更大力地擊球(給球更多的能量),那顆球還是能夠飛越過全壘打牆,到牆的另外一邊。但如果,那全壘打牆變成了三十層樓高呢?我想會認為,除非靠機器,否則再厲害的全壘打王,不管用了多少力氣,他應該都無法讓球飛過三十層樓那麼高。

上述的例子,正顯示了我們日常生活中的物理原則:只要物體(球)的能量不足以跨越障礙物(牆),那麼它永遠不可能到達障礙物的另一側——但是,在量子的世界,卻不是這樣。

粒子是怎麼跨越各種障礙的?

量子力學裡,一個粒子具備的能量即使不足以跨越障礙,它仍然有小機率會出現在障礙的另一邊;而且,若粒子的能量跟跨越障礙所需要的能量愈接近、或是說只少一點,那麼這個粒子出現在障礙另一邊的機率就愈大。

這樣神奇的現象,彷彿就像是粒子挖了隧道穿過障礙一般(儘管並沒有真的隧道),所以稱為「量子穿隧」效應。

不過,在丟球的例子裡,我們可以想像,若是牆愈高或愈厚,那麼球就愈難飛過牆壁。同樣地,在量子力學的情形下,雖然粒子有可能在能量不足的狀況下穿過障礙,但要是障礙無限高或無限厚的話,那麼粒子就還是過不去的

儘管在量子力學的情況下,障礙無限高或無限厚,粒子還是過不去的。圖/Envato Elements

事實上,量子穿隧效應跟我們先前提到的「物質具有波的特性」非常有關係。想像水池中間有一顆大石頭,池中的水波在遇到石頭這個障礙物時,會從旁邊繞道而過;但如果是一般物質,一旦遇到障礙物就直接被擋住了,沒辦法繞道而行。

就是因為在量子世界,物質也具有波的特性,我們才會看到粒子的穿隧效應。儘管量子效應感覺很奇特,但它在很多方面都有實際的影響。

例如,我們知道太陽核心是依賴核融合反應來產生能量;在過程中,會將兩個氫原子核,融合成更重的原子核。但因為氫原子核都帶正電,要抵抗正電荷間的排斥力,將它們融合在一起,其實非常困難。也幸虧有量子穿隧效應,太陽內部的氫原子核才能克服電荷排斥力的阻礙,順利融合在一起,並製造能量。

所以,在地球的我們,能夠享受到太陽的光和熱,說起來也要感謝量子穿隧效應呢!

——本文摘自《阿宅聯盟:量子危機》,2022 年 11 月,未來出版,未經同意請勿轉載

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「量子狀態」聽起來好難?其實就是機率與疊加——《阿宅聯盟:量子危機》
未來親子學習平台
・2023/01/19 ・1256字 ・閱讀時間約 2 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

想像我們往水池內丟兩顆石頭,以石頭的落點為中心,會個別產生漣漪,在水面上擴散開來。

而當兩個漣漪互相接觸時,交會之處的水面其實同時反應了兩個漣漪的影響;可以說,兩個漣漪疊加在一起了。漣漪是靠水傳遞的一種波,稱為水波;而「疊加」的現象,就是屬於波的一種特性

當兩個漣漪相互接觸時,會疊加在一起。圖/Envato Elements

物質的波,也就是物質波,同樣存在疊加的特性。只不過,物質波跟水波不同的地方在於,它不需要依賴「水」這種實際的東西來傳遞,而是一種「機率波」。機率波的數學形式長得像波,而它代表的,是量子系統處於不同狀態的機率分布

量子系統的狀態:機率波

當我們在描述量子系統的狀態時,就會用到「機率波」的概念。舉例來說,在電玩遊戲中要是打怪成功,死掉的怪物會留下寶物。怪物可能有 50% 的機率掉落寶物 A,也有 50% 的機率掉落寶物 B,但我們不會在事前就知道怪物會留下哪種寶物。

所以,怪物可以說是同時擁有「掉落寶物 A」和「掉落寶物 B」這兩種狀況,直到我們成功打完怪,才能確定牠究竟帶哪一種寶物。類似地,機率波告訴我們的,就是量子系統「有多少機率處於狀態 A、又有多少機率處於狀態 B」的資訊;如同兩個水波在水面上疊加,A 和 B 這兩個狀態同時存在這個量子系統上。所以,我們把量子系統「同時處於不同狀態疊加」的狀況,稱為「疊加態」

直到我們打怪成功,才能確定究竟掉哪一種寶物。圖/GIPHY

另一方面,也跟打完怪物才知道掉什麼寶物類似,在我們實際觀測量子系統前,並無法知道會看到狀態 A 還是狀態 B,要觀測完才會知道。因為量子疊加的特殊性質,科學家想到,或許可以拿來做一些實際的運用。

例如,在現代的電腦運算中,「位元」是資訊的最小單位,可以用 0 或 1 這兩個數值來表示。那麼,我們也許能夠把「同時存在兩種不同狀態的量子系統」當作位元使用,讓它的兩種狀態分別代表 0 跟 1 來儲存資訊,而這就被稱為量子位元

由於物理性質的不同,量子位元在某些狀況下,可以運算得比傳統位元更有效率;利用量子位元建構的電腦,就稱為量子電腦。雖然目前已經有少數量子電腦問世,能以最多一百多個量子位元進行運算,但要能大規模運用在日常生活中,除了要再想辦法增加量子位元之外,還有許多難題要克服,所以,現在就先讓漫畫的想像來代替很可能成真的未來吧。

——本文摘自《阿宅聯盟:量子危機》,2022 年 11 月,未來出版,未經同意請勿轉載

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