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阿貝爾獎首次頒給女數學家:凱倫・烏倫貝克曲折又幸運的數學人生

活躍星系核_96
・2019/05/29 ・3014字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 539 ・八年級

2019 年阿貝爾獎,首位女性得主

3 月 19 日,美國數學家凱倫・烏倫貝克( Karen Uhlenbeck )摘下學界最高榮譽之一—— 2019 年阿貝爾獎( Abel prize )。這項常被譽為「數學界諾貝爾」的獎項,終於迎來了首位女性獲獎者

阿貝爾獎從 2003 年開始,獎金為 600 萬挪威克朗(約合 2610 萬新台幣),歷屆獲獎得主包括《美麗心靈》主角的原型約翰・納許( John Nash )、今年剛剛去世的著名數學家邁克爾・阿蒂亞爵士( Sir Michael Atiyah )等。該獎項在數學界擁有崇高地位,與四年一度的菲爾茲獎齊名。而菲爾茲獎迄今為止也只有一位女性獲獎者:伊朗數學家瑪利亞姆・米爾扎哈尼( Maryam Mirzakhani )。

凱倫・烏倫貝克( Karen Uhlenbeck )。圖/women you should know

現年 76 歲的凱倫・烏倫貝克,是美國得克薩斯大學( University of Texas )榮譽教授,並擔任普林斯頓大學( Princeton University )資深訪問學者、普林斯頓高等研究院( Institute for Advanced Study )客座教授。作為幾何分析( geometric analysis )領域的先驅之一,烏倫貝克在幾何偏微分方程、規範理論和可積系統等領域作出了重要貢獻,她提出的數學方法已經被今天的數學家廣泛使用。和年少成名又英年早逝的菲爾茲獎得主瑪利亞姆·米爾扎哈尼不同,凱倫·烏倫貝克擁有一個曲折又幸運的數學人生。

孤僻的少女

凱倫 1942 年出生於一個由工程師和藝術教師組成的美國家庭。這一個小時候喜歡和男孩子們在街上踢足球的女孩,進入學校後也顯得有些與眾不同——她最喜歡的事情就是偷偷閱讀藏在課桌下的科普書籍。

儘管還是個孩子,但是那時凱倫就已經展現出了一些孤獨科學家的特質:她喜歡漫無目的的在鄉間閒逛,將自己埋頭在文字的世界中,並夢想著能夠找到一份可以讓自己獨處的工作。凱倫後來在一本名為 《 Women in Mathematic 》的書中回憶道:

「我當時覺得自己將來不是當個護理師,不然就是成為研究學者,我就是對那些東西感興趣。但是我不想當老師,我覺得一切需要跟人打交道的工作都極其可怕。」

凱倫・烏倫貝克中學最喜歡沈浸在科學的世界。圖/torange

「女性學不了數學,因為從生物學角度上來說她們比男性更喜歡社交,所以這種需要單獨進行、與孤獨為伴的工作會讓女性無法適應」這是當時社會給婦女打上的標籤(這種刻板印象至今依然存在)。凱倫最開始在密歇根大學學物理,但是發現數學更契合她的特點和興趣,於是轉到了數學領域。不過她選擇開啟數學家生涯並不全是因為對智力的自信,而是周圍人的影響。凱倫甚至不確定自己是否適合進入研究所攻讀博士,但身邊認識的親友(包括她的男朋友)幾乎都決定繼續深造。她的擔心並非沒有道理:為了避免名校數學系男性研究者的絕對權威,她選擇避開普林斯頓或者哈佛大學,希望找到一個能夠讓自己不分心地研究數學的地方。最終,她先在紐約大學的庫朗研究所( Courant Institute )拿到了碩士學位,然後在布蘭迪斯大學( Brandeis University )獲得了博士學位。

迷惘與掙扎

和所有剛獲得博士學位的年輕人一樣,凱倫開始尋找能夠讓自己獲得長期動力和發展的研究課題。與此同時,她和男朋友奧爾克·烏倫貝克( Olke Uhlenbeck )結了婚,從凱倫·凱斯庫拉( Karen Keskulla )變成了凱倫·烏倫貝克( Karen Uhlenbeck )。這不僅意味著一段人生新旅程的開始,也為她帶來了另一個職業生涯上的障礙。奧爾克是一位生物物理學家,拿到了斯坦福和普林斯頓的 offer 。

但是這些學校拒絕給凱倫提供正式職位,只因為她是女性。

令人欣慰的是,奧爾克站在了妻子這邊。他拒絕了所有不願接受凱倫的學校,兩人最終加入了伊利諾伊大學香檳分校( University of Illinois at Urbana-Champaign )。

但這並不是故事的美滿結局。凱倫是香檳分校的數學教師,可是他們只把她當成教職員的家屬,並且希望她以一位家屬的身份行事。在那裡她被排除在教職人員的職業發展系統之外,沒人能為她當時十分特殊的職位提供任何指導和幫助。她的學術生涯也不怎麼順利,她不喜歡課堂教學工作,同時苦苦掙扎著尋找研究方向,還要面臨外界對於自己地位和能力的質疑——1976 年,她選擇離開香檳分校,去了位於芝加哥的伊利諾伊大學( University of Illinois )。

我們不清楚離開香檳分校是否是凱倫和奧爾克出現裂痕的原因。但是,她確實和丈夫分手了。面對新環境,她能依靠的只有自己。幸運的是,芝加哥的氣氛和香檳分校截然不同。校園裡不僅有幾位女教授可以為她提供職業發展上的支持,她的同事們也認可她作為一名數學家的價值——她終於找到了能夠為自己的學術研究提供反饋意見的環境。

獲得新生

事情開始步入正軌,凱倫為研究找到了經費支持,將自己從充滿著挫折與失望的泥潭中拯救出來。在獲得了穩定的資助和工作環境後,凱倫在 40 歲左右時終於開始嶄露頭角。在 1982 年前後發表的數篇論文是她在規範理論研究中做出的突破性貢獻:從四維分析楊-米爾斯方程式( Yang-Mills equations ),為現代物理學中如標準模型、量子引力理論等眾多最令人興奮的研究,奠定了一定的分析基礎。

總結來說,她的這項工作可以看作為 1919 年由著名數學家赫爾曼・威爾( Hermann Weyl )提出、能讓愛因斯坦的廣義相對論更進一步的數學理論「續集」。愛因斯坦在他的廣義相對論中已經證明瞭如何比較兩個觀察者在引力場中不同位置所做的測量。在狹義相對論中,不同觀察者所做的測量可以很簡單地通過洛倫茲變換( Lorentz transformation )相互作用中找出關聯性,但是當測量者在引力場中的位置產生顯著差異時,對比較的測量結果會變得更加棘手。愛因斯坦的廣義相對論通過在時空幾何中使用觀察者之間的聯繫來解決這個問題。

赫爾曼・威爾。圖/wikipedia

威爾想知道他是否可以在電磁學領域做同樣的事情,因此開始了規範理論的研究,希望這項理論能在電磁領域找到上述的關聯。然而這一想法過於超前,三十多年後揚和米爾斯( Yang and Mills )進一步推動了這個模型的發展,但是也遇到了可能需要十年甚至更長時間才能解決的困難。

現在,凱倫接過了規範理論的交接棒,她最著名的研究是將規範理論應用於四維流形。她和  C. H .陶布斯( C.H. Taubes )從四維角度分析了楊 – 米爾斯方程,為西蒙·唐納森( Simon Donaldson )的理論奠定了基礎,後者在 1986 年獲得了著名的菲爾茲獎。

雖然錯過了菲爾茲獎,但是凱倫在 1985 年成為了美國藝術與科學院院士,2000 年獲得了美國國家科學獎章,並在2007 年獲得了美國數學學會的 Leroy P Steele 獎,還入選了20世紀美國最重要數學研究者的短名單,如今又收穫了與菲爾茲獎齊名的阿貝爾獎。

凱倫·烏倫貝克的近照。圖/CNN.COM

現在看來這是個令人讚嘆的故事,但是組成這個故事的每個字都凝聚了女性在科學界艱難前進的汗水與淚水。

這個曾經希望能遠離他人的孤僻女孩,意識到了離群索居只會在漫長的人生中給自己造成傷害,最終毀掉的是職業生涯和與家人朋友的感情。

她不再迴避教學,並開始用自己的經歷去幫助年輕人:她向學生強調學術支持系統的重要性,告誡他們不要成為那種閉門不出、獨自埋頭苦算的老派數學家——和同事們建立聯繫能幫你更好地克服職業生涯中可能遇到的困難。

凱倫·烏倫貝克成為了現代數學領域中性別多元化的標杆人物,但她也坦白地表示過這給自己帶來的挑戰性:「因為我需要做的其實是告訴學生,不完美的人也能成功……我在他們眼中可能是個有名的數學家,但是,我也是個普通人。

數學成就了她,數學也改變了她。

本文轉載自领研网,原文〈“数学界最高奖”阿贝尔奖首次颁给一位女性,她的人生曲折又幸运

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活躍星系核_96
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活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia

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是毒藥也是解方,影視作品如何影響刻板印象?為什麼曾經的公主製造機,現在特別「政確」?
PanSci_96
・2023/12/06 ・5369字 ・閱讀時間約 11 分鐘

根據 10 月 30 號內政部最新公布的統計數據,台灣人最常取用的疊字名字,女性是「婷婷」,男性是「彬彬」,這男生的名字聽起來就很有禮貌,女生則是身材高挑,姿態端莊,而最常見的名字,男性是「家豪」,女性是「淑芬」,這些名字充滿了對於孩子的想像與祝福,希望男生能成為一位顧家卻又不失豪氣的大丈夫,女生則要保持賢淑,同時要像鮮花的芬芳那樣討人喜歡⋯⋯

等等⋯⋯我是不是掉入性別刻板印象了?

電視電影是刻板印象的修煉場,也是打破刻板印象的主戰場

名字就,就名字嘛!幹嘛說人家刻板?不過當我一說這些名字以及他們代表的意義,你應該也很快就察覺這是屬於刻板印象的一部分。這是因為我們的社會已經成長到能辨識這些觀念的程度了,但反過來說,你知道還有多少地方藏著沒有被發現的性別刻板印象嗎?

舉例來說,幾個月前在台灣掀起 MeToo 浪潮的電視劇《人選之人》,用一句「我們不要就這樣算了好不好」,許多人站出來指控那些糾纏他們多年的加害者。能有如此大的迴響,其實是天時地利人和的結果。想想以前看的鄉土劇、日韓劇或台劇,當劇中角色,特別是女性遇到性騷擾,通常是得等男主角出面「拯救」他們,不管是陪著他們去保警處理,或是用比較⋯⋯私人的方法解決。這樣的劇情設計,反映出當時社會給女性貼上的被動與柔弱標籤,必須要依靠勇敢、堅強的白馬王子才有辦法在社會上生存。雖然人選之人這部劇並非全繞著性騷擾事件發展,但一個由女性自己提出「我們不能這樣算了」的橋段,打破了過去影視作品裡的框架,也恰好與當前社會進步的步調吻合,這才如此多曾經被社會期待壓著不敢發聲的人,特別是女性與性少數站出來說出早就該讓大眾知曉的真相。

類似的案例還有留下「可是瑞凡,我回不去了」這句名言的台劇《犀利人妻》,相信你就算沒看過這部戲,也肯定看過這些衍生出來的迷因。犀利人妻之所以如此經典,是因為它翻轉了過去影視作品中對於「伴侶出軌」這件事的刻板印象。想想以前女性角色發現伴侶出軌,大多會選擇自怨自艾,又或者是對所謂的「小三」進行報復,試圖讓被奪走的愛人回心轉意。但是,犀利人妻的主角謝安真卻在悲痛之後卻選了一條新的道路。他割捨了背叛自己的瑞凡,做到了「沒有你,我過得更好」,這才有那句「我回不去了」。這些打破刻板印象的影視作品,不只是提供新觀點這麼簡單,他們更像是一種社會風氣的試水溫。假如這個作品收穫正向的迴響、甚至成為啟發許多人的契機,那代表我們已經做好準備踏入新的階段。

不然你想想,像犀利人妻或人選之人這樣的戲劇,有辦法在三十,甚至五十年前的台灣出現,取得同樣的成功嗎?或者比較一下 2000 年早期當紅偶像劇的男女主角形象(例如《惡作劇之吻》、《流星花園》、《公主小妹》),跟 2010 年開始台劇男女角色形象(《我可能不會愛你》、《女兵日記》、《我的婆婆怎麼那麼可愛》),是不是多了很多有趣的變化與多樣性?

從這個角度去看,一直在進步、向著更平等社會邁進的我們,其實是真的已經「回不去」了。不只製作品質不斷提升,我們也越來越重視劇中傳達的訊息,希望讓影視作品不再是單純的娛樂取向產品,更能為我們生活的環境所有貢獻。

欸,「靠影視改變社會」,這可不只是嘴巴上說得好聽的空頭支票,你我都很熟悉的一個娛樂巨擎已經在做,而且做很多年了。

如果你腦中突然出現三個閃亮亮圓圈⋯⋯恭喜你,答對了!

圖/giphy

迪士尼是公主製造工廠?

說到迪士尼,不知道你最先想到的哪個角色呢?對我來說,肯定是最經典的《小美人魚》。但其實啊,現在已經有許多心理學研究發現,這些角色以及他們的故事不只是陪伴我們長大,其實還潛移默化了我們對於自己與他人,乃至於整個世界的想像。

當然,這不是迪士尼對觀眾施了什麼魔法,而是我們,特別是自我認同尚未穩固的小孩子,特別容易從接觸的童話故事、小說、電視電影等媒介中,汲取角色的言行與價值觀成為自己的一部分。這樣的學習歷程在 2012 年被心理學家注意到,並命名為「經驗擷取」(experience-taking),可以把它想像成是一種把虛構角色當成榜樣的學習過程。我們小時候都曾想像自己能成為故事裡的英雄,當個帥氣的白馬王子,或是成為眾星拱月的公主,在充滿愛與勇氣的世界裡過上永遠幸福快樂的日子。經驗擷取就是把這個過程變成無意識、很難覺察得到的悄然變化。

也因為這個人類內建的機制存在,使得迪士尼的公主系列不只是打造出一系列的經典 IP,他還把順應當時性別刻板印象的角色模板偷偷植入每個小小觀眾的腦袋裡。如果你想當公主,就必須穿得像個公主、言行舉止像個公主、活得像個公主⋯⋯而當這些公主與王子都極為相似時,你就會得到兩套(公主與王子)偏頗且平面的刻板印象。對根本不懂人情世故的小孩來說,他們無從判斷這些「必須」是否恰當,又或者適不適合自己,所以更容易無條件地相信這些價值觀。這可不是危言聳聽,早在 1996 年就有心理學家注意到這件事,但要真的引發學術界廣泛的討論,還得等到 2011 年,性別平權意識又再提升之後。在 2017 年的一篇行為分析研究,便明確觀察到頻繁暴露於迪士尼作品的 3-5 歲女童在玩妝扮公主遊戲時,會不假思索地直接複製刻板印象的內容,並且會對自己無法「穿得像位公主」或「動得像位公主」而焦慮。

頻繁暴露於迪士尼作品的 3-5 歲女童在玩妝扮公主遊戲時,會不假思索地直接複製刻板印象的內容。圖/giphy

你可能會想,這些事情等長大自己就會想通了。但其實這些小時候建立起來的想像,就跟雛鳥的印刻效應一樣,會在我們的認知裡停留很久很久,有些人可能一輩子都擺脫不了他們的影響。不只心理學家注意到這件事,迪士尼其實也很清楚自家作品擁有的影響力,這讓他們在 21 世紀後進入了「反轉」期。同樣是改編經典作品,但像《青蛙與王子》、《魔髪奇緣》等作品都賦予角色全新的形象,讓公主挑起英雄的大樑。到了《冰雪奇緣》,更是直接把艾莎晉升成女王,不但讓漢斯這個口蜜腹劍的負心漢王子露出真面目,還藉由與妹妹安娜之間的對比強調「女生為什麼不能自己做主」。雖然看起來還是王權封建制度,但傳達出來的訊息可是截然不同,這些努力也受到近年心理學研究的肯定。

而且大家仔細想想這些被翻轉的迪士尼角色,除了個性獨立,在行為上還有個很重要的共通點,那就是在面對不公義時,他們選擇了反抗。這是過去數百年間性別議題很常碰壁的死結:女性必須要為自己應有的權益發聲,但因為傳統社會期待女性要柔弱,所以當他們真的挺身而出,會先遇到「你怎麼這麼不像女生」的指責,真該重視的權益議題反而被忽略了。這時候,一個能在社會輿論中引發討論、「以身作則」的榜樣,就算是虛構的角色也足以打破那條深埋在社會文化中的無形界線。

過去的迪士尼是公主製造工廠,現在則是扭轉性別刻板印象不可或缺的盟友之一呢。

但是,也有人認為迪士尼已經「政治正確」搞過頭,反而破壞了我們的童年回憶,這又該怎麼看待呢?

迪士尼「政確」過頭,反而破壞了我們的童年回憶?圖/giphy

矯枉過正的政治正確?

莎士比亞在《哈姆雷特》裡寫下「請您善待這班戲子伶人,不可怠慢!因為他們是這個時代的縮影!」,這句話其實到了現代仍然適用,因為創作作品的是人,所以難免會把自己的經驗與想像投射進去。而且除了創作者自己的意向,作品內容同樣會受到市場箝制,就好比歐洲中世紀的藝術作品會有濃厚的宗教色彩,又或者台灣在解嚴後出現的鄉土文學熱潮,可以說是相輔相成的角色。

但就像 20 世紀的迪士尼迎合市場,卻無意間成為助長性別刻板印象的幫兇,很多東西都是過猶不及,一但走向極端就可能衍生出新的議題。相信大家就算再不關心,肯定都聽過關於「政治正確」的討論吧?但若我們只看一些較為激烈或極端的案例,會很容易誤解這個「政治正確」風氣出現的本意。

前面有說到,所謂的性別刻板印象,是一種偏頗且扁平的框架,告訴你「要想成為他,就必須符合這些條件」。打個比方,你喜歡吃哇沙比嗎?雖然是生魚片的好朋友,但假如今天你從小被教育吃任何食物都要加哇沙比,如果不加就不准吃,那即使你再怎麼討厭哇沙比,也會因為肚子餓而不得不忍受這些難以下嚥的食物組合。這樣隨著時間逐漸僵化的性別框架,在心理學被稱為「性別基模」(gender schema),是一個在過去 30 年來被廣泛研究的題目。

根據提出性別基模理論的心理學家 Bem(貝姆),要想拯救這樣悲劇的味蕾,單純跟你說「你可以不要哇沙比」是沒有用的。因為時間一久,你很可能已經習慣了哇沙比的味道,甚至不需要外力逼迫,你都不覺得這樣搭配有什麼奇怪的。你需要的,是實際感受「沒有哇沙比的食物」吃起來是什麼味道。品嚐過食物原本的味道後,你封閉的經驗被打開了,就算最後決定你還是喜歡哇沙比,那也是自身意願的選擇。

而這些所謂「政治正確」的創作選擇,其實就是在提供過去作品中欠缺的「多樣性」與「社會期待以外的選擇」。像剛拿下金鐘獎最佳女主角、戲劇導演與戲劇節目的《村裡來了個暴走女外科》,便是讓觀眾看見「不符合傳統醫師形象」也能「當個好醫生」的劉梓旭醫師,用超乎社會期待的方式處理自己生活中的議題。另外像是接連刷新華視收視率紀錄的《俗女養成記》又或者是十多年前的偶像劇《敗犬女王》,都是在用自己的方式回應「女生年紀大,身價塌」的歧視,讓同樣對年齡有焦慮感的女性看見選擇就算「不回答標準答案」也能找到幸福的可能性。

同樣的,讓女性或少數族群擔綱過往由男性把持的英雄角色,也是在提供觀眾一種新的角色模板。例如哈利波特裡最聰明、能力最強的並不是被預言選上唯一能與佛地魔對抗的哈利,而是麻瓜出身的妙麗。先不討論作者 JK 羅琳近年與 LGBTQ 族群起的爭議,在 21 世紀初期,那位願意一拳揍上馬份鼻子、永遠是第一個想出困境解法的年輕女巫可是西方女性培力的代言人,成為許多年輕女孩嚮往與效仿的對象。

或許不是每部影視作品都能像哈利波特或迪士尼形塑一整個世代的社會風氣,又或者像人選之人這樣啟發前所未有的 Me Too 運動,但他們多少反映了我們現在身處的環境,同時為他的改變與延續做出一點貢獻。從這個角度去想,你會發現政治正確並不是現在才有的現象,而是從古至今一直都有的創作取向。而之所以「政治正確」會在現代引起如此大的爭議,其實還得歸功我們成功打破了刻板印象,以致於大家都有了「正確答案不只一種」的認知,這才會對與自身想法不同的答案表達質疑,不是嗎?

對了,你最近看過的戲劇作品中,哪些作品的性別呈現最深得你心呢?歡迎跟我們分享吧!我先說,我自己最愛的是《八尺門的辯護人》裡的 Leena 跟陳令秋,那你呢?

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參考資料

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高速移動的話時間流速會不一樣嗎?時間暫停是可能的嗎?——《關於宇宙我們什麼都不知道》
天下文化_96
・2023/11/08 ・2746字 ・閱讀時間約 5 分鐘

我們都感覺到相同的時間嗎?

在二十世紀之前,科學認為時間是普適的:每個人和宇宙中的一切,都感覺到相同時間。那時的假設是,你如果在宇宙裡四處擺滿了一模一樣的時鐘,那麼每個時鐘在任何時刻都會顯示相同時間。畢竟,這就是我們在日常生活中遇到的情況。想像一下,如果每個人的鐘都以不同的速度奔跑,會是多麼混亂!

但後來,愛因斯坦的相對論把空間與時間結合成「時空」*1 概念,改變了一切。愛因斯坦強調,移動中的時鐘運行速度較慢。如果你以接近光速行駛至附近的星星,那麼你體驗的時間,將遠遠少於在地球上的時間。這並不是說你覺得時間過得很慢,像是「駭客任務」中的慢動作鏡頭那樣,而是說地球上的人和時鐘測量到的時間,會比宇宙飛船上的時鐘量到的更長。我們都以同樣的方式(以每秒一秒的節奏)體驗時間,但是如果我們彼此以相對高速移動,我們的時鐘就不會同步。

在瑞士的某個地方,製錶師剛剛心臟病發作。

一模一樣的時鐘卻以不同速度運行,似乎違背了所有的邏輯論證,但宇宙就是這樣運行的。我們知道這是真的,因為我們己經在日常生活中見證了。你的手機(或汽車、飛機)上的 GPS 接收器,會假定繞地球跑的 GPS 衛星時間走得較慢(衛星以每小時數千里的速度,在受地球巨大質量彎曲的空間中移動)。沒有這些資訊,你的 GPS 設備將無法從衛星傳輸的信號中,精確的同步和進行三角定位。關鍵是當宇宙遵循某個邏輯法則時,這些法則有時不見得如你所想。以這個案例來說,宇宙有個最高速限:光速。根據愛因斯坦的相對論,沒有任何東西、資訊甚至是外送披薩的旅行速率,可以比光跑得快。這個速率(每個時段所移動的距離)的絕對上限,會產生一些奇怪後果,並挑戰我們的時間概念。

首先,先確定我們了解這個速率限制是如何運作的。最重要的規則是:從任何角度來衡量任何人的速率時,這個速率限制都必須適用。我們說沒有什麼東西可以比光速還快時,無論你用什麼觀點來看,就是「沒有」。

所以我們來做個簡單的思考實驗。假設你坐在沙發上並打開手電筒。對你來說,手電筒的光線以光速遠離你。不過,我們是否可以把你的沙發綁在火箭上,點燃火箭然後讓沙發以驚人的速度移動呢?如果此時你打開手電筒,會發生什麼事?如果把手電筒指向火箭前方,光線是否以光速再加上火箭的速率移動呢?

我們將在第十章〈我們能以超光速移動嗎?〉花更多時間在這些想法上。但重要的是,為了讓所有觀察者(在火箭上的你和我們其他在地球上的人)看到,手電筒的光線都是以光速移動的,於是某些東西必須改變,這個東西就是「時間」。

為了幫助你理解這個概念,讓我們回到把時間當做時空第四維度的想法。這個想法有助於想像物體如何穿越時間和空間,而把宇宙速限應用在你的總速率上。如果你坐在地球上的沙發裡,你沒有穿越空間(相對於地球)的速率,所以你穿越時間的速率可以很高。

但如果你坐在火箭上,對地球而言,火箭的移動速度接近光速,那麼你穿越空間的速率是非常高的。因此,為了讓你穿越時空的總速率在相對於地球時,保持在宇宙速限之內,你的時間速率必須減少,在此所有的速率量測都使用地球上的時鐘。

還讀得下去嗎?

對於不同人可以回報不同時間長度,你可能很難接受,但這是宇宙的運作方式。更奇怪的是,人們可能會在某些情況下,看到事件以不同順序發生,而且都是正確的。舉例來說,兩位誠實的觀察者,如果以非常不同的速度移動,他們會對誰贏得直線競速賽有不同的看法。

如果你的寵物美洲駝和雪貂進行賽跑,那麼,依據你的移動速度和相對於比賽場地的距離,你可以看到心愛的美洲駝或雪貂贏得比賽。每隻寵物都會有屬於自己事件的版本,如果你的祖母能夠以接近光速的速率移動,她看到的比賽結果可能完全不同。而且,所有人都是正確的!(不過要注意的是,每個人的時間起始點都不相同。)

圖/《關於宇宙我們什麼都不知道》

我們喜歡認為宇宙有絕對真實的歷史,所以不同人可以體驗不同的時間,是令人難以接受的想法。我們可以想像,原則上有人可以寫下宇宙至今發生的每一件事(這會是非常冗長的故事而且大半都超級無聊)。如果這故事存在,那麼每個人都可以根據自己的經驗來進行檢查,除非是無心之過或視力模糊,每個人讀的故事應該要一致。但愛因斯坦的相對論使得一切都是相對的,所以不同觀察者對於宇宙裡事件的先後順序,會有不同的描述。

最終我們必須放棄宇宙有絕對單一時鐘存在的想法。雖然因此我們有時會遇到違反直覺且看似荒謬的領域,但驚人的是,這種看待時間的方式已測試為真。與許多物理革命一樣,我們被迫拋棄自我的直覺,並遵循受時間主觀意識影響較小的數學之道。

時間會停止嗎?

打從一開始,人們就想排除時間會停止的概念。時間除了向前,我們從未見過它做過其他事,既然如此,時間怎麼可能還有別的選項呢?由於我們本來就不清楚為什麼時間要前進,所以很難自信的說,時間向前是永恆真理。

一些物理學家相信,時間的「箭頭」是根據熵必須增加的法則所決定。也就是說,時間的方向與熵增加的方向相同。但如果這是真的,當宇宙達到最大熵時會發生什麼事?在這樣的宇宙裡,一切都將處於平衡而且不能創造秩序。那麼,時間會在這一點停下來嗎?還是時間不再有意義?一些哲學家猜測,在這個時刻,時間的箭頭和熵增加的法則可能會逆轉過來,導致宇宙縮小到一個微小奇點。不過,這個說法比較像是深夜裡藥吃多了後激發的猜測,而不是實際的科學預測。

還有理論提出大霹靂創造了兩個宇宙,一個時間向前流逝,一個時間向後奔流。更瘋狂的理論則提出時間不只一個方向。為什麼不呢?我們可以在三個(或更多)空間方向中移動,為什麼不能有兩個或更多的時間方向?真相為何?如往常一樣,我們不知道。

註解

  1. 愛因斯坦的天才並沒有展現在為事物命名上面。

——本文摘自《關於宇宙我們什麼都不知道》,2023 年 9 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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《奧本海默》中被遺忘的火星人數學家馮紐曼和波利亞——《科學月刊》
科學月刊_96
・2023/11/03 ・5466字 ・閱讀時間約 11 分鐘

  • 作者/劉柏宏
    • 勤益科技大學基礎通識教育中心教授
  • Take Home Message
    • 電影《奧本海默》中,對於幾位匈牙利數學家如馮紐曼、波利亞等人的描述篇幅較少,但他們其實對科學界影響深遠。
    • 馮紐曼在曼哈頓計畫中建議以內爆透鏡設計原子彈,不僅所需的裂變材料較少,又可以防止原子彈過早引爆,達成更對稱與高效的爆炸。
    • 波利亞提出以「捷思法」等強調歸納實驗的方式思考數學問題,例如觀察找出數學公式的形成,此法也掀起了數學教育革命。

遊艇緩緩流動在分隔布達區(Buda)與佩斯區(Pest)的多瑙河上,絲絨般的水波、柔棉沁涼的河風,兼容哥德式與文藝復興建築風格的匈牙利國會大廈(Hungarian Parliament Building)圓頂,在夕陽的烘托之下宛如紅寶石般璀璨,流瀉出昔日奧匈帝國的風華。

筆者來到此地,終於可以想像為何 100 年前這條河的兩岸能夠孕育出一批改變科學面貌,甚至改變人類歷史的數學家與科學家。趁著今(2023)年暑假到布達佩斯開會之便,筆者也試著踏尋這些科學家的足跡。

回臺灣之後恰逢電影《奧本海默》(Oppenheimer)上映,儘管許多人聚焦在主角奧本海默(Julius Oppenheimer)的內心世界,不過筆者更關心的是幾位被火星人遺留在地球上的匈牙利數學家。

地球上的火星遺民

20 世紀初歐美科學圈流傳著一個神祕的傳說,記錄下這傳說的是匈牙利物理學家馬克思(György Marx),但傳說起源卻得從義大利物理學家費米(Enrico Fermi)說起。

1950 年某個夏日午後,費米在美國原子彈曼哈頓計畫(Manhattan Project)的基地——洛斯阿拉莫斯國家實驗室(Los Alamos National Laboratory),和幾位科學家聊到當時有關幽浮的報導時,提出了一個問題:

「宇宙如此浩瀚,包含無數恆星,許多恆星和太陽沒什麼差別,也有行星圍繞著它們旋轉。一部分的行星地表也會有水和空氣,而來自恆星的能量將促使有機化合物合成。

這些化學物質將相互結合產生一個自我複製系統。最簡單的生物會通過自然選擇繁殖、進化並變得更加複雜,直到最終出現活躍的、會思考的生物,文明、科學和科技隨之而來。

由於對美麗新世界的渴求,他們會旅行到附近行星,然後到另一個恆星的行星。他們最終應該遍布整個銀河系。這些非凡和傑出的人很難忽視像地球這樣美麗的地方。

所以,如果真是如此,他們必定來過這裡。那麼,他們到底在哪裡?」

關於這個「費米問題」,匈牙利物理學家西拉德(Leo Szilard)的回應是:「他們就在我們身邊啊!只是他們自稱匈牙利人!」(They are among us, but they call themselves Hungarians.)。

西拉德的高級幽默,點燃匈牙利人是火星遺民的想像,各種附和的說法紛紛出籠。有一種說法是 19 世紀末至 20 世紀初,一艘來自火星的太空船降落在地球,由於發現匈牙利的女子美麗又性感因而定居下來,繼而繁衍後代。

後來太空船要返回火星時超重,不得不將一些人留下,這些人包括建議當時美國總統羅斯福(Franklin Roosevelt)發展原子彈的信函主要起草人西拉德、協助潤稿的泰勒(Edward Teller)和諾貝爾物理學獎得主維格納(Eugene Wigner),還有化學獎得主歐拉(George Olah)與波拉尼(John Polanyi)、經濟獎得主哈薩尼(John Harsanyi);以及數學家艾迪胥(Paul Erds)、波利亞(George Pólya)、馮紐曼(John von Neumann)、哈爾默斯(Paul Halmos)、拉克斯(Peter Lax)等人。

這幾位科學界的火星遺民有許多共同點:他們都出生於匈牙利。

除了喜歡雲遊四海的艾迪胥外,他們後來都移居並任教於美國的大學;他們思考問題時都喜歡來回踱步;另有一個最不可思議的共同點——他們都是猶太人。

至於為何火星人特別鍾情猶太人?這可能又是另一個「費米問題」。

《奧本海默》的最大遺珠——馮紐曼

筆者本次開會的地點在羅蘭大學(Eötvös Loránd University),該校在過去不同時期曾名為布達佩斯大學(University of Budapest)、帕茲馬尼-彼得大學(Pázmány Péter Catholic University)。

該校培育出不少數學家與科學家,而馮紐曼是箇中翹楚。

馮紐曼出身於布達佩斯的富裕猶太家庭,父親是位對他有很深期待的銀行家,希望兒子能往化學工程發展,但馮紐曼卻對數學情有獨鍾。有許多關於他的數學傳奇事蹟,例如 6 歲能心算八位數除法,8 歲熟悉微積分,15 歲開始學高等微積分,19 歲已經發表兩篇數學論文。

最後馮紐曼不違父願也無逆己志,不僅在蘇黎世理工學院(Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, ETH)讀化工,同時也在帕茲馬尼-彼得大學研修數學博士。

有鑑於在 19 世紀末和 20 世紀初,德國數學家康托爾(Georg Cantor)的集合論導致某些推論會產生矛盾難題,即使在當時產生的矛盾並非集合論的核心,但在嚴格檢驗非核心的部分時,邏輯上還是會發現一些瑕疵,因此馮紐曼選定了與集合論基礎有關的內容深入研究。

他的博士論題目為〈一般集合論的公理化構造〉(Az általános halmazelmélet axiomatikus felépítése),並於 1926 年同時取得兩所大學的博士學位。

而後在洛克菲勒基金會(Rockefeller Foundation)的資助下,他前往德國哥廷根大學(University of Göttingen),師從德國數學家希爾伯特(David Hilbert)。

1933 年為逃避納粹對猶太人的迫害,馮紐曼應聘前往美國普林斯頓高等研究院(Institute for Advanced Study),在那裡開始專研計算機科學,同時也結識了奧本海默。

馮紐曼(右)和奧本海默(左)。圖/科學月刊

建議原子彈採用「內爆式」設計的馮紐曼

由於馮紐曼的博學與優異數學計算能力,奧本海默聘請他作為曼哈頓計畫的顧問,主要負責兩項任務:一是研究內爆透鏡的概念和設計,二是負責預估炸彈爆炸的規模、死亡人數,以及炸彈爆炸的離地距離以達到最大效果。

什麼是內爆透鏡?當時曼哈頓計畫考慮的核分裂方式有兩種,一種是「槍式核分裂」(gun-type fission)設計,另一種則是「內爆透鏡」(implosion lens)的設計。

槍式核分裂設計是仿造子彈的射擊方式,利用常規炸藥將一塊次臨界物質射向另一塊可裂變物質,使可裂變物質達到臨界質量(圖一)。

圖一、槍式核分裂設計的原子彈。原理是利用炸藥將一塊次臨界物質射向另一塊可裂變物質(鈾),使可裂變物質達到臨界質量,投擲於廣島的「小男孩」就是採用此設計。圖/科學月刊

槍式核分裂使用鈾(uranium, U)作為裂變材料,二戰時投擲於日本廣島的「小男孩」(Little Boy)就是採用槍式設計。但由於當時鈾的存量並不足夠,因此必須發展另一種形式的原子彈,也就是內爆透鏡設計。

內爆透鏡設計以鈽(plutonium, Pu)作為裂變材料,在空心的球狀空間內放置鈽,並在球形鈽彈周圍放置炸藥。這些炸藥爆炸同時產生的強大內推壓力將會擠壓球形鈽彈,引發連鎖反應造成核爆(圖二)。

圖二、內爆透鏡設計的原子彈。它以鈽為裂變材料,空心的球狀空間內含鈽,並在鈽彈周圍放置炸藥,炸藥爆炸時產生的強大內推壓力會擠壓鈽彈,引發連鎖反應造成核爆,這也是投放到長崎的「胖子」設計原理。圖/科學月刊

馮紐曼評估之後,認為「內爆式」設計優於「槍式」設計,且內爆型原子彈所需的裂變材料較少,又可以防止過早引爆以達成更為對稱與高效的爆炸,因此建議奧本海默改發展內爆式核彈,這就是二戰時被投放到日本長崎的原子彈——「胖子」(Fat Man)。馮紐曼在曼哈頓計畫中的角色如此關鍵卻被電影所忽略,確實令許多人不平。

馮紐曼從小嶄露他的優異天賦且記憶力驚人,除數學領域之外在諸多科學分支也有所涉獵且精通。他的聰慧早已獲得同儕的認同與讚譽,常被稱為數學界最後一位通才。有一個流傳甚廣的傳說是某次宴會中女主人問馮紐曼一個問題:

「兩列相距 200 英里的火車正在相向行駛,每輛火車的行駛速度均為每小時 50 英里。一隻蒼蠅從其中一列火車的前面出發,以每小時 75 英里的速度在火車之間來回飛行,直到火車相撞並將蒼蠅壓死為止。蒼蠅在這段期間總共飛行了多少距離?」

一般人解這一題可能是先算第一段時間蒼蠅飛行的距離,再算第二段時間蒼蠅飛行的距離,由於蒼蠅來回飛行無限多次,距離愈來愈短,可以用無窮等比級數求和的方法得出解,但這樣的計算相當繁複。有一個更快捷的技巧是直接算出兩輛火車將於兩小時後相撞,因此得知蒼蠅總共飛行 150 英里。

馮紐曼聽完問題不一會兒就答出 150 英里,女主人對於馮紐曼沒有陷入計算無窮等比級數的陷阱感到失望,但馮紐曼竟回答:「我是用求和的啊!」若此傳說當真,顯見他驚人的計算能力。

1963 年諾貝爾物理學獎得主維格納表示,他認識當代許多頂尖科學家,包含德國理論物理學家普朗克(Max Planck)、英國理論物理學家狄拉克(Paul Dirac)、西拉德、泰勒、愛因斯坦,但沒有一個人像馮紐曼般才思敏捷。曾有人問維格納為什麼匈牙利出現這麼多天才,維格納的回答是:「真正的天才只有馮紐曼一人。」

引發數學教育革命的波利亞

本文要介紹的第二位匈牙利數學家是波利亞。1912 年,他於布達佩斯大學取得數學博士學位後,便前往德國哥廷根大學從事博士後研究。他在哥廷根大學結識許多當代最傑出的數學家,例如希爾伯特和克萊因(Felix Klein),之後便到蘇黎世理工學院任教。相較於一般嚴謹木訥的數學家,波利亞相當擅長說故事,包含數學家的軼事和「說數學」的功力。

馮紐曼在蘇黎世理工學院修讀博士時,也曾上過波利亞的書報討論課。有次波利亞提到一個尚未解決的數學問題,他認為要證明這問題很困難,沒想到五分鐘之後馮紐曼舉手,然後在黑板上寫下證明,從此之後馮紐曼變成他最敬畏的學生。

另外,波利亞也曾談論有關希爾伯特的故事。在德國盛傳一個傳說,深受德國人敬愛的皇帝腓特烈一世(Friedrich I)沒有死亡、只是沉睡,等到德國需要他時他就會挺身而出。因此便有人問希爾伯特:「你若在死後 500 年復活,你會做什麼事?」希爾伯特說:「我會問是否有人證明了黎曼猜想(Riemann hypothesis)?」

黎曼猜想與質數分布具有密切的關係,是希爾伯特於 1900 年提出的 23 個最重要數學問題之一。有些數學家將證明黎曼猜想形容為「數學界的聖杯」,因此它的重要性可見一斑。2018 年 9 月 24 日,英國數學家阿蒂亞(Michael Francis Atiyah)宣稱他證明了黎曼猜想,此事件也曾轟動一時。

但阿蒂亞的證明還來不及得到同儕認證,便不幸於 2019 年 1 月 11 離世,截至目前為止數學界仍對阿蒂亞的證明有所質疑。所以如果希爾伯特現在真的死而復活,那他恐怕要失望了。

波利亞於 1945 年出版《怎樣解題》(How To Solve It)一書,展現他「說數學」的功力。他常強調數學有兩面,數學結果的呈現方式有如歐幾里得(Euclid)幾何學般的演繹論證形式,但數學知識發展過程卻更像是一門實驗歸納的科學。書中提倡以捷思法(heuristic)思考數學問題,例如高中時老師通常教學生如何證明 13+23+33+43+⋯+n3=,但卻很少說明究竟如何得到此公式。

波利亞則要學生先做探索觀察。例如從圖三可以發現前五個自然數的立方恰好都等於另一個自然數的平方,這樣的特殊性可以推廣為「前 n 個自然數的立方和等於某個自然數的平方嗎?」若可以推廣,某個自然數到底是哪個數?我們進一步觀察可以得到:1=1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4, 15=1+2+3+4+5,將這觀察和圖三結合就得到圖四中令人驚訝的結果。

圖三、前五個自然數的立方和。圖/科學月刊
圖四、前五個自然數的立方和等於前五個自然數和的平方。圖/科學月刊

這麼美麗的結果應該不會只是巧合,所以一個合理的臆測也因此誕生:「前n個自然數的立方和等於前n個自然數和的平方」,也就是 13+23+33+43+⋯+n3=(1+2+3+4+⋯+n)2。由於 1+2+3+4+⋯+n=,所以得到 13+23+33+43+⋯+n3這個「合理的」公式,接著就可以證明此結果的正確性。

由此我們看到捷思法可以展現一個數學公式形成的過程,如同在《奧本海默》電影中丹麥物理學家波耳(Niels Bohr)建議奧本海默改到哥廷根大學跟從玻恩(Max Born)學習理論物理。

波耳問奧本海默數學程度如何,並提醒他:「代數就像一本樂譜,重點不是你能否讀懂音樂,而是能否聽懂音樂。」(Algebra is like a sheet music. The important thing isn’t if you can read music; it’s if you can hear it.),波利亞的捷思法就是教我們如何聽懂音樂而不光是讀懂音樂。

在 1960 年代,美國由於憂慮太空競賽落後蘇聯,因而發起所謂「新數學」的中學數學課程改革,強調數學的抽象性,試圖讓學生早一點熟悉數學邏輯的演繹過程,但這種罔顧知識發展脈絡的改革註定以失敗告終。

1980 年代,波利亞強調歸納實驗思考過程的捷思法逐漸受到重視,掀起一波「數學問題解決」(mathematical problem-solving)的浪潮,而這股浪潮的影響也猶如核分裂的連鎖反應,持續至今。

  • 〈本文選自《科學月刊》2023 年 11 月號〉
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