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【快訊】數學與計算機科學的交織──2021 阿貝爾獎

Yi-Hsuan Lee_96
・2021/04/08 ・3202字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 534 ・七年級
  • 作者/李奕萱

阿貝爾獎(Abel Prize)自2003年開始由挪威國王頒發給傑出數學家的獎項。阿貝爾獎的歷史可以追溯到1899年,當時挪威數學家索菲斯·李(Sophus Lie)得知阿佛烈·諾貝爾(Alfred Nobel)計劃設立的諾貝爾獎將不包括數學獎,又剛好正逢數學家尼爾斯·亨里克·阿貝爾(Niels Henrik Abel)誕辰100週年紀念,便提出設立阿貝爾獎。 不幸的是,索菲斯·李不久後逝世、提供資金的奧斯卡二世國王也因為瑞典和挪威聯合王國解散而下台,阿貝爾獎這件事也就不了了之。

2001年,人們覺得應該給數學家一個相當於諾貝爾獎的獎項,便再次將阿貝爾獎提案給挪威總理。隔年挪威政府便宣佈撥款2億挪威克朗在數學家阿貝爾誕辰200週年時正式設立阿貝爾獎,並由挪威自然科學與文學院成立阿貝爾委員會負責審理。

阿貝爾獎的獎金高達750萬挪威克朗,是國際數學獎中的最高金額。圖/wikipedia

雖然說阿貝爾獎被譽為數學界的諾貝爾獎,但表彰方向卻和諾貝爾獎不盡相同。舉例來說,諾貝爾物理學獎主要是頒發給對物理作出重要發現或發明的人,像是2020年的諾貝爾獎得主就是成功觀察到銀河系中心的超大質量緻密天體,並發現黑洞的形成是廣義相對論的確鑿預測,因而得獎。阿爾貝獎則是大多頒獎給在數學領域發展中的重要推手,也就是引領數學界的人。

今年挪威科學院將2021年的阿貝爾獎頒給匈牙利羅蘭大學(Eötvös Loránd University)的洛瓦茲·拉茲洛(László Lovász)和美國普林斯頓大學的以色列數學家阿維·威格森(Avi Wigderson),表彰他們對理論計算機科學與離散數學的貢獻,以及將兩者塑造成現代數學的重要領域

“for their foundational contributions to theoretical computer science and discrete mathematics, and their leading role in shaping them into central fields of modern mathematics”

剪不斷理還亂的計算機科學和數學

1970年代,理論計算機科學和純數學是沒什麼關係的兩個學術領域。經過幾十年的發展,這兩個學科之間早已變得極為密切,在現代數學,我們甚至很難分清它們之間的界限。其中,洛瓦斯和威格森就是在最前線開疆闢土的人。

阿貝爾委員會主席漢斯·蒙特·卡斯(Hans Munthe-Kaas)表示:「在過去的幾十年中,洛瓦茲(圖中左)和威格森(圖中右)一直是這一發展的領導力量。他們的工作以多種方式交織在一起,尤其是它們都為理解計算中的隨機性和探索有效計算的邊界做出了根本性貢獻。」圖/The Abel Prize

計算複雜性理論 (Computational complexity theory)是數學和計算機科學領域的一個重要分支。從小我們就知道算數學要快、狠、準,如何更快、更輕鬆地解決問題一直是人類追求的目標。計算複雜性理論通過引入數學計算模型計算各個演算法的資源使用情形,像是時間(透過幾個步驟產出結果)、空間(需要佔用多少記憶體),再進一步進行複雜性分類、聯絡。洛瓦茲設計的LLL演算法、威格森的去隨機化研究對拓寬和深化這個領域的貢獻無疑是最重要的領導者。

從數學到計算機科學──拉茲洛·洛瓦斯

圖/wikipedia

洛瓦茲於1948年出生在布達佩斯,從小就對數學有濃厚的天份,22歲便拿到博士學位,他的早期靈感大部分來自數學家艾狄胥·帕爾(Erdős Pál)。艾狄胥的成就集中在離散關係的數學,而不是典型的連續變量上,也就是組合學、圖論等領域。

組合學(Combinatorics)、圖論(Graph theory)都是離散數學的範疇。前者主要解決組合模型中的存在、計數以及構造等方面的問題;後者作為組合學的分支,將對象之間的關係通過邊和節點組成數學結構圖。拉斯洛·洛瓦茲作為新一代數學家自然不會將離散數學侷限在純數學的理論研究中,他意識到離散數學在計算機科學中非常具有發展潛力,並著手研究離散數學可以解決計算機科學問題的方法。

圖論中的經典七橋問題:在所有橋都只能走一遍的前提下,如何才能把這個地方所有的橋都走遍呢?圖/wikipedia

最著名的研究是由洛瓦茲(Lovász)以及荷蘭數學家阿爾揚·倫斯特拉(Arjen Lenstra)和亨德里克·倫斯特拉(Hendrik Lenstra)的名字命名的LLL演算法(LLL lattice)。這種稱為LLL的算法將由整數組成的大向量分解為各種類型的最短向量的總和,也就是可以計算出空間中的點集與原點的距離。

最初的LLL演算法被應用將多項式時間(Polynomial time,P)以有理係數多項式表示,來找出他的實數近似值來解決固定維數的整數線性規劃問題。LLL演算法在數論、密碼學和通訊計算等領域也都具有顯著的應用,更是現今可以抵禦量子計算機攻擊的加密系統之一。

從計算機科學到數學──阿維·威格森

威格森對他的研究領域一直都充滿熱情,常常感染身旁的同事一起參與研究。圖/Wikipedia

威格森於1956年出生於以色列海法。威格森最著名的成就之一就是闡明了隨機性在計算中的作用。在聊隨機性之前,我們先來聊聊什麼是P, NP:

P和NP是複雜性的類別,P問題是可以快速計算出來的問題,NP問題則是可以快速驗證的問題。

當問你17乘以19是多少時,你可能沒辦法馬上心算出來,但按一按計算機就一定能得出答案,那麼這個問題就是屬於P問題,包含了所有容易解決的計算問題。現在,問你323的所有質因數有哪些呢?問題複雜了許多吧!我們必須從2、3、5……開始慢慢找,正著找質因數很困難,如果我們反著找呢?先告訴你17、19是323的質因數,是不是只要把它們乘在一起就能驗證答案對不對了?這個例子就是屬於NP問題,包含了可能是很難解決的計算問題,但只要有答案就很容易被驗證正確與否。

科學家便提出了一個看法:「會不會其實P=NP?」也就是說NP問題有可能可以被簡單解決。威格森的主要研究就是將複雜性類別一一歸位,將多項式時間演算法完全去隨機化,更快速的得到結果,並把隨機演算法和複雜性理論結合,提出P = BPP(bounded-error probabilistic polynomial time),回答了多年來對P/NP問題的疑問,大大拓寬了資訊界的未來視野。

P/NP問題是一個在理論資訊學中計算複雜度理論領域裡至今未被解決的問題,也是克雷數學研究所七個千禧年大獎難題之一。圖/wikipedia

威格森對貨幣加密的零知識證明也很有貢獻,零知識證明簡單來講就是在不透露任何資訊的情況下驗證正確性的方法。最初是在保護個資方面,像是我們想要申請某個購物網站的會員,我們就必須提供姓名、電話、出生年月日等各種資料來驗證我們的真實身份,但在零知識證明之下我們可以選擇提供「零密碼證明」、隱藏真實密碼,達到完全保護個資的目的。

有些人可能會有疑問說數學有用嗎?數學不是只能拿來算錢嗎?那你就錯了!數學一直扮演著承載科學的角色,躲在背後支持著科學發展,不難發現每一門科學都或多或少跟數學交織在一起,每一年頒發的阿貝爾獎、菲爾茲獎、諾貝爾獎都顯現出這些數學家、科學家正將科學這個巨網越織越堅固。一起為今年的得獎者送上掌聲吧!

圖/Giphy

參考資料


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Yi-Hsuan Lee_96
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Science Communicator | 數學系畢業,跑到心理系當了一年間諜,現在是應用科學研究生。喜歡文學、古典戲劇和薏仁。立志在台灣創造一個老人小孩都能樂在其中的科普空間。


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既是科學家,也是樂團鼓手!──專訪數學物理學家程之寧

研之有物│中央研究院_96
・2022/03/11 ・5978字 ・閱讀時間約 12 分鐘

本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位。

  • 採訪撰文|郭雅欣、簡克志
  • 美術設計|林洵安、蔡宛潔

在學術與搖滾的多重維度上行走

還記得美劇《The Big Bang Theory》嗎?劇中常常出現的物理名詞「弦論」,是描述物理世界基本結構的理論。中央研究院「研之有物」專訪院內數學研究所程之寧研究員,她正是研究弦論的科學家,也是熱愛音樂的搖滾樂團鼓手,這種跨領域身份並不衝突,兩邊都需要創造力與紀律。由於天生斜槓的性格,讓程之寧在數學和物理領域大展身手,透過數學的深入探討,她試圖將弦論更往前推進。最近程之寧更跨足到人工智慧領域,為學界提供理論物理上的貢獻。

中研院數學所程之寧研究員,主要研究 K3 曲面(特殊的四維空間)的弦論,她發現模函數和有限對稱群之間有 23 個新的數學關聯,稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。圖/研之有物

萬有理論和難以捉摸的「月光」

世界從那裡來呢?物理世界的本質是什麼呢?回答這樣的大哉問,一直是理論物理學家所追求的目標。從牛頓力學(日常應用)、廣義相對論(探討很重的物質)到量子力學(探討很小的物質),隨著物理學不斷發展,我們似乎一步步接近答案,但至今卻還未走到終點。

舉例來說,如果有個東西很重又很小,就像「黑洞」,或是大爆炸時的宇宙,我們要怎麼用數學描述?於是科學家試圖整合廣義相對論和量子力學,找出所謂的「萬有理論」(Theory of Everything)──能完全解釋物理世界基本結構的核心理論。

程之寧研究的「弦論」就企圖發展成這樣一個萬有理論。弦論一如其名的「玄妙」,它設定宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。

「人類一直以來的夢想之一就是,如果能用一句話解釋所有事情,那該有多麼美好。」中研院數學所研究員程之寧說道。

程之寧的研究牽涉到數學上的「月光猜想」(Moonshine)與弦論中 K3 曲面的連結。月光猜想是存在於模函數係數與特殊群之間的數學關聯,程之寧與其研究夥伴共發現了 23 個新的關連,並稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。

基於弦論的假設,我們的世界是十維的,除了人們在日常生活中可以感知到的 3+1 維(空間+時間),還有六維是因為尺寸太小而無法用肉眼觀察的,這些看不到的維度影響著物理世界,最終也產生了我們這個物理世界所需的各種條件與特性。

綜觀程之寧的研究,橫跨了物理與數學兩個領域,她笑稱自己「天生斜槓」。在學術上,程之寧原先喜歡文學,之後卻走上數理研究的道路;在音樂上,程之寧喜愛搖滾樂,至今仍在自己的樂團裡擔任鼓手。

她如何看待自己一路走來的各種轉折?游徜在數學與物理之間,她又對這兩個領域的連結有怎樣的體會?在與「研之有物」的訪談中,程之寧侃侃而談她的經歷、想法,以及對學術研究的熱忱所在。

在弦論的設定中,宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。圖/iStock
  • 請問您是如何對數學及物理產生興趣?從何時開始?

一開始考大學時,其實我想去念中文系(笑)。不過,因為我高中是選理組,而且只念了一兩年,對文科考試比較沒把握,加上對工程科系沒興趣,最後就選擇臺大物理系就讀。

後來發生兩個轉折,第一個是我很認真的去修了大學中文系的課,結果發現真的沒有想像中容易。第二個就是我發現物理系的課還蠻有趣的,像量子力學和相對論,讓我覺得還想再多學一點、多知道一點。

我開始覺得如果念完臺大物理系就停下來,好像有一種小說沒讀完的感覺,所以就想繼續讀碩士班。那時還沒有覺得自己會走上學術研究的路,單純抱著想把故事看完的想法。

  • 後來是如何接觸到弦論?弦論是如何引起您的興趣?

後來我去荷蘭念碩士,指導教授是諾貝爾物理獎得主 Gerard ’t Hooft。他其實蠻不認同弦論,但他對於如何處理量子力學與相對論很有興趣。

當時 ’t Hooft 教授在建議我碩士題目時就說:「你也知道我不太認為弦論是一條正確的道路,不過聽說弦論最近真的在量子重力這一塊有一些成果。不如妳去讀一讀,看看是不是真的有一些東西在那裡,也可以比較一下其他量子重力理論。」

在我很認真的比較各個量子重力理論之後,就變成弦論派了(笑)。’t Hooft 教授對此也保持開放態度,他有幾個不錯的博士生後來也變成弦論學家,之後我在 Erik Verlinde 的指導下念博士時,就完全以弦論為研究主題了。

  • 研究理論物理會影響您對現實世界的理解嗎?

蠻多人會問我說,妳學了量子力學,是不是就會比較了解這個世界不是非黑即白?或問我量子力學跟宗教是不是有關?可是我覺得我分得很開,我不會去做這樣的連結,我還是活在現實裡,走路時大部分都在專注於自己不要跌倒之類的。

如果真的要講,我蠻感激我們的存在,因為我所學的東西讓我知道這是沒有必然性的。我們能這樣以一種人形的很奇怪的生物的形式存在,然後在這樣一個環境過一輩子,是機率很低的事情,而且我還蠻開心我是當人,而不是奇怪的阿米巴蟲或外星生物!有些人會從這裡連結到宗教或轉世,但我不會,我就停在這裡。

  • 來談談您的研究,伴影月光猜想與 K3 曲面弦論之間是什麼關係?

弦論中有很多的可能性,我們可以挑選特定的四維,然後假設這四維空間是個 K3 曲面。例如說,我們可以把兩個甜甜圈乘起來,在上面做特殊的奇異點,來製造出一個 K3 曲面。這個曲面有一些很有趣的對稱性。從弦論的角度來講,我們可以透過這個過程,找出一個解釋為何有伴影月光猜想的框架。

「把維度乘起來」這個概念很難想像,但這在數學上是成立的。我舉例一個我們能想像的「乘起來」:如果有一個空間是一條線,另一個空間是一個圓,乘起來就變成一個圓柱形,從一個方向剖面可以切出圓,另一個方向則切出線。而在數學上,不管幾維,能不能在紙上畫的出來,都可以這樣操作。

程之寧向「研之有物」採訪團隊解釋「把維度乘起來」的概念。圖/研之有物
  • 如何透過計算,發現捉摸不定的「月光」?

有時候這看似湊巧,一個數學上的函數正好就是弦論某個問題的答案。但其實並不是真的那麼巧,弦論看起來很有彈性,好像什麼都可以解釋,但它其實有非常多結構及限制。

當我在計算一個弦論理論時,它的內部結構可能原本就具有某些特定的性質,然後我再去觀察數學中,有這樣性質的函數可能就只有一兩個,只要再初步算一下,就能知道哪一個是答案。弦論學家日常的計算常常是這樣的,所以這是巧合嗎?是也不是。

  • 您曾經發現 23 個新的伴影月光猜想,您對這類題目特別有興趣嗎?

我覺得數學有兩種,有些數學家喜歡系統性的事情,就像蓋房子一樣,在數學裡建造一個很美麗、非常有系統性的結構,可以把很多事情都放入這個結構來理解。

另一種比較少數的,就是喜歡獵奇,去收集分類奇奇怪怪的特殊東西,例如有這些性質的函數在哪裡?可能你算出來就是 5 個,你也不知道為什麼。月光猜想很明顯就屬於這一類。

兩種的樂趣感覺是不一樣的,我覺得應該都很棒,但我可能是屬於偏好獵奇的這種。

  • 您的研究連結了物理上的弦論與數學上的月光猜想,您怎麼看待這兩個知識體系的互動?

弦論是一個需要很多數學理論配合的物理理論,它是一個有點繁複的框架,我們什麼都要會一些,才能看懂這個理論。當你把許多不一樣的學門的知識加起來,有時候就會在某一個學門──例如幾何──有意想不到的收穫。

弦論在數學上也扮演探索與找尋新方向的角色,讓數學家有新的發現。雖然最後數學定理的證明還是得仰賴傳統數學方法,但在這二三十年間,我們一直從弦論身上找尋數學研究的新方向或有趣的猜想,看到了弦論與數學之間的互動。

數學家有兩種,一種人喜歡建立美麗又有系統性的結構,另一種人喜歡尋找和收集奇怪特殊的數學物件(比如函數),程之寧表示自己屬於後者。圖/研之有物
  • 剛才一開始提到,您高中只念了一兩年,是因為對學校沒有興趣嗎?

其實我一直都覺得上學很無聊。我小時候臺灣教育和現在很不一樣,一班 50 幾個人,老師必須盡量軍事化管理,大家最好都一模一樣,比較好管理。我和學校一直處於互相磨合的狀況,我自認已經努力配合學校,但學校一直覺得我在反抗,這可能是一個認知上的差別。

舉例來說,我小學的時候不想睡午覺,可是老師說大家都一定要睡午覺,不睡午覺的人要罰抄課文,所以我早上到學校時就會把已經抄好的課文交給老師。我覺得我這樣做是在配合老師的規定,可是以老師的立場會覺得我在反抗,學校教育中我遇到了很多類似的情況。

還有就是不喜歡高中的升學氛圍,同學和老師好像都只有一個活著的目標,就是「考大學」。我當時無法習慣升學氛圍,感覺好像活在平行宇宙一樣。

  • 高中休學後,您去唱片行工作,可否談談當時的想法?

我國中開始聽音樂,這是我除了看書之外的重要興趣,我也很快就喜歡上了搖滾樂。高中休學的時候,我唯一的謀生技能可能就是我對音樂的各類知識吧!所以我就去了唱片行,這是唯一一個我會做又有興趣的工作,還好那時候還有很多唱片行(笑)。

  • 對音樂的熱忱,讓您與朋友共組了樂團,並擔任鼓手。您是否比較過樂團生活和學術研究之間的異同之處?

有些人覺得我這樣很跳 tone,但我自己覺得還好。音樂和學術都是我發自內心覺得好玩的東西,兩者也有相同之處,例如它們都需要創造性,也都有需要了解的框架。數學需要嚴謹的證明,音樂演奏也需要遵循結構,例如不能掉拍。

音樂領域還有一點和數學類似──玩樂團的圈子也是以男性為主。我們樂團則是只有一個男生,其他都是女生,可能我真的天生對框架有點遲鈍,玩團之後才發現:「怎麼大家都是男生?」

程之寧表示,學術界仍有許多性別不平等問題未受重視。圖/研之有物
  • 也就是說,目前數學學術圈仍是男性主導,在研究路上,您有因為性別而感受到一些衝擊或眼光嗎?您怎麼面對?

有。那感覺很明顯,日復一日地要去面對,尤其是年紀還比較輕、還必須每一天去證明自己的能力的時候,特別有感。

我遇到時的反應就是,在心裡暗罵一句髒話,然後繼續做我要做的事。我不會想改變別人的想法,感覺那是浪費時間,就算環境給我的阻礙是這樣,我還是繼續去做該做的事。

可是有些事情沒那麼簡單,現在我也當過老師,有時候會看到年輕女生在學術界因為性別而被欺負,或遭到不公平待遇、甚至騷擾。

對此我感到心痛,覺得為何我們學術領域還是這樣的狀況?甚至為什麼性騷擾至今還是一個議題?可以確定的是,學術界許多性別不平等問題未受到重視。

  • 您現在已經有傑出的研究成果,還會因為性別而遭受質疑嗎?

我現在比較會遇到一個狀況反而是來自學生的質疑。我在荷蘭阿姆斯特丹大學教書時,有時候學生會因為我是女教授,而且我的外表在許多歐洲人眼中看起來就像小妹妹,所以比較容易去挑我的毛病。

在課堂上,下面坐的可能都是男學生,只有一兩個女學生,那個氣氛就會變得很奇怪。例如說偶爾會聽到學生評論我的身材或樣貌。

我有和其他一些在歐洲或美國的女性教授聊過這樣的問題,似乎不少人都有類似的不太愉快的經驗。感覺不是很好。

  • 看到您最近的研究和人工智慧(AI)有關,為何會想往這個方向發展?

我有兩個動機。一個就是我真的想深入了解人工智慧。我也可以像普羅大眾,看看 AI 下圍棋,讚嘆「哇!好厲害!」這樣就好,可是我覺得我一定可以真的去理解它,這可能就是數學家的自大吧!

另一方面,我知道對科學研究來說,未來 AI 將會是一個非常重要的工具。這是「在職訓練」的概念,我可能會用到這個新工具,或以後我可能會需要教這樣的課,因為學生是下一代的科學家。因為這些原因,我覺得我需要去訓練自己使用新的工具。在我的領域裡,也有一些有趣的、還沒被解答的科學問題,是 AI 有可能幫得上忙的,我看到了一些潛力。

  • 弦論和 AI 感覺差距很大,AI 也可以應用到弦論的研究嗎?

乍看之下,弦論的確比較抽象,也不像其他許多實驗會產生大量數據。但其實弦論有大量的可能性,我認為使用 AI 來在這些巨量的可能性當中搜尋特別有趣的理論,是一個有潛力能夠加深我們對弦論理解的新的研究方法。

而且 AI 的應用絕不僅限於巨量資料。如果是面對一些比較新的挑戰,在沒有現成的演算法可以用的情形之下,可以自己做出需要的功能嗎?這過程我覺得也非常很有趣,而且應該是會有成果的一條路。這種不是那麼顯而易見的事情,我覺得很有挑戰性,也蠻好玩的。

除了用 AI 來幫助物理跟數學的研究之外,我也試著物理研究當做靈感來源,找出新的 AI 的可能性,我覺得這也是一個很有趣的研究方向。我現在有和 AI 的學者合作,嘗試做出一些創新的演算法,真的還蠻有趣的。

  • AI 對您而言是全新的領域,您如何面對跨領域遇到的門檻?

一開始會覺得真的要去碰這個新的領域嗎?其實現在也還是偶爾會有這樣的懷疑。我在弦論領域可能已經是專家,但去了一個新的領域,我學得不會比二十歲的人快,要怎麼去跟人家競爭?是不是在浪費時間?

但也會想,與其想這麼多,不如先做再說。到目前為止我做了兩年多,感覺還蠻好的,我有學到東西,也有做出小小的貢獻。

其實我還蠻感激有這樣的學習機會。對我來說當科學家最大的好處就是,去搞懂一個新的東西就是工作的一部分。當科學家雖然蠻辛苦,但就結果論來說,我還蠻開心能當一位科學家!

延伸閱讀

  1. Moonshine Master Toys With String Theory | Quanta Magazine
  2. Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow | Quanta Magazine
  3. 林正洪教授演講 一 怪物與月光(Monster and Moonshine),《數學傳播》

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