用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

• 作者／ 蘇宇瑞 
• 原文作者／ Francis Su
• 譯者／ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由，是想像的自由。

如果探索是在尋找已經存在的東西，那麼想像就是在建構新的想法，或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子，都知道一桶沙子的無限潛力，同樣的，康托也曾說過：「數學的本質就在於它的自由。」^[3]（康托在19世紀後期做出開創性的研究成果，讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。）

他的意思是，數學不像科學，研究的主題未必和特定的實物有關，因此數學家在能夠研究的題材上，不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像，砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的，拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形，且沒有引進或移走「洞」，那麼從拓撲學的角度，我並沒有改變它。因此，橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的，因為其中一個形狀可以變形成另一個；另一方面，甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的，因為你必須在橄欖球上戳一個洞，才可以把它變成甜甜圈。

拓撲學是很有趣的主題，因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸，來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動，所以稱它們為空間。

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間，通常是為了回答某個奇特的問題，例如「是否存在具有這種或那種病態的物件？」。（對，我們在數學上會用到病態一詞，是在描述奇怪或異常的表現，就像在醫學中一樣。）然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說，有和田湖（Lakes of Wada）：可在地圖上繪出，且邊界完全相同的三個相連區域（「湖」）；位於其中一座湖的邊上的任何一點，一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄（Takeo Wada）的名字命名的。還有夏威夷耳環（Hawaiian earring），這是個華麗的物件，上頭有無限多個逐次變小的環，全相切於一個點。^[4]

亞歷山大角球的病態空間

病態空間（pathological space）有個相當著名的例子（至少在數學家當中很有名），就是亞歷山大角球（Alexander horned sphere）。球是呈泡泡形狀的曲面，正圓球表面的空間具有「單連通」（simply connected）這個性質，意思大致上就是，如果你在球的表面拿著一條繩子，把兩端繫在一起，做成一個圈，那麼所繫成的圈不會卡在球上，永遠可以從球上移走，與球分離。（甜甜圈就截然不同了，它表面的空間不是單連通的：如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞，再把兩端繫在一起，你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。）

1924年，J. W. 亞歷山大（J. W. Alexander）在想像他的帶角球時，思考了一個問題：有沒有可能用某種奇特的變形方式，讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰，但泡泡表面的空間又不是單連通的？

起先亞歷山大認為，不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。^[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子！他的假想結構可以描述如下（這不完全是他的結構，但在拓撲學上是相同的）：取一個泡泡，擠出兩個「角」，接著再從每個角擠出一對捏起的手指，且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰，所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟，從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指，相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去，做到極限，就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈，無法從帶角球脫離，原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束，沒有做到極限，那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構，不僅需要靠想像力思考，還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

你可以想像把圖放大，去看接連各層級的捏角的碎形本質：在細節的每個層級，景象看起來都相同。

想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願，瞧！你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力，數學學習的樂趣會多出多少？你不必從事高等數學，就能運用想像力。

在算術中，我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數；能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少？你能不能找出連續十個不是質數的數？

在幾何學中，我們可以設計出屬於自己的圖案，探究它們的幾何性質；你喜歡的圖案裡有哪些對稱性？

在統計學中，我們可以考慮一個資料集，想出有創造力的視覺化方法；哪些方法的特點最好？

如果你是從枯燥的教科書上學數學，那就看看能不能把問題改造一下，以提升你的想像力，這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

如果數學是藝術創作的繆思女神，世界上可是有一群人每年聚在一起，搶著分享和女神約會的心得，這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會！

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議，任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開，會議從 7/25 至 7/29 共為期五天，包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽，是全球最大的盛會，今年總共展示了一百多件來自全球的作品，其中台灣有四位數學藝術家前去參展，撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1]，充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集，另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演，以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice，1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事，正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。（可見「瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。）

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園，參加不同場次需要穿梭在各博物館，彷彿跨越知識間的藩籬，同時呼應 Bridges 的跨域精神，這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間，科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段，讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館，Bridges 本身就是以多元的論文、展覽與活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富，從早到晚滿滿的數學藝術（詳細議程），可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊，遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮！

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子，今年我終於鼓起勇氣報名，非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助，因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出，除了作品本身，在 GE 展廳還可以展示相關的物件，因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型，希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 ／ 發現的吠陀立方數學原理製作而成，將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現（延伸閱讀：吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！），會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果，觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動，觀察鏡中成像變化 [註 2]。

展覽期間有許多觀眾來看作品，甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位；而作品本身也獲得許多不錯的評價，像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品，對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中，台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品：分別是工程背景的我（林家妤，Shark Lin）、金必耀教授（Bih-Yaw Jin）團隊的化學串珠、陳明璋教授（Mingjang Chen）的碎形疊代畫作，以及施宣光教授（Shen-Guan Shih）的巧蝸積木 (SL blocks)。

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集，以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文，該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外，我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品，不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件，論文數量也破百篇，就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪，只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品，來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作，而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素，搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射，就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

值得一提的是，他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎，分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid（中文書名：哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成）這本書三位大師的頭像作為創作主題。

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛，來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten，創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過，沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到，讓人驚喜連連！

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg，他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組，最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時，看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包，似乎在哪裡看過卻又想不起來？ 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

對方拿出名片之後，我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen)，所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中，有推薦過這檔展覽（延伸閱讀：新年科青走春！全台幾何藝術景點大搜查），也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時，她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

最讓我喜出望外的是，以錯視作品享譽全球的杉原厚吉（Kokichi Sugihara）教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4]，終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的！

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%，若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽，下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力！

延伸閱讀

• 用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程

註釋

• 註 1：諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall)，晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
• 註 2：本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作，曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過，而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
• 註 3：Bridges 是一個以數學為基礎的展覽，因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明，以便評審委員審查，Bridges 的作品分類與徵選標準如下：
  （1） 2D 作品（如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計）
  （2） 3D 作品（多面體、摺紙）
  （3） 自然界中特別的數字與數學（費氏數列、黃金比例）
  （4） 拓樸學（莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等）
  （5） 演算藝術（奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣）
  （6） 碎形
  而徵選標準有以下五項標準，括弧裡的字為官方註解：
  （1） 數學內容（這裡有數學知識豐富的觀眾）
  （2） 美感（顯然這相當主觀）
  （3） 材質（多樣的材質會讓展覽更多元）
  （4） 工藝技術（可有效地傳達作品概念）
  （5） 創新與原創性（將數學藝術推往新方向）
• 註 4：杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台，並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻：視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講（Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions）；而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象，以及《錯視維度》展覽內容與策展過程，相關報導可見此（連結）。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。

我們曾在讓人好玩又好學的「數學遊樂場」，在台灣有嗎？一文中，分別介紹了美國華盛頓 Harry Thomas Sr. playground 與竹北嘉豐數學公園，也一起思考了臺灣的數學公園是否能能夠掙脫對數學的貧乏想像與設計［1］。那麼，還有沒有更多有意思的數學公園呢？

2018 年的夏天我前往瑞典參加 Bridges 2018 全球數學藝術展覽與會議，在抵達瑞典科技博物館 (Tekniska Museet) 時發現了他們令人驚艷的「數學花園」(The Mathematical Garden)。這個於 2017 年 9 月開幕的數學花園是動物園島 (Djurgården) 博物館園區的最新景點［2］，也是個令人興奮、融合數感、美感、身體感於一體的北歐數學遊樂場！

數學是描述宇宙秩序的學問，在生活中無所不在並且千變萬化，以圖樣、對稱、數列、碎形、黃金比例的形式存在於自然、藝術、音樂或是人類科技中；而數學花園提供了各種互動體驗，讓來到博物館的遊客可以自由探索數學的樂趣。接下來就讓我開始介紹數學花園的各項設計吧［1］！

家裡也好想有一組的五邊形鋪磚

從博物館的大門開始就有玄機：我們都看過磁磚是四邊形、六邊形甚至是三角形，但你有看過連續的五邊形鋪磚嗎？（延伸閱讀：五迷們難以達成的願望之一：用正五邊形磁磚鋪地板）如果沒有，現在就讓你看看！

博物館大門口的五邊形鋪磚，這是業餘數學家瑪喬里．賴斯 (Marjorie Rice，1923-2017) 所設計的。原本只有高中學歷的她，讀了人稱葛老爹的科普專欄作者葛登能 (Martin Gardner，1914-2010) 在《科學美國人》的專欄後，開始研究起這個題目，並且發展了一套系統最終找出四種新型態的凸五邊形鋪磚［3］。

不過由於瑪喬里．賴斯去年 (2017) 離世，今年 Bridges 開幕演講也邀請了數學家桃樂絲．舒特內德 (Doris Schattschneider)，聊聊這位家庭主婦在數學史上留下的傳奇故事［4］。

用雙腳走出答案的數學迷宮

面向博物館右側的是兩個看似簡單但其實相當狡猾的數學迷宮，在螢幕前面讀這篇文章的你，不妨也照著下圖圖說的規則試著解謎看看吧！我和我與會的小夥伴可是嘗試了好幾天才解出來啊！

一個人玩迷宮不夠過癮的話，在數學花園裡也可以揪夥伴一起玩。博物館門口兩側佇立著像盤子一般的拋物面，可以讓人試著找到拋物面的焦點後說悄悄話，問問你的夥伴在另一邊聽不聽得見？

不只有數感，再來點音感吧

英國數學家希爾維斯 (James Joseph Sylvester，1814-1897) 曾說過：「難道不能形容音樂是數學的感性，而數學是音樂的理性？」 (May not music be described as the mathematics of the sense, mathematics as music of the reason？)［5］

下圖右側高高低低的金屬管是由木琴構成，觀眾敲擊這些柱子會聽見不同音調但悅耳和諧的聲音，可以探索柱高與音調的關係培養數感與音感，進而演奏出屬於自己的音樂；左側地面則是石頭製成的黑色木琴，敲擊時的動作就像是在打鼓一般有韻律感。

覺得只用手敲玩音樂不夠？在數學花園還可以卯起來大跳特跳。圖中最右方兩個女孩正在九宮格金屬板上遊玩，藉由身體感的律動撞擊下方的金屬片製造出悅耳的聲音，就像在一台數學跳舞機上盡情舞動；另一個可以踏上去的遊具是前方的白色柱子，其高度代表不同的分數，如 1/7、1/6、1/2、1/1，呼應音樂裡不同音之間的頻率比關係，踏在上方就像是踩高蹺需要專注才能平衡。

自然界無所不在的數學密碼

造型靈感來自鸚鵡螺線 (nautilus shell) 的滑梯，兼具數感、美感以及遊樂場設計中重要的身體感，讓孩子在攀爬時覺得十分刺激且充滿挑戰性，對於數學有多重體驗與記憶，不只是課堂的考題。

自然界之中無處不藏著數學的密碼，除了滑梯之外，還有以瑞典數學家科赫命名的科赫曲線 (Koch curve) 之造形柵欄，依照費氏數列分支的亭子，以及遊樂場地面貫穿整個數學花園的黃金螺線，希望讓大家從自然中認識黃金比例、費氏數列與碎形。

不僅如此，附近還有一些箱子種植向日葵與雛菊，會議結束約一個多月遇上向日葵收成，科技博物館邀請 Bridges 2018 的與會數學家、藝術家提供名字與一句想對孩子說的話，將綁在向日葵上面分送給 5 至 7 歲的孩童，讓他們可以認識來自世界各地的數學家與藝術家。

認識世界各地不同的人和文化還有不一樣的角度：數學花園的魔方陣 (magic square) 並非僅以傳統西方的視角詮釋，而是以中國傳說故事裡在洛水出現的神龜背上刻的九宮花紋或圖點呈現［6］；一旁可讓孩童攀爬的柱體高度則是呼應龜殼上的點數。

最後是由許多三角形構成的大型多面體遊具，小孩與大人可以踏著繩子攀爬，需要身體的協調、平衡以及對於踏點的判斷，才能順利在多面體中穿梭與擺動。

而其中最數學的玩法，是數學家亨利·西日曼 (Henry Segerman) 號召的手牽手 360 大合照，大家都玩得不亦樂乎。

註釋

數學花園在設計上分成四大類，分別是：

1. 自然中的數學 (mathematics in nature)
2. 音樂裡的數學 (musical mathematics)
3. 演算法、最佳化與迷宮 (algorithms, optimization and mazes)
4. 形狀、胚騰、鋪磚 (shapes, patterns and tessellations)

由於說明牌的遊具規劃與現場有少許出入，因此本文並未詳列四大類型的每個遊具，而是選擇介紹互動性與趣味性較高的設計。在官方網頁中，策展人 Lars Paulsson 也有建議幾種玩法。

參考資料

1. Shark Lin，「讓人好玩又好學的「數學遊樂場」，在台灣有嗎？」，2017
2. The Mathematical Garden – Tekniska museet，2017
3. UniMath，[幾何學突破] 發現凸五邊形鋪磚的第 15 型，2015
4. Doris Schattschneider, Marjorie Rice and Her Pentagonal Tilings, Proceedings of Bridges 2018: Mathematics, Art, Music, Architecture, Education, Culture, 2018
5. 蔡聰明，音樂與數學：從弦內之音到弦外之音，1994
6. 趙崇良，失落的古文明：「河圖洛書和八陣圖」之我見，2010

• 本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會國際交流計畫補助。