用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

• 作者／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒，那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬．霍金（Stephen Hawking）　英國理論物理學家

大約在八十年前，當第一台數位計算機出現時，一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧；但七十年後，還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」（Artificial Intelligent，簡稱 AI）的能力最近十年突然起飛，在許多（所有？）領域的測試中擊敗了人類，正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元（graphic process unit，簡稱 GPU）是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia（英偉達）股票從每股不到 $5，上升到今天（5 月 24 日）每股超過 $1000（註一）的全世界第三大公司，其創辦人（之一）兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳（Jenson Huang）也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人！可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎？到底是時勢造英雄，還是英雄造時勢？

在回答這問題之前，筆者得先聲明筆者不是學電腦的，因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事，不是我們外行人需要了解的；但作為一位現在的知識分子或公民，了解基本原理則是必備的條件：例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析，即可判斷永動機是騙人的；又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上，它們不用往室外排廢熱氣，就可以提供屋內冷氣，讀者買嗎？

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」（central process unit，簡稱 CPU）。CPU 是電腦的「腦」，其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務，如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作；但為了簡單化，我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作（arithmetic and logic unit，簡稱 ALU），如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下，CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時，CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後，CPU 開始顯示心有餘而力不足：例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素（pixel），每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年，英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定／裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」（註二）定位為「世界上第一款 GPU」，「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU，GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作，快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢？因每一時刻只能做一件事，所以其步驟為：

• 計算 7×5；
• 計算 6/3；
• 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢？很多工作便可以同時（平行）進行：

• 同時計算 7×5 及 6/3；
• 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間，但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢？單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間（16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間），而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間（1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間）！

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了，如何將它擺正成右圖呢？ 一句話：「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點（座標 x, y）組成的，所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了：每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算！如果每一運算需要 10^-6 秒，那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉，便需要 6 秒，這豈是電動玩具畫面變化所能接受的？

人類的許多發明都是基於需要的關係，因此電腦硬件設計家便開始思考：這些點轉換都是獨立的，為什麼我們不讓它們同時進行（平行運算，parallel processing）呢？於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 10⁶ 運算，那上圖的轉換只需 10^-6 秒鐘！

GPU 的興起

GPU 可分成兩種：

• 整合式圖形「卡」（integrated graphics）是內建於 CPU 中的 GPU，所以不是插卡，它與 CPU 共享系統記憶體，沒有單獨的記憶體組來儲存圖形／視訊，主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上；早期英特爾（Intel）因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤，在這方面的研發佔領先的地位，約佔 68% 的市場。
• 獨立顯示卡（discrete graphics）有不與 CPU 共享的自己專用內存；由於與處理器晶片分離，它會消耗更多電量並產生大量熱量；然而，也正是因為有自己的記憶體來源和電源，它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年，英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後，科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化，在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效，因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理，不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化，也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬（註三）等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分，正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲，遠遠落在英偉達（80%）及超微半導體公司（Advance Micro Devices Inc.，19%，註四）之後，大約只有 1% 的市場。

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」，而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心（core）單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心，因此其核心功能不如 CPU 核心強大，但它們能同時高速執行大量相同的指令，在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心；GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書，不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等，也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺，它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是：嘴巴在講，腦筋思考已經不知往前跑了多少公里，常常為了追趕而越講越快，將不少學生拋到腦後！這不表示筆者聰明，因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技，因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣（matrix）的讀者應該知道，如果用矩陣和向量（vector）表達，上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的（註五）。而矩陣和向量計算正是機器學習（machine learning）演算法的基礎！也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在！因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石：它們的架構就是充分利用並行處理，來快速執行多個操作，進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」（deep learning）。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂：「下一次工業革命已經開始了：企業界和各國正與英偉達合作，將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升，幫助企業降低成本和提高能源效率，同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子：下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後，讀者是不是認為筆者該退休了？

GPU（圖形處理單元）和 AI（人工智慧）之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力，特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步，使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率，使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐，而且使其更具成本效益，因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展，GPU 的角色可能會變得更加不可或缺，推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標，這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作，使我們能夠執行複雜的任務，例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外，研究表明，與非人類動物相比，人類大腦具有更多平行通路，這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上，一邊聽音樂一邊做飯，或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技，因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵：透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

（註一）當讀者看到此篇文章時，其股票已一股換十股，現在每一股約在 $100 左右。

（註二）組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」（GeForce 256）插卡吧?

（註三）筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時，就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士（fellow）」Enrico Clementi 的團隊：因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層，我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦（非 IBM 品牌！）與一大型電腦連接來做平行運算，進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

（註四）補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商：英偉達及 ATI（Array Technology Inc.）。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立，2006 年被超微半導體公司收購，品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐（Lisa Tzwu-Fang Su）博士為執行長後，股票從每股 $4 左右，上升到今天每股超過 $160，其市值已經是英特爾的兩倍，完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色，正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題：超微半導體公司現任總裁（兼 AI 策略負責人）為出生於台北的彭明博（Victor Peng）；與黃仁勳及蘇姿豐一樣，也是小時候就隨父母親移居到美國。

（註五）或。

延伸閱讀

• 「熱力學與能源利用」，《科學月刊》，1982 年 3 月號；收集於《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版），轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
• 「網路安全技術與比特幣」，《科學月刊》，2020 年 11 月號；轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。

• 作者／ 蘇宇瑞 
• 原文作者／ Francis Su
• 譯者／ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由，是想像的自由。

如果探索是在尋找已經存在的東西，那麼想像就是在建構新的想法，或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子，都知道一桶沙子的無限潛力，同樣的，康托也曾說過：「數學的本質就在於它的自由。」^[3]（康托在19世紀後期做出開創性的研究成果，讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。）

他的意思是，數學不像科學，研究的主題未必和特定的實物有關，因此數學家在能夠研究的題材上，不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像，砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的，拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形，且沒有引進或移走「洞」，那麼從拓撲學的角度，我並沒有改變它。因此，橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的，因為其中一個形狀可以變形成另一個；另一方面，甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的，因為你必須在橄欖球上戳一個洞，才可以把它變成甜甜圈。

拓撲學是很有趣的主題，因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸，來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動，所以稱它們為空間。

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間，通常是為了回答某個奇特的問題，例如「是否存在具有這種或那種病態的物件？」。（對，我們在數學上會用到病態一詞，是在描述奇怪或異常的表現，就像在醫學中一樣。）然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說，有和田湖（Lakes of Wada）：可在地圖上繪出，且邊界完全相同的三個相連區域（「湖」）；位於其中一座湖的邊上的任何一點，一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄（Takeo Wada）的名字命名的。還有夏威夷耳環（Hawaiian earring），這是個華麗的物件，上頭有無限多個逐次變小的環，全相切於一個點。^[4]

亞歷山大角球的病態空間

病態空間（pathological space）有個相當著名的例子（至少在數學家當中很有名），就是亞歷山大角球（Alexander horned sphere）。球是呈泡泡形狀的曲面，正圓球表面的空間具有「單連通」（simply connected）這個性質，意思大致上就是，如果你在球的表面拿著一條繩子，把兩端繫在一起，做成一個圈，那麼所繫成的圈不會卡在球上，永遠可以從球上移走，與球分離。（甜甜圈就截然不同了，它表面的空間不是單連通的：如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞，再把兩端繫在一起，你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。）

1924年，J. W. 亞歷山大（J. W. Alexander）在想像他的帶角球時，思考了一個問題：有沒有可能用某種奇特的變形方式，讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰，但泡泡表面的空間又不是單連通的？

起先亞歷山大認為，不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。^[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子！他的假想結構可以描述如下（這不完全是他的結構，但在拓撲學上是相同的）：取一個泡泡，擠出兩個「角」，接著再從每個角擠出一對捏起的手指，且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰，所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟，從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指，相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去，做到極限，就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈，無法從帶角球脫離，原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束，沒有做到極限，那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構，不僅需要靠想像力思考，還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

你可以想像把圖放大，去看接連各層級的捏角的碎形本質：在細節的每個層級，景象看起來都相同。

想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願，瞧！你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力，數學學習的樂趣會多出多少？你不必從事高等數學，就能運用想像力。

在算術中，我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數；能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少？你能不能找出連續十個不是質數的數？

在幾何學中，我們可以設計出屬於自己的圖案，探究它們的幾何性質；你喜歡的圖案裡有哪些對稱性？

在統計學中，我們可以考慮一個資料集，想出有創造力的視覺化方法；哪些方法的特點最好？

如果你是從枯燥的教科書上學數學，那就看看能不能把問題改造一下，以提升你的想像力，這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

如果數學是藝術創作的繆思女神，世界上可是有一群人每年聚在一起，搶著分享和女神約會的心得，這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會！

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議，任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開，會議從 7/25 至 7/29 共為期五天，包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽，是全球最大的盛會，今年總共展示了一百多件來自全球的作品，其中台灣有四位數學藝術家前去參展，撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1]，充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集，另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演，以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice，1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事，正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。（可見「瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。）

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園，參加不同場次需要穿梭在各博物館，彷彿跨越知識間的藩籬，同時呼應 Bridges 的跨域精神，這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間，科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段，讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館，Bridges 本身就是以多元的論文、展覽與活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富，從早到晚滿滿的數學藝術（詳細議程），可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊，遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮！

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子，今年我終於鼓起勇氣報名，非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助，因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出，除了作品本身，在 GE 展廳還可以展示相關的物件，因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型，希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 ／ 發現的吠陀立方數學原理製作而成，將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現（延伸閱讀：吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！），會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果，觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動，觀察鏡中成像變化 [註 2]。

展覽期間有許多觀眾來看作品，甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位；而作品本身也獲得許多不錯的評價，像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品，對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中，台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品：分別是工程背景的我（林家妤，Shark Lin）、金必耀教授（Bih-Yaw Jin）團隊的化學串珠、陳明璋教授（Mingjang Chen）的碎形疊代畫作，以及施宣光教授（Shen-Guan Shih）的巧蝸積木 (SL blocks)。

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集，以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文，該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外，我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品，不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件，論文數量也破百篇，就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪，只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品，來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作，而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素，搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射，就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

值得一提的是，他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎，分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid（中文書名：哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成）這本書三位大師的頭像作為創作主題。

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛，來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten，創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過，沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到，讓人驚喜連連！

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg，他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組，最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時，看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包，似乎在哪裡看過卻又想不起來？ 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

對方拿出名片之後，我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen)，所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中，有推薦過這檔展覽（延伸閱讀：新年科青走春！全台幾何藝術景點大搜查），也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時，她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

最讓我喜出望外的是，以錯視作品享譽全球的杉原厚吉（Kokichi Sugihara）教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4]，終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的！

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%，若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽，下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力！

延伸閱讀

• 用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程

註釋

• 註 1：諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall)，晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
• 註 2：本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作，曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過，而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
• 註 3：Bridges 是一個以數學為基礎的展覽，因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明，以便評審委員審查，Bridges 的作品分類與徵選標準如下：
  （1） 2D 作品（如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計）
  （2） 3D 作品（多面體、摺紙）
  （3） 自然界中特別的數字與數學（費氏數列、黃金比例）
  （4） 拓樸學（莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等）
  （5） 演算藝術（奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣）
  （6） 碎形
  而徵選標準有以下五項標準，括弧裡的字為官方註解：
  （1） 數學內容（這裡有數學知識豐富的觀眾）
  （2） 美感（顯然這相當主觀）
  （3） 材質（多樣的材質會讓展覽更多元）
  （4） 工藝技術（可有效地傳達作品概念）
  （5） 創新與原創性（將數學藝術推往新方向）
• 註 4：杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台，並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻：視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講（Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions）；而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象，以及《錯視維度》展覽內容與策展過程，相關報導可見此（連結）。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。