用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

本文與 BRITA 合作，泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎？

如果你回到兩百年前，試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水，可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐，氣味刺鼻，甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水，被戲稱為「流動的污水」，當時的人們雖然知道水不乾淨，但卻無力改變，導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

幸運的是，現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物，但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰，哪些技術真正有效？

濾水技術：從霍亂危機到高效濾芯

19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展，面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊，甚至未經處理的地下水，導致傳染病肆虐。

1854 年，英國醫生約翰·斯諾（John Snow）透過流行病學調查，發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關，這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度，促使公衛政策改革，加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初，英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒，成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率，這一技術迅速普及，成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾，尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後，惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年，後藤新平出任民政長官，他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設，對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題，他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓（William Kinnimond Burton） 來台，規劃現代化的供水設施。在雙方合作下，台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年，全台已有 16 座現代水廠，有效改善公共衛生，為台灣城市化奠定關鍵基礎。

進入 20 世紀，人們已經可以喝到看起來乾淨的水，但問題真的解決了嗎？ 科學家如今發現，水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物，甚至微量的內分泌干擾物，這些看不見、嚐不出的隱形污染，正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此，濾水技術迎來了一波科技革新，活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透（RO）等技術相繼問世，各有其專長：

• 活性碳吸附：去除氯氣、異味與部分有機污染物

• 離子交換樹脂：軟化水質，去除鈣鎂離子，減少水垢

• 微濾技術、逆滲透（RO）技術：攔截細菌與部分微生物，過濾重金屬與污染物等

這些技術相互搭配，能夠大幅提升飲水安全，然而，無論技術如何進步，濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯，決定了水質能否真正被淨化，而現代濾水器的競爭，正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是，最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能？

濾芯的壽命與更換頻率：濾水效能的關鍵時刻濾芯，雖然是濾水器中看不見的內部構件，卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例，其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂，能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質，並過濾鉛、銅等重金屬，同時軟化水質，提升口感。

然而，隨著市場需求的增長，非原廠濾芯也悄然湧現，這不僅影響濾水效果，更可能帶來健康風險。據消費者反映，同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯，顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全，建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯，避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙，正面則可看到 BRITA 商標，以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣，並且沒有拉環設計，底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節，才能確保濾芯發揮最佳過濾效果，讓每一口水都能保證潔淨安全。

不過，即便是正品濾芯，其效能也非永久不變。隨著使用時間增加，濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞，導致過濾效果減弱，濾水速度也可能變慢。而且，濾芯在拆封後便接觸到空氣，潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯，不僅會影響過濾效能，還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質，形成「過濾器悖論」（Filter Paradox）：本應淨化水質的裝置，反而成為污染源。為此，BRITA 建議每四週更換一次濾芯，以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題，BRITA 推出了三大智慧提醒機制，確保濾芯不會因過期使用而影響水質：

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈：即時監測濾芯狀況，顯示剩餘效能，讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒：掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間，自動提醒何時該更換，減少遺漏。

3. LINE 官方帳號自動通知：透過 LINE 推送更換提醒，確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天，濾芯已不僅僅是過濾裝置，更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備，成為了健康生活的關鍵。

濾水技術：不僅是進步，更是守護未來

人類對潔淨飲用水的追求，從未停止。19世紀，隨著城市化與工業化發展，水污染問題加劇並引發霍亂等疾病，促使濾水技術迅速發展。20世紀，氯消毒技術普及，進一步保障了水質安全。隨著科技進步，現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術，去除水中的污染物，讓每一口水更加潔淨與安全。

今天，消費者不再單純依賴公共供水系統，而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如，BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求，從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題，去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%，並通過 SGS 檢測，通過國家標準水質檢測「可生飲」，讓消費者能安心直飲。

然而，隨著環境污染問題的加劇，真正的挑戰在於如何減少水污染，並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具，更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備，它象徵著人類與自然的對話，提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利，更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源，且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

• 作者／ 蘇宇瑞 
• 原文作者／ Francis Su
• 譯者／ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由，是想像的自由。

如果探索是在尋找已經存在的東西，那麼想像就是在建構新的想法，或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子，都知道一桶沙子的無限潛力，同樣的，康托也曾說過：「數學的本質就在於它的自由。」^[3]（康托在19世紀後期做出開創性的研究成果，讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。）

他的意思是，數學不像科學，研究的主題未必和特定的實物有關，因此數學家在能夠研究的題材上，不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像，砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的，拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形，且沒有引進或移走「洞」，那麼從拓撲學的角度，我並沒有改變它。因此，橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的，因為其中一個形狀可以變形成另一個；另一方面，甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的，因為你必須在橄欖球上戳一個洞，才可以把它變成甜甜圈。

拓撲學是很有趣的主題，因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸，來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動，所以稱它們為空間。

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間，通常是為了回答某個奇特的問題，例如「是否存在具有這種或那種病態的物件？」。（對，我們在數學上會用到病態一詞，是在描述奇怪或異常的表現，就像在醫學中一樣。）然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說，有和田湖（Lakes of Wada）：可在地圖上繪出，且邊界完全相同的三個相連區域（「湖」）；位於其中一座湖的邊上的任何一點，一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄（Takeo Wada）的名字命名的。還有夏威夷耳環（Hawaiian earring），這是個華麗的物件，上頭有無限多個逐次變小的環，全相切於一個點。^[4]

亞歷山大角球的病態空間

病態空間（pathological space）有個相當著名的例子（至少在數學家當中很有名），就是亞歷山大角球（Alexander horned sphere）。球是呈泡泡形狀的曲面，正圓球表面的空間具有「單連通」（simply connected）這個性質，意思大致上就是，如果你在球的表面拿著一條繩子，把兩端繫在一起，做成一個圈，那麼所繫成的圈不會卡在球上，永遠可以從球上移走，與球分離。（甜甜圈就截然不同了，它表面的空間不是單連通的：如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞，再把兩端繫在一起，你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。）

1924年，J. W. 亞歷山大（J. W. Alexander）在想像他的帶角球時，思考了一個問題：有沒有可能用某種奇特的變形方式，讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰，但泡泡表面的空間又不是單連通的？

起先亞歷山大認為，不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。^[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子！他的假想結構可以描述如下（這不完全是他的結構，但在拓撲學上是相同的）：取一個泡泡，擠出兩個「角」，接著再從每個角擠出一對捏起的手指，且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰，所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟，從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指，相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去，做到極限，就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈，無法從帶角球脫離，原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束，沒有做到極限，那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構，不僅需要靠想像力思考，還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

你可以想像把圖放大，去看接連各層級的捏角的碎形本質：在細節的每個層級，景象看起來都相同。

想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願，瞧！你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力，數學學習的樂趣會多出多少？你不必從事高等數學，就能運用想像力。

在算術中，我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數；能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少？你能不能找出連續十個不是質數的數？

在幾何學中，我們可以設計出屬於自己的圖案，探究它們的幾何性質；你喜歡的圖案裡有哪些對稱性？

在統計學中，我們可以考慮一個資料集，想出有創造力的視覺化方法；哪些方法的特點最好？

如果你是從枯燥的教科書上學數學，那就看看能不能把問題改造一下，以提升你的想像力，這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

如果數學是藝術創作的繆思女神，世界上可是有一群人每年聚在一起，搶著分享和女神約會的心得，這個奇特的聚會就是 Bridges 全球數學藝術研討會！

Bridges 從 1998 年開始舉辦，是個一年一度以數學為主的大型全球聚會，結合藝術、音樂、建築、教育與文化，是國際間知名的跨領域會議，任何有趣的超展開都可能在此發生。

今年 (2018) 的 Bridges 在瑞典斯德哥爾摩的科技博物館 (Tekniska Museet) 展開，會議從 7/25 至 7/29 共為期五天，包含最後一天的郊遊日。Bridges 從 2001 年開始每年舉辦數學藝術展覽，是全球最大的盛會，今年總共展示了一百多件來自全球的作品，其中台灣有四位數學藝術家前去參展，撰寫這篇文章的我也是參展者之一。

在諾貝爾獎演說地點開啟 Bridges

Bridges 2018 開幕選在諾貝爾獎得主演說的地點 ── 斯德哥爾摩大學的講堂  (Aula Magna of Stockholm University)[註 1]，充滿設計感與科學意義的講堂讓人沉浸在知識與美的氛圍中。

第一位分享者正好是諾貝爾物理獎 2004 年得主弗朗克·韋爾切克 (Frank Wilczek) 談論科學與藝術的交集，另外兩場分享則分別是數學家考爾姆·穆爾卡 (Colm Mulcahy) 的紙牌魔術表演，以及由數學家桃樂絲·舒特內德 (Doris Schattschneider) 介紹家庭主婦瑪喬里·賴斯 (Marjorie Rice，1923–2017) 發現五邊形鋪磚型態的傳奇故事，正好也是科技博物館的遊樂場「數學花園」的迎賓廊道。（可見「瑞典科技博物館數學花園：融合數感、美感、體感設計的北歐遊樂場」一文。）

這次會議地點在斯德哥爾摩的博物館公園，參加不同場次需要穿梭在各博物館，彷彿跨越知識間的藩籬，同時呼應 Bridges 的跨域精神，這樣的安排相較一般制式的固定地點讓人有著特別的感受。在會議期間，科技博物館、民族學博物館、表演藝術博物館、諾貝爾博物館也都有專門為 Bridges 參與者特別安排導覽解說與免費參觀時段，讓人體驗到主辦方的用心以及歐洲博物館的精緻內容。

跨界的不只是博物館，Bridges 本身就是以多元的論文、展覽與活動在國際間著名。會議期間每天都非常充實與豐富，從早到晚滿滿的數學藝術（詳細議程），可以看到數學與各類藝術甚至科技相互撞擊，遇到全球的數學藝術同好更是讓人覺得興奮！

來自台灣的數學藝術展覽

關注了 Bridges 好一陣子，今年我終於鼓起勇氣報名，非常幸運地通過徵選並且獲得國藝會贊助，因此能有機會 Bridges 2018 全球數學藝術展覽中展出。本屆展覽台灣四位參展藝術家皆安排在 General Exhibition Gallery(GE) 展出，除了作品本身，在 GE 展廳還可以展示相關的物件，因此我放置了〈對稱的鏡面〉的作品說明、原始論文與 3D 列印模型，希望讓觀眾可以完整了解創作緣由。

〈對稱的鏡面〉是根據我發明 ／ 發現的吠陀立方數學原理製作而成，將立方體的六個對稱面以鏡面材料呈現（延伸閱讀：吠陀立方對稱面法：解不出的空間幾何問題就到廚房解決吧！），會隨著現場燈光而呈現不同的反射與錯視效果，觀眾還可以用雷射筆或其他物體與作品互動，觀察鏡中成像變化 [註 2]。

展覽期間有許多觀眾來看作品，甚至到撤展時段都還有一群瑞典青少年包圍展位；而作品本身也獲得許多不錯的評價，像是紐約數學博物館 (MoMath) 館長 Cindy Lawrence 覺得〈對稱的鏡面〉讓人十分驚艷。能夠在國際舞台讓世界看見台灣的作品，對第一次參加 Bridges 展覽的我來說更是別具意義。

今年 Bridges 數學藝術展覽中，台灣一共有四位來自不同領域的參展者與作品：分別是工程背景的我（林家妤，Shark Lin）、金必耀教授（Bih-Yaw Jin）團隊的化學串珠、陳明璋教授（Mingjang Chen）的碎形疊代畫作，以及施宣光教授（Shen-Guan Shih）的巧蝸積木 (SL blocks)。

我們創作的詳細介紹可見 Bridges 線上藝廊與論文集，以及李國偉教授科學人 2018 年 9 月號的專文「連結數學、藝術與教育的橋樑」一文，該期另有科普作家斯蒂芬·奧內斯 (Stephen Ornes)的專文「數的藝術品」。

Bridges 裡令人驚豔的作品

除了台灣的作品外，我也很想完整介紹全世界的數學藝術作品，不過 Bridges 2018 的參展作品就有一百多件，論文數量也破百篇，就算在天橋底下說書把這幾天的事情拆成九篇也說不完哪，只好精選幾件有趣的作品來介紹。

首先是首獎作品，來自荷蘭的兩位藝術家創作了一件能夠同時表現四個圖像的錯視創作，而他們選定的主題是全世界最有名的四張臉 ── 披頭四。他們利用 3D 列印印出截角八面體 (truncated octahedrons) 上圖像元素，搭配夾角 90 度的兩片鏡面相互反射，就可以用一個物體神奇地同時呈現出四個圖像。

值得一提的是，他們在 Bridges 2016 也是以三維錯視創作拿到首獎，分別以 Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid（中文書名：哥德爾、艾舍爾、巴赫：集異璧之大成）這本書三位大師的頭像作為創作主題。

艾雪式的鑲嵌圖樣向來深受藝術家與大眾喜愛，來自德國同時修習數學與平面設計的 Alexander Guerten，創作了動物造型的 3D 鑲嵌作品令人驚歎。前幾個月才在推特上看過，沒想到竟然能在 Bridges 的展覽會場見到，讓人驚喜連連！

在我展位隔壁的藝術家是來自瑞典的 Erik Åberg，他發展了 GHOSTKUBE 可轉動的方塊組，最近還上了 kickstarter 募資。

有天我在餐廳用餐時，看見隔壁東方面孔女性的幾何摺紙造型包包，似乎在哪裡看過卻又想不起來？ 懷著好奇心就決定向對方搭訕交流。

對方拿出名片之後，我才發覺她就是奇美博物館摺紙大展《紙上奇蹟》策展人嬴嬴 (Uyen Nguyen)，所以對這個摺紙造型包有印象。正好我之前寫的幾何藝術走春文章中，有推薦過這檔展覽（延伸閱讀：新年科青走春！全台幾何藝術景點大搜查），也讓我們聊了許久。最後一天在諾貝爾博物館參訪時，她還贈送我鑲嵌摺紙作品留作紀念。

最讓我喜出望外的是，以錯視作品享譽全球的杉原厚吉（Kokichi Sugihara）教授也在Bridges 2018分享他的創作。我曾經在《錯視維度》展覽邀請他的作品〈Ambiguous Cylinder Illusion〉參展 [註 4]，終於見到本人才發現這次來Bridges其實是來朝聖的！

以上作品約略只佔了 Bridges 的 5%，若是想看所有作品下方有相關網站。這篇文章主要介紹數學藝術展覽，下回我要來聊聊 Bridges 裡頭更多數學的跨界想像力！

延伸閱讀

• 用社群的力量讓數學跨出同溫層，成為驚艷全球的藝術展演──Bridges 2018研討會（下）

Bridges 2018相關網站

1. 官方網站
2. 線上藝廊
3. 相關活動
4. 論文集
5. 詳細議程

註釋

• 註 1：諾貝爾獎頒獎則是在斯德哥爾摩音樂廳 (Stockholm Concert Hall)，晚宴則在市政廳 (Stockholm City Hall)。
• 註 2：本次參展作品〈對稱的鏡面〉為吠陀立方系列創作，曾經在圓山花博《視覺混種 On Site, Visual》、2016 泛‧知識節《數學藝術互動體驗》、靜宜大學《IMAGINARY 超越無限‧數學印象特展》展示過，而今年在瑞典展出版本為鏡面全反射改良版本。
• 註 3：Bridges 是一個以數學為基礎的展覽，因此作品投件時藝術家需要選擇分類與提供說明，以便評審委員審查，Bridges 的作品分類與徵選標準如下：
  （1） 2D 作品（如鑲嵌、不可能的圖形、對稱設計）
  （2） 3D 作品（多面體、摺紙）
  （3） 自然界中特別的數字與數學（費氏數列、黃金比例）
  （4） 拓樸學（莫比烏斯帶、最小能量表面、扭結、圖論等）
  （5） 演算藝術（奇異吸子、基於代數方程式的藝術、排列、魔方陣）
  （6） 碎形
  而徵選標準有以下五項標準，括弧裡的字為官方註解：
  （1） 數學內容（這裡有數學知識豐富的觀眾）
  （2） 美感（顯然這相當主觀）
  （3） 材質（多樣的材質會讓展覽更多元）
  （4） 工藝技術（可有效地傳達作品概念）
  （5） 創新與原創性（將數學藝術推往新方向）
• 註 4：杉原厚吉教授於2018年10月受邀來台，並且於台灣大學主辦之「實 ‧ 幻：視覺錯覺之探索與應用 國際研討會」主講（Betwixt Reality and Illusion: International Symposium on the Exploration and Application of Visual Illusions）；而我也在此研討會上分享〈對稱的鏡面〉作品中的錯視現象，以及《錯視維度》展覽內容與策展過程，相關報導可見此（連結）。

本次旅行獲得財團法人國家文化藝術基金會（國藝會）國際交流計畫補助。