阿基米德與曹沖的交集是？──〈談科論幻話創意〉

• 作者／李奕萱

3 月 14 日是什麼節呢？白色情……呸呸呸！身為科學愛好者今天過的是 π day 啦！

2009 年，美國眾議院正式通過麻省理工提出將 3 月 14 日定為國家圓周率日的申請，將 3 月 14 日正式定為圓周率日（pi day)。世界各地的科學家會吃圓周率（派，pie）、喝圓周率（雞尾酒，piña colada）、玩圓周率（皮納塔，piñata）……來紀念這個科學界的重要常數── π。這些人有多喜歡 π 呢？他們甚至發明了 π 語言！

什麼是π語言呢？

π語言（Pilish），是一種特殊的書寫格式，每個單詞中的字母數與π的對應數字匹配。第一個單詞包含三個字母，第二個單詞包含一個字母，第三個單詞包含四個字母，依此類推。舉例來說：How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics! 就是典型的π語言，How 由三個字母組成，I 由一個字母組成，並接續下去。人們利用這個格式創作 π 文章或是 π 詩，其中最有名的是邁克爾·基思（Michael Keith）發表的一首以 π 為主題的詩《piku》：

It’s a moon,

A wheel revolving on golden earth, and lotus blossoms.

Mountains embrace windmills, and it all reflects this number, pi.

這首詩不僅符合每個字母數的規定，甚至每句的音節數也符合規定：第一句 3 個音節，第二句 14 個音節，第三句 15 個音節。π 語言除了是一種創作形式，也衍伸出一種記憶技巧──圓周率文字學（Piphilology），先記憶 π 語言撰寫的故事再回復成數字的形式來背誦 π。你想不想也試著寫看看 π 詩呢？

所以 π 是怎麼來的呢？π 又代表什麼呢？

π 源自於希臘語的 περίμετρος，有「周長」的意思，為一個圓的周長和其直徑的比值，看似很簡單的定義卻讓人類研究了數千年還是對她著迷不已。π 是無理數，用小數來表示的話就會形成一個無限的不循環小數，也就是你無法找出這些數字的規律，現代有超級電腦可以幫忙計算，那麼在沒有電腦甚至沒有計算機的的古代呢？

π 的計算最早要回溯到古埃及時期，以畫圓面積的方式計算出 π ＝3.16，雖然離更正確的 3.14159… 有一段差距，但當時可是公元前 1850 年的石器時代呢！後來曹魏時期的數學家劉徽和希臘化時期的阿基米德相繼提出了以相似多邊形逼近的來估算圓形周長的方式，而這些新方法也讓我們更加接近 π。

那麼 π 這個神秘的常數，在各個學界有什麼不一樣的地位呢？對於一般人來說，課本告訴我們計算π的時候要代近似值 3.14；對於軟體工程師來說，只要輸入指令就能直接從後台計算π；對數學家來說，近似值根本是邪教！！π 就是圓周跟直徑的比值，就是無法被窮盡的無理數。而這時工程師說話了：「那就當作 3 吧！」數學家頓時氣死在路邊……

海浪居然也跟 π 有關？

你知道嗎？海浪、聲音、電、路燈光線強度……這些看似跟圓形沒什麼關聯的事物其實都跟 π 有關係喔！還記得高中物理學過的海浪的簡諧運動嗎？當你把一塊會漂浮的木頭丟到海裡，木頭隨著海浪做上下規律的簡諧運動，當你把那塊浮木的運動軌跡記錄下來你就能得到一福完美的波浪圖，而圓型的秘密其實就藏在這幅圖裡！

想像有一個圓形操場，你沿著跑道等速繞圈圈，並且有一道平行光從北邊打過來，這時你就會發現自己印在南邊牆上的影子軌跡也形成一幅一模一樣的波浪圖。也就是說海浪的起伏可以看作是等速度圓周運動的投影，這就說明了簡諧運動中的週期公式 \( T=2π\sqrt{\frac{m}{k_m}} \)為什麼有π在裡面了！

π 還有一些有意思的故事！

世界上有一群熱愛 π 的人，那就有另一群討厭π的人，他們認為我們在計算圓的時候應該使用的常數是 τ（念 Tau，τ＝2π），也就是圓周和半徑的比值，τ 的擁護者則會在 6/28 慶祝 τ day。除了科學界慶祝圓周率，影劇界也會開π的玩笑，星際爭霸戰影集在某年 3 月 14 日的劇集中將π的最後一位數當作電腦破譯密碼，但我們知道π是一個無理數，所以我們大概也就永遠無法破解那部電腦了。π 就是這麼神秘且令人著迷，甚至法國奢侈品牌紀梵希就曾經推出一款命名為π的男性香水，是專為聰明、有遠見的男人設計的木質調香。

3 月 14 日不僅是 π day 同時是愛因斯坦的生日、史蒂芬霍金的忌日，是不是也為這天蒙上更神秘的色彩呢，那麼何不一起吃個派慶祝 π day 吧！

參考資料：

1. Pi – Wikipedia
2. Larry Shaw (Pi) – Wikipedia
3. Exploratorium – Wikipedia
4. 阿基米德 – 維基百科，自由的百科全書
5. Daniel A. Russell(2016). Longitudinal and Transverse Wave Motion.
6. Longitudinal and Transverse Wave Motion

• 作者／Steven Strogatz，本文摘自《無限的力量》，旗標出版，2020 年 09 月 09 日

崛起於東方的代數學

雖然微積分的確是在歐洲達到頂峰，但這支數學的根基其實是從別的地方開始的。比如說代數學，它起源於亞洲和中東地區。代數的英文名稱來自於阿拉伯文 al-jabr，原意為「修復」或「碎片重聚」，這是在平衡一道方程式並求解時所需的操作。舉例而言，在處理方程式時，我們經常將一個數字從等號的某一邊移除並加到另一邊，這便是一種先將方程式的一部分拆下再重新修復的過程。

另外，如同我們之前提過的，幾何學事實上源自於埃及。據傳，希臘的幾何學之父泰利斯（Thales）便是在埃及學到這門學問的。還有，幾何學中最著名的一個理論——「畢氏定理」實際上也不是畢達哥拉斯首先發現的；早在公元前 1800 年前的美索不達米亞泥板上就已經存在，證明巴比倫人知道這個定理的時間點比畢達哥拉斯早了至少一千年。

同時必須要注意的是，當我們提到古希臘時，其實是指一個遠超過雅典（Athens）和斯巴達（Sparta）的超廣大領土。在面積最遼闊的時候，它的南方邊界延伸到了埃及、西至義大利與西西里島、而東邊更是橫跨了地中海至土耳其、中東、中亞、甚至是部分的巴基斯坦與印度。畢達哥拉斯是在薩摩斯島（Samos）出生的，這是一座位於安納托利亞（Asia Minor；屬於今日的土耳其）西部海岸線之外的島嶼。阿基米德生活於敘拉古，它位在西西里島的東南方。而歐幾里得則在亞歷山大城附近活動，這是一座位於埃及尼羅河口的巨大港口，並且是當時的學術重鎮。

但在羅馬攻佔了希臘，特別是當位於亞歷山大城的圖書館被燒毀，以及西羅馬帝國隕落以後，數學研究的中心就又回到了東方。阿基米德、歐幾里得、托勒密、亞里斯多德和柏拉圖的作品都被翻譯成了阿拉伯文，並且被當時的學者和抄寫員流傳了下來。這些人同時也在過去的理論中添加了許多嶄新的想法。

代數如何興起，幾何又為何衰落?

在代數降臨前的幾個世紀，幾何學的進展就已經陷入了龜速慢爬時期。在阿基米德於公元前 212 年去世以後，似乎就沒有人能在這個領域超越他的成就。喔，抱歉，應該說「幾乎」沒有人可以超越。大約在公元 250 年，中國的幾何學者劉徽對阿基米德計算圓周率的方法做了改良。兩個世紀以後，祖沖之（公元 429 – 500 年，南北朝時代）使用劉徽的方法及一個 24,576 條邊的多邊形做計算，並在經過一段想必非常史詩級的算術處理後，成功將 π 值限制在以下的兩個數字之間：

3.1415926 < π < 3.1415927

又過了五個世紀，進步再度來臨，這一次是由一位名為哈桑‧本‧海什木（Al-Hasan Ibn al-Haytham；在歐洲通常寫作 Alhazen）的人完成。他於約公元 965 年時出生在伊拉克（Iraq）的巴斯拉（Basra），在進入伊斯蘭黃金時代後，他來到開羅（Cairo）從事包括神學、哲學、天文、醫學等各式各樣的研究。在海什木的幾何著作中，他思考一種阿基米德從未想過的立體圖形，並嘗試計算它的面積。與這個發現本身同樣令人吃驚的是，關於幾何學的重大進展也就這些了，且中間竟然花了十二個世紀的時間。

而就在這段時間裡，代數與算術正在經歷快速且重大的發展。來自印度的數學家發明了「零」這個概念，並創造了十進制系統。另外，關於如何解方程式的代數技巧也在埃及、伊拉克、波斯和中國遍地開花。這些進展大多源自於解決真實世界中的問題，例如：遺產繼承規則、納稅評估、商業活動、計帳、利息計算、以及其它可能用到數字與方程式的主題。

代數在當時仍是用文字敘述，也因此這些問題的解決方法都被寫成類似處方箋一樣的東西，上面包含了如何一步步得到答案的文字指引。其中一本著名的教科書是由穆罕默德‧伊本‧穆薩‧花拉子米（Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi；公元 780 – 850 年）所編寫的，因此作者的姓氏被用來泛指所有透過一系列步驟達成目的的程序，也就是演算法（algorithm，即 al-Khwarizmi 的拉丁文譯名）這個字的由來。最終，貿易商和探險家把這種以文字敘述為基礎的代數、以及從印度與阿拉伯發源的十進制帶往了歐洲，與此同時，人們也開始將阿拉伯文的文獻轉譯成拉丁文。

到了文藝復興時期的歐洲，除了應用層面的探索以外，將代數學符號化的研究也開始盛行起來，並且在 1500 年代達到頂峰。於是，方程式的樣貌開始類似於我們現今看到的樣子，也就是用字母來取代數字的形式。1591 年時，法國的弗朗索瓦‧韋達（François Viète）以母音字母（如：A 和 E）來代表未知值，並用子音字母（如：B 和 G）來代表常數。而如今我們用 x、y、z 表示未知值；a、b、c 表示常數的的習慣則源自於約五十年後出現的笛卡兒。這種使用符號與字母來取代文字敘述的作法，使得方程式的推導與求解更為容易。

在算術上也有同樣重大的突破，那就是來自荷蘭的西蒙‧斯蒂文（Simon Stevin）將阿拉伯十進制數字從整數擴大運用到了小數上，並藉此成功消除了亞里斯多德思想中關於數字（即今天的整數，兩相鄰整數間沒有更小的單位存在）與大小（一種連續的數量，可以被分割成無限小的單位）之間的差異。

在斯蒂文以前，十進制只適用於整數上，而任何小於一單位的數就用分數來表示；但在斯蒂文的新方法中，一個單位的整數可被切割成更小的單位，也就是小數。這對於今天的我們來說是理所當然的事，但在那時卻是一項革命性的想法。當整數具有可分割性，則整數、分數或無理數便可以被整合到一個被稱為「實數」的大家庭中，這給了微積分描述連續空間、時間、運動與變化一項強大而必需的工具。

就在幾何學即將與代數合而為一的前夕，阿基米德所用的舊幾何學方法還有最後一次成功的應用：克卜勒將帶有弧度的物體（如：酒桶和甜甜圈形狀的物體）在腦中切成無限多片且無限薄的圓盤，並藉此計算它們的體積；另外，伽利略與他的學生埃萬傑利斯塔‧托里切利（Evangelista Torricelli）、博納文圖拉‧卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri）也是透過將物體視為無限多條線或面的堆疊來求得面積、體積或重心。

然而，這些人在對待「無限大」或「無限小」的概念時可以說是漫不經心，因此他們的方法雖然有力且直覺，卻一點兒也不嚴謹。儘管如此，由於這些方法能比窮盡法更容易且更快速地找到答案，所以也不失為一項讓人感到興奮的進步（當然，如今我們已經知道阿基米德早就使用過這種技巧了，他在關於「方法」的論述裡早就提過相同的點子，只不過當時這些敘述被深埋在一本收藏於修道院的祈禱書之中，直到 1899 年才被人發現）。

• 延伸閱讀：【Gene思書齋】無限小如何形塑現代世界？

無論如何，雖然那些新阿基米德派的做法在當時看上去相當有效，但它們卻不足以應付未來的挑戰。而符號代數此時已經蓄勢待發，與之相關的兩支強大分支，即解析幾何與微分，也已如春芽一般呼之欲出。

• 作者／Steven Strogatz，本文摘自《無限的力量》，旗標出版，2020 年 09 月 09 日

在進入細節之前，讓我先說明一下本節中要做的事情。首先，在心中描繪一個圓形的物體，比如說一塊披薩。然後，藉由將這個披薩切成無限多塊並重新排列後，可以神奇地重新組合成一個長方形。因為重組排列切片並不會改變披薩的面積，同時我們也曉得如何求長方形的面積（只要將它的長與寬相乘即可），因此藉助這個策略，就能得到我們想要的答案：一個可以計算圓面積的公式。

為了使上述步驟得以順利進行，我們以英文字母 C 代表圓的周長（披薩最外緣的長度），我們可以用捲尺繞行披薩一圈來測得 C 的值。

另一個我們需要知道的數據是披薩的半徑長度，記做 r，它的定義是從披薩中心到邊緣上任意一點的長度。另外，假如所有的披薩切片都一樣大，且切法都是從中心往邊緣切，那麼 r 就是一塊披薩切片的側邊長度。

我們先將披薩平分成四小片，並把切片重新排列成以下圖形。很顯然地，結果不盡如人意。

這個新形狀的頂部與底部都是波浪狀的，整體看上去就奇形怪狀。總而言之，這絕對不是一個長方形，因此我們也無法輕易猜到它的面積。這樣看起來，似乎沒有什麼用啊！不過正如所有的電影一樣，英雄在成功之前總是要經歷一些麻煩，此處的失敗也只是在為我們的探索過程增加一些戲劇張力罷了。

然而，在我們進到下一步之前，有兩個事實應該特別指出來，因為在我們的證明裡，它們自始至終都正確。這第一項事實是：新圖形頂邊與底邊的長度都恰好是周長的一半，也就是 \(\frac{C}{2}\)（如上圖所示），而我們所求四方形的長邊長度最後就會等於這個值。第二項事實是，圖形中那兩條傾斜的側邊剛好是一片披薩切片的側邊，因此長度就是 r，且這個長度最後會變成所求四方形的短邊長度。

在上面的操作中，我們之所以看不到任何四方形的影子，是因為這塊披薩還沒被切成足夠多片。如果這一次我們將它平分成八等分，並以相同的方式將切片重排，得到的新圖形就會離四方形的樣子更接近一些。

事實上，重排過後的披薩開始看起來就像是一個平行四邊形（parallelogram）。這結果還不賴，至少圖形頂部與底部那類似波浪的結構也不像之前那麼凹凹凸凸。如此可見，隨著切片數量增加，整個圖形看起來也會越平坦。要注意的是，圖形頂部與底部波浪狀的地方長度仍然是 \(\frac{C}{2}\)，而兩端傾斜側邊的長度也依舊是 r。

為了讓我們的圖形看起來更工整，還可以把最左邊或最右邊的披薩切片再切成一半，並把切下來的半片拼到另一邊去。

現在，整個圖形看上去就更像一個長方形了。當然我們得承認，目前的結果還不夠完美，因為圖形的上下方還是波浪狀的，但至少已經有些進展。

既然增加切片的數目看似對解題有幫助，那就讓我們繼續切下去吧！這一次新圖形是由十六片披薩切片所組成，同時，我們再次對它的側邊進行類似上面的切半搬移處理。最後的結果看起來如下：

總的來說，將披薩平分成越多片，原本波浪狀的部分就變得越平坦。我們可以看到，經過處理後，一系列新的形狀誕生了！而且很神奇地，這些形狀看起來越來越接近方方正正的四方形（即長方形）。由於此四方形是將披薩平分無數次之後的結果，我們就把這個四方形稱做「極限（limiting）」四方形吧！

編註：我們前面談過很多的「無限（infinity）」是一種趨近的過程，而「極限（limiting）」則是指此趨近過程最終所達到的狀態。比如說：「無論你到天涯海角，我都要追上你」其中，永無休止追的過程是無限的概念，而追到天涯海角時就是那個最終的極限狀態。

前面所做的這一切，就是為了得到這個極限四方形，好讓我們能簡單地透過長乘以寬來算出面積，而剩下來的任務就是找出這個極限四方形的長寬和原本的圓之間存在什麼關係了。

首先，由於組成極限四方形的每一片披薩切片都是由披薩中心切出來的，因此四方形的短邊長度就是原本的圓半徑 r。至於四方形的長邊長度則等於圓周長的一半，這是因為有一半的周長被分配到了四方形的頂邊，另一半則被分配到了底邊。也就是說，長邊的長度等於 \(\frac{C}{2}\)。結合以上兩點，我們便可透過將長邊乘以短邊來得到極限四邊形的面積（以 A 表示），即 \(A = r\times \frac{C}{2} = \frac{rC}{2}\)。最後，因為搬動披薩切片並不會改變它的面積，所以此極限四邊形的面積一定等於原始的圓面積！

以上所得的圓面積公式 \(A = \frac{rC}{2}\) 是由古希臘數學家阿基米德（Archimedes，公元前 287 – 212 年）在他的文章《圓的測量》中首次證明的（他用了類似但更加嚴謹的論證）。

這個證明最創新的部分在於如何運用無限這個概念來協助我們得到答案。當我們只有四片、八片、或十六片披薩時，只能將它們重排成一個波浪狀的不完美圖形。然而，儘管開頭並不順利，隨著切片數不斷增加，我們所得到的圖形也越來越接近長方形。不過這裡必須注意，只有當切片數量達到無限多片時，重組之後的圖形才會完全變成長方形。而這就是微積分背後的關鍵想法：當到達無限以後，所有事情都會變得簡單！