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納皮爾忌日|科學史上的今天:4/4

張瑞棋_96
・2015/04/04 ・1033字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 511 ・六年級

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對數的發現為天文學家省去很多計算的功夫,納皮爾可說是功德無量。圖/wikimedia

1614 年,猶如平地一聲雷,一本名為《奇妙的對數規則之描述》的奇書撼動了歐洲的天文學家們。這本書提供了一個前所未有的工具,將他們從繁複的計算工作中解放出來。同樣令人驚奇的是,這樣一本劃時代的鉅著,其作者竟只是對天文學與數學有興趣的業餘愛好者。

事實上,出身蘇格蘭貴族的納皮爾興趣廣泛,在此之前,他未曾出版任何數學著作,反倒是發表了不少神學議論,還設計了弩砲、裝甲車、潛水艇等戰爭武器。不過花了他最多心思的還是《奇妙的對數規則之描述》這本書,他整整耗費二十年的光陰才完成。

當時天文學家的很多時間都投注於繁重的計算工作上面。因為他們在推測天體的軌道時,基本上是根據三角幾何來計算;雖然當時已經有現成的三角函數表讓你可以用角度查出對應的 sin、cos 等數值,但一來這些數值都是用分數表示,二來天文距離都是很大的數字,因此每次計算都是很多位數的相乘或相除,當然耗費很多時間。

納皮爾透過研究等比級數與等差級數的對應關係,而找出一種規則可以將複雜的乘除計算轉換為簡易的加減,這背後的觀念就是利用 am x an = am+n。當某一個數 A 可以用 a表示,m 就是 A 的對數(以 a 為底),如果我們事先建立好以 a 為底的對數表,就可以用查表的方式得知 A 與 B 的對數分別是 m 與 n,再反查 m + n 這個對數的對應值,就是 A x B 的積。

納皮爾之所以花了二十年時間就是除了 57 頁的說明外,還要建立印滿 90 頁的對數表。不過他當初所選的 a 是一個特殊的數字以配合天文學家常做的計算,經過英格蘭數學家 Henry Briggs 的修訂,才改成以 10 為底,變得適用範圍更廣。之後再經由大數學家歐拉建立指數與對數的運算法則,才成為現今的樣貌。

對數的發現為天文學家省去很多計算的功夫,拉普拉斯就曾說:「對數的發明簡化了計算,使天文學家的壽命增加了一倍。」納皮爾可說是功德無量,只是他的出生日期已不可考,我們只能在他的忌日緬懷他的貢獻了。

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

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張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 629 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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準備出國啦!Surfshark VPN 快趁黑五買起來,上網購物最安心
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
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原來數學也可以用在這裡?生物巧妙運用數學模式,克服了移動上的物理限制——《生物世界的數學遊戲》
天下文化_96
・2022/10/26 ・1541字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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步調模式千變萬化

生物體移動時所受的限制是屬於物理學的。如果該生物使用的是肢體,這些肢體必須強壯到可以支撐作用在牠們上面的力量。(我看過不少設計較差的機器人在移動時散掉。)其他形態的移動也一樣,如果是游泳,該動物就要全力對付流體力學的定律。物理定律影響動物的移動是很明顯的,不值得奇怪。顯然,在這個情形當中,數學提供了各式各樣的模式,而被生物學拿來運用。很少不會用到,不管多麼奇特。

游泳時要全力對付流體力學定律。圖/Pexels

物理學的影響還要更深入。單有腿也沒有用,除非你有可以控制腿的神經系統。運動與神經網路是一體的,兩者一定要一起演化,而不是個別的。另外,正如負責感覺的神經網路一定會模擬外在世界的模式,因此負責運動的神經網路,必定會模擬動物身體的機械性模式。

我很懷疑這種共同演化真的有可能或很容易發生,因為下面這個顯著的事實:像肢體這樣的物理系統的自然振盪模式,跟神經網路的振盪模式是一樣的。早在肢體和腦變成完整的生物結構之前,就已經有一種普遍的步調韻律存在了,潛在地將動物的肢體關聯到腦。步調節奏提供了存在於演化相空間中、等待被使用的模式。

形形色色的生物移動

這模式的確一直被應用。差不多所有的生物都會移動,甚至連最固定不動的植物也會向光彎曲,最微小的浮游生物也會隨波逐流——但是,獵豹在追逐獵物時,可以跑到每小時一百一十公里,這移動真是快速啊!

生物體的種類這麼多,而移動的方式也是千變萬化。細菌利用會旋轉的微小螺旋槳使自己在水中推進,就像船一樣;像草履蟲(Paramecium)這類單細胞生物,則能藉由揮動鞭毛來選擇運動的方向。

(圖七○)Centronotus gunnellus 這種鰻魚肌肉收縮的波形。圖/《生物世界的數學遊戲》

運動的數學模式形形色色,更是令人印象深刻:草履蟲鞭毛的移動有如行進波,就像是玉米田在微風吹拂下產生的浪波;細菌的旋轉螺旋所成幾何圖案之美是無可比擬的;蛇和鰻是靠肌肉收縮做波狀蠕動行進(圖七○);響尾蛇在熱燙的沙漠中滾動,像一個捲曲的彈簧;尺蠖走動時是尾巴頂到頭部,整個身子呈 ∩ 狀,然後前端再向前行並伸展成-字形。

信天翁滑翔時羽翼僵直不動,偶爾慵懶地鼓翼一下,以有蹼的腳劃過水面,而後用笨拙卻迷人的方式飛跑而起;大象拖著沉重的腳步,緩慢橫過空曠的熱帶大草原,一次移動一隻腳(圖七一),模式就像那隻在海邊市鎮漫步的拉布拉多獵犬。

(圖七一)大象的慢步行走。圖/《生物世界的數學遊戲》

駱駝行走的模式又不一樣了:先同時移動兩隻左腿,然後是兩隻右腿〔稱為「溜蹄」(pace)〕,身子左右搖擺有如醉漢一般。松鼠又是另外一種模式:跳一下,停一下,然後再跳一下;如果遇到警訊,就省掉「停」的步驟。

Carparachneaureoflava 這種車輪蜘蛛會像一個有八個輪輻的輪子般,滾過沙漠。世界上有一種會跳躍的蛆〔較正式的稱呼為Ceratitis capitata(地中海果實蠅)的幼蟲〕,會把自己扭曲成 ∩ 形,然後再伸直,就像一顆砲彈般跳入空中,形成一個完美的拋物線。

——本文摘自《生物世界的數學遊戲》,2022 年 9 月,天下文化,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
110 篇文章 ・ 597 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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宇宙如何影響我們的文明?星空信仰下的人們——《人類大宇宙》
遠流出版_96
・2022/10/17 ・3016字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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  • 作者 / 喬.馬錢特博士(Dr. Jo Marchant)
  • 譯者 / 徐立妍

宇宙最初的光芒

將近一百四十億年前,一切自虛無中霹靂而生,我們的宇宙從一個熾熱、壓縮又微小到無法想像的小點中迸發誕生,接著幾乎是在一瞬間便往外膨脹,形成太空的這個空間以超過光速的程度急速擴張,一直到所有存在的物體大約成為一顆葡萄柚的大小。

然後,宇宙持續擴張、冷卻,接著形成了最初的物質,就在那第一秒內,中子、質子、電子、光子、中微子等各種粒子組成的高密度團相互推擠,形成一股驚人而熾灼的熱,散發出有如霧般的光。宇宙生成大約三十八萬年後,這顆泡泡已經擴張到幾千萬光年以外的地方,並且冷卻到了幾千度左右,這樣的溫度足以讓原子組合在一起,宇宙第一次透出了光。

一開始只是一閃即逝的光,然後黑暗再度籠罩,還要再過幾千萬年,重力才能夠吸引住稍有密度的各種物質,粗暴地將一團團氣體碰撞在一起,形成最早的星星及星系,就這樣,天空的燈光一個個亮了起來。

大霹靂(Big Bang)。圖/envato.elements

大多數的宇宙學入門大概都會以自己的方式描述這一連串事件,但謎團仍未解開:大霹靂(Big Bang)真的是一切的開端嗎?或者我們的宇宙只是在另一個更大的多重宇宙中一顆不斷膨脹的泡泡?宇宙會永遠擴張下去嗎?或者到最後會在一次大擠壓中再次崩塌?不過,眾人都能同意宇宙的普遍性質及宇宙是怎麼回事,目前已經揭露的事實是,這是一台龐大且精細的機器,由物理粒子組成,並且其中的作用力也依循著數學方程式及法則。

仰望星辰的人類歷史

這本書要說的是不同的故事。宇宙的科學解釋是我們現代文明的巔峰,如此擲地有聲的見解足以消弭其他所有不同看法。研究宇宙的宇宙學曾一度被形容為在哲學及精神層面上的廣泛追尋,要找出人類存在的意義,要問我們是誰、我們在哪裡、我們為何在此地,如今卻是數學天文學的一個分支。那麼,那些大哉問怎麼了呢?我們對於宇宙已經沒有其他什麼需要知道的嗎?

這本書並不是要詳細描述最新的天文學進展,是要介紹長久以來,人們從星辰收集到的知識歷史,是關於人們的宇宙觀如何讓他們認識了現實的本質及生命的意義;關於我們已經捨棄的那些神祇與靈魂、神話與神獸、宮殿與天體;關於科學觀點如何成為主流,而這段路程又是如何形塑今日的我們。這是一段關於人的故事,講述了祭司、女神、探險家、革命家和君王,故事並非由大霹靂開始,甚至也不是由科學的誕生開始,而是由最早抬頭望向星星的人類開始,以及他們在天空中找到的答案。

為何要在乎過去對天上的信仰?考古學家和歷史學家通常不會如此。我們知道,科學是立基於試圖理解天堂的念頭,不過學者要更全面追溯人類歷史進展時就鮮少以此為焦點,我認為此舉對於我們要理解自己從何而來造成了巨大的盲點。事實上,人們在天空中所看到的模式一直都主宰著人們在地上生活的方式,形塑了對於時間與空間、權力與事實、生與死等概念。
我們在古老的過往中便看見這一點:執著於日食的巴比倫人;建造金字塔以引導靈魂前往星星所在之處的埃及法老;在太陽旗幟下奮戰的羅馬皇帝。對宇宙的概念也形塑了現代世界,即使我們忘記這些影響力的根源,卻也已經深植在社會當中,存在我們的國會、教堂、藝廊、時鐘與地圖裡。從基督教的誕生,乃至歐洲的探險及主宰星球,其中核心的影響力正是對太陽、月亮、星星的信仰,他們指引著不羈的立法人員創建了民主與人權原則、引導經濟學家建立資本主義所仰賴的框架,甚至指示畫家畫出了第一幅抽象畫。

捷克布拉格舊市政廳天文鐘。圖/envato.elements

今日光害籠罩著我們的星球,星星幾乎消失了,過去在黑暗的夜空中能看見上千顆星星,但今日在城市裡的我們只能看見幾十顆。天文學家擔心,就連這些很快也會遠遠不敵人造衛星的數量,在美國和歐洲的大多數人根本再也看不見銀河。看著自然遺產這樣逐漸消蝕實在是災難一場,我們與銀河系及浩瀚宇宙之間的連結也會就此消逝。沒有人為此群起大聲疾呼,大多數人只是聳聳肩,依舊盯著自己的手機,絲毫不擔心即將失去這片在歷史上其他每一種人類文化都視為必要的景象。

宇宙的本質與生命的追尋

但是,我們仍然努力想弄清楚我們在宇宙中的位置,科學在這方面的進展十分成功:今天一個五歲小孩比起幾千年前的古早文化更清楚物理宇宙的歷史、組成及本質,但是科學也將這些文化在生命中發現的意義拆解了大半,將個人經驗屏除在我們對現實的理解之外,取而代之的是時空概念抽象而數學化的網格。

地球從存在的中心被踢到了邊緣,生命被重塑成隨機意外的結果,而且也完全不管神明了,現在一切都能以物理法則來解釋。我們在宇宙秩序中完全不是什麼有意義的角色,而是如物理學家史蒂芬.霍金(Stephen Hawking)所言,我們只是「化學渣滓」,存在於一個中等大小的星球表面,繞著一個沒什麼重要性的星球運行。

幾百年來不斷有人批評反對這樣冰冷機械式地解釋人性,過程中經常全盤否決科學的見解,一直到不久之前仍屬於禁忌話題,但現在即使是受人敬重的科學家也對此表達擔憂,他們認為或許物理物質並非宇宙全貌、並非我們的全貌;或許,科學只看見了全貌的一半。我們可以解釋星體與星系,但心智呢?意識本身呢?這些論戰逐漸形成一場世紀之戰,可能會改變整個西方的世界觀。

畫下戰線之後,我想我們必須換個角度思考,提出概述,因此這是一本關於宇宙的書,不是科學指南,是從人性出發。我不長篇大論地講述,而是選擇了十二個時刻,你或許也可以稱之為墊腳石,讓我們理解歷史上的人們是如何看待天空,尤其是這十二篇故事依循著西方物質宇宙觀點的崛起,爬梳這套宇宙模型如何主導我們的生活。這些故事從人類最早透過洞穴壁畫及巨石陣來表達人性開始追溯,途中講述了基督教、民主及科學等重要傳統的誕生,最後進行到追尋外星生命以及近來飛入真正的且虛擬的太空之旅。

這趟旅程能夠解釋今日的我們是誰,或許還能指引出未來的航道。所謂當局者迷,我們很難看見其極限,因此我希望拉遠距離去檢視人類宇宙信仰的深度歷史,或許有助於我們探索世界觀的界線,還可能看得更遠。我們是如何成為無意義的宇宙中被動的機械?這些信念如何影響我們生活的方式?而我們由此又能前往何方?

———本書摘自《人類大宇宙》,2022年 9 月,遠流出版。

遠流出版_96
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遠流出版公司成立於1975年,致力於台灣本土文化的紮根與出版的工作,向以專業的編輯團隊及嚴謹的製作態度著稱,曾獲日本出版之《台灣百科》評為「台灣最具影響力的民營出版社」。遠流以「建立沒有圍牆的學校」、滿足廣大讀者「一生的讀書計畫」自期,積極引進西方新知,開發作家資源,提供全方位、多元化的閱讀生活,矢志將遠流經營成一個「理想與勇氣的實踐之地」。