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才、才不是在裝文青呢,在咖啡廳工作真的能激發創造力!──《哇賽心理學》

哇賽心理學_96
・2018/03/20 ・2080字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 493 ・六年級

作者/潘怡格 主編/蔡宇哲(哇賽心理學 創辦人兼總編輯)

隨著暢銷小說《哈利波特》迅速風靡全球,書迷們也非常關心作者J.K.羅琳到底是從哪裡來的靈感,可以寫下這麼生動的故事。根據羅琳的自我介紹,她常在英國愛丁堡的一間咖啡館寫作,慢慢的勾勒出霍格華茲這個充滿想像力的奇幻世界。

其實不只羅琳,還有許多的文學家,例如波特萊爾、海明威、沙特、西蒙波娃等,都喜歡聚集在咖啡館。這到底是一種時尚潮流?還是咖啡館真的有一種魔力,可以提供人們創作的靈感?

source:Pexels

根據心理學和神經科學家對創造力的研究,發現光線和空間是很重要的影響因素,許多咖啡館的環境確實蠻符合研究中所提到的幾個條件。

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實驗一:光線越昏暗,越有創意

德國心理學家安娜.史泰德爾(Anna Steidle)與她的團隊想知道「調整房間的明暗程度,會不會讓人們有更好的創造力與工作表現。」

因此,他們設計了一個實驗,邀請40個大學生,並依照房間燈光將其分成「明亮組」與「昏暗組」,在進入實驗之前會跟學生說「你正前往一個未知的星球,即將面對的是一個與地球截然不同的世界」,接著給他們 7 分鐘的時間畫出一個外星人的圖案。

評分者會依據圖案整體的創新程度,跟地球生物的相似程度、特徵的非典型程度(例如:有五隻腳、眼睛會發出雷射光)等三個面向給予分數。

實驗結果發現,昏暗組的那些人所畫的外星人有較多的非典型特徵,也比較不像一般的地球生物,因此在整體的創新程度比明亮組表現得更好。研究者認為適當的昏暗可以激發人們創意潛能,尤其是在執行需要靈感的工作時。

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但是,為什麼昏暗的燈光可以激發創意呢?

安娜.史泰德爾為了找到答案,又進行了一系列的實驗,他們利用調整房間的明暗度,請參與者評估自己感到自由的程度。評估結果發現,昏暗容易讓人有一種不被拘束的感覺,而且昏暗組在答題時,比起正確率反而更在乎速度快慢,暗示著昏暗的環境讓人有更想探索的欲望而較不擔心犯錯,這樣的心態能使創造力更容易發揮出來。

這樣聽起來,太明亮的地方是不是不好呢?雖然明亮的光線對創造力沒有明顯影響,卻有利於我們做分析和評價的相關思考,因為不同於昏暗組,明亮組更在乎的是答題正確率的表現。

圖/作者提供。

實驗二:天花板越高,思考越自由

除了燈光之外,行銷學家瓊.麥爾斯李維(Joan Meyers-Levy)和朱瑞(Rui Zhu)也做了一個實驗,想瞭解空間高度會不會影響人們的思考和行動方式。

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source:pxhere

研究者將實驗的參與者依照房間天花板的高度,分為「挑高組」(3.1公尺)與「一般組」(2.48公尺),在實驗室的天花板掛上燈籠,目的是為了引導參與者的視線往上看,以便讓他們有機會目測天花板的高度,接著開始進行解字謎的遊戲。

結果發現,「挑高組」在解答與「自由」相關的字詞(例如:解放、不設限)上速度快得多;但是,一旦字謎是與「限制」相關的字詞時(例如:約束、矜持),情況恰恰相反,會變得比較慢。

另一個實驗則要求參與者從10項不同的運動清單中,找出相同之處。結果,挑高組比一般組舉出更多的共同點,且這些共同點本質也較為抽象。因此研究者認為:「挑高的天花板讓參與者的心裡感受比較自由,使得思考能更抽象且具有創意。」

圖/作者提供。

心理學給你的建議:利用昏暗與挑高的天花板,激發創作靈感

綜合上述研究,可以發現人的思考多少會受到環境影響,適當的昏暗與挑高的天花板,會讓我們的思考更自由,進而激發創作靈感,明亮的燈光則適合處理需要高度專心的任務。

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由此可知,咖啡館的盛行不是沒有原因的,除了滿足飲食的生理需求及流行的追求外,挑高的天花板及昏黃的光線,不知不覺中也能滿足需要創意與靈感人士的需求。

在家中,我們很難擅自調整天花板的高度或是燈光明暗,因此心理學給你的建議是,下次需要靈感的時候,不妨找一間空間寬敞、燈光朦朧昏暗的咖啡館,慢慢累積創意的養分,培養靈感的來源。

原來咖啡館在不知不覺中能滿足需要創意與靈感人士的需求了呢。圖/Neo_II@flickr

參考資料:

  • Freedom from constraints: Darkness and dim illumination promote creativity. Journal of Environmental psychology, 2013;35 67-80.
  • The influence of ceiling height: The effect of priming on the type of processing that people use. Journal of Consumer Research. 2007;34(2), 174-186.

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本文轉載自泛科學 2018 年 3 月選書《哇賽心理學》,格子外面出版

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希望能讓大眾看見心理學的有趣與美,期待有更多的交流與分享,讓心理學不只存在於精神疾患診療間或學校諮商室,更能擴及到生活使之融入每一刻。

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疫情再起,視訊會議減少接觸風險,卻會讓你更累、更沒創意?
Te-Yi Hsieh_96
・2022/05/13 ・3564字 ・閱讀時間約 7 分鐘

台灣的 COVID-19 疫情,在今(2022)年四月急遽升溫,許多公司行號也再度實行遠端上班、分流上班,減少接觸以及染疫風險,許多染疫者、接觸者也必須居家隔離。任何需要跟人接觸的活動,都改以線上的方式進行。因此,視訊會議就成為了一個相對安全、又便利的新選擇。多虧了現代電腦、網路,和通訊軟體的發達,我們不必非得要面對面才能「見面」。

疫情下,許多會議都改以視訊方式進行,但這對我們大腦來說究竟是好事還是壞事?圖/Giphy

這樣遠端工作、開不完的視訊會議所帶來的結果是,我們必須整天盯著螢幕看,造成眼睛、精神上的疲勞。國外有人甚至發明了「視訊會議疲勞」(Zoom fatigue,或作 videoconference fatigue)一詞[註一]來形容這種過多視訊開會造成身心疲乏的現象。而且,這種現象,不但在職場中出現[註二],就連線上課程也都讓學生覺得更疲累、難以專注、學習困難、焦慮感提升[註三]

為何會產生「視訊會議疲勞」?

為什麼「視訊會議疲勞」那麼普遍呢?Bailenson(2021)解釋,我們之所以會在視訊會議中更容易感到疲倦,主要是以下四個原因:[註四]

  1. 過多的眼神交流:在一般的面對面互動中,我們很少會靠一個人的臉那麼近來跟他說話,視線也不需要持續聚焦在一個人的臉上。尤其對於會議主講人來說,一次有那麼多雙眼睛直勾勾地盯著你看,大腦很容易進入一種過度激發(hyper-aroused)的狀態。
  2. 看到自己在說話的畫面,讓你時時刻刻都在審視、評價自己:同樣地,在一般的面對面互動中,幾乎沒有人會一邊拿鏡子照自己,一邊跟別人說話,但這種不自然的狀況卻會在視訊會議中出現。一旦我們看得到自己的影像,難免會注意自己在鏡頭前好不好看,臉上有沒有沾到東西,表情和談吐是不是夠優雅、自信。一邊說話,還要一邊持續自我審查的過程,對大腦來說非常耗能。
  3. 視訊會議限制了我們身體的活動空間:視訊會議進行期間,尤其是自己的鏡頭必須開啟時,我們基本上只能端坐在電腦前,眼睛直視螢幕,免得被誤認為是在分心、做別的事。身體要僵直地維持在這種狀態一到兩小時,屁股坐麻、手腳痠痛不說,大腦要控制身體維持姿勢也會變得疲乏。
  4. 透過視訊來進行社交互動更為困難、費力:面對面互動的時候,任何語言的、非語言的社交訊息(例如眨眼和微笑)都可以即時被互動者接收,但在視訊會議時,難免會遇到畫面卡卡的、網路不順的狀況,這都使得訊息傳達更為費力、耗時。
「視訊會議疲勞」讓疫情中的工作者更容易過勞!圖/Giphy

當然,這些容易讓我們疲勞的因素,並不是無法可解。Bailenson 也提到一些簡單的方法,像是把視窗從全螢幕調整成讓你沒有壓迫感的大小、關掉自己的個人畫面、在會議與會議之間安排休息等,都能有效降低疲勞。

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疲勞的問題或許是解決了,但另一個可以探討的問題是,視訊會議的成效和面對面開會一樣嗎?尤其針對需要創意發想的行業,哪種討論方式更有助於人們想出新穎的好點子?

發想創意提案,到底是面對面還是視訊比較好?

為了探討這個問題,一篇 2022 年刊登於《自然》(Nature)的研究[註五]邀請了 300 名受試者,隨機分成兩兩一對,進行腦力激盪的作業。內容是花 5 分鐘跟夥伴討論「飛盤」有哪些非典型的用法或功能,再花 1 分鐘選出最有創意的答案。

想想看,「飛盤」除了跟狗狗玩丟接遊戲之外,還可以有哪些創意用法?圖/Giphy

在這些兩兩一組的受試者中,一半的受試者(75 對)被分配到「面對面互動組」,而另外 75 對則被分到「視訊互動組」。研究人員想知道,哪種形式的討論方式可以產出更多有創意的點子,還有,每個小組花一分鐘討論出來的最終方案,是不是最有創意的點子(用以判斷小組的決策準確度)。

研究人員除了記錄每個小組所產出的創意總數(想出幾種飛盤的新用法)之外,還邀請了兩位事先不知道研究假設的「裁判」,依據創意性和實用性評分受試者的點子。研究團隊將「有創意的點子」定義為「創意分數高於整體平均創意分數的點子。」

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為了減少實驗題目造成的偏誤,並增加受試者總數,團隊接著找了另外 302 位受試者參與類似的實驗流程,但是腦力激盪的題目改成:討論「泡泡紙」有哪些非典型的用法或功能。

根據這 602 位受試者的結果顯示,「面對面互動組」想出的平均點子總數是 16.77 個,不但在統計上顯著多於「視訊互動組」的 14.74 個,「面對面互動組」也產出更多被評定為有創意的點子,平均有 7.92 個創意點子,相較於「視訊互動組」平均只有 6.73 個創意點子。

在小組的決策準確度方面,研究人員發現,「視訊互動組」選出的最有創意點子,似乎比較符合裁判對其的創意性評分;也就是說,「視訊互動組」的決策準確度較「面對面互動組」高。可是,這樣的差距,在控制了每組所想出的點子數量後,就消失了。

以「實地實驗」驗證研究結果

上述的研究發現都是在實驗室情境下的結果,真實世界的互動也會有這樣的差異嗎?

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為了驗證這一點,研究團隊在芬蘭、匈牙利、以色列、葡萄牙、印度等五個國家,都進行了實地實驗(field experiments)[註六]。實驗最終邀請到 1490 位工程師,隨機分派成為兩兩一組,以 45 到 60 分鐘的時間討論出可以向公司提案的新點子,並在所有想到的點子中,選出一個他們自認最有創意的想法。

這些實地實驗的結果都驗證了一開始在實驗室的發現。在五個國家的研究數據均顯示面對面互動比視訊討論更有助於發想更多有創意的點子;而視訊討論則能提高決策準確度

實驗結果顯示面對面開會比較有助於創意發想。圖/Giphy

為什麼在面對面討論時,人們較能想到更多有創意的點子?

研究也針對這些現象的原因作出探討。首先,在實驗室進行實驗的過程中,「面對面互動組」和「視訊互動組」的受試者在腦力激盪時,手邊都有筆電或平板,提供他們紀錄或視訊。研究人員事先安裝了 OpenFace 眼動追蹤軟體在這些 3C 產品上,透過電腦或平板的前鏡頭,測量受試者的視線動態,目的是為了得知受試者在跟夥伴討論時,視線多常放在實驗夥伴、手邊作業和實驗室環境。

眼動追蹤的結果發現,「視訊互動組」的受試者在過程中,花更多時間注視螢幕上的實驗伙伴,而且比較不常環顧實驗室四周。至於視線關注手邊作業的時間,兩個組別間並沒有差異。事後的分析更發現,花越長時間環顧環境周遭的人,他們想到的點子越多!

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另一方面,為了再次確認受試者到底放多少注意力在四周環境上,研究人員在做實驗室佈置時,也特地放置了五個常見於心理學實驗室的物品(抽屜櫃、文件夾、紙箱、音響喇叭、鉛筆盒)和五個不常見於實驗室的物品(人體骨架海報、巨大盆栽、一籃檸檬、藍色的碗、瑜珈球的盒子),目的是,受試者做完腦力激盪之後,要他們畫出實驗室的擺設。結果顯示,能夠記得越多「不常見物品」的受試者,想到的創意點子就越多!

所以,我們該怎麼用注視時間和對環境的記憶,去解釋「面對面討論的人有更多創意想法」這件事?研究團隊認為,在視訊面談的情境中,我們的注意力會聚焦在螢幕上,同時也限縮了我們認知處理的廣度,阻礙「創意發想」這種需要發散性思考的活動。

視訊時,我們眼中、腦中幾乎就只有螢幕裡的東西,這對需要天馬行空的「創意發想」其實很不利。圖/Giphy

當然,疫情中,以視訊會議取代面對面接觸,主要是防疫考量。我們不得不以遠端的方式互動、開會。但如果未來疫情趨緩,我們有得選擇工作模式的時候,不妨優先把面對面開會的機會留給需要發揮創意的事情,或時不時提醒自己從電腦桌前站起來動動筋骨,幫大腦伸個懶腰!

註解與參考資料

  • 註一:雖然叫 Zoom fatigue,但不限於使用 Zoom 平台進行的視訊會議。
  • 註二:Riedl, R. (2021). On the stress potential of videoconferencing: definition and root causes of Zoom fatigue. Electronic Markets, 1-25.
  • 註三:Peper, E., Wilson, V., Martin, M., Rosegard, E., & Harvey, R. (2021). Avoid Zoom fatigue, be present and learn. NeuroRegulation, 8(1), 47-47.
  • 註四:Bailenson, J. N. (2021). Nonverbal Overload: A Theoretical Argument for the Causes of Zoom Fatigue. Technology, Mind, and Behavior, 2(1).
  • 註五:Brucks, M. S., & Levav, J. (2022). Virtual communication curbs creative idea generation. Nature, 1-5.
  • 註六:實地實驗(field experiments)是指在真實生活環境中,實驗者操控獨立變項,以測量其對依變項的因果關係。實地實驗雖然不能像實驗室實驗一樣嚴謹控制環境,但其研究發現的可類推性(generalizability)較高,也就是可以應用在現實生活的程度可能會較高。
Te-Yi Hsieh_96
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PhD in Neuroscience and Psychology/Social Robotics (University of Glasgow, 🇬🇧)。寫心理🧠、寫機器人🤖、寫跟你我生活有關的🙋‍♀️ 。 發表詳見 👉 https://hsadeline.wixsite.com/teyihsieh (Twitter: @TeYiHsieh)

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沒有「引力」,只有「時空扭曲」——《高手相對論》
遠流出版_96
・2022/04/30 ・2747字 ・閱讀時間約 5 分鐘

廣義相對論的基本

廣義相對論,簡單地說就是兩點。

  • 第一,一個有質量的物質,會彎曲它周圍的時空。這是「物質告訴時空如何彎曲」。
  • 第二,在不受外力的情況下,一個物體總是沿著時空中的測地線運動。這是「時空告訴物質如何運動」。

這裡根本沒有引力的事,根本不需要引力。

這個畫面是這樣的。你可以將時空想像成一張彈簧床,本來彈簧床是平的,往上面放幾顆球,彈簧床上有球的地方周圍就變成彎曲的了——這幾顆球,彎曲了各自周圍的時空。

地球為什麼繞著太陽轉?牛頓認為那是因為太陽對地球有引力。但是廣義相對論認為,地球根本不知道太陽在哪裡,只是太陽把時空彎曲得比較厲害,地球是根據自己所在時空的測地線運動而已。就好像彈簧床上的小球可以繞著大球滾動,而你知道大球並沒有吸引小球,那只是因為彈簧床上大球的周圍有凹陷。

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廣義相對論認為,地球根本不知道太陽在哪裡,只是太陽把時空彎曲得比較厲害,地球是根據自己所在時空的測地線運動而已。

同樣的時空,每個物體的速度不一樣,它們遵循的測地線也不一樣。有的物體會直接掉向太陽,有的會繞著太陽做橢圓運動,有的與太陽擦肩而過,這些都只不過是物體在沿著自己的測地線運動而已。

同一個時空不同的物體,測地線也不一樣。

當然,每個有質量的物體在彎曲時空當中運動的同時,也是在彎曲著自己周圍的時空,只是彎曲的程度不同。時空的形狀由這些物質共同決定,而所有物質都會沿著自己周圍時空的測地線運動。

用彈簧床打比方是不得已而為之,物質彎曲時空並不是如同小球在彈簧床上往下「壓」的結果,而是自然地彎曲周圍所有方向上的時空,所造成的結果。而且請注意,被彎曲的不僅僅是空間,還有時間,只是這部分,我們留到後面的章節再細說。

在這裡,我還要澄清一點。你也許會有這樣的疑問:既然高速運動物體的質量會增加,那多出來的質量是不是也會彎曲空間呢?答案是不會。廣義相對論裡說的「物質彎曲了空間」,可以理解成是物質的「靜止質量」在彎曲空間,靜止質量是所有座標系都同意的不變數。時空的內在幾何形狀是絕對的,但是時空在不同的座標系中被看成了不同的樣子。

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廣義相對論就是這麼簡單。

自然運動狀態

愛因斯坦再一次看破了紅塵。什麼是引力?可以說根本沒有引力,有的只是時空的彎曲。

或者也可以說,所謂引力,就是在大尺度下才能看出來的、時空的彎曲。鯨魚的身體是曲線型的,但是如果近距離看,它身上每個地方都近似一塊很平的小平面。局部的測地線就是很直很直的直線,這就是為什麼我們上一章說「局部沒有引力」。

如果近看鯨魚,會覺得只是一塊平面(?)圖/envato elements

講到這裡,我們要重新定義「自然運動狀態」這個概念。所謂自然運動,就是在沒有任何外力干擾的情況下,一個物體自由自在的狀態。

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亞里斯多德(Aristotle)認為自然的運動狀態是靜止。這符合我們的生活經驗——沒有外力干擾的東西好像都是靜止不動的。

後來,伽利略和牛頓說這不對,力並不是讓物體運動的原因,力其實是改變物體運動狀態的原因。一個物體在光滑的平面上滑動,如果沒有任何摩擦力干擾,它就會一直這樣運動下去。所以等速直線運動和靜止沒有差別,它們都是自然運動。

貓咪推了球之後,如果沒有任何摩擦力,球就會永無止盡的運動下去。圖/envato elements

而現在,愛因斯坦表示,一切沿著測地線的運動,都是自然運動。

可以想像太空中有一個周圍非常空曠、沒有任何星體的地方,這裡的時空是平直的,測地線是完美的直線,所以物體沿著測地線運動,正好就是等速直線運動。

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如果時空是彎曲的,太空人就會繞著地球轉,而失控的電梯就會直接掉下去,這兩個運動看似不同,但其實都是自由落體運動,它們謹守本分地沿著自己的測地線運動。所以它們雖然有加速度,仍然是自然運動。

自由落體運動、等速直線運動,以及靜止,它們沒有本質上的差別。你在一個封閉的實驗室裡不管做什麼實驗,都沒有辦法區分它們。愛因斯坦表示它們是同一回事,都是沿著測地線運動,都是自然運動。

反過來說,你站在地面不動,站一會兒就累了,這其實是一種不自然的運動。你本來想沿著測地線往下掉,可是地板阻止了你。想要體驗真正的自由,你應該做自由落體運動。

都怪地板阻止了我們自由落體!(⋯⋯?)圖/envato elements

為什麼引力質量正好等於慣性質量,為什麼一輕一重兩個鐵球會同時著地?現在,廣義相對論給這個巧合提供了一個解釋——因為只要質量沒有大到能與地球相提並論、足以顯著影響周圍時空的形狀的程度,測地線就只和物體的初始速度有關,與質量無關!

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回頭再看上一章中講的兩個想像實驗。不管你是在加速的火箭上,還是站在地面不動,都有一個外力在阻止你沿著測地線走,所以它們是一樣的。

無論是在地球附近自由落體,還是在太空中空曠、沒有任何星體的地方做等速直線運動,都是沿著該地測地線的自然運動,所以它們也是一樣的。

無論是在地球附近自由落體,還是在太空中空曠的地方做等速直線運動,都是沿著該地測地線的自然運動。圖/envato elements

只要你接受時空尺寸是相對的,你就能接受狹義相對論;只要你接受時空可以彎曲,你就能接受廣義相對論。接受了時空的這兩個性質,光速為什麼不變、慣性質量為什麼等於引力質量、引力到底是不是真實的存在⋯⋯這些問題就不用再糾結了。

所以,相對論是個簡單理論,它只是相當深刻;其實我覺得廣義相對論比狹義相對論還容易理解,它只是美麗非常。

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也許下次看見鯨魚的時候,你可以想起廣義相對論。

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遠流出版_96
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遠流出版公司成立於1975年,致力於台灣本土文化的紮根與出版的工作,向以專業的編輯團隊及嚴謹的製作態度著稱,曾獲日本出版之《台灣百科》評為「台灣最具影響力的民營出版社」。遠流以「建立沒有圍牆的學校」、滿足廣大讀者「一生的讀書計畫」自期,積極引進西方新知,開發作家資源,提供全方位、多元化的閱讀生活,矢志將遠流經營成一個「理想與勇氣的實踐之地」。

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在數學中尋找想像力的自由——《生而為人的13堂數學課》
臉譜出版_96
・2022/03/28 ・2312字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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  • 作者/ 蘇宇瑞 
  • 原文作者/ Francis Su
  • 譯者/ 畢馨云

存在於數學中的第四個自由,是想像的自由

如果探索是在尋找已經存在的東西,那麼想像就是在建構新的想法,或至少對你來說是新的想法。凡是在沙灘上堆過沙堡的孩子,都知道一桶沙子的無限潛力,同樣的,康托也曾說過:「數學的本質就在於它的自由。」[3](康托在19世紀後期做出開創性的研究成果,讓我們首度對無限的本質有了清楚的了解。)

他的意思是,數學不像科學,研究的主題未必和特定的實物有關,因此數學家在能夠研究的題材上,不像其他科學家那樣受限。數學探險家可以運用她的想像,砌出她心目中的任何一座數學城堡。

拓撲學帶領我們進入想像的空間

我的拓撲學課傳授了想像的實踐。正如前面提到的,拓撲學在研究幾何物件受到連續拉伸時會保持不變的性質。

如果我讓一個物件變形,且沒有引進或移走「洞」,那麼從拓撲學的角度,我並沒有改變它。因此,橄欖球和籃球在拓撲學上是相同的,因為其中一個形狀可以變形成另一個;另一方面,甜甜圈和橄欖球在拓撲學上就是不一樣的,因為你必須在橄欖球上戳一個洞,才可以把它變成甜甜圈。

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拓撲學是很有趣的主題,因為我們可以用奇奇怪怪的方式把東西切割開、黏起來或拉伸,來做出各種很妙的形狀。我們常想像在這些形狀裡面走動,所以稱它們為空間

拓撲學愛好者非常樂在想像他們自己的怪異空間,通常是為了回答某個奇特的問題,例如「是否存在具有這種或那種病態的物件?」。(對,我們在數學上會用到病態一詞,是在描述奇怪或異常的表現,就像在醫學中一樣。)然後會用腦袋聯想出一個例子。

舉例來說,有和田湖(Lakes of Wada):可在地圖上繪出,且邊界完全相同的三個相連區域(「湖」);位於其中一座湖的邊上的任何一點,一定會在所有三座湖的邊上。這個建構是以發明它們的數學家和田健雄(Takeo Wada)的名字命名的。還有夏威夷耳環(Hawaiian earring),這是個華麗的物件,上頭有無限多個逐次變小的環,全相切於一個點。[4]

這個碎形圖有三個區域(深色、中間色和淺色的「湖」),有相同的邊界,但與原始和田湖不同的是,圖中的每個湖都由不連通的水池組成。
圖/生而為人的13堂數學課
夏威夷耳環。圖/生而為人的13堂數學課

亞歷山大角球的病態空間

病態空間(pathological space)有個相當著名的例子(至少在數學家當中很有名),就是亞歷山大角球(Alexander horned sphere)。球是呈泡泡形狀的曲面,正圓球表面的空間具有「單連通」(simply connected)這個性質,意思大致上就是,如果你在球的表面拿著一條繩子,把兩端繫在一起,做成一個圈,那麼所繫成的圈不會卡在球上,永遠可以從球上移走,與球分離。(甜甜圈就截然不同了,它表面的空間不是單連通的:如果把繩子的一端穿過甜甜圈中心的洞,再把兩端繫在一起,你就無法讓繩圈脫離甜甜圈。)

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1924年,J. W. 亞歷山大(J. W. Alexander)在想像他的帶角球時,思考了一個問題:有沒有可能用某種奇特的變形方式,讓泡泡上的相異兩點永遠不會相碰,但泡泡表面的空間又不是單連通的?

起先亞歷山大認為,不管哪個變形泡泡的表面都一定是單連通的。[5]但後來他舉出了一個表面不是單連通的例子!他的假想結構可以描述如下(這不完全是他的結構,但在拓撲學上是相同的):取一個泡泡,擠出兩個「角」,接著再從每個角擠出一對捏起的手指,且讓這兩對捏起的手指幾乎相扣在一起。因為捏起的手指並沒有完全相碰,所以你可以在更小的尺度上重複這個步驟,從前面各組手指擠出一對細小的捏合手指,相扣但沒完全相碰。像這樣繼續做下去,做到極限,就會得到亞歷山大角球。

環繞在其中一個初始角底部的繩圈,無法從帶角球脫離,原因正是相扣手指鉗的極限過程。如果指鉗在某個階段結束,沒有做到極限,那麼繩圈就很容易脫落了。這種令人驚奇的結構,不僅需要靠想像力思考,還需運用想像力去驗證帶角球在極限時確實仍是一個球。

亞歷山大角球。圖/生而為人的13堂數學課

你可以想像把圖放大,去看接連各層級的捏角的碎形本質:在細節的每個層級,景象看起來都相同。

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想像力是我們的超能力

想像的自由為數學注入了夢幻般的特性。許個願,瞧!你的夢想成真了。

如果在每個階段我們都有機會運用想像力,數學學習的樂趣會多出多少?你不必從事高等數學,就能運用想像力。

在算術中,我們可以嘗試建構出帶有奇特性質的數;能被你出生年月日的所有數字整除的最小數字是多少?你能不能找出連續十個不是質數的數?

在幾何學中,我們可以設計出屬於自己的圖案,探究它們的幾何性質;你喜歡的圖案裡有哪些對稱性?

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在統計學中,我們可以考慮一個資料集,想出有創造力的視覺化方法;哪些方法的特點最好?

如果你是從枯燥的教科書上學數學,那就看看能不能把問題改造一下,以提升你的想像力,這麼做就是在讓你鍛鍊想像的自由。

摘自《生而為人的13堂數學課:透過數學的心智體驗與美德探索,讓你成為更好的人的練習》,2022 年 1 月,臉譜出版
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