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以為不可能的不會不可能!磨練你心中那把有關「機率」的尺──《是湊巧還是機率》導讀

臉譜出版_96
・2018/02/20 ・2650字 ・閱讀時間約 5 分鐘
  • 賴以威(台灣師範大學電機系助理教授/數學推廣平台「數感實驗室」共同創辦人)

機率,最活躍的數學知識

圖/@wikimedia

幾年前我開始嘗試寫數學科普文章,在累積幾篇作品之後便拿給友人看。
「是不錯啦…只是為什麼都是機率?」
「咦?真的嗎?」
我拿回來一看,明明選了各種不同的生活情境:樂透、巧遇、尾牙抽獎、拜拜,但還真的都跟機率有關。我沒有特別偏愛機率,相反地,我念高中時最討厭考機率,一不小心漏算一個狀況就整題錯。

但機率似乎是最活躍的數學知識,生活中無所不在。「機率」這個詞也早已走出數學課本(其實所有數學知識都不只存在於數學課本中),而成為許多人的日常詞彙。
「我覺得下雨機率應該不高。」
「不要再買樂透了啦,中頭彩機率太低了。」
「你覺得,他也喜歡我的機率是多少?」

當機率常被提到,有時候我反而不太知道該怎麼解釋機率。後來,我想到一個比較滿意的譬喻:

機率就像公尺之於長度,公升之於容量,可以看成一種用來量化「可能性」的單位
(但請注意,機率本身沒有單位,比方說你不會說「0.3 克的機率」)。

如果今天沒有公尺或公分,我們要描述一根木頭,只能說它「長」、「短」、「不長不短」,不精確的形容詞僅提供模糊的輪廓,必須要有長度單位,才能賦予它一個很精準的數字。

以為不可能的,不會不可能

同樣地,沒有機率量化的概念,我們只能覺得一件事「很有可能」、「不太可能」,有了機率後,我們才知道世界上幾乎所有事情都不是百分之百可能或不可能,以及很多時候,我們以為的不可能其實是可能。

沒有任何度量衡的話,要清楚描述一根木頭真的有難度啊。圖/sweetlouise@pixabay。

說說國小時跟父親玩 21 點的往事吧。某年過年在家族聚餐後,我們玩了一兩個小時的撲克牌,快結束前我一口氣壓了 100 元的賭注,結果輸掉了。在心疼之餘,我忽然想到如果這把加碼 200 元,只要贏了就能拿回 200-100=100,不就贏回來了嗎?

結果輸了,兩把合計輸 300 元。平常我一次下注頂多 20 元,這下你知道 300 元對當時的我來說是多麼大的金額了。不過我沒有太傷心,因為我知道下注 400 元,只要這次贏了,就可以扭轉局面。我從紅包裡掏出 400 元。

1 分鐘後掏出800元。再 1 分鐘後用顫抖的手將 100 元、500 元、1000 元各一張鈔票放在桌上。父親一臉不滿地看著我。
「你確定要賭這麼大?」
「發牌吧!」

現在想想,某種程度上父親見證了自己的兒子在賭場沉淪(他還是推手),也難怪會不開心。但當時我只覺得輸了這麼多把,這次總該贏了吧。後來還是輸了,而且印象中,我似乎又再賭了一兩把才放棄。

假如我連輸 6 把,每把輸贏的機率是 50%,我當天真的是非常不幸,1/64,將近 1.6% 的機率也碰上了。但如果就每一次評估是否該加碼下注,其實我每一次輸的機率依然是 50%,以為前幾次輸了,這次獲勝的機率就會提高,是錯誤的觀念。

高中學到機率獨立事件時,我很生氣,這麼重要的事情竟然等到高中才說!

早一點講不行嗎?厚~ via giphy

可是既然每次都獨立,長期下來應該是輸贏各一半,那我一開始又輸這麼多次,難道後面贏的機率不會提高嗎?

但換個角度來看,我還是無法完全理解。一直到前陣子我才知道,後面贏的機率不會提高,只是賭了 10000 局後,只要後面輸贏各 5000 局,前面這 6 局也只是讓輸贏變成了5006:5000,輸或贏的機率依然趨近於1/2。重點不是「後面贏的機率會提高」,而是「賭的局數夠多,會沖淡前面不平均的結果」。

用費米法分析經典機率案例

跟父親賭博是我自己親身經歷的機率故事,本書則記載了許多更經典的案例:

  1. 奧斯卡影帝安東尼.霍普金斯在電影試鏡後跑去找電影原著小說《鐵幕情天恨》(The Girl From Petrovka)來看,結果在地鐵長椅上發現剛好有一本,更巧的是,掉了這本書的人正是小說的原作者喬治.菲爾。
  2. 1929 年美國童書作家安‧派莉絲在巴黎塞納河畔的舊書攤上找到一本二手書,那是她小時候最喜歡的《傑克.佛 斯特和其他故事》(Jack Frost and Other Stories),她開心地用 1 法郎買下來,翻開扉頁,上面有小孩的筆跡寫著「科羅拉多州,科羅拉多泉,韋伯北街二○九號,安.派莉絲」。這恰恰是她小時候擁有的那本。

你會覺得這兩件事情都巧合到彷彿冥冥之中有一隻看不見的手在運作。

或許是,也或許不是。

比起僅僅是驚呼太不可思議,身為數學家的作者用費米法(Fermi estimate)和其他機率方式去估測各項經典事件的機率。我就不在此劇透各位了,不過你可以猜到,結果比想像中還要「更有可能發生」。

這也是機率有趣的地方:我們的直覺常常出錯。往往一件事情真實的可能性跟我們直覺感受的不一樣。

我想這是因為我們活在一個既定的世界。

好比說擲骰子吧,儘管你知道每一面出現的機率是 1/6,但每次我們都只能看到擲出來的單次結果,必須得擲很多很多次,才能讓機率透過統計浮現。骰子可以擲很多次,但人生很多場景只能體驗一次。

因為沒辦法重複觀測,很多時候甚至不能對答案,我們沒有機會訓練直覺。

不過,如同閱讀小說可以讓我們體驗很多不同的人生,閱讀這本《是湊巧還是機率?》可以讓我們體驗許多不同機率事件。作者還很體貼地幫我算出每一則事件的真實機率。於是你可以藉此鍛鍊你心裡的那把尺,在下次預估機率時,估得更精準一點。

最後問一個前陣子我去演講時被問到的機率問題:和好朋友愛上同一個女孩的機率,與兩個陌生人愛上同一個女孩的機率,哪一個比較高?

如果你有想法的話,歡迎到「數感實驗室」粉絲頁告訴我們。

 

 

本文摘自是湊巧還是機率?》導讀,原文標題《磨練你心中的那把尺》臉譜出版。

 

文章難易度
臉譜出版_96
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臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

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恐龍稱霸地球的秘訣,竟是牙齒自帶避震器?——《追光之旅:你所不知道的同步輻射》

天下文化_96
・2021/09/12 ・1747字 ・閱讀時間約 3 分鐘

《侏羅紀公園》系列電影掀起大家對恐龍的好奇,但其實科學家早就在研究遠古時代的各種生物。以恐龍為例,平均每星期會發現一種新種恐龍,每年大約會發現五十種新種恐龍。而在探討物種起源及鑑定遠古生物領域,同步輻射分析技術也展現了它的獨特價值。

例如,南非威特沃特斯蘭德大學(University of the Witwatersrand)領導的國際科學家團隊,針對一些世界上最古老的恐龍蛋胚胎頭骨,進行 3D 複製重建,發現牠們的頭骨生長順序與當今的鱷魚、雞、烏龜和蜥蜴相同,研究成果發表在《科學報導》(Scientific Reports)上。

美國自然歷史博物館收藏的恐龍蛋化石,內部留有胚胎構造。圖/WIKIPEDIA

在台灣,由加拿大多倫多大學教授賴茲(Robert Reisz)與台灣學者組成國際團隊,花費兩年時間,運用超高解析二維紅外光譜顯微術,在活躍於一億九千五百萬年前的雲南祿豐龍胚胎股骨化石中,發現殘留有機物,找到古化石內保存複雜有機物的最古老紀錄。這個破天荒的發現在 2013 年登上了《自然》(Nature)雜誌封面。

此外,在祿豐龍肋骨化石的微血管通道中,國輻中心研究員李耀昌也發現全球最古老且保存完整的膠原蛋白與赤鐵礦微粒聚晶。

「即使經過億萬年時空轉換,恐龍的軟組織經血液中鐵的氧化及碳酸鈣化包覆作用後,還是有機會被保存下來,」李耀昌表示,這將有助科學家進一步了解恐龍的生理機能與遺傳密碼。

李耀昌團隊將成果發表於《自然通訊》(Nature Communications)期刊,並獲選為《發現》(Discover)雜誌「 2017 年全球百大發現」第十二名,是近年來台灣學者主導的研究成果首度登上《發現》雜誌全球百大發現。

英國 Dinosaurland 化石博物館的鐮刀龍巢與蛋化石。圖/WIKIPEDIA

發現牙齒裡的避震器

恐龍胚胎裡有膠原蛋白,恐龍的嘴巴裡則是自帶「避震器」。

國輻中心團隊與台灣博物館、台灣石尚博物館、中國大陸北京自然博物館、加拿大安大略皇家博物館,以及中國大陸地質科學院地質研究所合作,蒐集十五種肉食性與植食性恐龍牙齒,利用同步輻射穿透式 X 光顯微術與現代的眼鏡凱門鱷牙齒進行研究比對,首度發現肉食恐龍牙齒具有避震結構。

在肉食性恐龍牙齒的琺瑯質與象牙質中間,存在一層相對柔軟且布滿微細孔洞的被覆牙本質層,可以保護牙齒,避免因撕裂骨肉造成牙齒瞬間斷裂。這項研究結果修正了過去對於原始爬蟲類牙齒結構的認知,因此登上國際知名期刊《科學報導》(Scientific Reports)與各大媒體。為了蒐集恐龍牙齒進行研究比對,國輻中心研究員王俊杰透露了一段小故事。

「當時我到桃園興仁花園夜市拜訪鱷魚攤,沒想到使用斜口鉗幫鱷魚拔牙時,斜口鉗當場應聲斷裂,只好再買一把硬度更高的老虎鉗,費了好大一番功夫才順利拔下鱷魚牙齒。」

透過同步輻射 X 光顯微鏡發現暴龍牙齒藏有「避震器」,保護牙齒不致斷裂。1:X光下的暴龍牙齒構造。2:暴龍牙齒外觀。 3:無避震結構的牙齒內部應力分布。4:有避震結構的牙齒內部應力分布。圖/王俊杰提供

牙齒的特殊結構,使得肉食恐龍成為頂尖獵食者,稱霸地表一億六千五百萬年。相較於人類咬合力約為 40 公斤、眼鏡凱門鱷咬合力約 1,000 公斤,以及咬合力可達 2,000 公斤、目前世上咬合力最大的動物—— 灣鱷,「暴龍的咬合力約 6,000 公斤,且拖行的獵物體重可能超過 1 公噸,但靠著微小的避震結構設計,便不致因巨大應力而造成牙齒斷裂,」王俊杰說。

遠古生物的活動型態一直是科學家亟欲解開的謎題,透過同步光源高解析度檢測技術,可以幫助我們了解古生物化石組織結構的細微差異,提供了一種嶄新的古生物分類與古生態研究檢測方法,而藉由恐龍胚胎化石中探測到的有機質殘留物,未來將可逐步解開更多遠古生物的奧祕。

——本文摘自《追光之旅:你所不知道的同步輻射》,2021 年 8 月,天下文化

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。
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