星系考古學—龍之碰撞

這兩年全世界都被 COVID-19（特殊嚴重傳染性肺炎、新冠肺炎、武漢肺炎）疫情搞得雞飛狗跳。除了疫苗之外，「口罩、洗手、社交距離」堪稱「物理防疫三神器」。我們剛度過了第二個疫情下的中秋假期，看到各大交通轉運樞紐人山人海的群聚，不禁讓人擔心，擠成這副德性，樣怎麼保持社交距離啊？

最近頒發的 2021 年「第 31 次的第一屆」搞笑諾貝爾物理獎，也跟「社交距離」有關：在行人十分擁擠的通道上，大家如何互相閃躲以避免相撞，並且順利通行？

疫情前，大家在生活中碰到這種情境的經驗應該很頻繁，反正就順著人流走，有人擠過來過互相閃一下（然後心裡暗譙一下…有時候啦），經過一個不怎麼舒服的過程後，通常能順利通過。

但是這種在生活中看起來簡單的過程，有沒有辦法以物理學來理解呢？

物理學的主流是「化約主義」：希望用最簡單的理論來解釋各種現象。例如古典物理中用一個牛頓第二定律「F = ma」來解釋物體如何運動，用馬克斯威爾的四條方程式解釋一切電、磁與光的現象。物理學家的終極目標就是找出可以用一條方程式理解整個宇宙的過去、現在與未來的「萬物理論（The Theory of everything）」，所謂的萬物，當然是包含「人類行為」在內囉！

但是其他領域的學者可不吃這一套！比如說「人類的社會行為」，牽涉到神經科學、心理學、社會學等領域，每個領域都十分複雜，怎麼可能用物理學的化約主義來研究呢？

物理學家才不管這些，先做了再說！荷蘭 Eindhoven 科技大學、加州州立大學長灘分校以及義大利 Vergata 大學組成的研究團隊，探討了「擁擠的車站內通道的行人動力學」。其中加州州立大學的成員，是來自台灣的女科學家 Chung-min Lee 教授。

遊戲機變成高效的姿態感測器！

研究者將四部微軟電視遊樂器 X-BOX 用來捕捉玩家身體姿態動作的影像捕捉週邊設備「Kinect」裝設在 Eindhoven 火車站的通道上方，用以記錄通過這個通道的人群動態。這條通道一頭是市中心，另一頭則是巴士總站。

利用這四部 Kinect 拍攝到的行人影像，搭配影像辨識以及追跡演算法，可以同時標定每個進入畫面的行人，並且一路追蹤其軌跡直到離開畫面為止。整套系統從 2014 年 10 月到 2015 年 3 月，不間斷的記錄了六個月的時間，一共得到大約 500 萬人次的行人軌跡。

數據太複雜？別擔心，物理學家最擅長「化約」了

這些紀錄是貨真價實的複雜人類行為：有的是勇往直前一直線，有些左右搖擺，有些因為某些原因走到一半掉頭，也有真的就跟別人撞成一團的…物理學家如何發揮「化約主義」本色，將這些複雜的行為化簡成可以分析的數學形式呢？

研究團隊採取的方法是用將這長達六個月，累計數百萬行人來來去去的影片轉換成一個由一組「節點」（node）以及節點與節點之間的連線（edge）所組成的「圖」（graph）。

圖中每個節點都代表一個行人以及通過通道時的相關資訊，如行徑方向與軌跡長度。如果兩個行人（節點）在同一時間出現在同一畫面中，則這兩個節點就用線連起來，這條線的資訊包含它連結了哪兩個節點、兩節點間最大與最小的距離、同時在畫面上的時間等等。

假設一個情境如下（請拿出您的耐性，搭配圖二 (a) 看）：天剛亮時第 ① 個行人被攝影機捕捉到，接著第 ② 個行人跟在①後面進來，① 離開畫面後，③ 跟 ④ 分別從兩側走進來，在 ② 跟 ③ 離開畫面後，一班火車進站 ⑤⑥⑦ 先後進入畫面，然後人都離開了，中間的空檔只有 ⑧ 獨自通過，接著又有一班火車進來，⑨～⑫ 一起入鏡，最後一個離開鏡頭的 ⑫ 出鏡前瞬間 ⑬ 進來了，⑫ 離開後，⑭⑮ 進入，接著 ⑬⑭⑮ 先後出鏡，然後 ⑯ 獨自通過。

看起來有點煩，對不對？

不過轉換成圖二 (a) 的表示法，是不是就一目了然了呢？這就是「化約」的威力。即使如此，六個月累積下來的圖，上面會有 500 多萬個節點，節點間的連線數目可能上千萬，還是非常複雜。不過我們可以把這一大張圖拆成幾個「子圖」（subgraph）：每個子圖包含的節點可以靠彼此的連結連成一片，不同子圖之間則完全沒有連線。

以圖二 (a) 為例，可以分成四個子圖：一、節點 ①～⑦；二、節點 ⑧；三、節點 ⑨～⑮；四、節點 ⑯。只有子圖內部的節點可能彼此有交互作用。

但是即使把整張幾百萬個節點的超大圖拆成許多節點數較少的子圖，可能還是很難分析，像圖二 (a) 的「子圖一」包含了七個節點，要分析這七個行人怎麼互動，怎麼彼此調整行進的路線，還是太複雜了。考慮實際狀況，可以再進一步簡化：

兩個人即使同時出現在畫面中，如果距離很遠或接觸時間很短，幾乎不可能影響彼此，就把這兩人之間的連線拿掉，比如前面的例子「⑫ 出鏡前瞬間 ⑬ 進來了」的情形，就可以拿掉連線。如圖二 (b) 所示，這種太弱的連線（以虛線表示）拿掉後，會把圖形分成更多、更小的子圖。以圖二 (b) 來說，變成 8 個子圖，其中最大的也只有四個節點。

接下來，這篇論文只探討最簡單的兩種子圖：只有一個節點的，如圖二 (b) 中的 ⑧、⑬、⑯，以及兩個節點的 ①②、③④、以及 ⑭⑮，如圖二 (c)～(e)。其中 ①② 為同方向，不需要迴避相撞，所以也把這條連結拿掉，就變成各自落單的單一節點子圖了。

實際上「單節點子圖」一共有 47122 個，「雙節點子圖」一共有 9089 個。

A 編按：圖2 (a) 上「節點上的數字」代表「進入鏡頭的順序」，「節點間的連線」代表「兩人是否同時出現在同一畫面」，透過這種方式組成的圖 2 (a)，可以明確區分出那些序列是有可能相撞的。

接著再細部分析每個連線，如果距離太遠或接觸時間太短，就不可能產生碰撞或閃避行為，將符合此條件的連線設為「虛線」，形成圖 2 (b)。

最後考慮圖 2 (b) 內，每個有實線連結的節點行徑方向，如果是兩節點的行徑方向相同，就不會發生碰撞或閃避行為，可以排除不用分析，得到圖 2 (e) 的圖。

雖然我們物理學家經常吹噓物理很厲害，不過事實上我們能夠解出精確答案的力學問題，只有「一個粒子的運動」跟「兩個彼此交互作用的粒子的運動」而已，碰到「三個彼此交互作用的粒子的運動」就沒輒了，只能有近似解或是用數值模擬，所以才會有像「三體」這種科幻作品的出現啊！

三個、四個、五個…粒子的問題物理學家不會算，但是當粒子數目成千上萬或更多時，「熱力學」就登場了，物理學可以回答「很多粒子的平均行為」，並且拿來解釋熱、溫度與壓力等現象。

回歸正題，人類行為顯然比質點複雜太多，所以先從「一個人」跟「互相作用的兩個人」的行為模式著手，以此為基礎來探討「很多人的集體行為」，是相當合理的策略。

行人的軌跡其實不是直線，曲折的像是水裡的灰塵

先從最簡單的「一個人的動力學」開始，在沒有其他人的影響下，行人的軌跡大多會呈現頻率約 1 Hz（每秒一次）的小幅度「抖動」，這個很容易理解，因為這大約是人類的步伐頻率；除此之外，少數軌跡也會有比較大的晃動，甚至轉頭往回走的情形。研究團隊發現，這個行為模式跟「布朗運動」——把花粉、灰塵這些細小的物體放在水中，會被亂跑的水分子撞來撞去也跟著亂跑——類似。

既然如此，就用解釋布朗運動的「朗之萬」方程式（Langevin equation，對，就是那位跟偉大的瑪麗‧居禮傳出緋聞的朗之萬）試試看吧！

所謂的朗之萬方程式其實也很簡單，就是在物體「本來的運動傾向」之外，加上「流體的阻力」，以及「隨機的力量」。

什麼是這些行人「本來的運動傾向」呢？因為這是一條連通兩端的通道，不管是為了節省力氣或趕時間，絕大部分的人都是沿著平行通道的方向從一端以最短距離走向另一端，而不會斜著走；其次是多數人用正常速度走，但也有相當比例的人因為趕時間是快走或小跑步，其平均速率分別為每秒 1.29 與 2.70 公尺（換算成時速是 4.64 與 9.72 公里）；最後就是兩個方向都有人走。以上這些「運動的傾向」，可以寫成牛頓第二運動定律的方程式。

接著是「流體的阻力」，當行人開始偏離原來的行進路線時，會受到一個與垂直原方向的速率成正比的阻力，要將這個人「推」回原來的路線。

各位在像台北車站這類擁擠的走道上時可能有注意到：雙向行人會構成「層流」的結構，走同一個方向的人自動排起來列隊前進，這是阻力較小，也會比較省力的走路方式，偏離你所在的隊伍，就可能跟隔壁的隊伍發生摩擦甚至碰撞而難以通行，所以除非有強大的改變路徑的原因，不然我們自然就會回到原來的路徑上。

最後就是「隨機的力量」，我們周圍的其他行人隨時都有狀況，停下來拿東西的、路線突然歪掉的、腳扭了一下、忘記東西回頭的……我們必須眼觀四面，耳聽八方，隨時對這些狀況做出反應，以避免可能的衝撞，同時也造成路徑的改變。

寫下了運動方程式後，就可以在電腦裡面進行模擬，然後來跟攝影機拍到的行人真正的行為比較。結果出來了，人類的行為，可能沒有比空中的灰塵，水中的花粉更高明……

圖三為「一開始朝著巴士站方向走」的那些「單一節點」（沒有受到旁人影響）的運動狀況統計，紅點是攝影機拍到的真實行為，黑色圈圈是朗之萬方程式模擬的結果。

圖三 (a) 為平行通道方向的速率分布（本來的運動傾向），可以發現真實行為與模擬結果相當吻合！最多人是用秒速 1.29 公尺前進，有少數人是用跑的，所以在超過秒速兩公尺處也有一個小高峰，還有極少數的人會往回走（速率是負的），唯一沒抓到的特徵是在速率為零（停止）的附近。因為行人偶爾會因為種種原因而在路上停下來一段時間，但是布朗運動中的微小粒子只有在轉向的瞬間才會測得速率為零。

圖三 (b) 為垂直於行進方向的速率（流體的阻力），圖三 (c) 為偏離原來行進路線的距離（隨機的力量），兩者也都相當吻合。

結論是：如果行人的密度相當稀疏，不需要互相閃避時，行人的行為基本上跟水中的花粉進行的布朗運動很類似，可以用朗之萬方程式模擬出來。

接下來，就是考慮「兩個人互相靠近，需要互相迴避，但附近沒有其他人攪局」，也就是如圖四的狀況。

圖四中互相靠近的兩人，原本的預定路徑，也就是兩條灰色實線的距離太近，如果堅持往前走就會撞在一起，所以靠近到某一個距離就會開始調整方向，把路徑距離拉開避免碰撞（現實中還會有兩個人很有默契的往同一邊閃、再同時換邊、再同時換邊……一直閃不開的爆笑場景，這篇論文中倒是沒有討論），然後再互相遠離。

由於真實的路徑歪七扭八，加上每個人開始轉彎的時機也不盡相同，所以我們再度發揮「化約主義」的精神，把圖四簡化成圖五。

我們採用直角座標系，把通道方向（也是人流移動的分向）定義為 X 方向，垂直 X 的為 Y 方向，當大家都沿著 X 方向移動時，「會不會碰撞」是由 Y 方向的距離所決定。當兩人進入畫面時，兩條路徑的距離為 Δy_i，兩人擦身而過時的距離為 Δy_s，遠離後的路徑距離為 Δy_e。

在物理模型方面，得在「一個人的朗之萬模型」裡面加上「兩個人的交互作用力」，這個力分為兩部分：

1. 「遠遠看到前方有人走過來該準備閃了」的「長程力」
2. 「靠快撞到了趕快閃」的「短程力」

兩者都可以用數學函數寫出來加進方程式，成為「兩個人的朗之萬模型」。

研究團隊量了所有「雙節點子圖」的 Δy_i，Δy_s，Δy_ie；同時也以「兩個人的朗之萬模型」在電腦上模擬了行人的行為並且量測了這三個數值，然後畫了 e(Δy_s) 對 Δy_i 的關係圖，其中 e(Δy_s) 為對應於同一個 Δy_i 的所有 Δy_s 的平均值；以及 e(Δy_e) 對 Δy_s 的關係圖，分別為圖六 (a) 與 (b)。

再一次，真實世界的行人行為（紅點）與電腦模擬（虛線）相當吻合。此外，這個模型連「發生相撞」的頻率都可以預測得很準。難道人類行為真的跟隨波逐流的布朗運動一樣？！

每個人都有 AT 力場，半徑 1.4 公尺

值得注意的是，當 Δy_i 較小時，互相走近的兩人會開始調整方向，把距離拉開，讓兩人擦身而過時，不至於撞到（Δy > 0.6m）。有趣的是，這個現象從 Δy_i < 1.4m 就開始發生，在 0.6m~1.4m 這個範圍內，即使不改變方向，也不會撞到，但是這個距離已經夠近，讓人感到「個人領域受到侵犯」的威脅，而開始迴避對方，把距離拉開。

也就是說，在擁擠的通道中，「讓人安心的社交距離」是 1.4 公尺（我是很想把它叫做「AT-Field 絕對領域」啦…），我們不太想讓陌生人靠近到這個距離以內。要提醒各位的是，這是「一大堆人的行為」的平均值，並不是每個人都是同一個數值。

雖然說得到的是「搞笑諾貝爾獎」，不過這個研究過程可是很嚴謹的，一點也不搞笑。這個研究也說明了，個人的想法跟行為很複雜，人與人之間的互動很複雜，但是一大堆人的行為平均起來，可能會呈現簡單的模式，可以用物理學的「化約主義」方法，來理解「人類群體的行為」。

當然這還是相當初步的研究，而車站裡移動的人潮，也不過是人類的社會行為中一個非常簡單的現象，所以想用物理學的方法論，來研究社會科學，還有很長的路要走（而且社會科學家可能也會不高興）。

但是在物聯網越來越盛行的今日，各式各樣的人類活動被轉換成大量的資料累積下來，可以預見研究人類行為的方式會越來越多樣化。到最後會不會出現像艾希莫夫的科幻經典「基地系列」中，可以預知人類未來命運，並且扭轉其方向的「心理歷史學」呢？讓我們繼續看下去——

※ 更多搞笑諾貝爾的相關介紹，請到泛科專題【不認真就輸了！搞笑諾貝爾獎】

1. Alessandro Corbetta, Jasper A. Meeusen, Chung-min Lee, Roberto Benzi, and Federico Toschi, Physics-based modeling and data representation of pairwise interactions among pedestrians, Phys. Rev. E 98, 062310 (2018).

NGC 5907是個位在天龍座方向的螺旋星系，星系的銀暈中有由恆星組成的巨大環圈構造。經由中國科學院及巴黎天文臺的科學家王建嶺（Jianling Wang）等人的研究，利用電腦模擬20,000～600萬個氣體質點的流體力學的成果，認為這個巨大的恆星環構造可能是80~90億年前一場龐大的星系碰撞事件造成的。

質量相當的星系碰撞事件可能會影響星系的形狀，而且或許半數左右的螺旋星系都是在過去90億年間，經由這種碰撞方式形成的。NGC 5907應該也曾經歷過這樣的星系碰撞事件，但是由於這個星系幾乎沒有銀核（bulge）凸起的部分，與一般經由碰撞合併而形成的典型螺旋星系型態不同。

事實上，經過深度觀測後的NGC 5907，它的銀暈中居然含有一個非常巨大的環狀結構，而後發現這個環狀結構由恆星流所組成，整道恆星流的長度長達150,000光年。先前其他研究認為這個環狀結構應該是大型星系捕捉併吞一個小型衛星星系後，整個衛星星系被分解剝離之後的結果。

王建嶺等人則假設這個環狀結構是質量相當的星系在約80~90億年前發生碰撞之後的遺跡，之後利用巴黎天文臺中的32核心和196核心電腦，以及北京國家天文臺（NAOC）中680核心超級電腦，進行每秒50兆次的數值模擬運算，驗證這個假設的正確性。模擬結果顯示：若衛星星系質量小於1/12倍主星系質量，那麼就不可能形成這樣的結構。此外。NGC 5907和環狀結構的前身星系都含有非常豐富的氣體，至少佔了60%以上。

不過，王建嶺等人自己也指出：他們並不十分確定這個模擬結果是對的，因為這個模擬預測除了已觀測到的恆星環之外，應該還會產生另一個更大、更暗的環狀構造。這點就有待未來繼續做深度觀測，看看是否可觀測到這個預測中的更大但更暗的環狀構造，便知他們的模擬工作是否成功。

資料來源:Archaeology of galaxiesThe Dragon clash[2012.02.16]

轉載自台北天文館之網路天文館網站

編按：本文摘自《關於夜空的 362 個問題》，蒐集了英國最長壽科普節目《仰望星空》的觀眾提問。所有你對太空宇宙會有的疑問，都將在本書中為你解答。本節討論的是「多重宇宙與額外維度」。

大爆炸有沒有可能在不同的地方發生過？

大爆炸可能曾在別處發生過，有些科學家會說可能性很高。有些高度懷疑論的理論認為，以大爆炸的本質來說，這應該曾經發生過很多次，甚至可能是無數次。有很多宇宙的這個概念稱為「多重宇宙」，其他這些擴張中的宇宙可能和我們的宇宙很不一樣，有著不一樣的物理法則。也許我們的宇宙是唯一一個條件足以讓原子──更別說恆星、行星、生命──得以形成的宇宙。

想像一個二維平面的宇宙，大約就像一張紙那樣，此時如果有另外一個平行的二維宇宙存在它的上方或下方有點距離的位置，那麼在第一張紙上的人，永遠不可能知道還有第二張紙存在。在真實的三維宇宙裡，另外一個宇宙不會存在於傳統觀念的「上面」，而是可能存在於某段距離之外的第四個空間維度。

就算我們的宇宙一直以三維在擴張，也永遠不會碰到另外一個宇宙，就像兩張紙可以一直變大，但永遠也不會碰到彼此。

如果真的有另外一個宇宙，我們對於宇宙末日的預測會有什麼改變？會不會因為其他的宇宙可能會和我們的宇宙「相撞」，而有不同結果？

這要看是什麼樣的相撞。如果其他的宇宙和我們居住的宇宙一樣，以三維的方式擴張，那麼兩者可能會以「傳統」的方式相撞。這麼接近我們的一個宇宙所帶來的影響，也許可以從它對我們所能見到的最遙遠的天體的影響來判斷，不過目前還沒有看過這樣的跡象。

這暗示那個宇宙整體的特質，可能和我們所能見到的區域的特質不一樣，而這些特質是會影響宇宙的最終命運的。

另外一個宇宙可能是在第四維的空間中和我們分開，這是個滿難想像的概念。這相當於兩張平行攤開的紙，只是兩者間的距離很小。霍金在更高維度空間的理論提到，三維的宇宙是「膜」（branes，我相信是從薄膜［membrane〕這個字而來的）。有一個理論是這些「膜世界」間的撞擊造成了大爆炸，不過目前還沒有辦法能證明或是推翻這個理論。

在量子宇宙學的多重宇宙解釋裡，有多少宇宙裡會是青少女偶像明星麥莉擔任美國總統？

關於宇宙的解釋裡，有一個可能是我們只是住在其中一個宇宙而已。事實上，的確有可能有數不清的宇宙。在數不清的宇宙裡，隨時隨地都會有各種可能的組合發生。也許在某些宇宙裡，莎士比亞的所有作品都是猴子在打字機上隨便打字而完成的；也許在其他的宇宙裡，麥莉真的就是美國總統。這些事發生的可能性高低，會影響它們發生的次數有多少，不過還是有可能發生過無數次──就算是無數次的一小部分也還是無數次！這是不是很可怕的想法？

你覺得除了大爆炸之外，關於宇宙的起源有沒有其他的科學解釋？

我認為大爆炸理論有非常穩固的科學證據為基礎，不會被推翻。然而，我們的宇宙學模型還是有其他部分的基礎沒那麼穩。比方說暗物質就還沒有真的被找出來（不過在這本書裡這樣寫有點大膽，因為在準備出版的這段時間裡，這方面的積極尋找似乎愈來愈接近成果）。因為沒有觀測結果能證明它存在，所以也很難認為這個理論可以被證實，不過和其他相關的理論相比，關於暗物質存在的證據當然還是比較多。

暗能量很有可能會成為科學進展的犧牲品。我之所以會這樣評估，主要是因為我們只能說，我們認為有某個東西造成了影響，但我們不知道那是什麼東西。

很重要的一點是，科學界不會躲到角落，對其他的可能視而不見。在過去數百年裡，某些科學進展上產生重大的延誤，都是因為有些人拒絕接受新想法。就像商業界一樣，競爭會帶來很多好處。科學家用不同的方式來詮釋結果，因此會支持相反理論的意見，通常也會支持新的實驗。最重要的關鍵是，不能被個人的感受所影響。只是因為你比較喜歡這個理論，或者因為這樣可以讓事情比較簡單，就相信某些事情是真的，不是從事科學研究的適當態度。

——本文摘自《關於夜空的 362 個問題：從天文觀測、太陽系的組成到宇宙的奧祕，了解天文學的入門書》，2019 年 4 月，貓頭鷹出版。

作者／蔡孟利（宜蘭大學生物機電工程學系，《科學月刊》總編輯）

「細胞很小」是我們對於這個構成生命體的基本單位之第一印象。細胞有多小？如果先屏除掉一些特例，像是直徑可達公分等級的蛋黃，或是長度可達十公分以上的神經細胞或肌肉細胞，普通細胞的大小只相當於直徑在 1~100 μm之間的球體而已。

為什麼會這麼小？

這或許可以從「小」所造成的高效率來思考。例如，細菌是單細胞生物，因為只有一個細胞，所以能應付環境劇烈變化的招數不多。這裡所謂的「劇烈變化」不一定是那種忽然的狂風暴雨或海嘯，或許只是午後陣雨的首顆雨滴掉落在豔陽曝曬了一個上午之後的柏油路面上，讓一隻被雨打到的細菌周圍之環境溫度從攝氏 70 度瞬間驟降到 40 度，短時間內就讓這隻細菌經歷了 30 度的溫差變化。因為這種忽然降臨的危機隨時都有可能快速出現，所以細菌要時時維持住龐大的個體數目，這是延續種族生存的重要手段。所以，生得快，當然是必須的要求。而一隻細菌，例如大腸桿菌，要完成生殖的整個過程需要多少時間？在環境條件還不錯的情況下，大約 20 分鐘左右就能完成一次分裂生殖。乍看之下，20 分鐘並不算是多快的時間，但如果我們仔細考慮一下細節，大腸桿菌的基因組約有 460 萬個鹼基對，也就是說，在 20 分鐘的時間內，大腸桿菌必須要將 460 萬個鹼基對全部複製過一遍，算起來，每個新鹼基對的合成只需要約 0.00026 秒的時間。這樣的速度，感覺起來應該夠快了吧！

但是在這個過程裡面，細胞內所發生的化學及物理事件必須比 0.00026 秒快上很多才能產出這麼快速的結果。這裡所說的化學事件，包括了能量供給與消耗的反應、多種酶的活化與去活化等等；物理事件主要是分子的移動，像是因濃度差異所驅動的擴散作用。

為什麼能這麼快？

化學反應的碰撞理論告訴我們說，一個化學反應能否進行的首要條件是反應物的各粒子間必須要能相互碰撞到，但是如此還不能夠保證反應一定會發生，它必須要是「有效」的碰撞才行。有效的碰撞可以從兩個方面來考慮，一個是碰撞當下的那些反應物粒子有足夠動能，使得碰撞時的能量足以超過反應發生所需要的活化能；另一個關鍵則是，這些粒子碰撞到的方位必須夠正確，才足以完成反應。特別是生物體中的那些巨分子在進行反應時，通常只有其整體結構中的某些組成原子才是產生新鍵結的地方，如果在細胞中參與反應的分子間所碰撞到的不是這些地方，而只是碰撞到巨分子的其他角落時，那麼即便碰撞時候的動能夠大，也不會促使反應發生。

由於分子的平均動能和絕對溫度成正比。先不考慮嚴寒的日子，如果只是在攝氏 30~35 度之間變動的溫度，細胞內一般的分子就可擁有夠用的動能，而碰撞時有機會超越活化能的分子組合數目也就不虞匱乏。因此，在正常溫度下，只要有個方法能夠提高反應物分子間隨機碰撞到的頻率，那麼碰撞到正確方位的可能性也就會越高，結果就可以讓反應的速率愈快。

如何增加反應頻率？

在一根試管內，如果要增加反應物分子之間碰撞到的頻率，最直接的方式應該是增加這根試管內的各種反應物分子之數量，使得在此試管內的反應物分子顆粒數增多，這樣，反應物分子彼此能夠碰撞到的機會也就會增加，如此一來，有效碰撞的頻率增高而反應速這種縮小體積的概念，還可以用來解釋真核細胞內的有膜胞器之存在理由。真核細胞的體積一般遠比原核細胞還要大，常常可達原核細胞的一千倍以上。雖然真核細胞的體積比原核細胞大很多，但是在「快」這件事情上卻沒有比較遜色。主要原因就在於真核細胞內的有膜胞器形塑了各種很小的空間，這些小空間不只區隔了化學反應的種類，也縮小了反應物分子所處環境的體積，讓反應物仍然維持了夠高的濃度，所以還是促成了這些小空間內的化學反應能夠快速的進行，維持了整體細胞對於速度的需求。

細胞小的額外優勢？

小，還有另外一個效率上的優勢。細胞內一般物質運輸的方式是擴散，那是由粒子的熱運動所產生的遷移現象。在擴散過程中，粒子間彼此隨機碰撞並不斷的移動，每個瞬時的遷移方向不是單一性的，但是因為濃度高的區域向濃度低的區城所遷移的粒子數多於反率也就會愈快。但是，如果反應物分子的數量就只有這麼多，已經無法再增加了的話呢？那就換支體積較小的試管吧！如此一來，單位體積內的反應物分子顆粒數還是增多了，同樣的增加有效碰撞的效果還是會發生。單位體積內的反應物分子顆粒數就是濃度，就是我們一般觀念中，增加反應物的濃度可以增加反應速率之基本概念。

對一個細胞來說，靠著增加細胞內反應物分子的數量（增加濃度）來增快反應速率並不是理想的方法，因為這意味著需要消耗更多的能量以獲取更多的反應物；而更多反應物的加入也會導致更多數量的產物之產出。一旦產出的產物超過細胞所需要的數量，細胞就得再消耗額外的能量來移除這些過量的產物。從這個角度思考，同樣是增加反應物的濃度，利用縮小細胞體積的方式來達到增大濃度的目標，應該會比增加反應物分子的數量來得適當。

向所遷移的，最後會使得粒子在整體區域中呈現均勻分佈。粒子擴散所需要的時間會與擴散距離的平方成正比，如果細胞以球體來考慮，當半徑變大為原來的 5 倍時，那麼從細胞中心擴散到細胞膜所需要的時間將增加為 25 倍，這就大大的增加了細胞內化學反應的前置作業（材料的運輸供應）與善後處理（廢物的移除）之時間成本。

另外，對細胞而言，不管是從細胞外的環境取得反應所需要的材料，或是將細胞內的廢棄物排除到細胞外，都需要透過細胞最外圍的細胞膜才能完成。所以，細胞必須要保持足夠的表面積，才足以勝任物質交換的需求。而球形體積的增加幅度是半徑增加的立方倍，但表面積的增加幅度只是半徑的平方倍。若如上述細胞的半徑變大為原來的 5 倍時，體積將增加為原來的 125 倍，但表面積只變為原來的25倍，導致單位體積所能分配到的表面積只有原來的 1/5，這將大幅減少細胞交換物質的能力，這也是細胞體積受限的另一個重要因素。

細胞雖然很小，但如果我們把細胞的尺寸拿來和它內部所容納的粒子尺寸來比較，其實，細胞還是蠻大的。例如，細胞內鈣離子的濃度在平時約為10^-7 M，被活化時上升到約為 10^-5 M。而大腸桿菌的體積大概是 10^-15 公升，拿這個數字乘以剛剛所提到的容積莫耳濃度之數值，就可以得到大腸桿菌內的鈣離子在平常的時候大約有60顆，而在有特定反應發生的時候大概會增加到6000顆。6000顆雖然看起來不少，如果繼續算下去的話：鈣離子的直徑約為 0.2 nm，大腸桿菌的長 2000 nm，圓形底部直徑 800 nm，所以大腸桿菌的長可以疊一萬個鈣離子，底部的直徑可以舖四千個鈣離子。也就是說，如果鈣離子是一個身高 170 公分、不會太胖，正面看起來大概 60 公分寬的人站著，那麼大腸桿菌的個體範圍就是底面積約 4.52 平方公里的土地垂直延伸到高 17 公里的天空。4.52 平方公里比 500 個足球場還大；通常一個足球場看台的高度不超過 20 公尺，環場滿座時可以容納超過四萬名觀眾，而我們高 17000 公尺的 500 個足球場寬廣之大腸桿菌內，只有 60~6000 個鈣離子稀疏的分散其中。

此外，也不要小看這個小空間的收納能力。人類擁有 46 條染色體，若將 46 條染色體頭尾相連拉排成直線，那麼總長度將會接近 1800000 µm。而這麼長的東西，將收納在直徑只在 10 µm的細胞核中。並且鹼基對都帶負電，負電跟負電之間是會相斥的，因此還得要有許多帶正電的蛋白質居中協調。其實，還不只這些，那些掌管複製與轉錄的酵素都還沒有算進去呢！

不過要注意的是，小，雖然有上述的諸多好處，但也不是沒有下限的小，畢竟細胞內的空間還是要能容納得下足量的物質，以及反應進行時所需要的作業空間。所以像是病毒那樣小的尺寸，便不足以在其個體內獨力完成完整的生命現象。

〈本文選自《科學月刊》2015年9月號〉

延伸閱讀：
2013諾貝爾生醫獎—細胞的貨運系統
噬菌體基因也能表現細胞骨架蛋白

什麼？！你還不知道《科學月刊》，我們46歲囉！
入不惑之年還是可以當個科青