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幾何學難題大突破!高維等角直線叢研究備受矚目

UniMath_96
・2017/07/25 ・5048字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 563 ・九年級

文/陳宏賓|UniMath 主編、逢甲大學應用數學系助理教授

圖/UniMath 提供

大約七十年前開始,有個和直線有關的離散幾何問題吸引了數學家的目光。你可能心底想,直線不就那樣,還能有什麼神祕嗎?嗯,有的。今天要和各位讀者分享的直線們有一些特別之處,那就是:

1. 全部都通過原點

2. 任意選取其中兩條直線,它們的夾角都是一樣的。

這樣一堆直線的集合就稱為「等角直線叢」(Equal-Angle Lines or Equiangular Lines)。

舉最簡單的例子(如下圖)來說,二維平面上正六邊形的 3 條對角線, 它們兩兩夾角都是 60度(或 120 度)。二維平面上,3 條線是最多的等角直線叢嗎?答案挺顯然的,Yes!

二維平面上正六邊形的 3 條對角線, 它們兩兩夾角都是 60度(或 120 度)。二維平面上,3 條線是最多的等角直線叢。圖/UniMath 提供

不過,三維的情況就沒有那麼容易想像。數學家已經證明三維空間最多就是 6 條,它們是正二十面體的十二個頂點所構成的 6 條對角線。這 6 條對角線恰巧形成等角直線叢,夾角是 arccos (1/√5),大約是 63 度左右,請見下方影片。

超越想像極限的更高維度,就交給幾何學吧!

很自然地,人類的好奇心會驅使我們去探索未知的四維、五維空間,甚至去想像更高維度的情況究竟是如何呢?這就是離散幾何領域經典的等角直線叢問題。

不幸的是,高維度的情況無法用視覺化的方式呈現出來,某些程度阻礙了數學家透過空間感去想像其可能的分佈型態。不過,這並不足以令數學家退縮。

數感敏銳的讀者可能也已經隱約感覺到,形成最多的等角直線叢可能有以下兩項性質:

1. 高度對稱性結構

因為要找最多,直覺上有規律地適當安排在整個空間中應該比較有機會。這個特質除了滿足幾何學家對於美的追求、以及出於數學的純粹好奇心之外,這些具有對稱性且同時通過原點的直線們,恰好也會在一個球體表面穿插出一些兩兩距離相等的點,對應到應用數學領域和資訊領域裡一個重要的研究主題--《球形碼 Spherical Codes》,讓這道古典離散幾何問題的重要性被凸顯出來。

2. 維度越高數量越多

直覺上我們會認為數量必定會隨著維度(嚴格地)增加;然而,事實卻並非如此。早在 1948 年數學家 Haantjes1就證明了三維與四維最多的等角直線叢都是 6 條。換句話說,維度增加並不一定會增加等角直線叢的最大數量。

後來,范林(Van Lint)與西德爾(Seidel)2證明了五維到七維的結果。稍後,1973 年雷蒙斯(Lemmens)與西德爾3開創性地引入《線性規劃 Linear Programming》的手法,一口氣把戰線推進到 23 維以內,他們當年的結果整理如下表:

舉例來說,十四維已經有 28 條等角直線叢的構造,但不知道 29 條是不是可以達到,意即,數學證明 30 條以上是不可能的。所以,我們說十四維空間的等角直線叢數量最多介於 28 到 29 之間。

一個有趣的地方是,三維及四維都是最多 6 條,七維到十三維,都是最多 28 條。一般來說,維度越高越有更多機會造成更多條等角直線叢,但七到十三的維度變化不算少,最大值 28 卻聞風不動。專家們認為,這樣的現象在更高維度也會發生。

雷蒙斯與西德爾的文章裡,提到另一位數學家葛松(Gerzon)發現:等角直線叢的最大數量會受限於維度。他用《線性代數》裡大家一般熟悉的方法計算得出了一個通用的上界:

任意維度 n,等角直線叢的最大數量不超過 n(n+1)/2 。

例如 n = 7 和 23 的時候,最大值分別是 28 和 276,恰好達到這個上界。

年輕台灣博士與美國教授合作,突破四十年障礙

然而二十四維以上的進展,卻沉寂了將近 40 年之久。直到 2014 年,一位來自台灣的年輕數學博士俞韋亘(Wei-Hsuan Yu)和他的合作者巴格教授(也是他的博士班指導教授 Alexander Barg)4對這道難題有了新的進展。

俞韋亘目前於美國的密西根州立大學從事博士後研究工作。大學就讀新竹清華大學數學系的他,畢業後前往臺灣師範大學攻讀碩士,得到碩士班指導教授林延輯以及許多老師在數學研究上的啟發和鼓勵,後來前往美國馬里蘭大學繼續攻讀博士學位,邁入更高的學術殿堂。

俞韋亘博士與 Alexander Barg 教授合影。圖/UniMath 提供

解決問題需要有好的工具,2014 年這篇文章也不例外。他們首度引入運籌學領域的一種高端工具「半正定規劃」(Semidefinite Programming, 簡稱 SDP),藉此證明了二十三維到四十一維最多都是 276 條,印證了雷蒙斯與西德爾在 1973 年的想法。

一般來說,數學證明等號有兩個方向需要努力,也就是所謂上界(upper bound)和下界(lower bound):
當維度 n 固定,構造出等角直線叢就會得到一個下界,內含直線的數量越多,得到的下界就越好。例如,在二十三維空間中,數學家從 276 個點的強正則圖(strongly regular graph)獲得啟發,找到構造 276 條直線的等角直線叢的方法,提供了 276 是二十三維等角直線叢最大數量的下界。

另外一個方向是,當維度 n 給定,用數學證明等角直線叢數量有其上限,不能再更高了。這就是所謂的上界。

俞博士和巴格教授4的突破就是利用 SDP 證明了二十四維到四十一維的上界恰好是 276 條。由於二十三維空間中已經有 276 條線的構造法,上下界碰在一起,於是就證明了從二十四維到四十一維,276 條等角直線叢就是最多的了。

證明等角直線叢的唯一性

坂內(E. Bannai)與斯隆(N. Sloane)在 1981 年5證明二十三維最大數量的 276 條等角直線叢具有唯一性。也就是說,這 276 條的長相只有一種。既然前面提到 23 維到 41 維也都是 276 條,一個很自然的問題就是,那 24 維到 41 維的 276 條有沒有其他異於二十三維的構造法呢?俞博士和另一合作者葛雷茲林 (A. Glazyrin )在半年前得到了一個令人驚奇的結論6

二十三維到四十一維的 276 條都是同一種構造。

同時,他們也證明了七維到十一維的 28 條,都是同一種構造。
至於十二維與十三維到底有沒有另外一種不等價的 28 條等角直線叢,目前仍是待解決的問題。

當角度不隨著維度變動

事實上,俞博士和葛雷茲林的論文中也探討了另一個觀點上的等角直線叢。

上述的最大數量規模可以達到 n2 的等級,不過達到這個數量規模的等角直線叢所夾的角度也會跟維度 n 有關(arccos (1/√n))。因此,就很自然會去思考固定角度(與 n 無關)之下,在 n 維歐氏空間的等角直線叢的最大數量規模是否會小於 n2 ?

1973 年雷蒙斯和西德爾的論文裡,首度給出這個方向的結果;對於夾角 arccos(1/3),等角直線叢的最大數量就是 2n-2 條。[補充:正四面體的四個頂點與中心點的連線那四條線是等角直線叢,夾角正是arccos(1/3)。學化學的人可以想像甲烷 CH4  的分子結構,四個氫原子鍵結碳的兩兩夾角也是arccos(1/3)]

甲烷(CH4)的立體模型,為正四面體。圖/Wikimedia Commons

又再隔 16 年,紐邁爾(A. Neumaier)證明:如果角度是 arccos (1/5),則最大數量規模是 1.5 n 條,前提是維度 n 要足夠大(sufficiently large)。

對於其他角度,多年來人們知道的很少,數學家一直苦無對策突破。直到去年 2016 年六月,任職於瑞士理工大學的知名組合數學家蘇可達夫(Benny Sudakov,Noga Alon 的學生) 以及英國牛津大學數學系教授齊瓦胥(Peter Keevash,Sudakov 的學生)為首的研究團隊,開創性地引入「機率」、「圖論」、「拉姆西理論」、「代數」等多種數學分支的工具,摻在一起得到一個極具指標性的重量級突破。先說結論,他們的主要結果是:

對任意給定角度,當維數 n 足夠大,最多就是 2n-2 條等角直線叢;而且,能達到 2n-2 條的,只有當年雷蒙斯和西德爾所證明的 arccos(1/3) 這個角度。

蘇可達夫教授受訪時提到,自己是 2015 年聽卡內基美濃大學數學系的巴克(Boris Bukh)教授演講時,受到他的啟發才開始接觸這個問題。巴克在台上講述他在等角直線叢問題上的新進展時,提到自己用了一個「很醜陋」的方法來讓整個證明過得去,感覺就不是一個解決等角直線叢問題的好招式。

峰迴路轉,柳暗花明

蘇可達夫與齊瓦胥教授的研究團隊,依其利用數學分支工具的相關闡述如下:

圖論:點與邊之間關係的理論

最令人驚奇的創意在於蘇可達夫他們將等角直線叢這個幾何問題,轉換成圖論的語言,將空間中直線所對應的向量看成圖論裡的一個頂點。向量與向量的內積若是正的,給紅色邊;否則給藍色邊。這個轉換把高維空間中具有距離關係的幾何元素變成跟距離無關的圖論裡一個邊上塗兩種顏色的圖,提供數學家另一種完全不同的觀點來思考原始問題。

拉姆西理論

特別的是,經過轉換後,他們藉用圖論裡一個重要的研究主題--拉姆西理論( Ramsey Theory)來幫助規範紅色邊和藍色邊。拉姆西理論核心概念就是說,這樣塗滿兩種顏色的圖裡,總是會包含一定數量的頂點,彼此之間邊的顏色全部相同。打個比方,假設兩人之間關係只有「喜歡」和「不喜歡」兩種,在一個 50 人的團體裡,無論如何總是會找到 5 個人彼此互相喜歡或者彼此互相不喜歡。這麼一來,頂點的數量理論上就可以藉由拉姆西理論的概念來限制住。

矩陣

最後,他們將這樣子的一個圖再轉換成一種特別的矩陣來表示,矩陣中(i, j)位置填入的是第 i 個向量和第 j 個向量的內積值,然後就可以在上面玩一些矩陣的代數運算,也有相當豐富的矩陣理論可以派上用場。

研究等角直線叢問題多年的傑德瓦(Jonathan Jedwab)教授發表他對這項發現的看法時表示,我得知時的反應不是「懊悔為何自己沒有想到這個方法」,而是「老天爺啊!這群人擁有的數學工具也太多了吧。我認為他們最了不起的工作就是把這一卡車數學工具,一個接一個用在適當的地方。」

這個重要結果7引起國際上許多關注,國外知名媒體 Quanta Magazine 也寫了篇專題報導《 A New Path to Equal-Angle Lines 》,有興趣的讀者可以參考。

圖中為蘇可達夫。圖/Wikipedia

隔幾個月後,俞和他的合作者葛雷茲林教授6證明:當角度是 arccos (1/a),在 n 維歐氏空間中,等角直線叢的數量上界約是 0.66an。這是首度對於任意維數與任意角度的等角直線叢給出上界的結果。蘇可達夫團隊發表的論文裡的一般上界雖然只有 1.92 n,但前提是 n 必須要足夠大才會正確。至於 n 要多大?目前仍是未知!

俞與其合作者在等角直線叢發展出來的這套數學方法,同時也可以用來處理離散幾何領域「最大球面二距離集」問題。什麼是二距離集(two-distance sets) 呢?空間中的一些點,如果所有的點兩兩之間彼此的距離收集起來只有兩個不同值,那麼這些點我們就稱為二距離集。將這些點限制在單位球(unit ball)上,稱之為球面二距離集 (spherical two-distance sets)。「最大球面二距離集問題」即是在尋找最大的球面二距離集的相關研究。

俞韋亘受訪時說:「我近期最開心的工作,就是利用這套方法改進了無窮多維的等角直線叢上界,並用之解決了拓樸學家 Oleg Musin 教授一個關於球面二距離集的重要猜想 Musin Conjecture」。

還好奇到底哪裡找來這麼多數學問題給數學家研究嗎?解決一個問題的同時,就會產生新的問題。這就是數學。

後記:今年暑假俞韋亘博士將會短暫回到台灣,到位於台大公館校區的國家理論科學研究中心(簡稱理論中心)及中央研究院數學研究所進行學術交流,排定於 7/24 及 25 兩日演講等角直線叢與最大球面二距離集的相關問題,歡迎報名參加。上述演講由理論中心支持補助。演講資訊請參考理論中心官網

資料來源

  • 《A New Path to Equal-Angle Lines》,Quanta Magazine.

參考文獻

  1. J. Haantjes, Equilateral point-sets in elliptic two and three-dimensional spaces, Nieuw Arch. Wisk., 22 (1948) 355-362.
  2. J. H. van Lint and J.J. Seidel, Equilateral point sets in elliptic geometry Proc. Nedert. Akad. Wetensh. Series 69 (1966), 335–348.
  3. P. W. H. Lemmens and J. J. Seidel, Equiangular lines, Journal of Algebra 24 (1973), 494–512.
  4. A. Barg, W-H. Yu, New bounds for equiangular lines. Discrete Geometry and Algebraic Combinatorics, A. Barg and O. Musin, Editors, AMS Series: Contemporary Mathematics, vol. 625, 2014, 111-121.
  5. E. Bannai and N. J.A. Sloane, Uniqueness of Certain spherical codes, Can. J. Math., Vol. XXXIII, No. 2, 1981, pp. 437-449.
  6. A. Glazyrin, W.-H. Yu, Upper bounds for s-distance sets and equiangular lines, Arxiv: 1611.09479.
  7. I. Balla, F. Dr¨axler, P. Keevash, B. Sudakov, Equiangular Lines and Spherical Codes in Euclidean Space. Arxiv: 1606.06620.

本文轉載自 UniMath,《[離散幾何學突破]組合學大師與新秀分別出招,等角直線叢研究大躍進

作者簡介:陳宏賓 - UniMath 主編、逢甲大學應用數學系助理教授。
數學既深且廣,我懂得不多,最喜愛組合數學相關領域,主要研究興趣是群試理論、圖論及最優化分解。2013 年出版「Partitions: Optimality and Clustering, Volume II: Multi-Parameter」一書(與 Uriel Rothblum 和 Frank K. Hwang 教授合著)。對於數學和教育有強烈的熱忱和使命感,積極創立 UniMath 電子數學媒體,致力於推廣數學文化。

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記錄台灣早期山林樣貌的博物學者——鹿野忠雄
PanSci_96
・2023/09/21 ・2891字 ・閱讀時間約 6 分鐘

博物學家如何養成?為什麼要來台灣?

大正十四年(一九二五年)鹿野忠雄特地到台灣就讀台灣總督府高等學校第一屆高等科,那年他已十九歲,硬是等到台灣有設高等科,才來台就讀。但其實他很早就開始將四處旅行的採集成果發表成文章。自中學開始就嘗試單獨採集旅行,足跡踏遍日本東北地方、北海道、庫頁島,結交當時昆蟲學者,出入他們的研究室,學習昆蟲分類學和閱讀歐美文獻的方法。

鹿野忠雄。圖/wikimedia

他是看到前輩從台灣帶回來的昆蟲標本後,才下定決心要到台灣讀書,以便就近上山採集。高中三年曠課不斷,留級一年,畢業後也沒有馬上回日本本島申請大學,還展開一百五十天的野外調查。這些日子裡他不斷獨自入山,聘僱原住民獵人採集並且撥制標本,走過今日南投縣信義鄉的布農族部落、阿里山鄒族部落、攀爬玉山、雪山、合歡山霧社、八仙山、蘭陽溪上游桃山南湖大山間等地,甚至前往恆春探訪排灣族,到紅頭嶼探訪雅美族。

實地調查讓他大開眼界,特別是在南方的昆蟲採集跟原住民調查當中,他發現紅頭嶼動物相跟台灣不太相同,他開始思索台灣生物到底是靠大陸系統近,還是靠菲律賓近些。這使他對自然地理學產生興趣,回本島後考上東京帝國大學的理學部地理學科。

文字版 MIT 臺灣誌——《山、雲與蕃人》

鹿野忠雄想深入山區調查,必須取得警方許可,且還要聘雇原住民幫忙背裝備,登山費用頗高。學生時期他多是仰賴母親的資助。且在日本統治台灣期間,台灣五萬分之一地形圖的側繪並未完整,因此民間或者政府的登山活動,都還沒有精確的山岳測量依據,很多地方只有主要高峰有山名,標示著山稜、溪流與「番社」的相對位置,以及粗略的等高線。因此如果想要一窺台灣山岳的面貌,當時的文獻相當欠缺,因此也才引發登山活動的熱潮,許多非原住民的民間登山隊首次登頂記錄,也約略是發生在這時期。

比如鹿野打算在雪山尋找圈谷地形時,便要聘雇原住民腳伕扛行李,同時也請他們追捕小動物跟鳥類,在路上做些標本的前期剝制處理。但是由於鹿野行速飛快,腳伕不堪折磨,最後甚至丟下行李逃走。

值得一提的是,當中有一位阿美族青年托泰布典,是以助手的身份隨行。他會講流利的日語,還看得懂英文,因此能幫鹿野整理英文書籍,也能看得懂藥罐上的英文標示。他眼中的鹿野忠雄,討厭警察官僚作風,尊重蕃人的風俗,而且膽子很大,喜歡走沒人走過的路線,四處拍照跟觀察地形,晚上也不休息,要馬上洗底片,以及漏夜寫筆記,記錄下白天發生的事情。

鹿野忠雄的著作《山、雲與蕃人》。圖/臺灣歷史博物館

在他的重要作品《山、雲與蕃人》中,留下登山路線圖和仔細的登山日誌,當中不時出現對特殊地質現象的描繪,比如在海拔 3900 公尺處發現海底沈積的岩面有濂痕(ripple mark)。或者是當時特殊景觀的描寫,比如攀登玉山南峰與南玉山段,便曾記錄與新高駐在所的警官真瀨垣丑丙與東埔社的布農壯丁馬其里(Makili Takeshitahoan)一同登玉山絕頂,途中行經路段,不屬於東埔社布農族的狩獵範圍,因此馬其里也沒來過。真瀨垣警官則帶他們去看玉山神社,鹿野特別寫道,裡面的「御神體」是一面鏡子。

跨界整合台灣自然與人文知識

在《山、雲與蕃人》中可以讀到鹿野幾個面向的關懷:

  1. 挑戰攀登台灣山岳的熱情
  2. 發現原先地圖跟文獻沒有記載的地形、地質現象
  3. 出於研究跟溫飽,在獵捕動物時親自體會到動物的生之本能
  4. 理番政策下,警方極力希望日人不要跟蕃人來往,並產生不少突發事故,怎麼順利入山並與蕃人相處變成重要問題。

但是在這樣的旅行之眼下,卻反映出鹿野這種看似個人興趣,自發的台灣自然知識採集和分類工作,能夠一次又一次的出發調查,其實是以國家殖民統治以及研究經費為後盾。

鹿野並非台灣自然知識研究的第一個人,在他之前,西方跟日本已經陸陸續續展開零星的調查,逐步推進從平地到山地的動物相、植物相調查,相關的動植物學、礦物學和地質學的目錄、圖譜出版越來越多,以及地質學跟地形學考察也逐漸系統化發展,同時因為總督府的理蕃事業與藩地開發政策,也展開人類學的調查,這些科學政策及科學教育改革,影響到民間文化活動,如昆蟲、植物的採集旅行,大眾刊物的發表及閱讀等等。

因此鹿野忠雄的貢獻在於他是跨學科的研究者,熟悉博物學以及人種誌的調查方法,在那時代也是少數。他想徹底了解台灣山林,就連被日本以蕃地治理的狀態也想去了解,而不只是關心自然的那部分。同時他也不像是在室內的地理學家或者人類學家,只靠文獻判讀並且歸納,而是不畏艱難,親身去到現場,採集並且記錄下第一手的材料。

鹿野忠雄(中排右三)於紅頭嶼警察署前。圖/wikimedia

忘了回家的探險者

在太平洋戰爭期間,西方駐菲律賓學者貝雅,曾在馬尼拉和鹿野短暫交流過,鹿野從貝雅身上知道不少西方學術動態,而他曾經幫助貝雅,把原來的玻隕石標本收藏悄悄搬到安全的地方——帕西古河北岸的沃森大廈,但又不會落人口舌,讓人覺得日軍大敗,不敵美軍,已經在安排撤退的情勢。

而在一九四四年,鹿野被派駐到北婆羅洲,要沿著日軍的補給路線,調查一支未開化的姆錄族(Muruts),確保到時補給運送時能夠跟當地民族協調順利。他們要穿越雨季中的昏暗紅樹林,在飢餓、瘧疾等風土病的威脅下,還要面對當地人士對日軍的不滿,設法確認或更新原本很粗略的地形圖,以及正確標示部落名稱跟位置。

但隨著戰況情勢危及,美軍轟炸亞庇,日第三十七司令部南移到沙蓬,使得鹿野和助手金子必須跟著南下覆命,卻在途中失去蹤跡。在戰爭中原本就很容易失去彼此聯繫,鹿野消失的訊息是在戰爭結束後才輾轉傳開,找他的人如貝雅發現戰俘收容所裡也沒有他的蹤跡,有傳言因為抗命所以遭到日軍殺害。

參考資料

  • 高嘉勵(2016)鹿野忠雄的台灣高山行旅書寫——日治時期「自然」的現代知識建構與美學表現,中外文學,第 45 卷,第 1 期,頁 119-165。
  • 鹿野忠雄(2000)山、雲與蕃人——台灣高山紀行,台北:玉山社。
  • 王鑫(2000)南湖大山圈谷群古冰河遺跡研究初步調查,內政部營建署太魯閣國家公園管理處八十九年度研究報告。
  • 山崎柄根(1998)鹿野忠雄——縱橫台灣山林的博物學者,台北:晨星出版。
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花中西施是誰?點綴山野的臺灣原生杜鵑花——《橫斷臺灣》
春山出版
・2023/07/30 ・1712字 ・閱讀時間約 3 分鐘

臺灣原生的杜鵑花——烏來杜鵑

在進入大學之前,我對臺灣原生的杜鵑花物種瞭解甚少。小時候,我曾認為所有的杜鵑花都是同一種植物,只是天生具有各種花色。甚而,由於經常出現在校園或私人花園裡,我也一度以為杜鵑花必須和人類在一起才能存活。一直要到我開始登山,接觸了山岳文學,才從鹿野忠雄的著作中認識到臺灣原生的玉山杜鵑,並發現它原來與日常生活中的杜鵑花大不相同。

後者大多是園藝栽培而出的品種,較能忍受夏季平地的高溫。此後,在植物學課程中,我進一步瞭解到臺灣除了玉山杜鵑,還有至少十六種本土杜鵑花。它們大多是山地物種,從烏來的丘陵到太魯閣的石灰岩峰,從大武地壘的密林到雲海之上的玉山之巔,只要走上山,你基本上都能遇到臺灣原生杜鵑花。

而我從童年開始對杜鵑花的錯誤印象,純粹只是因為我不會爬山,沒有能力到山裡和杜鵑花相遇。

玉山杜鵑。圖/行政院農委會林試所

對喜愛植物和山林的人來說,春天是一年一度,他們和山地杜鵑花說好相見的時刻。每當第一道花訊從山巔傳來,他們便紛紛趕赴山林,無視親友的不解,無畏春雨及山上的詭譎天氣。遼闊的中央山脈就是他們的私人多寶格,收藏著十七種姿色各異的原生杜鵑花,每年都要在此時仔細審視一次才能舒心。

相對的,我雖然也喜歡山地杜鵑花,但並非將它們視為一套植物珍玩。我喜歡,是因為它們經常在山上撫慰我的疲憊心靈,更是建構臺灣高山植被裡的重要植物。十七種原生杜鵑花各自獨具特色,從形態到自然史,揭示了島嶼與特有種演化的奧祕。

慚愧的是,雖然至今山齡將滿二十年,我卻仍未見過臺灣全部的原生杜鵑花。臺灣看似狹小,但山就像巨大的迷宮,充斥著未被踏過的角落。玉山杜鵑雖然是我知曉的第一種臺灣原生杜鵑,但我跟它充其量只能算在書裡神交過,我真正親眼見到的第一種原生杜鵑花並不在山裡,而是在臺大的校園。

杜鵑葉片形狀之謎

它叫烏來杜鵑,曾經在臺北盆地郊山生長,如今已在野外滅絕。因其美麗脫俗的粉色花朵,深受人們喜愛,在經過保育單位復育後,現已廣泛種植於各地。不開花的烏來杜鵑乍看之下並不好認,它就是一般常見,外觀纖弱的某種小灌木。我是在樹木學助教的指導下才知道它的特徵——柳葉狀且密生紅棕色剛毛的葉片。然而助教卻沒說,為什麼烏來杜鵑會有這種形態的葉片,因此我也一直無法將這個特徵認真刻在腦海裡。

美麗的烏來杜鵑雖目前多種植於校園,但身上的特徵可能暗示了它原生的生育地樣貌。圖/《橫斷臺灣》

二○一五年,我獲得日本交流協會的資助前往日本擔任訪問學生。在關西地區進行野外植物採集時,有植物小百科稱號的友人伊東拓朗向我介紹了一種在河谷中生長的杜鵑花,名為皋月杜鵑。

他告訴我,皋月杜鵑是一種溪流植物(riparian plant),擁有隨河流環境演化而來的獨特形態,例如,它具有披針狀且厚實的葉片。這類葉片因呈流線形,能減少植物在水流中所受的阻力,當植物因河水暴漲而被淹沒時,便可於激流存活。

聽完伊東君的介紹,我突然想到烏來杜鵑。它那狀似柳葉的葉片、細小但柔韌的枝條,是否也與它的生存息息相關呢?從過去的採集紀錄得知,烏來杜鵑喜歡生長在河岸邊,甚至似乎只分布在北勢溪的上游。烏來杜鵑柳葉狀的葉片看似十分流線,與皋月杜鵑一樣,有可能是幫助它應付臺灣北部夏季溪谷洪水的適應性特徵。

此外,雖然未能在過往研究報告中找到剛毛與河谷生育地間的關聯,但另一方面,說不定柔韌的枝條在洪流中也較不易被沖斷。事隔多年,我這才順利地把當年助教描述的東西牢牢記住。

——本文摘自《橫斷臺灣》,2023 年 7 月,春山出版未經同意請勿轉載。

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臺灣美麗的森林怎麼形成?東亞地區的氣候變遷如何影響生態?——《橫斷臺灣》
春山出版
・2023/07/29 ・2245字 ・閱讀時間約 4 分鐘

植物學者/獵人威爾森曾說:「福爾摩沙真是名副其實的東方之珠,她最美麗的,是生機蓬勃的樟櫧森林,以及生長在崎嶇陡峭高山上的巨大檜木與挺拔的臺灣杉。」其中的「櫧」,指的就是殼斗科苦櫧屬物種,而樟櫧森林顯然也是在指稱臺灣的山地樟櫟林。

其實不只威爾森,許多博物學者與植物獵人都曾在著作裡提過山地樟櫟林,認為它是東亞十分美麗的一種森林群落。在他們的描述裡,山地樟櫟林樹冠細密相連,遼闊的冠層也沒有太大的起伏;光潔的葉片,映著日光,遠遠看去就像一片閃耀的綠色海洋。

在威爾森等一眾博物學著來臺的年代,山地樟櫟林顯然為他們帶來了美的衝擊,但當時他們對於山地樟櫟林的誕生與演化卻所知甚稀。臺灣為什麼能夠得天獨厚地擁有這樣一片美麗的森林?時至今日,我們已經知道這並非上天對我們的島的偏愛,而是地球環境在內外營力驅動之下所衍生的一種結果。

如前所述,臺灣的山地樟櫟林是東亞常綠闊葉林的一種類型。想要追溯它的起源,必得先瞭解東亞常綠闊葉林的時空演化歷史。從地理分布來看,東亞常綠闊葉林的範圍十分遼闊,但主體仍在亞熱帶地區(北緯二四至三二度和東經九九度至一二三度間)。在亞熱帶,這類森林孕育了令人印象深刻的物種多樣性,也庇蔭了許多冰河孑遺的譜系(臺灣山毛櫸,以及著名的鐘萼木、昆欄樹等)。

四川盆地東部雅安地區的野生鐘萼木大樹。攝/《橫斷臺灣》

過去半個世紀來,許多學者除了將研究聚焦在這種森林的起源,對於它的擴張與形成歷史很感興趣。一來,因為它分布之處,正是東亞最人口稠密與富庶的地帶;二來,森林裡許多樹種都是優良的經濟林木,極具應用價值。在許多學者眼裡,東亞常綠闊葉林之所以能夠穩定地擴張與繁衍,除了在冰河期時逃過大範圍冰棚覆蓋的威脅外,另外一個決定性的因素是東亞整體溼潤的大環境。

八百萬年濕潤的風,成就山地樟櫟林的擴張

森林系的學生都深知,森林是水的故鄉,但水更是森林的母親。夏季,由西太平洋吹往陸地的海洋季風為東亞帶來綿綿不絕的水氣,替植物營造有利於生長的環境。長久以來,學者們不斷想驗證,在宏觀歷史上,東亞季風是否真的與東亞常綠闊葉林的擴張有所關聯,卻始終受限於資料與分析技術,到不久前都還夙願未償。

二○二二年,研究人員在此問題似乎終於有新的突破。通過 DNA 定序技術,他們從東亞常綠闊葉林裡挑出了二百九十一個優勢分類群(根據粗略的統計,東亞常綠闊葉林裡有大約二千九百個開花植物分類群,分別隸屬於一百四十七個科和七百六十個屬。而此取樣約占所有分類群的百分之十),為它們個別進行親緣關係的重建以及定年分析。然後透過綜合分析(meta-analysis)的方法,統整出了東亞常綠闊葉林發育的時間規律。

他們發現,東亞常綠闊葉林裡大部分的優勢木本類群都可能起源於晚漸新世至早中新世之間(例如殼斗科苦櫧屬、茶科木荷屬、樟科楨楠屬),而各優勢類群之中,物種多樣化的時間則都稍晚一些,落在中新世晚期(大約八百萬年前)。這兩個時間點十分關鍵,因為晚漸新世至早中新世之間正是東亞夏季風可能形成的時代,而中新世晚期則大約是地球科學學者推論的東亞夏季風強度增強的時代。

東亞常綠闊葉林分布圖。圖/《橫斷臺灣》

無疑的,時間上的耦合關係間接支持了研究人員的假說,凸顯東亞夏季風對亞熱帶常綠闊葉林的擴張與多樣化的重要影響。不過,儘管這個初步結果令人興奮,但研究人員並不滿足於僅使用優勢類群所取得的結果,他們想用優勢類群之外,更多的類群測試這個時間規律。意即,他們想知道整片森林中,每個植物類群的物種多樣化歷史是否都集體起始於中新世晚期。

研究人員的雄心壯志,對我來說或許反映的是東亞生活圈對常綠闊葉林的關注。就像溫帶殼斗科的落葉林對歐美諸國產生的影響,東亞居民的文明與文化數千年來也受到東亞常綠闊葉林的呵護。

化石說故事——半乾旱東亞歷經的巨變

八百萬年來東亞季風的吹拂,維持並守護了東亞常綠闊葉林的生長(尤其是在亞熱帶地區),更促生了許多如今組成臺灣山地樟櫟林的優勢類群。但在八百萬年之前至晚漸新世之間,海洋季風尚未深入東亞地區,化石證據告訴我們,東亞許多地區曾盛行著半乾旱的氣候。當時亞熱帶常綠闊葉林仍處於胎兒的階段,而東半球的常綠闊葉林主要分布在熱帶地區。

究竟晚漸新世以來,東亞是否發生了什麼重大的環境變遷事件?將本該荒煙蔓草,一如北半球其他亞熱帶地區的東亞,轉化爲至今日萬物向榮的模樣?

過去半個世紀,學者們在遼闊的亞洲大陸上小心翼翼地挖掘化石和石頭,試圖向過去尋找線索。他們靠著滅絕生物以及它們與環境之間交互作用遺留下的痕跡,不斷地歸納出一個結論:巨變確實存在。

然而,意外的是,這些來自已逝之物的線索也同時指出了引發巨變的源頭。位於東亞內陸,一塊舉世無雙的高原的隆起,扭轉了整個東亞的氣候與生靈的命運。

——本文摘自《橫斷臺灣》,2023 年 7 月,春山出版未經同意請勿轉載。

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